第十二講圓

專項一圓的相關(guān)概念及性質(zhì)

知識清單

1.圓的定義及其相關(guān)概念

圓：如圖1,在一個平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端點0旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所

形成的圖形叫做.其固定的端點。叫做線段。4叫做.

弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做,如圖1,AC,BC是弦,c圖?

8c是直徑.

弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧

都叫做半圓.大于半圓的弧叫做（用三個點表示，如圖1中的旃C）,小于半圓的弧叫做

（如圖1中的注C）.

圓心角：頂點在的角叫做圓心角（如圖1中的/A08是才3所對的圓心角）.

圓周角：頂點在上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角（如圖1中的NACB是也8所對的圓周角）.

2.圓是軸對稱圖形，對稱軸是,由此可得

垂徑定理：垂直于弦的直徑弦，并且弦所對的兩條弧.

推論：平分弦（不是）的直徑______弦，并且弦所對的兩條弧.

3.圓是中心對稱圖形，對稱中心是,由此可得

在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中如果有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量

4.圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，即N84C=LNBOC（如圖2）.

2

推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等，即N8AC=/B￡>C（如圖2）.

推論2:半圓（或直徑）所對的圓周角是,即/BC4=90。（如圖2）;90。的圓周角

所對的弦是直徑.

圖2

推論3:圓內(nèi)接四邊形的對角.

考點例析

例1往水平放置的半徑為13cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面圖如圖1所示.若水面寬度AB=

24cm,則水的最大深度為（）

A.5cmB.8cmC.10cmD.12cm

分析：如圖1,作與弦AB垂直的半徑，先利用垂徑定理求出8。的長，再根據(jù)勾股定理求出。。的長，

進而得出C。的長.

歸納：過圓心作弦的垂線可以構(gòu)造垂徑定理基本圖形，常結(jié)合勾股定理求線段長.在圖1所示的A8,0B,

OD,CD四個量中，OB=OO+C￡>,（當J+OfP=，利用這兩個關(guān)系式，知道其中任何兩個，其余

兩個都能求出來.

例2如圖2,四邊形4BCZ）是。0的內(nèi)接四邊形，ZADC=150°,弦4c=2,則。O的半徑等于.

圖2

分析：根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得N4BC的度數(shù)，連接OA,OC,由圓周角定理求出NAOC的度數(shù)，判

斷△。/1。的形狀后，可求。。的半徑.

例3如圖3,已知AB是。。的直徑，NACQ是AO所對的圓周角，ZACD=30°.

（1）求ND4B的度數(shù)；

（2）過點。作。E_LAB,垂足為E,OE的延長線交。。于點F.若48=4,求OF的長.

圖3

分析：（1）連接8。，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得NB=/AC￡>=30。，再由A3是。。的直徑，可得/

AOB=90。，進而可求/D48的度數(shù)；（2）在RSAB0中，根據(jù)30。角所對的直角邊等于斜邊的一半可得

AD的長，在R3AOE中，DE-ADsinZDAE,再結(jié)合垂徑定理可求出。尸的長.

解：

歸納：在圓中經(jīng)常構(gòu)造直徑所對的圓周角，利用圓周角定理與直角三角形的性質(zhì)解題.

跟蹤訓練

1.如圖，AB為。。的直徑，C,。為。。上的兩點.若NA8D=54。，則NC的度數(shù)為（）

A.34°B.36°C.46°D.54°

第1題圖

2.尸是。。內(nèi)一點，過點尸的最長弦的長為10cm,最短弦的長為6cm,則。。的長為（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

3.如圖，四邊形ABC。為。。的內(nèi)接四邊形，若四邊形為菱形，則N84D的度數(shù)為（）

A.45°B.60°C.72°D.36°

4.如圖，在RtA48C中，NABC=90。，乙4=32。，點B,C在。O上，邊A8,4c分別交。。于。，E

兩點，點8是CO的中點，則NABE=

5.如圖，為。O的弦，D,C為的三等分點，AC//BE.

(1)求證：ZA=ZE；

(2)若3C=3,BE=5,求CE的長.

第5題圖

專項二與圓有關(guān)的位置關(guān)系

知識清單

1.點與圓的位置關(guān)系

設。。的半徑為r,點P到圓心O的距離為d,則有

點P在圓外___r;

點P在=dr：

點P在圓內(nèi)G>dr.

2.直線與圓的位置關(guān)系

設。。的半徑為r,圓心O到直線1的距離為d,則有

直線1與。0相交Od___r;

直線1與。0相切<=>d—r;

直線］與0O____=d___r.

3.切線的性質(zhì)

定理洞的切線于過切點的半徑.

4.切線的判定

(1)和圓只有個公共點的直線是圓的切線.

(2)經(jīng)過半徑的外端并且于這條半徑的直線是圓的切線.

