2024年昌吉州一中高三數學3月份考試卷（試卷總分150分考試時間120分鐘）2024.03一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．若，則（

）A． B． C． D．13．已知平面向量，，若，則的值為（）A．2B．C． D．4．函數在上嚴格增，設，若，則的取值范圍為（

）A．B．C． D．5．歷時天嫦娥五號成功攜帶月球樣品返回地球，標志著中國航天向前邁出一大步．其中年月日晚，嫦娥五號成功進行首次近月制動，進入一個大橢圓軌道．該橢圓形軌道以月球球心為一個焦點，若其近月點(離月球表面最近的點)與月球表面距離為公里，遠月點(離月球表面最遠的點)與月球表面距離為公里，并且，，在同一直線上．已知月球的半徑為公里，則該橢圓形軌道的離心率為（

）A． B． C． D．6．已知，則（

）A． B． C． D．7．如圖，拋物線的焦點為，斜率為的直線與軸、拋物線相交于（自下而上），且.記的面積分別為，則是成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則的值等于A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知，，則（

）A．

B．

C．

D．10．已知函數，且，則（

）A．B．為非奇非偶函數C．函數的值域為D．不等式的解集為11．新能源汽車相比較傳統汽車具有節能環保?乘坐舒適?操控性好?使用成本低等優勢，近幾年在我國得到越來越多消費者的青睞.某品牌新能源汽車2023年上半年的銷量如下表：月份x123456銷量y（萬輛）11.712.413.813.214.615.3針對上表數據，下列說法正確的有（

