?人教版數學八年級下冊專題02勾股定理能力能力一、選擇題（共13小題）1．（2023秋?西安期末）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網格，的頂點，，均在格點上．若于點，則線段的長為A． B． C．1 D．22．（2023秋?船營區校級期末）如圖，數軸上的點表示的數是，點表示的數是1，于點，且，以點為圓心，的長為半徑畫弧交數軸正半軸于點，則點表示的數為A． B． C． D．3．（2023秋?佛山期末）如圖，在的小正方形網格中，點，為格點，另取一格點，使為直角三角形，則點的個數為A．5個 B．6個 C．7個 D．8個4．（2023秋?豐順縣期末）在中，，，的對邊分別是，，，．則該三角形的三邊滿足的關系是A． B． C． D．5．（2023秋?昆明期末）為了測量學校的景觀池的長，在的延長線上取一點，使得米，在點正上方找一點（即，測得，，則景觀池的長為A．5米 B．6米 C．8米 D．10米6．（2023秋?白銀期末）已知的三邊分別為、、，下列條件中，不能判定為直角三角形的是A． B． C． D．7．（2023秋?錦州期末）如圖，在邊長為1的正方形網格中，，，均在正方形格點上，連接，，點到的距離為A． B． C． D．8．（2023秋?廣南縣期末）小明從家出發向正北方向走了，接著向正東方向走到離家遠的地方，小明向正東方向走了A．60 B．80 C．100 D．1609．（2023秋?肅州區校級期末）如圖，所有的三角形都是直角三角形，所有的四邊形都是正方形，已知，，，，則的值是A．18 B．10 C．36 D．4010．（2023秋?五華區校級期末）如圖，長方體的長為3，寬為2，高為4，一只螞蟻從點出發，沿長方體表面到點處吃食物，那么它爬行最短路程是A． B． C． D．11．（2023秋?惠來縣期末）已知的三條邊分別為，，下列條件不能判斷是直角三角形的是A． B．，， C． D．12．（2023秋?北碚區期末）如圖，在直角三角形中，，的垂直平分線交于，交的角平分線于，連接、，若，的周長為17，則的長度是A． B．10 C．12 D．1313．（2023秋?遼寧期末）如圖，為的一條弦，分別交和于、，連接，．若，，那么的半徑為A． B． C． D．二、填空題（共10小題）14．（2023秋?公主嶺市期末）如圖，分別以的三邊為一邊向外作正方形，它們的面積分別是，，，若，則度．15．（2023秋?汝陽縣期末）如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子的長為17米，幾分鐘后船到達點的位置，此時繩子的長為10米，問船向岸邊移動了米．16．（2024?崇明區）如圖，一艘輪船位于燈塔的南偏東方向，距離燈塔25海里的處，它沿正北方向航行到達位于燈塔正東方向上的處，那么此時輪船與燈塔的距離為海里．17．（2023秋?玄武區期末）如圖，在中，，于點，，，則．18．（2023秋?成都期末）如圖，中，，．以點為圓心，長為半徑作弧，交于點，以點為圓心，長為半徑作弧，交于點．若，則．19．（2023秋?廣南縣期末）如圖，以的三邊為直徑分別向外作半圓，若，，則．20．（2023秋?寬城區期末）某醫院入口的正上方處裝有紅外線激光測溫儀（如圖所示），測溫儀離地面的距離米，當人體進入感應范圍內時，測溫儀就會自動測溫并報告人體體溫．當身高1.2米的患者走到離門1.6米的感應器地方時（即米），測溫儀自動顯示體溫，則人頭頂離測溫儀的距離的長為米．21．（2023秋?法庫縣期末）如圖是一種飲料的包裝盒，其長、寬、高分別為，，，現有一長為的吸管插入到盒的底部，吸管露在盒外部分的長度為，則的取值范圍為．22．（2023秋?秦安縣期末）如圖，在一棵樹的10米高處，有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘處，另一只爬到樹頂后直接躍到處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經過的距離相等，則這棵樹的高度為米．23．（2023秋?彰武縣期末）如圖，在中，，，，是的垂直平分線，交于點，交于點，連結，則的周長為．三、解答題（共9小題）24．（2023秋?公主嶺市期末）一塊田地的形狀如圖所示，已知，，，，，求該田地的面積．25．（2023秋?長寧區校級期末）如圖，在四邊形中，，，．