模塊二方程（組）與不等式（組）第四講一元一次不等式（組）及其應(yīng)用知識梳理夯實基礎(chǔ)知識點1：不等式及其基本性質(zhì)1、定義：用不等號（>,≥,<,≤或≠）表示不等關(guān)系的式子叫做不等式。2、基本性質(zhì)性質(zhì)1不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變，即如果，那么性質(zhì)2不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即如果，，那么，性質(zhì)3不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，即如果，，那么，性質(zhì)4如果，那么性質(zhì)5如果，，那么知識點2：一元一次不等式及其解法定義含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1、且不等號兩邊都是整式的不等式叫做一元一次不等式。一般地，能夠使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做這個不等式的解，所有這些解的全體稱為這個不等式的解集。求不等式解集的過程叫做解不等式。解法步驟一般步驟：去分母→去括號→移項→合并同類項→系數(shù)化為1。一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法類似，不同的是當不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)時，不等號方向要改變。解集在數(shù)軸上表示“兩定”定邊界定方向例題：解不等式，并在數(shù)軸上表示解集。解：解集在數(shù)軸上表示為知識點3：一元一次不等式組及其解法定義由幾個含有同一個未知的一元一次不等式組成的不等式組，叫做一元一次不等式組。這幾個一元一次不等式解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。求一元一次不等式組解集的過程叫做解不等式組。解法步驟分別求出每個不等式的解集；在同一數(shù)軸上表示出各個解集，找出所有解集的公共部分；寫出不等式組的解集。解集表示（假設(shè)）不等式組在數(shù)軸上的表示不等式組的解集口訣同大取大同小取小大小小大，中間找.無解大大小小，找不到.知識點4：一元一次不等式的應(yīng)用列不等式解應(yīng)用題的一般步驟審：審清題意，分清題中的已知量、未知量。設(shè)：設(shè)出未知數(shù)。列：根據(jù)題目中的不等關(guān)系，列出不等式。解：解不等式。答：寫出符合題意的答案。不等式的實際問題中，常見關(guān)鍵詞與不等號的關(guān)系常見關(guān)鍵詞符號大于，多于，超過，高于＞小于，少于，不足，低于＜至少，不低于，不小于，不少于≥至多，不超過，不高于，不大于≤直擊中考勝券在握1．（2023·南充中考）滿足的最大整數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【點睛】本題較為簡單，主要是對不等式的理解和最大整數(shù)的理解．2．不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】先解不等式，得到不等式的解集，再在數(shù)軸上表示不等式的解集即可.【詳解】解：，移項得：解得：所以原不等式得解集：．把解集在數(shù)軸上表示如下：故選B【點睛】本題考查的是一元一次不等式的解法，在數(shù)軸上表示不等式的解集，掌握“畫圖時，小于向左拐，大于向右拐”是解本題的關(guān)鍵，注意實心點與空心圈的使用.3．（2021·臨沂中考）已知，下列結(jié)論：①；②；③若，則；④若，則，其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)分別判斷即可．【詳解】解：∵a＞b，則①當a=0時，，故錯誤；②當a＜0，b＜0時，，故錯誤；③若，則，即，故錯誤；④若，則，則，故正確；故選A．【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握不等式兩邊發(fā)生變化時，不等號的變化．4．（2023·岳陽中考）已知不等式組，其解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】解不等式組要先求出兩個不等式的解集，然后依據(jù)解集口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無處找，確定不等式組解集，在數(shù)軸上表示；注意帶有等號的數(shù)在數(shù)軸上用實心表示，沒有等號用空心圈表示，即可得出選項．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為：，在數(shù)軸上表示為：故選：D．【點睛】題目主要考察求解不等式解集、不等式組解集以及解集在數(shù)軸上的表示，難點是對在數(shù)軸上表示實心點和空心圈的區(qū)分．5．（2021·菏澤中考）如果不等式組的解集為，那么的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解不等式組,確定每個不等式的解集,后根據(jù)不等式組的解集的意義,確定m的取值范圍即可.