(3)如果圓心到一條直線的距離圓的半徑，那么這條直線是圓的切線.

5.切線長定理(選學)

切線長:經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間叫做這點到圓的切線長.

定理:從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長,這一點和圓心的連線兩條切線的夾角.

6.三角形的外接圓與內(nèi)切圓

外接圓內(nèi)切圓

圓心名稱三角形的外心三角形的內(nèi)心

圓心位置三角形三條邊的垂直平分三角形三條角平分線

線的交點的交點

性質(zhì)三角形的外心到三角形三三角形的內(nèi)心到三角

個頂點的距離相等形三邊的距離相等

考點例析

例1如圖1-①，正方形ABCQ的邊長為4,。。的半徑為1.若。。在正方形ABCQ內(nèi)平移(。。可以與

該正方形的邊相切),則點A到。。上的點的距離的最大值為.

①②

圖1

分析：如圖1-②，當。。平移最靠近點C,即當。。與CB,CD相切時，點A到。0上的點。的距離最

大，結(jié)合切線的性質(zhì)定理和切線長定理求解.

例2如圖2,在RtAABC中，ZACB=90°,E是BC的中點，以AC為直徑的。。與A8邊交于點。，連

接。E.

（1）判斷直線。E與。0的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若CO=3,DE=~,求（DO的直徑.

2

分析：（1）連接0D,根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，可證/E￡>0=90。，從而

判定DE與。。相切；（2）先在RtABOC中求出8C,8￡）的長，再借助相似三角形求出AC的長，即得。

。的直徑.

解：

歸納：切線的判定方法主要有兩種：若直線與圓有交點，則連接過交點的半徑，證其與直線垂直（連半徑,

證垂直）；若不能確定直線與圓有交點，則過圓心向直線作垂線段，證圓心到直線的距離等于半徑（作垂

線，證半徑）.

跟蹤訓練

1.如圖，NBAC=36。，點。在邊4B上，。0與邊AC相切于點￡）,交邊AB于點E,F,連接尸￡）,則/

4五。的度數(shù)為（）

A.27°B.29°C.35°D.37°

2.如圖，PA,PB是。。的切線，A,8是切點.若NP=70。，則NAB。等于（）

A.30°B.35°C.45°D.55°

3.如圖，F(xiàn)A,GB,HC,ID,JE是五邊形ABCDE的外接圓的切線，則NBAF+/C8G+/OCH+NEO/+

ZAEJ=

J

第3題圖

4.如圖①，ZkABC內(nèi)接于。0,直線MN與。。相切于點￡>,0。與BC相交于點E,BC//MN.

(1)求證：ZBAC=ZD0C；

(2)如圖②，若AC是。。的直徑，E是。。的中點，。。的半徑為4,求AE的長.

第4題圖

5.如圖，AABC內(nèi)接于。0,A8是。。的直徑，E為AB上一點，BE=BC,延長CE交4。于點￡>,AD

—AC.

(1)求證：AO是。。的切線；

(2)若tan/ACE=l,0E=3,求BC的長.

3

第5題圖

專項三弧長與扇形面積的計算

知識清單

1.弧長公式：在半徑為R的圓中，"。的圓心角所對的弧長/=.

2.扇形面積公式：在半徑為R的圓中，圓心角為〃。的扇形的面積S=

在半徑為R的圓中，圓心角所對的弧長為/的扇形的面積5=.

考點例析

例1如圖1,傳送帶的一個轉(zhuǎn)動輪的半徑為18cm,轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)”。，傳送帶上的物品A被傳送12兀cm,則〃

分析：物品A被傳送的距離等于轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)〃。的弧長，根據(jù)弧長公式求弧所對的圓心角的度數(shù)即為“值.

例2如圖2,正六邊形的邊長為2,以A為圓心，AC的長為半徑畫弧，得EC,連接AC,AE,

則圖中陰影部分的面積為（）

出2后

A.2兀B.4兀C.兀D.-----兀

33

圖2

分析：陰影部分是以AC為半徑、以/C4E為圓心角的扇形，借助正六邊形的性質(zhì)，分別求出AC的長與

/C4E的度數(shù)，根據(jù)扇形的面積公式計算.

例3設圓錐的底面圓半徑為r,圓錐的母線長為/,滿足2丹/=6,這樣的圓錐的側(cè)面積（）

99

A.有最大值一兀B.有最小值一兀

44

99

C.有最大值二兀D.有最小值三兀

22

分析：根據(jù)扇形的面積公式結(jié)合關(guān)系式2r+/=6,列出圓錐的側(cè)面積與r之間的函數(shù)解析式，再通過函數(shù)的

性質(zhì)求圓錐的側(cè)面積的最大值或最小值.

歸納：對于圓錐，要熟悉立體圖形與展開圖（平面圖形）之間的對應關(guān)系：圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，圓

錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面周長是扇形的弧長.

