新課導入第七章

隨機變量及其分布7.5正態分布學習目標復習舊知

1、兩點分布：X01P2、二項分布：3、超幾何分布：X~B(n,p)：情境導學生活中還有許多隨機變量不是離散型的隨機變量，例如：①小明上學途中等公交車的時間X；②實驗中測量某零件尺寸的誤差Y；③秦皇島5月份的降雨量Z；④某電器的使用壽命；...你還能舉出幾個這樣的例子嗎？連續型隨機變量：

如果隨機變量X的所有取值不可以逐個列舉出來，而是充滿某個區間甚至整個實軸，但取一點的概率為0，我們稱這類變量為連續型隨機變量。情境導學問題1

自動流水線包裝的食鹽，每袋標準質量為400g.由于各種不可控制的因素，任意抽取一袋食鹽，它的質量與標準質量之間或多或少會存在一定的誤差（實際質量減去標準質量）.用X表示這種誤差，則X是一個連續型隨機變量.檢測人員在一次產品檢驗中，隨機抽取了100袋食鹽，獲得誤差X（單位：g）的觀測值如下：新知探究探究1：

如何描述這100個樣本誤差數據的分布？如何構建適當的概率模型刻畫誤差X的分布？新知探究區間頻數頻率頻率/組距探究1：

如何描述這100個樣本誤差數據的分布？如何構建適當的概率模型刻畫誤差X的分布？新知探究

根據已學的統計知識，可用頻率分布直方圖描述這組誤差數據的分布，如下圖所示.

頻率分布直方圖中每個小矩形的面積表示誤差落在相應區間內的頻率，所有小矩形的面積之和為1.追問1：觀察圖形，你能獲得什么信息？追問2：若數據無限增多且組距無限縮小，那么頻率分布直方圖會有怎么樣的變化？新知生成

若數據無限增多且組距無限縮小，那么頻率分布直方圖的的輪廓形成一條光滑的鐘形曲線，我們稱此曲線為正態密度曲線．特征：①“中間高，兩頭低，左右對稱”②

曲線與x軸一起圍成的面積為1正態密度曲線:新知生成質量誤差的概率密度曲線就是或近似地是以下函數的圖象：正態密度函數:新知生成如圖所示，若隨機變量

X

的概率分布密度函數為f(x),則稱隨機變量X服從正態分布，記為

X~N(μ，σ2).

特別地，當

μ=0，σ=1時，稱隨機變量

X服從標準正態分布.正態分布:若X~N(u,σ2)，則X取值不超過

x

的概率P(X≤x)為圖中區域A的面積，而P(a≤X<b)為區域B的面積.面積即為概率！新知生成在實際中許多隨機現象都服從或近似服從正態分布：在生產中，在正常生產條件下各種產品的質量指標；在測量中，測量結果；在生物學中，同一群體的某一特征，……；在氣象中，某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度以及降雨量等，水文中的水位；服從正態分布的隨機變量叫做正態隨機變量，簡稱正態變量.新知探究探究2：觀察正態曲線及相應的密度函數，正態曲線有哪些特點？特點：(1)非負性：對?x∈R，f(x)>0，圖象在x軸上方;(2)對稱性：曲線是單峰的，關于直線x=μ對稱;(3)最大值：曲線在x=μ處達到峰值;(4)曲線與x軸之間的區域的面積為1;(5)當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸.新知探究探究3：一個正態分布由參數μ和σ完全確定，這兩個參數對正態曲線的形狀有何影響？它們反映正態分布的哪些特征?（1）當參數σ取定值時，觀察μ對正態分布曲線的影響.

若

σ

固定,函數圖像隨μ

值的變化而沿x軸平移,故μ

稱為位置參數；

參數

μ

反映了正態分布的集中位置，可以用均值來估計，故有E(X)=μ.新知探究探究3：一個正態分布由參數μ和σ完全確定，這兩個參數對正態曲線的形狀有何影響？它們反映正態分布的哪些特征?（2）當參數μ取定值時，觀察σ對正態分布曲線的影響.

σ反映了隨機變量分布相對于均值μ的離散程度，可以用標準差來估計，故有D(X)=σ2.

若

μ

固定,σ

大時,曲線“矮胖”；σ

小時,曲線“瘦高”,故稱

σ

為形狀參數。小試牛刀1、下列函數是正態密度函數的是（

）2、已知隨機變量服從正態分布，其正態曲線如圖所示，則總體的均值μ＝_______，方差σ2＝_______.小試牛刀3、(多選)一次教學質量檢測中，甲、乙、丙三科考試成績的正態分布密度曲線如圖所示，下列說法中不正確的是(

)A．甲科總體的標準差最小B．丙科總體的平均數最小C．乙科總體的標準差及平均數都比甲小，比丙大D．甲、乙、丙總體的平均數不相同BCD小試牛刀4、(多選)下面給出的關于正態曲線的4個敘述中，正確的有（

）A.曲線在x軸上方，且與x軸不相交B.當x>μ時，曲線下降，當x<μ時，曲線上升C.當μ一定時，σ越小，總體分布越分散，σ越大，總體分布越集中D.曲線關于直線x＝μ對稱，且當x＝μ時，位于最高點ABD典例剖析例1：李明上學有時坐公交車，有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經數據分析得到：坐公交車平均用時30min，樣本方差為36；騎自行車平均用時34min，樣本方差為4.假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態分布.（1）估計X，Y的分布中的參數；解:(1)

隨機變量X的樣本均值為30，樣本標準差為6;

隨機變量Y的樣本均值為34，樣本標準差為2.

用樣本均值估計參數μ，用樣本標準差估計參數σ，可以得到：典例剖析例1：李明上學有時坐公交車，有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經數據分析得到：坐公交車平均用時30min，樣本方差為36；騎自行車平均用時34min，樣本方差為4.假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態分布.（2）根據（1）中的估計結果，利用信息技術工具畫出X和Y的分布密度曲線；典例剖析例1：李明上學有時坐公交車，有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經數據分析得到：坐公交車平均用時30min，樣本方差為36；騎自行車平均用時34min，樣本方差為4.假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態分布.（3）如果某天有38min可用，李明應選擇哪種交通工具？如果某天只有34min可用，又應該選擇哪種交通工具？請說明理由.(3)Y的密度曲線X的密度曲線

P(X≤38)<P(Y≤38),

P(X≤34)>P(Y≤34).所以,如果有38min可用,那么騎自行車不遲到的概率大,應選擇騎自行車;如果只有34min可用,那么坐公交車不遲到的概率大,應選擇坐公交車.新知探究探究4：正態曲線下的面積規律:(1)X軸與正態曲線所夾面積恒等于1;(2)對稱區域面積相等,即概率相等.新知探究探究4：正態曲線下的面積規律:(3)3σ原則:在實際應用中，服從于正態分布的隨機變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值.典例剖析解：（1）∵ξ～N(1,4)，

∴μ＝1，σ＝2，

P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)

＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827.典例剖析典例剖析歸納提升利用正態分布求概率的兩個方法:(1)對稱法：由于正態曲線是關于直線x＝μ對稱的，且概率的和為1，故關于直線x＝μ對稱的區間概率相等.如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a).(2)“3σ”法：利用X落在區間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內的概率分別是0.6827，0.9545，0.9973求解.鞏固練習鞏固練習2、設離散型隨機變量X~N(0,1),則P(X≤0)=___________