8.5.2直線與平面平行

考點學習目標核心素養

理解直線與平面平行的定義，會用圖

形語言、文字語言、符號

語言準確描述直線與平面平行的判定

直線與平面平行的判定直觀想象、邏輯推理

定理，會用直線與平面平

行的判定定理證明一些空間線面位置

關系

理解并能證明直線與平面平行的性質

定理，明確定理的條件，

直線與平面平行的性質直觀想象、邏輯推理

能利用直線與平面平行的性質定理解

決有關的平行問題

■預習案，@@@

?研遞:導學?嘗試.4

◎問題導學

預習教材P135—P138的內容，思考以下問題：

1.直線與平面平行的判定定理是什么？

2.直線與平面平行的性質定理是什么？

1.直線與平面平行的判定定理

如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,那么該直線與此平

文字語言

面平行

符號語言a-。，buQ,旦a"b0alia

——a

圖形語言Z—N

■名師點撥...................................................................

用該定理判斷直線a和平面a平行時，必須同時具備三個條件：

(1)直線a在平面a外，即aQ。.

⑵直線Z?在平面Q內，即bua.

(3)兩直線a,b平行,即。〃

2.直線與平面平行的性質定理

一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么

文字語言

該直線與交線平行

符號語言a//a,auB,aClB=bna//b

\pa\

圖形語言

/b

■名師點撥...................................................................

(1)線面平行的性質定理成立的條件有三個：

①直線4與平面a平行，即a〃a；

②平面a,￡相交于一條直線，即aCl夕=匕；

③直線a在平面￡內，即au￡.

以上三個條件缺一不可.

(2)定理的作用：

①線面平行=線線平行；

②畫一條直線與已知直線平行.

(3)定理揭示了直線與平面平行中蘊含著直線與直線平行，即通過直線與平面平行可得

到直線與直線平行，這給出了一種作平行線的方法，體現了數學中的轉化與化歸的思想.

檢測?

fl判斷(正確的打“卜：錯誤的打“X”)

(1)如果一條直線和平面內一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.()

(2)若直線/上有兩點到平面a的距離相等，則/〃平面a.()

(3)若直線/與平面a平行，則/與平面a內的任意一條直線平行.()

(4)若直線a〃平面a,直線a〃直線江則直線匕〃平面a.()

(5)若直線a〃平面a,則直線a與平面a內任意一條直線都無公共點.()

答案：⑴X(2)X(3)X(4)X(5)V

?能保證直線a與平面a平行的條件是()

A.bua,a//b

B.bua,c//a,a//b,a//c

C.bua,A,BSa,C,D?b,S.AC//BD

D.aQa,bua,a//b

答案：D

?如圖，在三棱錐S-A8C中，E,尸分別是SB,SC上的點，且EF〃平面ABC,則()

A.EF與BC相交B.EF//BC

C.EF與8c異面D.以上均有可能

解析：選B.因為平面SBCC平面4BC=BC,又因為E尸〃平面ABC,所以EF〃BC.

0已知/,，〃是兩條直線，。是平面，若要得到“/〃a”，則需要在條件“，"Ua,I//

W中另外添加的一個條件是.

解析：根據直線與平面平行的判定定理，知需要添加的一個條件是“/《a”.

答案：/Qa

解惑?探究,突破

探究點包

直線與平面平行的判定

函廳1如圖，在正方體48aMiBiGDi中，E,F,G分別是BC,CG，

BBi的中點，求證：EF〃平面AAG.

【證明】連接8G,則由E,尸分別是BC,CG的中點，知EF〃BC\.

又AB/ABiZOiG,所以四邊形ABC。1是平行四邊形，

所以BCi〃ADi,所以EF〃4D|.

又ERI平面ADiG,A￡>iu平面A9G,

所以EF〃平面AD\G.

應用判定定理證明線面平行的步驟

上面的第一步“找”是證題的關鍵，其常用方法有:

①空間直線平行關系的傳遞性法;

②三角形中位線法；

③平行四邊形法；

④成比例線段法.

［提醒］線面平行判定定理應用的誤區

(1)條件羅列不全，最易忘記的條件是“直線在平面外

(2)不能利用題目條件順利地找到兩平行直線.

跟蹤訓練

1.如圖，下列正三棱柱4BC4SG中，若M,N,P分別為其所在棱的中點，則不能

得出A8〃平面MNP的是()

G

解析：選C.在題圖A,B中，易知MNu平面MNP,ABC平面MNP,

所以A8〃平面MNP;在圖D中，易知AB〃尸N,PNu平面MNP,ABC平面MNP,所以A8〃

平面MNP.

2.已知有公共邊A8的兩個全等的矩形ABC。和A8EF不同在一個平面內，P,。分別

是對角線A￡8。上的點，且AP=￡>Q.求證：P0〃平面CBE.

