《數字地形測量學》編寫小組平面控制測量主講老師：聯系電話：電子郵件：《數字地形測量學》第九章平面控制測量§9.1平面控制測量概述§9.2GPS控制測量§9.3導線測量§9.4單一導線測量的精度分析§9.5三角形網測量§9.6交會測量

測量工作

在工程建設領域中測量工作的內容如下控制測量地形圖、房地產圖、管網圖、竣工圖測繪施工放樣變形監測§9.1平面控制測量概述

測量工作的原則測量工作應遵循以下兩個原則：（1）從整體到局部，先控制后碎部對于總體測繪工作而言，應先總體布置，然后分階段、分區、分期實施。在實施過程中要先布設平面和高程控制網，確定控制點平面坐標和高程，建立全國、全區統一坐標系。在此基礎上進行細部測繪和工程施工測量。（2）每一步測量工作必須嚴格進行檢核對于測繪工作的每一個過程、每一項成果都必須檢核，在保證前期工作無誤的情況下，方可進行下一步工作。只有這樣，才能保證測繪成果的可靠性。§9.1平面控制測量概述一、控制測量的概念1控制測量

對控制網進行布設、觀測、計算，確定控制點位置的測量工作。分為平面控制測量（確定平面坐標）和高程控制測量（確定高程）。控制點測區內具有控制意義的點。控制網由控制點組成的幾何圖形。§9.1平面控制測量概述

國家平面控制網國家平面控制網主要采用三角測量建立，按精度高低分為一、二、三、四等三角網。目前提供使用的國家平面控制網含三角點、導線點共154348個，構成1954北京坐標系統、1980西安坐標系兩套系統。（本圖片來源于國家測繪地理信息局網站）二、平面控制網的建立§9.1平面控制測量概述“2000國家GPS控制網”由國家測繪局布設的高精度GPSA、B級網，總參測繪局布設的GPS一、二級網，中國地震局、總參測繪局、中國科學院、國家測繪局共建的中國地殼運動觀測網組成。（本圖片來源于國家測繪地理信息局網站）共2609個點，通過聯合處理將其歸于一個坐標參考框架，形成了緊密的聯系體系，可滿足現代測量技術對地心坐標的需求，同時為建立我國新一代的地心坐標系統打下了堅實的基礎。§9.1平面控制測量概述城市平面控制網為滿足1:500～1:2000比例尺地形測圖和城市建設施工放樣的需要，在國家平面控制網的控制之下布設的控制網，按精度分為二、三、四等三角網或導線網。

工程平面控制網為滿足施工測量，在國家平面控制網或城市平面控制網的控制下布設的平面控制網。§9.1平面控制測量概述三、平面控制測量基本方法GPS控制測量

應用GPS定位技術建立的控制網稱為GPS控制網。既可以與常規大地測量一樣，地面布設控制點，采用GPS定位技術建立控制網，也可以在一些地面點上安置固定的GPS接收機，長期連續接收衛星信號，建立CORS系統。為了將WGS-84世界大地坐標轉換為國家或地方坐標系，至少應該聯測兩個已有的控制點。其中一個點作為GPS網在原有坐標系內的定位起算點，兩個點之間方位和距離作為GPS網在原有網之間的轉換參數，聯測點最好多于兩個，且要分布均勻、具有較高的點位精度以保證GPS控制點的可靠性及精度。§9.1平面控制測量概述導線測量

如圖所示，將控制點用直線連接起來形成折線形，通過觀測邊長和轉折角，根據起算數據經計算而獲得導線點的平面坐標，即為導線測量。導線測量布設簡單、每點僅需與前、后兩點通視，選點方便，特別是在隱蔽地區和建筑物多而通視困難的城市，應用起來方便靈活。§9.1平面控制測量概述

三角形網測量

三角形網測量是在地面上選定一系列的控制點，構成相互連接的若干個三角形，組成各種網（鎖）狀圖形；通過觀測三角形的內角或（和）邊長，再根據已知控制點的坐標、起始邊的邊長和坐標方位角，經解算三角形和坐標方位角推算可得到三角形各邊的邊長和坐標方位角，進而由直角坐標正算公式計算待定點的平面坐標。§9.1平面控制測量概述

交會測量交會測量即利用交會定點法來加密平面控制點。§9.1平面控制測量概述四、控制測量一般作業步驟技術設計、實地選點、標石埋設、觀測和平差計算（1）控制測量的技術設計主要包括精度指標的確定和控制網的網形設計。（2）實地選點點位穩定，等級控制點應能長期保存；便于擴展、加密和觀測。（3）標石埋設經選點確定的控制點點位，要進行標石埋設，將它們在地面上固定下來。（4）觀測與計算§9.1平面控制測量概述五、平面控制點坐標計算基礎