跟蹤訓練

1.圖①是一把扇形書法紙扇，圖②是其完全打開后的示意圖，外側(cè)兩竹條0A和0B的夾角為150。，OA

的長為30cm,貼紙部分的寬4c為18cm,則CO的長為（）

A.5無cmB.10KcmC.20ncmD.25ncm

①②

第1題圖

2.如圖，一根5m長的繩子，一端拴在圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只小羊A（羊只能在草地上活動）,

那么小羊A在草地上的最大活動區(qū)域面積是（）

17,77,25,

A.——7tmB.——7tm-C.——7tm-D.——7tm2

6

第2題圖

3.已知圓錐的母線長為10,高為8,則該圓錐的側(cè)面展開圖（扇形）的弧長為（用含兀的代數(shù)式

表示），圓心角為度.

4.如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,8,。均在小正方形的頂點上,且點B,C在AO

專項四正多邊形與圓

知識清單

1.正多邊形和圓的關(guān)系：只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以做出這個圓的,這個圓就是這

個正多邊形的

2.與正多邊形有關(guān)的概念

180。(〃-2)

如圖，已知正〃邊形的邊長為a,半徑為R,則這個正〃邊形的每個內(nèi)角為

n

中心角a=,邊心距r=,周長面積S=—“ar.

考點例析

例1如圖1,面積為18的正方形A8C。內(nèi)接于。0,則AB的長度為（）

99

B.—兀D.—7T

24

圖1

分析：連接OA,0B,則AOAB為等腰直角三角形.由正方形ABC。的面積為18,可求得邊長AB,進而

可得半徑OA,根據(jù)弧長公式可求AB的長.

例2（2021?河北）如圖2,的半徑為6,將該圓周12等分后得到表盤模型，其中整鐘點為A“（〃為1?

12的整數(shù)），過點必作。。的切線交4A”的延長線于點P.

（1）通過計算比較直徑和劣弧4Al的長度哪個更長；

（2）連接AAu，則44”和南1有什么特殊位置關(guān)系？請簡要說明理由；

（3）求切線長以7的值.

圖2

分析：（1）利用弧長公式求劣弧的長度，與直徑比較大小；（2）先直覺觀察猜想結(jié)論，再利用圓

周角定理證明；（3）由切線的性質(zhì)可得RtAB4IA7,解此三角形可得叫7的值.

解：

跟蹤訓練

1.（2021?貴陽）如圖，。。與正五邊形ABCDE的兩邊4E,CO相切于月，C兩點，則NAOC的度數(shù)是

（）

2.（2021?綏化）邊長為4cm的正六邊形，它的外接圓與內(nèi)切圓半徑的比值是.

3.（2021?湘潭）德國著名的天文學家開普勒說過：“幾何學里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金

分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦.”

如圖①，點C把線段A8分成兩部分，如果J=X二M.618,那么稱點C為線段AB的黃金分割點.

AC2

第3題圖

（1）特例感知：在圖①中，若AB=100,求AC的長；（結(jié)果保留根號）

（2）知識探究：如圖②，作。。的內(nèi)接正五邊形；

①作兩條相互垂直的直徑MMAh

②作ON的中點P,以P為圓心，物為半徑畫弧交。何于點。；

③以點A為圓心，A。為半徑，在。。上連續(xù)截取等弧，使弦AB=BC=C￡>=O￡=AQ,連接AE；

則五邊形ABCDE為正五邊形.

在該正五邊形作法中，點。是否為線段OM的黃金分割點？請說明理由；

（3）拓展應用：國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征，是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，與黃金分割

有著密切的聯(lián)系.

延長題（2）中的正五邊形A8CDE的每條邊，相交可得到五角星，擺正后如圖③，點E是線段PO的黃金

分割點，請利用題中的條件，求cos72。的值.

專項五圓中的數(shù)學思想

1.方程思想

例1（2021?西寧）如圖1,AB是。。的直徑，弦于點E,CD=10,BE=2,則。。的半徑OC

分析：先由垂徑定理求得CE的長，再在RtAOCE中由勾股定理得出關(guān)于半徑的方程，解方程即可.

2.分類討論思想

例2（2021?朝陽）已知。。的半徑是7,A8是。。的弦，且A8的長為76，則弦A8所對的圓周角的

度數(shù)為.

分析：弦A8所對圓周角的頂點可能在優(yōu)弧上，也可能在劣弧上，所以需要分兩種情況討論.解答時，利

用垂徑定理構(gòu)造直角三角形，借助三角函數(shù)求弦A8所對的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理及其推論求

弦AB所對的圓周角的度數(shù).