【詳解】∵，解①得x＞2，解②得x＞m，∵不等式組的解集為，根據(jù)大大取大的原則，∴，故選A.【點睛】本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練根據(jù)不等式組的解集確定字母的取值是解題的關(guān)鍵．6．（2023·重慶中考）小明準備用40元錢購買作業(yè)本和簽字筆．已知每個作業(yè)本6元，每支簽字筆2.2元．小明買了7支簽字筆，他最多還可以買的作業(yè)本個數(shù)為（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】設(shè)小明最多還可以買個作業(yè)本，根據(jù)題意列出不等式，利用不等式的正整數(shù)解可得答案．【詳解】解：設(shè)小明最多還可以買個作業(yè)本，則為正整數(shù)，不等式的最大正整數(shù)解是：小明最多還可以買4本作業(yè)本．故選：B．【點睛】本題考查的是一元一次不等式的應(yīng)用，掌握根據(jù)題意列不等式，以及確定不等式的正整數(shù)解是解題的關(guān)鍵．7．（2023·綿陽中考）紅星商店計劃用不超過4200元的資金，購進甲、乙兩種單價分別為60元、100元的商品共50件，據(jù)市場行情，銷售甲、乙商品各一件分別可獲利10元、20元，兩種商品均售完．若所獲利潤大于750元，則該店進貨方案有()A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【答案】C【分析】設(shè)該店購進甲種商品件，則購進乙種商品件，根據(jù)“購進甲乙商品不超過4200元的資金、兩種商品均售完所獲利潤大于750元”列出關(guān)于的不等式組，解之求得整數(shù)的值即可得出答案．【詳解】解：設(shè)該店購進甲種商品件，則購進乙種商品件，根據(jù)題意，得：，解得：，∵為整數(shù)，∴、21、22、23、24，∴該店進貨方案有5種，故選C．【點睛】本題主要考查一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目蘊含的不等關(guān)系，并據(jù)此列出不等式組．8．為了治理環(huán)境，九年級部分同學去植樹，若每人平均植樹7棵，還剩9棵；若每人平均植樹9棵．則有1名同學植樹的棵樹小于8棵．若設(shè)同學人數(shù)為x人，下列各項能準確的求出同學人數(shù)與種植的樹木的數(shù)量的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得種植的樹木的數(shù)量為（7x+9）棵，再根據(jù)關(guān)鍵語句“每人平均植樹9棵．則有1名同學植樹的棵樹小于8棵”列出不等式組即可．【詳解】解：設(shè)同學人數(shù)為x人，則種植的樹木的數(shù)量為（7x+9）棵，由題意得：，故選：C．【點睛】本題主要考查一元一次不等式組，關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，然后得出相應(yīng)的不等式組即可．9．（2023·日照一模）若關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜﹣6 B．a(chǎn)≤﹣6 C．a(chǎn)＞﹣6 D．a(chǎn)≥﹣6【答案】B【分析】利用不等式組取解集的方法，根據(jù)不等式組無解求出a的取值范圍即可．【詳解】解：，解不等式①得，解不等式②得，∵不等式組無解，∴解得：故選B．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的解集，熟知一元一次不等式組的解集的確定方法“同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無處找”是解題的關(guān)鍵.10．（2023·南通中考）若關(guān)于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣不等式組的整數(shù)解個數(shù)即可得出答案．【詳解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，∵不等式組只有3個整數(shù)解，即5，6，7，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次不等式，并根據(jù)不等式組整數(shù)解的個數(shù)得出關(guān)于的不等式組．11．（2023·廣西田東一模）某工廠為了要在規(guī)定期限內(nèi)完成2160個零件的任務(wù)，于是安排15名工人每人每天加工a個零件（a為整數(shù)），開工若干天后，其中3人外出培訓，若剩下的工人每人每天多加工2個零件，則不能按期完成這次任務(wù)，由此可知a的值至少為（）A．12 B．10 C．9 D．8【答案】C【分析】根據(jù)15名工人的前期工作量+12名工人的后期工作量＜2160列出不等式并解答；【詳解】設(shè)原計劃n天完成，開工x天后3人外出培訓，則15an=2160，得到an=144，∴，整理的：，∵，∴將其代入化簡得：，即，整理得：，∵，∴，∴，∴至少為9．故選C．