在控制網平差計算中，必須進行坐標方位角的推算和平面坐標的正、反算。

1、坐標方位角的推算由圖（a）可知，當水平為左角時：由圖（b）可知，當水平為右角時：綜合上述兩種情況，可得坐標方位角計算公式：當為左角時，其前取“+”，當為右角時，其前取“-”，若坐標方位角大于360°，則應減去360°，如果出現負值，則應加上360°。§9.1平面控制測量概述2、平面直角坐標正、反算如圖所示，A為坐標已知點，已知AB的邊長SAB和坐標方位角αAB,則，待定點B的坐標為：式中：所以，平面直角坐標正算公式為：§9.1平面控制測量概述2、平面直角坐標正、反算如圖所示，A、B為坐標已知點，則AB的邊長SAB為：其中，；AB的坐標方位角αAB為：由上式計算出的αAB不一定全是方位角，需根據縱橫坐標增量的符號加以轉換，其方法如表所示。坐標方位角+++----+§9.1平面控制測量概述第九章平面控制測量§9.1平面控制測量概述§9.2GPS控制測量§9.3導線測量§9.4單一導線測量的精度分析§9.5三角形網測量§9.6交會測量

GPS定位技術被廣泛應用于建立各種級別、不同用途的GPS控制網。

GPS控制測量較之于常規方法，GPS在布設控制網方面具有測量精度高、選點靈活、不需要造標、費用低、全天候作業、觀測時間短、觀測和數據處理全自動化等特點。但由于GPS定位技術要求測站上空開闊，以便接收衛星信號，由此，GPS控制測量不適合隱蔽地區。GPS控制測量的主要內容包括控制網的技術設計、外業觀測和GPS數據處理。§9.2GPS控制測量一、GPS控制網的技術設計1、GPS控制網的精度指標，見下表：級別相鄰點基線分量中誤差相鄰點之間的平均距離/km水平分量/mm垂直分量/mmB51050C102020D20405E20403《全球定位系統（GPS）測量規范》§9.2GPS控制測量等

級平均邊長（km）a(mm)b(1×10-6)最弱邊相對中誤差二等9≤5≤21/120000三等5≤5≤21/80000四等2≤10≤51/45000一級1≤10≤51/20000二級＜1≤10≤51/10000注：a表示固定誤差；b表示比例誤差系數。《衛星定位城市測量技術規范》§9.2GPS控制測量2.GPS控制網的圖形設計目前的GPS控制測量，基本上都是采用靜態相對定位的測量方法。這就需要兩臺以及兩臺以上的GPS接收機在相同的時間段內同時連續跟蹤相同的衛星組，即實施所謂同步觀測。同步觀測時各GPS點組成的圖形稱為同步圖形。(1)幾個基本概念觀測時段：接收機開始接收衛星信號到停止接收，連續觀測的時間間隔稱為觀測時段，簡稱時段。同步觀測：2臺或2臺以上接收機同時對同一組衛星進行的觀測。同步觀測環：3臺或3臺以上接收機同步觀測所獲得的基線向量構成的閉合環。異步觀測環：由非同步觀測獲得的基線向量構成的閉合環。§9.2GPS控制測量（2）由多臺接收機同步觀測同一組衛星，此時由同步邊構成的幾何圖形，稱為同步圖形(環)，如圖9-11所示