3.轉(zhuǎn)化思想

例3（2021?棗莊）如圖2,正方形的邊長為2,。為對角線的交點，點E,F分別為BC,的中

點.以C為圓心，2為半徑作B。，再分別以E,尸為圓心，1為半徑作圓弧8。，OD,則圖中陰影部分

的面積為（）

A.71-1B.花-3C.兀-2D.4-71

圖2

分析：連接則。。與線段OD圍成的圖形面積等于OB與線段OB圍成的圖形面積，故陰影部分的面

積等于扇形CBD與直角三角形CBD的面積之差.

歸納：求不規(guī)則圖形的面積，經(jīng)常通過割補法或等積法將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，再利用面積公式進行計算.

跟蹤訓練

1.（2021.興安盟）如圖，兩個半徑長均為后的直角扇形的圓心分別在對方的圓弧上，扇形CFO的圓心

C是A8的中點，且扇形CFO繞著點C旋轉(zhuǎn)，半徑AE,CF交于點G,半徑BE,CD交于點、H,則圖中

陰影部分的面積等于（）

71乃

A.--1B.--2C.it-1D.兀-2

22

2.（2021?青海）點P是非圓上一點，若點P到。。上的點的最小距離是4cm,最大距離是9cm,則。O

的半徑是.

3.（2021?綏化）一條弧所對的圓心角為135。，弧長等于半徑為5cm的圓的周長的3倍，則這條弧的半徑

為cm.

參考答案

專項一圓的相關(guān)概念及性質(zhì)

例1B例22

例3(1)連接BO.因為NACQ=30。，所以NB=NACQ=30。.

因為AB是。。的直徑，所以/ADB=90。.所以ND42=90。-NB=60。.

(2)因為NAQB=90。，NB=30。，AB=4,所以AQ=LAB=2.

2

因為ND4B=60。，DELAB,且AB是直徑，所以EF=DE=AO-sin6(r=6.

所以DF=2DE=2-Ji.

1.B2.B3.B4.13°

5.(1)證明：因為4C〃BE,所以NE=NACD

因為。，C為ACB的三等分點，所以BC=CD=AO.

所以NACO=NA.所以NE=/A.

(2)解：由(1)知BC=C￡>=A。，所以

所以8E=B￡>=5,BC=CD=3,t^CBD^/\BDE.

所以需BD35區(qū)”225

=---,即nn一=----，解得DE=—

DE5DE3

所以CE=DE-CD=—-3=—.

33

專項二與圓有關(guān)的位置關(guān)系

例13A/2+1

例2(1)證明：連接0D.

因為AC是。。的直徑，所以NAOC=90。，所以N8OC=90。.

因為E是BC的中點，所以DE=CE=8E,所以/EDC=/ECD

XOD=OC,所以/OOC=NOCO.

因為NOCC+N￡>CE=NACB=90。，所以NOQC+NECC=90。，即NEDO=90。.所以。E_LO￡).

又0。為。。的半徑，所以。E與。。相切.

(2)解：由(1),得NBZ)C=90。，DE=CE=BE.

因為OE=』，所以BC=5.所以BD=jBC2-CD2=，52—32=4.

2

因為NBC4=/BOC=90。，NB=NB,所以△BCAs/^BOC.

RCAC51515

所以0=2)，即土=士.解得AC=2.所以。。的直徑為u.

CDBD3444

1.A2.B3.180

4.(1)證明：連接OB.

因為直線MN與。。相切于點。，所以OD上MN.

因為BC〃MN,所以ODLBC.所以30=CD.所以NBOD=NCOD.

因為NBAC=，/BOC,所以NBAC=/OOC.

2

(2)解：因為E是。。的中點，所以0E=￡)E=2.

在RtAOCE中，CE=y]OC2-OE2=742-22=2百.

由(1)知0E_L8C,所以BE=CE=26.

又。是AC的中點，所以0E是A4BC的中位線.所以A8=2OE=4.

因為AC是。。的直徑，所以NA8C=90。.

在Rt^ABE中，AE=yjAB2+BE2="+(2&『=277.

5.(1)證明：因為AB是。0的直徑，所以乙4cB=90。，即/ACE+/BCE=90。.

因為AD=AC,BE=BC,所以NACE=NO,NBCE=NBEC.

又/BEC=NAED,所以NAEQ+NO=90。.所以ND4E=90。，即A￡>_LAE.

因為OA是(DO的半徑，所以A。是。。的切線.

(2)解：由(1),得tanNACE=tan。=」，設AE=a,則AD=AC=3a.

3

因為OE=3,所以。4=4+3,AB=2a+6,BE=BC=a+3+3^a+6.

在RSABC中，由勾股定理，得AB2=BC2+4C2,即(2“+6)2=(a+6)2+(3a)2,解得0=0(舍去)，

改=2.所以BC=a+6=8.

專項三弧長與扇形面積的計算

例1120例2A例3C

5乃

1.B2.B3.12兀2164.

4

專項四