（1）求證：（2）如果平分，且，求的面積．26．（2023秋?肅州區校級期末）如圖，在中，，，，，求的長．27．（2023秋?白銀期末）為白銀市公園建設多一些綠色、多一片藍天，市政府準備對金魚公園進行小范圍綠化．如圖，現計劃在公園一塊四邊形空地上種植草皮，測得，，，，，求該四邊形的面積．28．（2023秋?蘭州期末）如圖，某自動感應門的正上方處裝著一個感應器，離地的高度為2.5米，當人體進入感應器的感應范圍內時，感應門就會自動打開．一個身高1.6米的學生正對門，緩慢走到離門1.2米的地方時米），感應門自動打開，為多少米？29．（2023秋?榆陽區期末）如圖，一棵豎直的大杉樹在一次臺風中被刮斷，樹頂落在離樹根處，工作人員要查看斷痕處的情況，在離樹根有的處架起一個長的梯子，點，，在同一條直線上．求這棵樹原來的總高度．30．（2023秋?城關區期末）用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長度之間關系的有關問題，這種方法稱為等面積法，這是一種重要的數學方法，請你用等面積法來探究下列三個問題：（1）如圖1是著名的“趙爽弦圖”，由四個全等的直角三角形拼成，請用它驗證勾股定理．（2）如圖2，在中，，是邊上的高，，，求的長度；（3）如圖1，若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，求的值．31．（2023秋?楊浦區期末）如圖，走廊上有一梯子以的傾斜角斜靠在墻上，墻與地面垂直，梯子影響了行人的行走，工人將梯子挪動位置，使其傾斜角變為，如果梯子的長為4米，那么行走的通道拓寬了多少米？（結果保留根號）．32．（2022秋?上蔡縣期末）閱讀下列材料，完成任務我們知道，平方差公式可以用如圖所示的平面幾何圖形的面積來表示，實際上，還有一些代數式恒等式也可以用這種形式表示．任務：（1）圖1是由2個邊長分別為，的正方形和2個全等的長方形所拼成的大正方形，根據圖中的信息，可以寫出所表示的代數恒等式為；（2）圖2所示的圖形是由四個直角邊長分別為，，斜邊長為的全等的直角三角形和一個正方形的拼成的大正方形，請你用面積法推導恒等式的方法，證明勾股定理．（3）在中，，為直角邊長，為斜邊長，且，，求直角三角形的斜邊長．拔高拔高一、選擇題（共2小題）1．（2023春?豐臺區期末）勾股定理又稱畢達哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人類早期發現并證明的重要數學定理之一．如圖，在中，，以各邊為邊向外作正方形、正方形、正方形．連接、、，若，，則這個六邊形的面積為A．28 B．26 C．32 D．302．（2023秋?秦都區校級期中）如圖，在中，，，，是上一動點，過點作于，于，，則的長是A． B． C．4 D．二、填空題（共2小題）3．（2022秋?泰山區校級月考）若的三邊，，滿足，，為奇數，且能被3整除，則，是三角形．4．（2023春?莒南縣期中）如圖，在中，，以，和為邊向上作正方形和正方形和正方形，點落在上，若，空白部分面積為16，則圖中陰影部分的面積是．三、解答題（共7小題）5．（2023秋?凌海市期中）我國數學家趙爽（又名嬰，字君卿．三國時吳國人，一說魏晉人或漢人．籍貫、生卒年不詳，約生活于公元3世紀初，數學家，天文學家．為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖，，，和是四個全等的直角三角形，四邊形和都是正方形．如果大正方形的面積為25，，，，且．試求小正方形的邊長．6．（2023秋?中牟縣期中）勾股定理神秘而美妙，它的證法多種多樣，其巧妙各有不同．在進行《勾股定理》一章《回顧與思考》時，李芳老師帶領同學們進行如下的探究活動：如圖①，是用硬紙板剪成的四個全等的直角三角形（兩直角邊長分別為，，斜邊長為和一個邊長為的正方形，請你將它們拼成一個能驗證勾股定理的圖形．（1）如圖②，是李明拼成的示意圖，請你利用圖②驗證勾股定理；（2）一個零件的形狀如圖③，按規定這個零件中和都應是直角．工人師傅測得這個零件各邊尺寸（單位：如圖④所示，這個零件符合要求嗎？7．（2023春?前郭縣期末）【閱讀理解】我國古人運用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個直角三角形拼成正方形，通過證明可得中間也是一個正方形．其中四個直角三角形直角邊長分別為、，斜邊長為．