證明：如圖，作PM//AB交8E于點M,作QN〃AB交8c于點N,

連接MV,則PM〃。/V,

PM_EPQN_BQ《

AB~EA'CD~BD--7/V

因為EA=8O,AP^DQ,

所以EP=BQ.

又因為AB=CD,所以PM!LQN,

所以四邊形PMNQ是平行四邊形，

所以PQ//MN.

又因為PQ(t平面CBE,MMz平面CBE,

所以「。〃平面CBE.

探究點畫__________________________

線面平行性質定理的應用

他叼如圖，尸是平行四邊形ABCD所在平面外的一點，M是PC的中點，在。M上

取一點G,過點G和AP作平面，交平面8OM于GH.求證：AP//GH.

/?\

【證明】如圖，連接AC,交BQ于點0,連接M0.

因為四邊形A8C。是平行四邊形，

所以點。是AC的中點.

又因為點M是PC的中點，

所以AP〃OM.

又因為A因平面BOM,OMu平面8。例,

所以AP〃平面BDM.

因為平面以HGC平面BDM=GH,

APu平面例”G,所以AP〃GH.

駟倒癰用

利用；系乏，民事或5二泰量屋年行手-￥￥?"'

線面

平行：金比7/拿我5豆豆紊直鼻五入京市而

的性

質定［交的平面

理解

題的

步驟

尉跟蹤訓練;如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且以=3.尸在

棱以上，且AF=1,E在棱PQ上.若CE〃平面BDF,求PE：E。的值.

解：過點E作EG//FD交AP于點G,連接CG,連接AC交BD于點O,

連接FO.

因為EG〃F￡),EGC平面BDF,

尸。u平面BDF,

所以EG〃平面BDF,又EGCCE=E,CE〃平面BDF,EGu平面CGE,

CEu平面CGE,

所以平面CGE//平面BDF,

又CGu平面CGE,

所以CG〃平面BDF,

又平面8￡)Fri平面A4C=FO,CGu平面P4C,

所以FO〃CG.又O為4c的中點，

所以F為AG的中點，

所以FG=GP=1,

即G是PF的中點，又EG//FD,

所以E為PO的中點，所以PE：EO=1：1.

》惻評案▼?O侈國］驗證?反饋?達標—.

1.已知6是平面a外的一條直線，下列條件中，可得出b〃a的是（）

A.b與a內的一條直線不相交

B.b與a內的兩條直線不相交

C.匕與a內的無數條直線不相交

D.。與a內的所有直線不相交

解析：選D.若。與a內的所有直線不相交，即匕與a無公共點，故匕〃a.

2.給出下列命題：

①如果一條直線不在平面內，則這條直線就與這個平面平行；

②過直線外一點，可以作無數個平面與這條直線平行：

③如果一條直線與平面平行，則它與平面內的任何直線平行.

其中正確命題的個數為（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：選B.①中，直線可能與平面相交，故①錯；②是正確的；③中，一條直線與平

面平行，則它與平面內的直線平行或異面，故③錯.

3.三棱臺ABC-481cl中，直線與平面Ai8cl的位置關系是（）

A.相交B.平行

C.在平面內D.不確定

解析：選B.在三棱臺ABC-481cl中，AB//A\B\,ABC平面AiBG,A^u平面AHG,

所以A8〃平面Ai81cl.

4.如圖，直三棱柱ABC-ABiG中，D是A8的中點.證明：BG〃平面4CD

證明：如圖，連接AG交4c于點F,則F為AG的中點.

又。是AB的中點，連接DF,則DF//8cl.

因為。Fu平面ACC,8GG平面ACQ,所以BG〃平面ACD

[A基礎達標]

I.下列選項中，一定能得出直線機與平面a平行的是（）

A.直線〃?在平面a外

B.直線m與平面a內的兩條直線平行

C.平面a外的直線切與平面內的一條直線平行

D.直線m與平面a內的一條直線平行

解析：選C.選項A不符合題意，因為直線〃?在平面a外也包括直線與平面相交；選項

B與D不符合題意，因為缺少條件Mia；選項C中，由直線與平面平行的判定定理，知直

線m與平面a平行，故選項C符合題意.

2.如圖，已知S為四邊形ABC。外一點，G,H分別為SB,BD1.於、

的點，若G"〃平面SCD,則（）/；

ZDXZT-7

A.GH//SA//

B.GH//SD

C.GH//SC

D.以上均有可能

解析：選A因為GH〃平面SCD,G”u平面SBD,平面SBCC平面SCD=SD,所以

GH//SD,顯然GH與SA,SC均不平行，故選8.