圖9-11同步圖形示例

同步環形成的基線數與接收機的臺數有關，若有N臺GPS接收機，則同步環形成的基線數為：

基線總數

＝

N(N-1)/2

§9.2GPS控制測量(3)多臺接收機構成的異步圖形設計

GPS網的連接方式有：點連接、邊連接、邊點混合連接、網連接等。

點連接：相鄰同步環間僅有一個點相連接而構成的異步網圖。

圖9-12GPS基線向量網布網的連接方式

網連接：相鄰同步環間有3個以上公共點相連接，相鄰同步圖形間存在互相重疊的部分，即某一同步圖形的一部分是另一同步圖形中的一部分。

§9.2GPS控制測量1.選點

在GPS點位的選點工作中，一般應注意：

（1）點位應緊扣測量目的布設。

（2）便于其它測量手段聯測和擴展，能與相鄰1～2個點通視。

（3）點應選在交通方便、便于到達的地方，便于安置接收機設備。視野開闊，視場內周圍障礙物的高度角一般應小于15°。

（4）點位應遠離大功率無線電發射源（如電視臺、電臺、微波站等）和高壓輸電線，以避免周圍磁場對GPS信號的干擾。

二、

GPS控制測量的外業工作§9.2GPS控制測量

（5）點位附近不應有對電磁波反射強烈的物體，例如：大面積水域、鏡面建筑物等，以減弱多路徑效應的影響。

（6）點位應選在地面基礎堅固的地方，以便于保存。

（7）點位選定后，均應按規定繪制點之記，其主要內容應包括點位及點位略圖，點位交通情況以及選點情況等。

二、

GPS控制測量的外業工作§9.2GPS控制測量2.外業觀測

《全球定位系統（GPS）測量規范》規定：B、C、D、E級GPS控制網觀測的基本技術要求按下表有關技術指標執行。

項目級別BCDE衛星截止高度角

/（°）≥10≥15≥15≥15同時觀測有效衛星數≥4≥4≥4≥4有效觀測衛星總數≥20≥6≥4≥4觀測時段數≥3≥2≥1.6≥1.6時段長度≥23h≥4h≥60min≥40min采樣間隔

/s3010～305～155～15§9.2GPS控制測量

《衛星定位城市測量技術規范》規定，GNSS測量各等級作業的基本技術要求應符合下表的規定。

項目

等

級觀測方法二等三等四等一級二級衛星高度角（°）靜

態≥15≥15≥15≥15≥15有效觀測同類衛星數靜

態≥4≥4≥4≥4≥4平均重復設站數靜

態≥2.0≥2.0≥1.6≥1.6≥1.6時段長度（min）靜

態≥90≥60≥45≥45≥45數據采樣間隔(s)靜

態10～3010～3010～3010～3010～30PDOP值靜

態＜6＜6＜6＜6＜6§9.2GPS控制測量三、GPS測量數據處理

1.數據預處理

（1）對數據進行平滑濾波，剔除粗差，刪除無效或無用數據；

（2）統一數據文件格式，將各類接收機的數據文件加工成彼此兼容的標準化文件；

（3）GPS衛星軌道方程的標準化，一般用一多項式擬合觀測時段內的星歷數據（廣播星歷或精密星歷）；

（4）診斷整周跳變點，發現并恢復整周跳變，使觀測值復原；

（5）對觀測值進行各種模型改正，最常見的是大氣折射模型改正。

§9.2GPS控制測量2.基線向量的解算

基線向量：如圖所示，兩臺GPS接收機i和j之間的相對位置，即基線

，可以用某一坐標系下的三維直角坐標增量或大地坐標增量來表示，因此，它是既有長度又有方向特性的矢量。

圖9-14基線向量圖§9.2GPS控制測量3.GPS網平差

GPS網平差的類型有多種，根據平差的坐標空間維數，可將GPS網平差分為三維平差和二維平差，根據平差時所采用的觀測值和起算數據的類型，可將平差分為無約束平差、約束平差和聯合平差等。

§9.2GPS控制測量第九章平面控制測量§9.1平面控制測量概述§9.2GPS控制測量§9.3導線測量§9.4單一導線測量的精度分析§9.5三角形網測量§9.6交會測量

一、導線測量的主要技術要求

電磁波測距導線技術要求等級附合或閉合導線長度(km)平均邊長(m)測角中誤差（?）測距中誤差(mm)測回數方位角閉合差（?）導線全長相對閉合差DJ1DJ2DJ6三等≤153000≤1.5≤18812－±3≤1／60000四等≤101600≤2.5≤1846－±5≤1／40000一級≤3.6300≤5≤15－24±10≤1／14000二級≤2.4200≤8≤15－13±16≤1／10000三級≤1.5120≤12≤15－12±24≤1／6000當附合導線長度短于規定長度的1/3時，導線全長絕對閉合差不應大于0.13m；特殊情況下，光電測距導線總長和平均邊長可放長至本規定長度的1.5倍，但其全長絕對閉合差不應大于0.26m。注：n為測站數。§9.3導線測量圖根電磁波測距導線的技術要求

比例尺符合導線長度（m）平均邊長（m）導線相對閉合差測回數DJ6方位角閉合差（＂）測距儀器類型方法與測回數1:50090080≤1/40001Ⅱ級單程觀測11:100018001501:20003000250注：n為測站數。§9.3導線測量二、導線的布設