圖中大正方形的面積可表示為，也可表示為，即，所以．【嘗試探究】美國第二十任總統伽菲爾德的“總統證法”如圖②所示，用兩個全等的直角三角形拼成一個直角梯形，其中，，根據拼圖證明勾股定理．【定理應用】在中，，、、所對的邊長分別為、、．求證：．8．（2023春?汝南縣期末）勾股定理是人類最偉大的科學發現之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”（如圖，后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．（1）①請敘述勾股定理；②勾股定理的證明，人們已經找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理；（如圖中圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）（2）①如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足的有個；②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，直角三角形面積為，請判斷，，的關系并證明．9．（2023春?交城縣期中）問題情境：勾股定理是一個古老的數學定理，它有很多種證明方法．下面利用拼圖的方法探究證明勾股定理；定理表述：（1）請你結合圖1中的直角三角形，敘述勾股定理（可以選擇文字語言或符號語言敘述）；嘗試證明：（2）利用圖1中的直角三角形可以構造出如圖2的直角梯形，請你利用圖2證明勾股定理；定理應用：（3）某工程隊要從點向點鋪設管道，由于受條件限制無法直接沿著線段鋪設，需要繞道沿著矩形的邊和鋪設管道，經過測量米，米，已知鋪設每米管道需資金1000元，請你幫助工程隊計算繞道后費用增加了多少元？10．（2023秋?東莞市期末）如圖，在直角三角形中，，若厘米，厘米，厘米．點從點開始，以2厘米秒的速度沿的方向移動，終點為；點從點開始，以1厘米秒的速度沿的方向移動，終點為．如果，同時出發，用秒表示移動時間．（1）分別求出，到達終點時所需時間；（2）若點在線段上運動，點在線段上運動，試求出當為何值時，？（3）當為何值時，？11．（2023秋?船營區校級期末）如圖，在中，，，，點從點出發，沿射線以每秒2個單位長度的速度運動．設點的運動時間為秒．（1）當點在的延長線上運動時，的長為；（用含的代數式表示）（2）若點在的角平分線上，求的值；（3）在整個運動中，直接寫出是等腰三角形時的值．

能力練一、選擇題（共13小題）1．【答案】【解答】解：由勾股定理得：，，，，，，，是直角三角形，，的面積，，．故選：．2．【答案】【解答】解：由題意可得，，，，，，點表示數為：，故選：．3．【答案】【解答】解：如圖所示，共有6個格點使為直角三角形．故選：．4．【答案】【解答】解：，，的對邊分別是，，，，是的斜邊，．故選：．5．【答案】【解答】解：，，米，（米，，（米，（米，故選：．6．【解答】解：、，，，為直角三角形，故此選項不合題意；、，能構成直角三角形，故此選項不合題意；、設，，，，解得：，則，不是直角三角形，故此選項符合題意；、，能構成直角三角形，故此選項不符合題意．故選：．7．【答案】【解答】解：連接．的面積，設點到的距離為，的面積，，．故選：．8．【答案】【解答】解：由題意可得，小明向正東方向走了，故選：．9．【答案】【解答】解：如圖，由題意得：，，，，故選：．10．【答案】【解答】解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個平面，則這個長方形的長和寬分別是6和3，則所走的最短線段是；第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是5和4，所以走的最短線段是；第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是7和2，所以走的最短線段是；三種情況比較而言，第二種情況最短．所以它需要爬行的最短路線的長是，故選：．11．【答案】【解答】解：、設，則，，，，解得，此三角形不是直角三角形，符合題意；、，此三角形是直角三角形，不符合題意；、，，此三角形是直角三角形，不符合題意；、此三角形是直角三角形，不符合題意．故選：．12．