）A．銷量的極差為3.6B．銷量的分位數是13.2C．銷量的平均數與中位數相等D．若銷量關于月份的回歸方程為，則三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分．12．已知體育器材室有4個籃球、2個足球和1個排球，某班上體育課要從中選4個球，規定每種球至少選1個，則不同的選法共有．（請用數字作答）13．若圓臺的上、下底面圓半徑分別為1、2，、分別為圓臺上下底面圓心.若該圓臺存在內切球，則該圓臺的體積為.14．已知函數，若函數有且僅有兩個零點，則實數b的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．請根據答題卡題號及分值在各題目的答題區域內作答，超出答題區域的答案無效．15．在中，內角的對邊分別為，且．(1)求角的大小；(2)是線段上的點，且，求的面積．16．如圖，在多面體中，平面平面，四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，.(1)求直線與平面所成角的余弦值．(2)線段上是否存在點，使得直線平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．17．設是等比數列，公比大于，其前項和為，是等差數列.已知，，，.(1)求和的通項公式；(2)設，求的前項和.18．某企業進行技術改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比上一年增加的利潤；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比上一年增加5千元.兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息.若銀行兩種形式的貸款都按年息的復利計算，試比較兩種方案中，哪種使該企業獲利更多?用數據說明理由.（注:計算過程中可取）19．如圖，在正三棱柱中，是的中點，是線段上的動點，且.（1）若，求證：；（2）求二面角的余弦值；（3）若直線與平面所成角的大小為，求的最大值1．B【分析】先化簡集合，再由交集運算可得.【詳解】，又，則.故選：B.2．A【解析】化簡復數為，結合復數的除法運算法則，即可求解.【詳解】由題意，復數，可得.故選：A.【點睛】本題考查了復數的運算法則的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．3．B【分析】根據向量線性運算的坐標表示與向量垂直的坐標表示求解即可【詳解】因為，，所以，又因為，所以，即，解得，故選：B4．A【分析】利用函數的單調性首先縮小范圍，即得出的范圍，然后由的不同取值范圍確定的范圍，檢驗不等式是否成立即可得．【詳解】在上嚴格增，所以，，，則，，，即，解得或．時，，，，不等式不成立，時，，，，成立．所以．故選：A．5．B【解析】由已知可得衛星的近地點、遠地點離地心的距離分別為，則，進而可求解.【詳解】由已知可得衛星的近地點、遠地點離地心的距離分別為設軌道的標準方程為所以解得，所以橢圓形軌道的離心率為故選：B6．C【分析】由，易得，，從而可求出，即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，即，所以，即，所以，所以或，所以或，，當時，，不合題意，舍去，當時，，所以.故選：C.7．C【分析】根據向量垂直的坐標關系得，進而聯立直線與拋物線方程，根據韋達定理可得，進而根據面積關系即可求解，進而可判斷.【詳解】由題可得，點在拋物線上.設，則.因為，所以，所以.設直線的方程為，與拋物線方程聯立得①，所以，故②，聯立①②可得，則.又由，.又因為，則，解得，所以（舍），所以是成立的充要條件.故選：C8．C【分析】由正弦定理及條件得到，于是可得，再根據平方關系可得．【詳解】由及正弦定理，得，整理得．又，所以，由于，所以，所以．故選C．【點睛】正余弦定理常與三角變換結合在一起考查，考查綜合運用知識解決問題的能力，解題時要注意公式的靈活選擇和應用．另外，在三角形中特別要注意三個內角間的關系，再結合誘導公式靈活應用．9．AD【分析】因為，，所以，由均值不等式可判斷A；由可判斷B；由，由均值不等式可判斷C；，令，則，令，對函數求導，得到函數的單調性，可判斷D.【詳解】因為，，所以，選項A：因為，所以，當且僅當時等號成立，故正確；選項B：因為，當且僅當時等號成立，故不正確；選項C：因為，所以，當且僅當時等號成立，故不正確；選項D：，令，則，令，所以，所以在上單調遞增，所以，所以，故D正確.故選：AD.10．ACD【分析】由求得可判斷A；利用奇偶性定義可判斷B；由的范圍可得的范圍，可判斷C；利用的單調性可判斷D.【詳解】，求得，A正確；時，，∵，∴為奇函數，B不正確；∵，∴，∴，，∴，C正確；，因為是上單調遞增函數，是上單調遞減函數，所以是上單調遞增函數，∴，∴，∴，∴解集為，D正確.故選：ACD.11．ACD【分析】將銷量按升序排列，對于ABC：根據統計相關知識逐項分析判斷；對于D：根據回歸直線必過樣本中心點運算求解.【詳解】將銷量按升序排列可得11.7，12.4，13.2，13.8，14.6，15.3，對于選項A：銷量的極差為，故A正確；對于選項B：因為，所以銷量的分位數是第4位數13.8，故B錯誤；對于選項C：因為銷量的平均數，銷量的中位數，所以銷量的平均數與中位數相等，故C正確；對于選項D：因為月份的平均數，可知回歸方程為過樣本中心點，即，解得，故D正確；故選：ACD.12．16【分析】分取2個籃球與2個足球兩種情況討論，分別利用組合知識與分步計數乘法原理求出兩種情況的不同的選法，然后求和即可.【詳解】選1個排球、1個足球、2個籃球有種選法；選1個排球、2個足球、1個籃球有種選法，一共有16種選法,故答案為16.【點睛】本題主要考查分類計數原理與分步計數原理及排列組合的應用，屬于中檔題.有關排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應用分類計數加法原理討論時，既不能重復交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率.13．【分析】作出圓臺的軸截面，然后根據題意可求出圓臺的母線長，從而可求出圓的高，進而可求出圓臺的體積.【詳解】圓臺的軸截面如圖所示，設內切球的球心為，內切球與母線切于點，則，所以，過點作于，則，所以，所以圓臺的體積為，故答案為：14．【分析】首先畫出函數的圖象，然后令，有兩個不同交點，經分析，只能與的圖象有兩個不同的交點，利用導數的幾何意義可求得答案.【詳解】函數有且僅有兩個零點，函數與函數的圖象有且僅有兩個交點，作函數與函數的圖象如下，當時，有一個交點，是一個臨界值，當直線與相切時，令，解得，故切點為，故此時，結合圖象要使函數有且僅有兩個零點，則實數b的取值范圍是，故答案為：．15．(1)(2)【分析】（1）根據向量垂直的坐標表示以及正弦定理得出結果；（2）設，，由正弦定理以及三角形面積公式、兩角差的正弦公式，切化弦公式得出結果.【詳解】（1）因為，所以，由正弦定理可得，即，又，，，則，所以，，又，因此．（2）設，因為，則，因為，所以，在中，由正弦定理可知，即，即，化簡可得，即，所以，所以．16．(1)(2)存在；【分析】（1）由題意結合面面垂直的性質可得兩兩垂直，即可建立空間直角坐標系，得到平面的法向量與直線的方向向量，即可得直線與平面所成角的余弦值；（2）設，用表示出平面的法向量，由在線段上存在，使得直線平面，等價于存在，使，計算即可得.【詳解】（1）因為為正方形，所以，又因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，所以，因為，所以兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，設直線與平面所成的角為，則，故，即直線與平面所成角的余弦值為，（2）設，則，，，設平面的一個法向量為，，則，即，令，則，，在線段上存在，使得直線平面，等價于存在，使，，，解得，線段上存在點，使得平面，且.17．(1)，(2)【分析】（1）利用等差數列和等比數列通項公式可構造關于的方程，解方程求得后，利用等差和等比數列通項公式可得結果；（2）由（1）可得，利用錯位相減法可求得結果.【詳解】（1）設等比數列的公比為，由得：，解得：，；設等差數列的公差為，由得：，即；由得：，即；由得：，；（2）由（1）得：；，，兩式作差得：，.18．甲方案更好.【分析】利用等差數列和等比數列求和公式求得企業10年所獲利潤綜合，在求得銀行的本息綜合，得出兩種方案的純利潤，進而得到答案.【詳解】由題意，甲方案是等比數列，乙方案是等差數列，甲方案獲利為：（萬元），銀行貸款本息和為：（萬元），所以甲方案純利潤為：（萬元），乙方案獲利為：（萬元）銀行本息和為：（萬元），所以乙方案的純利潤為：（萬元），綜上可得，甲方案更好.19．（1）證明見解析；（2）；（3）【分析】（1）取中點，通過線線垂直證明平面，從而得到（2）取中點，中點，連接，