1.附合導線

導線起始于一個已知控制點而終止于另一個已知控制點。

2.閉合導線

由一個已知控制點出發，最終又回到這一點，形成一個閉合多邊形。

3.支導線

從一個已知控制點出發，既不附合于另一個已知控制點，也不閉合于原來的起始控制點。由于支導線缺乏檢核條件，故一般只限于地形測量的圖根導線中采用。

§9.3導線測量

4.附合導線網

附合導線網具有一個以上已知控制點或具有附合條件。

5.自由導線網

自由導線網僅有一個已知控制點和一個起始方位角。

圖9-15導線的布設形式圖9-15導線的布設形式§9.3導線測量二、導線的觀測

導線的觀測包括轉折角和導線邊的觀測。

1．轉折角的觀測

轉折角的觀測一般采用測回法進行。當導線點上應觀測的方向數多于二個時，應采用方向觀測法進行。

在進行三、四等導線轉折角觀測，只有兩個方向時，宜按左、右角觀測，在總測回數中應以奇數測回和偶數測回分別觀測導線前進方向的左角和右角。左角和右角分別取中數后，再按式（9-9）計算圓周角閉合差

，

值對于三、四等導線應分別不超過±3″和±5.0″。

（9-9）

2．導線邊長觀測

導線邊長可采用電磁波測距儀測量，亦可采用全站儀在測取導線角的同時測取導線邊的邊長。導線邊長應往返觀測，以增加檢核條件。電磁波測距儀測量的通常是斜距，還需觀測豎直角，用以將傾斜距離改化為水平距離，必要時還應將其歸算到橢球面上和高斯平面上。

§9.3導線測量3．三聯腳架法導線觀測

三聯腳架法通常使用三個既能安置全站儀又能安置帶有覘牌的基座和腳架，基座應有通用的光學對中器。如圖9-16所示，將全站儀安置在測站

的基座中,帶有覘牌的反射棱鏡安置在后視點

和前視點

的基座中，進行導線測量。

圖9-16三聯腳架法導線觀測§9.3導線測量三、導線測量的近似平差計算

1.支導線的計算

以圖9-17為例，支導線計算步驟如下：

①設直線MA的坐標方位角為

，按式（9-3）計算各導線邊的坐標方位角。

②由各邊的坐標方位角和邊長，按式（9-5）計算各相鄰導線點的坐標增量。

③按式（9-4）依次推算

各導線點的坐標。

圖9-17支導線計算§9.3導線測量2.僅有一個連接角的附合導線的計算

如圖9-18所示為僅有一個連接角的附合導線，A、B為已知點，

為待定點，

（

）為轉折角，

為導線的邊長。導線的計算順序與支導線相同，但其最后一點為已知點B,故最后求得的坐標

和

的值由于觀測角度和邊長存在誤差，必然與已知的坐標

和

不相同，它將產生坐標閉合差

、

，即

（9-10）

可見，這種導線較之支導線增加了一項處理坐標閉合差的計算，最簡便的處理方法為按各導線邊的長度成比例地改正它們的坐標增量，其改正數按式（9-11）計算。在計算無誤的情況下，由于計算誤差的存在，導致計算出的改正數之和（絕對值）可能不等于坐標閉合差（絕對值），應進行強制改正，保證改正數之和與坐標閉合差等值反號。

§9.3導線測量

（9-11）

改正后的坐標增量為

（9-12）

求得改正后的坐標增量后，即可按式（9-4）依次推算

各導線點的坐標，此時,B點的坐標應等于已知值。

§9.3導線測量

在僅有一個連接角的附合導線計算中，導線全長相對閉合差是評定導線精度的重要指標，它是全長絕對閉合差

與其導線全長∑S的比值,通常用k表示，即

（9-13）

式中，

圖9-18僅有一個連接角的附合導線計算§9.3導線測量3.具有兩個連接角的附合導線計算

如圖9-19所示為具有兩個連接角的附合導線，由于B點觀測了連接角，因此可由已知坐標方位角

推求BN的坐標方位角

，由于各轉折角存在觀測誤差，使得

不等于已知坐標方位角

而產生坐標方位角閉合差

，即

（9-14）

由于各轉折角都是按等精度觀測的，所以坐標方位角閉合差

可平均分配到每個角度上，即每個角度應加上改正數

，

為左角時，其改正數按式（9-15）計算，

為右角時，其改正數按式（9-16）計算。在計算無誤的情況下，計算誤差可能引起角度改正數之和（絕對值）與閉合差（絕對值）不等，應進行強制改正，保證改正數之和與坐標方位角閉合差等值反號。（9-15）

（9-16）§9.3導線測量各轉折角的觀測值改正后的導線計算，與僅有一個連接角的附合導線的計算相同。

具有兩個連接角的附合導線的精度可用坐標方位角閉合差和導線全長相對閉合差來評定，在圖根導線測量中，通常以坐標方位角閉合差不應超過其限值來控制其測角精度。坐標方位角閉合差的限值，一般應為相應等級測角中誤差先驗值

