線性代數課件6-3線性子空間contents目錄線性子空間的定義與性質線性子空間的維數與基線性子空間的表示與投影線性子空間的性質與關系線性子空間的運算與變換線性子空間的應用與實例線性子空間的定義與性質010102線性子空間的定義線性子空間可以由一個或多個向量作為基底來生成。線性子空間是向量空間的一個非空子集，對于向量空間中的加法和標量乘法運算封閉。010203線性子空間中的任意向量可以由基底線性表示。線性子空間對于向量空間的加法和標量乘法運算封閉。線性子空間的和仍然是線性子空間。線性子空間的性質三維向量空間中的任何平面和三維子空間都是線性子空間的例子。在矩陣向量空間中，由所有形如$Ax$的向量構成的集合，其中$A$是某個矩陣，$x$是任意向量，也是一個線性子空間。平面幾何中的直線和平面可以視為二維向量空間中的線性子空間。線性子空間的例子線性子空間的維數與基02線性子空間的維數是該子空間中獨立向量的個數。定義通過向量的線性組合，得到子空間的一組基，基的個數即為維數。計算方法線性子空間的維數與其在原空間中的投影維數相等。性質線性子空間的維數線性子空間的基是一組線性獨立的向量，它們可以生成整個子空間。定義選取方法性質通過求解線性方程組或利用已知基進行擴展得到。基的向量是線性無關的，且任意向量可以由基向量線性表示。030201線性子空間的基對于任意線性子空間，存在一組擴展基，使得該子空間中的任意向量都可以由擴展基線性表示。定理內容在求解線性方程組、向量空間分解等方面有重要應用。應用場景利用線性代數的基本定理和性質進行證明。證明方法基的擴展定理線性子空間的表示與投影03線性子空間是向量空間中的一個非空子集，對于加法和標量乘法封閉。線性子空間定義線性子空間具有加法封閉性、標量乘法封閉性和零元存在性。線性子空間的性質一個子集是線性子空間的充分必要條件是它對加法和標量乘法封閉。線性子空間的判定線性子空間的表示投影的公式設$xinV$，$W$是$V$的線性子空間，那么$x$在$W$上的投影為$frac{<x,w>}{<w,w>}w$，其中$winW$且$<w,w>$不等于0。投影的定義對于任意向量$x$和線性子空間$W$，$x$在$W$上的投影是$W$中與$x$最接近的向量。投影的性質投影具有非負性、齊次性和平移不變性。線性子空間的投影03投影的意義投影表示向量$x$在子空間$W$上的分量，即向量$x$在子空間$W$上的表示。01投影的長度向量$x$在子空間$W$上的投影長度等于向量$x$與垂直于子空間$W$的平面上任意向量的點積的絕對值。02投影的方向投影的方向與子空間$W$正交，且與向量$x$在子空間$W$上的方向一致。投影的幾何意義線性子空間的性質與關系0402030401線性子空間的性質線性子空間是向量的集合，這些向量滿足加法和標量乘法的封閉性。線性子空間中的向量可以由基向量線性表示。線性子空間具有有限或無限維數，取決于其包含的向量個數。線性子空間具有零向量，即加法單位元。一個子空間可以包含另一個子空間的所有向量。子空間包含兩個子空間的交集也是一個子空間。子空間交兩個子空間的并集不一定是子空間。子空間并一個子空間在全空間中的補集也是一個子空間。子空間的補線性子空間的關系123如果$U$和$W$是$V$的子空間，那么$U+W$也是$V$的子空間。子空間的和如果$U$和$W$是$V$的子空間，那么$UcapW$也是$V$的子空間。子空間的交如果$U$是$V$的子空間，那么$U'$（$U$在$V$中的補集）也是$V$的子空間。子空間的補子空間之間的關系定理線性子空間的運算與變換05線性子空間的加法與數乘線性子空間的加法設$W_1$和$W_2$是線性子空間，對于任意$w_1inW_1$和$w_2inW_2$，$w_1+w_2$的定義是滿足$w_1+w_2inW$的向量。數乘對于任意標量$k$和向量$winW$，數乘$kcdotw$的定義是滿足$(kcdotw)+w=k(w+w)$的向量。結合律對于任意向量$w_1,w_2,w_3inW$和標量$k,k'inK$，有$(kcdotw_1)+(k'cdotw_2)=(k+k')cdot(w_1+w_2)$。分配律對于任意向量$w_1,w_2inW$和標量$k,k'inK$，有$(k+k')cdotw=kcdotw+k'cdotw$。封閉性對于任意向量$w_1,w_2inW$和標量$k,k'inK$，有$kcdotw_1+k'cdotw_2inW$。線性子空間的運算性質線性變換與矩陣表示一個從線性子空間$W_1$到線性子空間$W_2$的映射，如果對于任意向量$winW_1$，滿足$varphi(kcdotw)=k'cdotvarphi(w)$的標量$k'$，則稱$varphi$為線性變換。線性變換如果存在基底${e_1,e_2,...,e_n}$，使得對于任意向量$w=a_1e_1+a_2e_2+...+a_ne_ninW$，有$varphi(w)=A(w)=A(a_1,a_2,...,a_n)$，則稱矩陣A為線性變換在基底下的表示。矩陣表示線性子空間的應用與實例06線性子空間在幾何中可以用來描述平面、直線、向量等基本概念。例如，平面可以看作是所有滿足某個線性方程的點的集合，而直線則可以看作是兩個平面的交集。線性子空間還可以用來研究幾何對象的性質和關系，例如通過向量的線性組合和運算，可以研究向量的長度、夾角、平行性和垂直性等幾何屬性。線性子空間在幾何中的應用在信號處理中，線性子空間可以用來描述信號的頻率、時間和幅度等特征。例如，在頻域分析中，信號可以表示為一組正弦波的線性組合，而這些正弦波的頻率、幅度和相位可以構成一個線性子空間。線性子空間還可以用來進行信號分類、降噪和壓縮等操作。例如，通過將信號投影到一個低維的線性子空間中，可以實現信號的降噪和壓縮，同時保留其主要特征。線性子空間在信號處理中的應用在控制理論中，線性子空間可以用來描述系統(tǒng)的狀態(tài)和行為。例如，一個線性時不變系統(tǒng)可以表示