【答案】【解答】解：垂直平分，，，，，，，平分，，，的周長為17，，，，，，，，，，，，故選：．13．【答案】【解答】解：連接，，，，，設的半徑為，則，，由勾股定理得：，，解得：，即的半徑是，故選：．二、填空題（共10小題）14．【答案】90．【解答】解：，，，，，是直角三角形，，故答案為：90．15．【答案】9．【解答】解：在中：，米，米，（米，（米，（米，（米，答：船向岸邊移動了9米，故答案為：9．16．【答案】．【解答】解：由題意可知，，海里，，（海里），（海里），即此時輪船與燈塔的距離為海里，故答案為：．17．【答案】．【解答】解：，，，，，，，故答案為：．18．【答案】．【解答】解：，，，，由作圖得，，，，故答案為：．19．【答案】2．【解答】解：，，，，，，故答案為：2．20．【答案】2.0．【解答】解：如圖，過點作于點，米，米，米，（米，在中，由勾股定理得到：（米，故答案為：2.0．21．【答案】．【解答】解：當吸管放進盒里垂直于底面時露在盒外的長度最長，當吸管放進盒里露出部分最短時與底面對角線和高正好組成直角三角形，底面對角線長，高為，由勾股定理得：盒里面吸管長度，吸管露在盒外的長度最短，吸管露在盒外的部分的取值范圍是，故答案為：．22．【答案】．【解答】解：如圖，設樹的高度為米，因兩只猴子所經過的距離相等都為30米．由勾股定理得：，解得．故這棵樹高．23．【答案】14．【解答】解：在中，，，，，垂直平分，，的周長，故答案為：14．三、解答題（共9小題）24．【答案】該田地的面積是．【解答】解：連接，在中，根據勾股定理，可得，，，，是直角三角形，，該田地的面積的面積的面積，答：該田地的面積是．25．【答案】（1）證明過程見解答；（2）的面積為．【解答】（1）證明：，，．，，，是直角三角形，，；（2）解：過點作，垂足為，平分，，，，在中，，，在中，，，，的面積，的面積為．26．【答案】．【解答】解：，，，設，則，，，，，．27．【答案】該四邊形的面積為．【解答】解：如圖，連接．，，，．又，，，即，是直角三角形．，答：該四邊形的面積為．28．【答案】1.5米．【解答】解：如圖，過點作于點，米，米，米，（米．在中，由勾股定理得到：（米，答：為1.5米．29．【答案】．【解答】解：在中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，，這棵樹原來的總高度，答：這棵樹原來的總高度為．30．【答案】（1）見解析；（2）；（3）25．【解答】解：（1）如圖1，大正方形的面積，整理得，；（2）在中，，，，，，；（3）大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，，，，，，即的值為25．31．【答案】米．【解答】解：在中，，則，米，，（米，在中，，，（米，米，答：行走的通道拓寬了米．32．【答案】（1）；（2）見解析；（3）．【解答】解：（1）根據正方形的面積等于邊長的平方，得到正方形的面積為；結合圖形，得到正方形的面積還等于，故，故答案為：．（2），，．（3），，，，，，，，，（舍去）．拔高練一、選擇題（共2小題）1．【答案】【解答】解：設，，，過作作的垂線，垂足為，過作的垂線，垂足為，，，，在與中，，，，，同理可證，，，在中，，即，在中，，即，，，．．故選：．2．【答案】【解答】解：連接．，可以假設，，，，，，，，，或（舍棄），，，，故選：．二、填空題（共2小題）3．【解答】解：根據三角形的三邊關系知，第三邊應滿足：，又為奇數，滿足從7到17的奇數有9，11，13，15，與的和又是3的倍的只有13了，，此時有，根據勾股定理的逆定理，是直角三角形．故填13，直角．4．【答案】．【解答】解：如圖，四邊形是正方形，，，，，，，在中，，，，，，，，，，，陰影部分的面積和．故答案為：．三、解答題（共7小題）5．【答案】3．【解答】解：，，，和是四個全等的直角三角形，，，小正方形的面積，，小正方形的邊長為3．6．【答案】（1）見解答；（2）這個零件不符合要求．【解答】解：（1）正方形面積可表示為：，根據圖②，正方形面積還可以表示為：，，即，；（2）在中，，所以是直角三角形，是直角．在中，，，．所以不是直角三角形，不是直角．因此，這個零件不符合要求．7．【答案】【嘗試探究】見解析；【定理應用】見解析．【解答】證明：【嘗試探究】梯形的面積為，利用分割法，梯形的面積為，，；【定理應用】，，．8．【答案】（1）①在直角三角形中，兩條