的

倍，即

（9-17）

導線全長相對閉合差的計算與僅有一個連接角的附合導線相同。

圖9-19具有兩個連接角的附合導線計算§9.3導線測量具有兩個連接角的附合圖根導線算例見表9-8。

表9-8具有兩個連接角的附合圖根導線計算點

名觀

測

角坐標方位角邊

長S

M(°′″)(°′″)（m）（m）（m）（m）（m）2375930A(P1)+79901002507.691215.631570037225.85+4-207.91-4+88.21P2+716745362299.821303.801444620139.03+2-113.57-2+80.20P3+712311242186.271383.98875751172.57+3+6.13-3+172.46P4+718920362192.431556.41971834100.07+2-12.73-1+99.26P5+717959182179.721655.66971759102.48+2-13.02-2+101.65B(P6)+712927242166.721757.29464530∑=740.00∑=-341.10∑=+541.78N

∑8884518

§9.3導線測量4.單一閉合導線的計算

圖9-20單一閉合導線計算

如圖9-20所示為閉合導線，由于角度觀測值存在誤差，使得多邊形內角和的計算值不等于其理論值，而產生角度閉合差，即

（9-18）

§9.3導線測量

角度改正后的導線計算，與僅有一個連接角的附合導線的計算相同，只是在計算坐標閉合差時，采用式（9-20）計算。

（9-20）

式中，

、

分別為各導線邊的坐標增量。

其角度觀測值改正數

按式（9-19）計算，計算出的改正數之和與角度閉合差應保證等值反號。

（9-19）

§9.3導線測量5.無連接角附合導線的計算

如圖9-21所示為一無連接角導線，

、

為已知點，

、

分別為導線兩端已知點之間的邊長和坐標方位角；

、

分別為導線轉折角和導線邊的觀測值；

和

分別為導線點坐標計算的假定值和平差值。

設起始邊A1的假定坐標方位角為

，根據導線角的觀測值可推算各導線邊的假定坐標方位角，進而計算各導線邊假定坐標增量，最終算得固定邊AB的假定坐標增量

、

。由此可計算出已知點之間的邊長計算值

和坐標方位角計算值

。

若令導線的旋轉角為

，縮放比為Q，則有：

（9-21）

（9-22）

§9.3導線測量由于

；

，顧及到式（9-21）和式（9-22），得

令

；

，則有

(9-23)

當導線點i為終點B時，式（9-24）式可變為

§9.3導線測量在上式中，

為已知值，

為坐標增量計算值。由此解出Q1和Q2，即

將Q1、Q2代入式（9-23），可得計算各導線點坐標的公式

（9-24）

無連接角導線的精度可采用固定邊長相對閉合差k來評定，即

（9-25）

式中，

，

、

可按式（9-8）計算。§9.3導線測量圖9-21無連接角導線計算§9.3導線測量無連接角導線算例見表9-9。

表9－9無連接角導線計算表點名觀測角值°′″觀測邊長m假定坐標方位角°′″假定坐標增量假定坐標坐標平差值mmmmmmA5264.1065004.762220.179872710+9.785+219.961117521425273.8915224.7235269.9815224.868197.917824851+24.757+196.362219105345298.6485421.0855291.2465421.644217.634935425-14.829+217.128316842125283.8195638.2135272.5605638.480186.208823637+23.950+184.661422016415307.7695822.8745293.2265823.542222.7161225318-120.936+187.021514617445186.8336009.8955168.9826008.390157.812891102+2.234+156.796B5189.0676166.6915168.4306165.205

§9.3導線測量6.單結點導線網的近似平差

如圖9-22所示為單結點導線網，A、B、C為已知點，

、

、

為已知方向，J為結點，其計算步驟如下：

（1）

角度平差

首先選定與結點連接的任一導線邊作為結邊。一般選在邊數較多的一條導線上（如JJ′）。由已知方向及轉折角觀測值分別沿線路Z1、Z2、Z3推算結邊的坐標方位角

，設各條線路的轉折角個數分別為n1

、n2、n3

，則結邊的坐標方位角

的權為

（C1為任選的常數），

按加權平均值原理即可算得結邊JJ′的坐標方位角的最或是值為

（9-26）

算得結邊的坐標方位角最或是值后，則將三個已知方向到結邊JJ′的導線作為三條附合導線，計算其角度閉合差，并改正各轉折角的觀測值，進而算出各導線邊的坐標方位角的平差值。