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，準確計算是解題的關(guān)鍵．12．（2023·重慶中考）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于y的分式方程的解是正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（）A．5 B．8 C．12 D．15【答案】B【分析】先計算不等式組的解集，根據(jù)“同大取大”原則，得到解得，再解分式方程得到，根據(jù)分式方程的解是正整數(shù)，得到，且是2的倍數(shù)，據(jù)此解得所有符合條件的整數(shù)a的值，最后求和．【詳解】解：解不等式①得，，解不等式②得，不等式組的解集為：解分式方程得整理得，則分式方程的解是正整數(shù)，，且是2的倍數(shù)，，且是2的倍數(shù)，整數(shù)a的值為-1,1,3,5,故選：．【點睛】本題考查解含參數(shù)的一元一次不等式、解分式方程等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．13．（2023·張家界中考）不等式的正整數(shù)解為______．【答案】3【分析】直接解出各個不等式的解集，再取公共部分，再找正整數(shù)解即可．【詳解】解：由，解得：，由，原不等式的解集是：．故不等式的正整數(shù)解為：，故答案是：．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組的解集和求不等式組的正整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是：掌握解不等式組的基本運算法則，求出解集后，找出滿足條件的正整數(shù)解即可．14．（2023·自貢中考）請寫出一個滿足不等式的整數(shù)解_________．【答案】6（答案不唯一）【分析】先估算出的值約為1.4，再解不等式即可．【詳解】解：∵，∴，∴．所以6是該不等式的其中一個整數(shù)解（答案不唯一，所有不小于6的整數(shù)都是該不等式的整數(shù)解）；故答案為：6（答案不唯一）．【點睛】本題考查了解一元一次不等式、不等式的整數(shù)解、二次根式的值的估算等內(nèi)容，要求學生在理解相關(guān)概念的前提下能靈活運用解決問題，本題答案不唯一，有一定的開放性．15．（2023·通遼中考）若關(guān)于x的不等式組，有且只有2個整數(shù)解，則a的取值范圍是__________．【答案】-1<a≤1【分析】分別求出兩個不等式的解集，根據(jù)不等式組只有2個整數(shù)解列不等式即可得答案．【詳解】解不等式得：，解不等式得：，∴不等式的解集為1≤x＜，∵不等式組只有2個整數(shù)解，∴不等式組的整數(shù)解為1、2，∴2＜≤3，解得：-1＜a≤1，故答案為：-1＜a≤1【點睛】本題考查的是一元一次不等式組的整數(shù)解，正確求解不等式組，根據(jù)x的整數(shù)解得出關(guān)于a的不等式組是解題關(guān)鍵．16．（2023·綏化中考）某學校計劃為“建黨百年，銘記黨史”演講比賽購買獎品．已知購買2個種獎品和4個種獎品共需100元；購買5個種獎品和2個種獎品共需130元．學校準備購買兩種獎品共20個，且種獎品的數(shù)量不小于種獎品數(shù)量的，則在購買方案中最少費用是_____元．【答案】330【分析】設(shè)A種獎品的單價為x元，B種獎品的單價為y元，根據(jù)“購買2個A種獎品和4個種獎品共需100元；購買5個A種獎品和2個種獎品共需130元”，即可得出關(guān)于A，B的二元一次方程組，在設(shè)購買A種獎品m個，則購買B種獎品(20-m)個，根據(jù)購買A種獎品的數(shù)量不少于B種獎品數(shù)量的，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，再結(jié)合費用總量列出一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)A種獎品的單價為x元，B種獎品的單價為y元，依題意，得：，解得：∴A種獎品的單價為20元，B種獎品的單價為15元．設(shè)購買A種獎品m個，則購買B種獎品個，根據(jù)題意得到不等式：m≥(20-m)，解得：m≥，∴≤m≤20，設(shè)總費用為W，根據(jù)題意得：W=20m+15(20-m)=5m+300，∵k=5>0，∴W隨m的減小而減小，∴當m=6時，W有最小值，∴W=5×6+300=330元則在購買方案中最少費用是330元．故答案為：330．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式與一次函數(shù)．17．（2023·山西中考）下面是小明同學解不等式的過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解：第一步第二步第三步第四步第五步任務(wù)一：填空：①以上解題過程中，第二步是依據(jù)______________（運算律）進行變形的；②第__________步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是________________；任務(wù)二：請直接寫出該不等式的正確解集．