年級：高二輔導科目：數學課時數：3課題數列極限教學目的理解數列極限的概念；掌握數列極限的運算法那么；掌握常用的數列極限。4、掌握公比<1時，無窮等比數列前n項和的極限公式即無窮等比數列各項和公式，并能用于解決簡單問題。教學內容【知識梳理】什么是數列的極限？數列極限的運算法那么有哪些？常見的求數列的極限有哪些形式？〔本分講義是針對層次比擬好的學生，所以知識點多以提問的形式出現，讓學生自己發揮，老師再給予糾正〕【典型例題分析】例1、以下命題中，正確的選項是〔〕〔A〕假設那么〔B〕假設，那么〔C〕假設,那么〔D〕假設那么【解析】在命題A中，當時，那么無意義，命題不成立；在命題B中，假設，那么，雖然但所以命題B不正確；在命題C中，假設，那么，而時，的極限不存在，所以命題C不成立；在命題D中，假設，根據數列極限的運算性質。成立，所以命題D是正確的。【答案】D例2、，求。【解析】由條件不能確定的表達式，因此我們設法將拼湊出。再利用極限性質求解。可化為【答案】1例3、求以下數列的極限〔1〕假設，那么______，_______〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕【解析】〔1〕數列的極限不受前有限項的影響，其前n項和的極限應先求和再求極限；〔2〕關于正整數n的分式的極限，常將分子、分母同除以n的最高次項〔不含系數〕使得各項的極限都存在，然后利用極限的運算法那么求解；〔3〕關于分子分母含有n的指數式的極限，常將分子分母同除以底數的絕對值較大的這一項，然后利用根本極限求解；〔5〕通過換元法將式子整理成相關的形式，利用這一重要極限求解；〔6〕關于積的極限，通常通過等式變形消去中間項，轉化為根本極限求解；〔7〕雖然使得，但當時，分子的前n項和變成了無限項的和，二極限的四那么運算法那么只適用于有限個數列的極限運算，所以這類和的極限應先求和后求極限。【答案】〔1〕37〔2〕〔3〕〔4〕1〔5〕〔6〕0〔7〕例4、在數列中，，且，求【解析】與數列前n項和公式相關的極限問題一樣，綜合能力要求通常較高，解題時應注意套用相關公式。【答案】例5、，求的范圍。【解析】解此題的關鍵時討論與2的大小。【答案】例6、假設，求。【錯解】設,由，得解方程組得，【錯解分析】存在，不能推出的極限存在，所以不能運用極限的四那么運算，可以通過整體運算解決問題。【正解】設令解方程組，得例7、求和：【解析】化循環小數為分數，時無窮等比數列各項和公式的一個重要應用。解題時應注意確定首項和公比。【解】變式練習：化循環小數為分數〔1〕〔2〕〔3〕【解析】純循環小數可以看作時一個無窮等比數列所有項之和，而混循環小數可以視為一個常數與無窮等比數列各項的和相加。【答案】〔1〕〔2〕〔3〕5例8、等比數列使，求實數的取值范圍。【解析】由的范圍確定的范圍。【解】當且僅當時極限存在，并且又在等比數列中，于是，那么：那么：所以的取值范圍是【點撥】關注其中公比的范圍：，這是一個逆向思維的問題。例9、棱長為的正方形內有一個內切球〔即球與正方形的每一個面有且只有一個公共點〕，球內又有一個內切正方體〔即正方體的每一個頂點都在球的外表上〕，該正方體內又有一個內切球，球內又有一個小內切正方形……如此進行以至無窮，求所有這些正方體的體積之和。【解析】通過球確定兩個相鄰正方體的棱長之間的關系。【解】設第個正方形的棱長為，體積為，那么又第個球的直徑就是第個正方形的棱長，又同時是第個正方體的對角線長。于是：所以故【課堂小練】①數列沒有極限②數列的極限為零③數列的極限是④數列沒有極限A①②B②③④C①②③D①②③④A設有數列，假設存在常數，使恒成立，那么數列必有極限；B假設數列單調遞增，那么此數列必有極限；C假設〔A為確定的常數〕，那么存在常數，使恒成立；D數列的一個極限時零A假設，那么B假設，那么C假設，那么D假設，且，那么4.以下數列極限的式子中，不正確的選項是____________ABCD存在，且，那么=____________和數列都是公差不為零的等差數列，且，那么的值為_____________7.求以下各數列的極限。〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕的值，其中為常數。9.：，求_______________中，假設它的各項和存在，求的范圍。答案1.D2.C3.B4.D5.76.7.(1)1(2)3(3)(4)(5)8.原式=9.10.走近高考：1、〔2008年個上海〕假設數列是首項為1，公比為的無窮等比數列，且各項的和為，那么的值是(B)(A)1.(B)2.(C).(D).2、〔2010上海模擬〕的值為〔B〕〔A〕0〔B〕〔C〕〔D〕13、〔2010上海高考〕將直線l1：nxyn0、l2：xnyn0(nN*)、x軸、y軸圍成的封閉區域的面積記為Sn，

那么______1_________．4、數列的首項，其前項的和為，且，那么〔A〕0〔B〕〔C〕1〔D〕2解析：由,且作差得an＋2＝2an＋1又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1a2＝2故{an}是公比為2的等比數列Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－那么答案：B5、是方程的兩根，假設，求的值。【解析】通過方程的根與系數的關系可以得到數列的遞推式；由等比數列的定義判斷，可以將問題轉化為無窮遞縮數列各項和問題。【答案】所以數列是以為首項，為公比的無窮遞縮等比數列數列是以為首項，為公比的無窮遞縮等比數列又6、無窮等比數列滿足，求首項的變化范圍。【錯解】設等比數列的公比為，由條件有，解方程得，又因為為無窮等比數列，那么所以【錯解分析】錯解中無視了，應注意無窮等比數列中存在的充要條件是公比滿足；而存在的的充要條件是公比滿足或。【正解】設等比數列的公比為，由得，，解得又因為為無窮等比數列，且存在，那么即，解不等式得所以的取值范圍是【課堂總結】回憶本節課所講的有關內容，數列極限常考的幾種類型？每種類型的解決方法？【課后練習】一、根底穩固是等比數列，假設是其前n項和，那么“存在”是“存在”的〔〕〔A〕充分非必要條件〔B〕必要非充分條件〔C〕充要條件〔D〕非充分非必要條件的各項和等于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕列中，，假設，那么的值為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕列公比為，滿足，前n項和為，且它的第四項和第八項之和等于，第五項與第七項之積等于，那么等于〔〕〔A〕〔B〕32〔C〕16〔D〕8化為約分數后，分子和分母之和為〔〕〔A〕119〔B〕129〔C〕141〔D〕139中假設，那么此無窮等比數列的各項和為______________。滿足，那么數列的所有項和是_________二、能力提升8.無窮等比數列的前n項和為，，假設，那么的取值范圍是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕，那么______________10．假設一個熱氣球在第一分鐘時間里上升25m，在以后的第一分鐘里，它上升的高度是它前一分鐘里上升高度的80%，那么這個熱氣球最高能上升_______m。〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕12.求和：〔1〕〔2〕，求的取值范圍。14.如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠A°，斜邊BC長為，途中排列著的內接正方形的面積分別為求：〔1〕無窮個正方形的周長之和；〔2〕無窮個正方形的面積之積。三、創新探究軸正向移動距離到達點，再沿軸正向移動距離到達點，再沿軸正向移動距離到達點，