§9.3導線測量（2）

坐標平差

由已知點及各邊的觀測邊長和坐標方位角分別沿各線路計算結點的坐標為（

）、（

）、（

）。設線路的導線邊總長為S1、S2、S3，則各線路推算結點坐標的權分別為

（C2任選的常數），則結點坐標的最或然值為：

（9-27）

算得結點J的坐標平差值后，可將其視為已知值，將Z1、Z2、Z3作為三條附合導線分別計算其坐標閉合差、坐標增量改正數和各導線點的坐標。

§9.3導線測量（3）精度評定

①角度觀測值的精度評定

在導線網近似平差中，角度觀測值的精度評定，一般按獨立的附合環節的角度閉合差

計算測角中誤差

，即：

（9-28）

也可以按導線節的角度改正數計算測角中誤差，即：

（9-29）

式中，

分別為參與計算附合環節角度閉合差和計算導線節角度改正數的轉折角的個數;r為獨立的角度閉合差個數（對于單結點導線網應為匯集于結點的導線節條數減1）。

§9.3導線測量

②點位精度評定

設

為導線網縱、橫坐標增量每公里中誤差，一般按獨立的附合環節的坐標閉合差計算，即：

（9-30）

也可以按各導線節的坐標增量改正數計算，即：

（9-31）

式中，

分別為參與計算附合環節坐標閉合差和計算導線節坐標增量改正數的導線邊的總長。

由此，可計算導線每公里點位中誤差為：

（9-32）

結點J的點位中誤差為：

（9-33）

式中，

。§9.3導線測量圖9-22單結點導線網§9.3導線測量四、導線測量錯誤的檢查方法

1.角度閉合差超限，檢查角度錯誤

如圖9-23所示的附合導線中，假設轉折角中含有粗差，則可根據未經調整的轉折角觀測值自A向B計算各導線邊的坐標方位角和各導線點的坐標，并同樣自B向A推算之。如果只有一點的坐標極為接近，而其余各點坐標均有較大的差數，則表明坐標很接近的這一點上，其測角有錯誤。若錯誤較大（如5°以上），直接用圖解法也可發現錯誤所在。即先自A向B用量角器和比例直尺按角度和邊長畫導線，然后再由B向A畫導線，則兩條導線相交的導線點上測角有錯誤。

圖9-23檢查導線測量角度錯誤

§9.3導線測量

圖9-25檢查導線測量坐標方位角錯誤圖9-24檢查導線測量邊長錯誤§9.3導線測量2．導線全長相對閉合差超限，檢查邊長或坐標方位角錯誤

由圖9-24所示，導線全長閉合差BB′的坐標方位角之正切為：

根據上式求得

后，則將其與各邊的坐標方位角相比較，若有與之相差90°者，則檢查該坐標方位角有無用錯或算錯。若有與之平行或大致平行的導線邊，則應檢查該邊長的計算。如果從手簿記錄或計算中檢查不出錯誤，則應到現場檢查相應的邊長觀測。

上述導線測量錯誤檢查方法，僅對只有一個錯誤存在時有效。§9.3導線測量第九章平面控制測量§9.1平面控制測量概述§9.2GPS控制測量§9.3導線測量§9.4單一導線測量的精度分析§9.5三角形網測量§9.6交會測量

一、直伸等邊支導線終點的中誤差

如圖9-26所示為一直伸等邊支導線，A(P1)是已知點，P2、P3、…、Pn+1是未知導線點，β1、β2、…、βn是轉折角等精度觀測值，S是導線各邊的邊長。圖9-26直伸等邊支導線終點的中誤差§9.4單一導線測量的精度分析

由于測邊有誤差，將使導線點在導線長度方向產生位移，這種位移稱為縱向位移，相應的中誤差稱為縱向中誤差，以mt表示。由于測角有誤差，將使導線點在導線長度的垂直方向產生位移，這種位移稱為橫向誤差，相應的中誤差稱為橫向中誤差，以mu表示。