3.已知直線a〃平面a,a〃平面夕，anfi=h,則”與仇）

A.相交B.平行

C.異面D.共面或異面

解析：選B.因為直線。〃a,a//H,所以在平面a,。中分別有一直線平行于a,不妨

設為nz,n,所以“〃m，a//n,所以機〃機又a,8相交，在平面a內，〃在平面4內，

所以，"〃夕，所以，“〃/?,所以a〃尻

4.在空間四邊形ABCD中，E,F,G,”分別是A8,BC,CD,D4上的點，當80〃

平面EFGH時，下列結論中正確的是（）

A.E,F,G,，一定是各邊的中點

B.G,H一定是CD,D4的中點

C.BE:EA=BF：FC,且DH:HA=DG：GC

D.AE:EB=AH:HD,且BF:FC=DG:GC

解析：選D.由于BO〃平面EFGH,由線面平行的性質定理，有BD〃EH,BD//FG,

則AE:EB=AH：HD,且BF:FC=DG:GC.

5.若直線/〃平面a,則過/作一組平面與a相交，記所得的交線分別為a,b,c,…,

那么這些交線的位置關系為（）

A.都平行

B.都相交且一定交于同一點

C.都相交但不一定交于同一點

D.都平行或交于同一點

解析：選A.因為直線/〃平面a,所以根據直線與平面平行的性質知/〃氏/〃"l//c,…，

所以a〃匕〃c〃…，故選A.

6.在正方體ABC。481cl，中，E、F分別是對角線40、5口的中點，則正方體

6個表面中與直線EF平行的平面有________________.

解析：如圖，連接4G,CiD,

所以F為4cl的中點，

在△4G。中，EF為中位線，

所以EF//CiD,又ERI平面C\CDD\,

GOu平面C\CDD\,所以E尸〃平面C\CDD\.

同理，EF〃平面AiSBA.

故與所平行的平面有平面GCDCi和平面A/iBA.

答案：平面CiCDA和平面A山1BA

7.如圖，在正方體中，AB=2,點E為AD的中點，

點F在C。上.若EF〃平面A8C,則線段EF的長度等于________."室—r\

解析：因為在正方體ABCD-AiBiCiDi中，AB=2,所以AC=2啦.'，二、;g

又E為AO的中點，EF〃平面ABC,EFu平面AOC,平面4OCC平面4B,

ABxC=AC,所以EF〃AC,

所以F為0c的中點，

所以EF=%C=也.

答案：也

8.如圖，正方體ABS-AiBiGOi中，AB=2,點E為AC的中點，點FD

在C。上，若E/〃平面AB1C,則線段EF的長度等于.4仔

解析：因為EF〃平面ABC,EFu平面ACQ,平面ACCA平面A8C=0^

所以E尸〃AC,又E為AD的中點，48=2,

所以EF—^AC—^Xyj22+22—y]?..

答案：也

9.如圖所示，四棱錐P-ABC。的底面是邊長為1的正方形，E為PC的中點，PF=2FD,

求證：BE〃平面AFC.

證明：如圖，連接8。，交AC于點。，取PF的中點G,連接EG,

ED,ED交CF于點、M,連接MO.

在△「（；尸中，E,G分別為PC,PF的中點,

則EG//FC.

在△ECG中，MF//EG,且尸為DG的中點，則M為的中點.

在△BED中，O,M分別為B。，EQ的中點，

則BE//MO.

又MOu平面AFC,8EQ平面AFC,所以BE〃平面AFC.

10.如圖，在正方體ABCDAiBiGG中,E,F分別是棱5C,CD

的中點，求證：EF〃平面A,

解：如圖，取。山?的中點0,連接OF,0B.

因為G,BE^BiCy,A

所以OF^LBE,所以四邊形OFEB是平行四邊形，所以E尸〃B0.

因為平面BOu平面BDDiBi,

所以EF〃平面BDD\B\.

D,F

AR

[B能力提升]

11.如圖所示，在空間四邊形ABCQ中，E,F,G,"分別是AB,BC,CD,D4上的

點，EH//FG,則與8。的位置關系是（）

A.平行

C.異面D.不確定

解析：選A.因為EH〃FG,FGu平面8C￡）,EHQ平面BCD,所以E”〃平面BCD因為

EHu平面ABD,平面ABDC平面BCD=BD,所以EH//BD.

12.已知直線a〃平面a,P?a,那么過點P且平行于〃的直線（）

A.只有一條，不在平面a內

B.有無數條，一定不在a內

C.只有一條，一定在a內

D.有無數條，一定在a內

解析：選C.若這樣的直線不只一條，由基本事實4知，這些直線互相平行，這與這些

直線都過點P矛盾，因此只有一條.又由直線與平面平行的性質定理知，這條直線一定在

a內.

13.如圖所示，P為矩形A8C。所在平面外一點，矩形對角線的交

點為0,M為PB的中點，給出五個結論：@0M//PD；②。何〃平面

PCD；③〃平面PD4；④0M〃平面P84；⑤0M〃平面P8C.其中

正確的個數是（）

A.1B.