【答案】任務(wù)一：①乘法分配律（或分配律）；②五；不等式兩邊都除以－5，不等號的方向沒有改變（或不符合不等式的性質(zhì)3）；任務(wù)二：【解析】①乘法分配律（或分配律）②五不等式兩邊都除以－5，不等號的方向沒有改變（或不符合不等式的性質(zhì)3）；任務(wù)二：不等式兩邊都除以－5，改變不等號的方向得：．【點睛】本題主要考查實數(shù)的運算，不等式的性質(zhì)等知識點，熟練掌握實數(shù)的運算法則以及不等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18.（2023·紹興中考）解不等式：【答案】【解析】19．（2023·成都中考）解不等式組：【答案】，由①得：x＞2.5，由②得：x≤4，則不等式組的解集為．20．（2021·連云港中考）為了做好防疫工作，學校準備購進一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．（1）這兩種消毒液的單價各是多少元？（2）學校準備購進這兩種消毒液共90瓶，且B型消毒液的數(shù)量不少于A型消毒液數(shù)量的，請設(shè)計出最省錢的購買方案，并求出最少費用．【答案】（1）種消毒液的單價是7元，型消毒液的單價是9元；（2）購進種消毒液67瓶，購進種23瓶，最少費用為676元【分析】（1）根據(jù)題中條件列出二元一次方程組，求解即可；（2）利用由（1）求出的兩種消毒液的單價，表示出購買的費用的表達式，根據(jù)購買兩種消毒液瓶數(shù)之間的關(guān)系，求出引進表示瓶數(shù)的未知量的范圍，即可確定方案．【詳解】解：（1）設(shè)種消毒液的單價是元，型消毒液的單價是元．由題意得：，解之得，，答：種消毒液的單價是7元，型消毒液的單價是9元．（2）設(shè)購進種消毒液瓶，則購進種瓶，購買費用為元．則，∴隨著的增大而減小，最大時，有最小值．又，∴．由于是整數(shù)，最大值為67，即當時，最省錢，最少費用為元．此時，．最省錢的購買方案是購進種消毒液67瓶，購進種23瓶．【點睛】本題考查了二元一次不等式組的求解及利用一次函數(shù)的增減性來解決生活中的優(yōu)化決策問題，解題的關(guān)鍵是：仔細審題，找到題中的等量關(guān)系，建立等式進行求解．21．（2023·云南·昆明市第三中學模擬預測）某商場計劃購進一批甲、乙兩種玩具，已知一件甲種玩具的進價與一件乙種玩具的進價的和為40元，用150元購進甲種玩具的件數(shù)與用90元購進乙種玩具的件數(shù)相同．（1）求每件甲種、乙種玩具的進價分別是多少元？（2）商場用不超過1200元的資金購進甲、乙兩種玩具共50件，其中甲種玩具的件數(shù)不少于乙種玩具的件數(shù)，若甲玩具售價40元，乙玩具售價20元，當玩具售完后，要使利潤最大，應(yīng)怎樣進貨？（3）在（2）的條件下，每賣一件甲玩具就捐款給希望小學m元（8＜m＜12），當玩具售完后，要使利潤最大，對甲玩具應(yīng)怎樣進貨？【答案】（1）甲種玩具進價25元/件，乙種玩具進價為15元/件；（2）購進甲種玩具45件，購進乙種玩具5件利潤最大；（3）當8＜m＜10時，購進甲種玩具45件，購進乙種玩具5件利潤最大；當10＜m＜12時，購進甲種玩具25件，購進乙種玩具25件利潤最大；當m＝10時，不管x取何值，W＝250【分析】（1）設(shè)甲種玩具進價a元/件，則乙種玩具進價為（40﹣a）元/件，根據(jù)“用150元購進甲種玩具的件數(shù)與用90元購進乙種玩具的件數(shù)相同”可列方程求解；（2）設(shè)購進甲種玩具x件，則購進乙種玩具（50﹣x）件，根據(jù)甲種玩具的件數(shù)不少于乙種玩具的件數(shù)，商場用不超過1200元的資金購進甲、乙兩種玩具，可列出不等式組求解，解不等式組求出x的取值范圍；設(shè)總利潤為W元，再根據(jù)“利潤＝售價﹣成本”，求出W與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)題意求出利潤W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合8＜m＜12分類討論即可．【詳解】（1）設(shè)甲種玩具進價a元/件，則乙種玩具進價為（40﹣a）元/件，根據(jù)題意得：，解得a＝25，經(jīng)檢驗，a＝25是原方程的解并滿足題意，當a=25時，40?a=40?25=15，所以甲種玩具進價25元/件，乙種玩具進價為15元/件；（2）設(shè)購進甲種玩具x件，則購進乙種玩具（50﹣x）件，根據(jù)題意得：，解得25≤x≤45；設(shè)總利潤為W元，根據(jù)題意得：W＝（40﹣25）x+（20﹣15）×（50﹣x）＝10x+250，∵10＞0，∴W隨x的增大而增大，∴當x＝45時，利潤最大，此時50?x=5，故購進甲種玩具45件，購進乙種玩具5件利潤最大；（3）由題意可得，W＝（40﹣25）x+（20﹣15）×（50﹣x）﹣mx＝（10﹣m）x+250；∵8＜m＜12，①當8＜m＜10時，10﹣m＞0，∴W隨x的增大而增大，即購進甲種玩具45件，購進乙種玩具5件利潤最大；②當10＜m＜12時，10﹣m＜0，∴W隨x的增大而減小，即購進甲種玩具25件，購進乙種玩具25件利潤最大；③當m＝10時，不管x取何值，W＝250．【點睛】本題是方程