下面討論測角誤差與測邊誤差對導線終點Pn+1的影響：

設距離量測的單位權中誤差為μ，當導線終點Pn+1離開已知點A的長度為

時，距離的量測中誤差為

距離的量測中誤差，也就是導線終點Pn+1在導線縱向的中誤差，即（9-34）§9.4單一導線測量的精度分析

下面再討論測角誤差的影響：當第一個轉折角

有誤差

，其他轉折角假設都無觀測誤差時，將使導線終點Pn+1產生橫向位移

，而

。同樣，當第二個轉折角

有誤差

，其他轉折角假設都無觀測誤差時，將使導線終點Pn+1產生橫向位移,而

。依次類推，由于

、

、…、

產生

、

、…、,將使導線終點Pn+1產生橫向位移的真誤差為

（9-35）導線終點Pn+1的橫向中誤差為（9-36）導線終點Pn+1的點位中誤差為（9-37）§9.4單一導線測量的精度分析二、直伸等邊附合導線閉合差的中誤差

圖9-27直伸等邊附合導線

設導線轉折角的觀測值為(i=1,2,…,n+1),的真誤差為,改正數為

，經過坐標方位角閉合差配賦后的角值為

，其真誤差為

。

圖9-27中附合導線的坐標方位角應滿足的條件為

或

§9.4單一導線測量的精度分析式中，

當觀測角是等精度、只考慮坐標方位角條件時，角度改正數等于坐標方位角閉合差平均值的反號（以導線左角為例，其結論對右角亦同），即

經過坐標方位角閉合差配賦的角度為

所以

的誤差

為

（9-38）

將式（9-35）中的

用

替換就可以求得終點橫向位移真誤差

為

§9.4單一導線測量的精度分析顧及到式（9-38），上式為

根據上式，得出橫向中誤差

為

所以直伸附合導線閉合差的中誤差為：

（9-39）§9.4單一導線測量的精度分析三、直伸等邊附合導線最弱點的中誤差

對于直伸附合導線而言，導線的縱向和橫向中誤差最大的地方是導線的中間點K（圖9-28），K點距離已知點A、B的長度都是S/2。

求K點最后坐標的中誤差。

從已知點A（或B）推算得的K點的點位中誤差

，是將S/2、n/2分別代替式（9-39）中的S、n，而求得，即

而K點最后坐標的點位中誤差為

（9-40）

圖9-28直伸等邊附合導線最弱點§9.4單一導線測量的精度分析第九章平面控制測量§9.1平面控制測量概述§9.2GPS控制測量§9.3導線測量§9.4單一導線測量的精度分析§9.5三角形網測量§9.6交會測量

三角形網是以三角形為基本圖形構成的測量控制網。《工程測量規范》和《城市測量規范》中規定，三角形網測量的等級分為二、三、四等和一、二級。《工程測量規范》規定，各等級三角形網測量的主要技術要求，應符合表9-10的規定。表9-10三角形網測量的主要技術要求等級平均邊長（km）測角中誤差（″）測邊相對中誤差最弱邊邊長相對中誤差測回數三角形最大閉合差（″）1″級儀器2″級儀器6″級儀器二等911/2500001/12000012--3.5三等4.51.81/1500001/7000069-7四等22.51/1000001/4000046-9一級151/400001/20000-2415二級0.5101/200001/10000-1230§9.5三角形網測量一、三角形網的布設和觀測

三角形網由一系列連續的三角形構成，單個圖形可以是單三角形、雙對角線四邊形(又稱大地四邊形)和中心多邊形(圖9-29)。

（a單三角形）(b大地四邊形）

（c中心多邊形）

圖9-29三角形網的單個圖形§9.5三角形網測量二、邊角三角形網的數據處理

1.三角形網的條件閉合差的計算

（1）計算三角形閉合差

三角形閉合差為：

由三角形閉合差計算測角中誤差的公式為：

（9-41）

式中n為三角形個數。

（2）計算大地四邊形、中心多邊形極條件閉合差

一個中心多邊形如圖9-30，選取O為極點則可寫出：

用正弦定律來表示極條件

（9-42）

§9.5三角形網測量極條件閉合差為：

（9-43）

圖9-30中心多邊形§9.5三角形網測量

（3）計算三角形中觀測值與計算值之間的較差

如圖9-31所示，例如，計算值c′與觀測角c的較差為：

(9-44)

圖9-31邊、角全部觀測的三角形§9.5三角形網測量2.三角形網的平差計算

（1）方向誤差方程式

設由測站k觀測方向i的方向觀測值為

，則方向ki的坐標方位角平差值

的方程為：

（9-45）

式中，

為定向角平差值，

為定向角近似值，

為定向角改正數，

為ki方向觀測值平差值，

為方向觀測值改正數。

設k、i兩點的近似坐標分別為

及,相應的改正數為

及

，則根據平面坐標反算公式得：

將上式按臺勞級數展開，并保留一次項，得：

（9-46)

§9.5三角形網測量式中，

為ki邊的近似方位角，

為近似距離。

將式（9-46）代入式（9-45）經整理，并取S以千米為單位，坐標改正數

及

以分米為單位，則

（9-47）

式中

式（9-47）為方向誤差方程式的一般形式，常數項l中包含的測站定向角近似值

，通常是取該測站上各方向（包括零方向）定向角的平均值。亦即

式中，

為測站k上的方向數。§9.5三角形網測量

式（9-47）中含有測站定向角未知數

，其系數為－1，為減少未知數的個數，可以用一組消去了定向角未知數

的虛擬誤差方程組來代替測站k觀測方向的誤差方程式組，即

(9-48)

虛擬誤差方程組中增加了一個和方程式

。設方向觀測值中誤差為

，選擇比例常數為

，方向觀測值的權為

，則和方程式的權為

。§9.5三角形網測量（2）邊長誤差方程式

設k、i兩點的邊長觀測值為Ski，其改正數為

，根據邊長計算公式，得：

將上式按臺勞級數展開，并保留一次項，即得誤差方程

（9-49）

式中

式中

式（9-49）為邊長誤差方程式的一般形式。設邊長觀測值中誤差為

，選用與確定方向觀測值權相同的比例常數,則邊長觀測值的權為

§9.5三角形網測量第九章平面控制測量§9.1平面控制測量概述§9.2GPS控制測量§9.3導線測量§9.4單一導線測量的精度分析§9.5三角形網測量§9.6交會測量

一、前方交會

在已知控制點A、B上設站觀測水平角α、β，根據已知點坐標和觀測角值，計算待定點P的坐標，稱為前方交會（圖9-32）。在前方交會圖形中，由未知點至相鄰兩已知點間的夾角稱為交會角。當交會角過小（或過大）時，待定點的精度較差，交會角一般應大于30°并小于150°。

圖9-32前方交會

§9.6

交會測量

如圖9-32所示，根據已知點A、B的坐標(xA、yA)和xB、yB)，通過平面直角坐標反算，可獲得AB邊的坐標方位角

和邊長

，由坐標方位角

和觀測角

可推算出坐標方位角

，由正弦定理可得AP的邊長

。由此，根據平面直角坐標正算公式，即可求得待定點P的坐標，即：

當A、B、P按逆時針編號時，

，將其代入上式，得

顧及到

，則有

（9-50）

§9.6

交會測量由正弦定理可知：

將上式代入式（9-50），并整理得

（9-51）

式（9-51）即為前方交會計算公式，通常稱為余切公式，是平面坐標計算的基本公式之一。

在此應指出：式（9-51）是在假定△ABP的點號A（已知點）、B（已知點）、P（待定點）按逆時針編號的情況下推導出的。若A、B、P按順時針編號，則相應的余切公式為

（9-52）

§9.6

交會測量前方交會算例見表9-11。

表9-11前方交會計算

由于觀測角均有誤差，三個觀測角之和一般不等于180°，它們的差值為三角形閉合差，即

°

將閉合差反號平均分配作為各觀測角的改正數，

。觀測角經改正后，就可以用與前方交會相同的公式計算待定點P的坐標。

點名觀

測

角

值°′″角之余切縱

坐

標m橫

坐

標mP52396.76186053.636A7206120.32292752845.15086244.670B6901000.38353052874.73085918.350∑0.706457§9.6

交會測量二、后方交會

僅在待定點P設站，向三個已知控制點觀測兩個水平夾角

，從而計算待定點的坐標，稱為后方交會。

圖9-33后方交會

后方交會如圖9-33所示，圖中A、B、C為已知控制點，P為待定點。如果觀測了PA和PC之間的夾角

，以及PB和PC之間的夾角

，這樣P點同時位于三角形PAC和三角形PBC的兩個外接圓上，必定是兩個外接圓的兩個交點之一。

§9.6

交會測量

圖9-33中，可由A、B、C三點的坐標，反算其邊長和坐標方位角，得到邊長a、b以及角度

，若能求出

和

角，則可按前方交會求得P點的坐標。由圖9-33可知

（9-53）

由正弦定理可知

則

令

即

（9-54）

§9.6

交會測量

由式（9-54）求得

后，代入式（9-53）求得

，即可按前方交會計算P點坐標。

后方交會的計算方法很多，下面給出另一種計算公式（推證略）。這種計算公式的形式與廣義算術平均值的計算式相同，故又被稱之為仿權公式。

P點的坐標按下式計算：

(9-55)

式中：

§9.6

交會測量

為計算方便，采用以上仿權公式計算后方交會點坐標時規定：已知點A、B、C所構成的三角形內角相應命名為A、B、C（如表9-12中的示意圖所示），在P點對A、B、C三點觀測的水平方向值為Ra、Rb、Rc，構成的三個水平角為

。三角形三內角A、B、C由已知點坐標反算的坐標方位角相減求得，P點上的三個水平角

由觀測方向Ra、Rb、Rc相減