6.1平面向量的概念（單元教學(xué)設(shè)計）

一、【單元目標(biāo)】

通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景，能理解平面向量的意義和兩個向量相等

的含義.掌握平面向量的兒何表示，促進思維發(fā)展.

（1）構(gòu)造四個情境，回顧物理知識，由具體到抽象，讓學(xué)生通過類比歸納總結(jié)出平面向量的兩要素.

從具體到抽象，特殊到一般，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，進一步發(fā)展了學(xué)生的類比推理素養(yǎng)；

（2）從學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，探究向量的表示，讓學(xué)生充分了解向量的表示，更好的理解向量的概

念，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)；

（3）根據(jù)所學(xué)新舊知識，讓學(xué)生體驗、探究、發(fā)現(xiàn)平面向量之間的關(guān)系；

（4）由特殊情況引入，通過講解與師生互動的方式，猜測推理兩個平面向量相等的充要條件.

二、【單元知識結(jié)構(gòu)框架】

1.有向線段

二平面向量的幾何表示2.零向量與單位向量

3.平面向量的兩種表示

實際背景平面向量的概念

1平.行向量

相等向量m舉回曼2相.等向量

3共.線向量

三、【學(xué)情分析】

1.認(rèn)知基礎(chǔ)

本節(jié)內(nèi)容是本章的基礎(chǔ)，也是學(xué)好平面向量的關(guān)鍵.在學(xué)習(xí)本節(jié)之前，學(xué)生己經(jīng)學(xué)習(xí)了物理中矢量的概

念，對于大小和方向有一定的了解，且清楚平行與相等的一般含義，為介紹平面向量的概念，向量相等，

向量共線奠定了基礎(chǔ).

2.認(rèn)知障礙

一方面，學(xué)生對于知識的把握是零碎、分散的.對向量概念是不了解的，需要在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下探究

體會向量的兩要素；另一方面，學(xué)生相等的問題常常會默認(rèn)為是數(shù)量上的相等，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.

四、【教學(xué)設(shè)計思路/過程】

課時安排：約1課時

教學(xué)重點：向量的概念，向量的幾何表示，相等向量和共線向量的概念

教學(xué)難點：向量的概念和共線向量的概念

教學(xué)方法/過程:

課前預(yù)習(xí)

位移與距離

引入新課

X力的作用

向量的概念

平面向量的概念

課堂檢測

課后作業(yè)

五、【教學(xué)問題診斷分析】

6.1.1向量的實際背景與概念

問題1：今天老師想做個調(diào)查，你們每個人距離學(xué)校有多遠？老師每天下班開車28公里回到家，那請

大家猜猜我家住哪里？

【破解方法】通過學(xué)生熟悉的身邊環(huán)境，引發(fā)學(xué)生思考，只有大小，沒有方向的距離，并不能確定具

體的位置，從而引出物理意義上的位移是一個既有大小又有方向的量.

問題2：那如何才能猜出老師住在哪里？如果給你一副深圳市區(qū)地圖，你能如何定位你家的具體位置

嗎？

【破解方法】在現(xiàn)實生活中，我們會遇到很多量，其中一些量在取定單位后只用一個實數(shù)就可以表示

出來，如長度、質(zhì)量、年齡等.還有一些量則不是，例如老師家到學(xué)校的位移，老師每天開車上班的車速，

書桌上水杯受到的支撐力等等.

問題3：給出下列量:①面積；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨溫度;

⑩角度.用你所學(xué)的知識請你將它們分成兩類，并指出它們有什么不同.

【破解方法】通過物理量中的矢量和標(biāo)量的對比，凸顯向量的方向和大小這兩大要素.

【教學(xué)過程】引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)過的數(shù)的概念，從“一支筆”、“一棵樹”、“一本書”……中抽象出只有大

小的數(shù)量“1”.類似地，我們可以對力、位移、速度……這些既有大小又有方向的量進行抽象，形成一種新的

量.進一步引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到把這種既有大小又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小沒有方向的量稱為數(shù)

量.向量在物理中常稱為矢量，數(shù)量在物理中常稱為標(biāo)量.

6.1.2向量的幾何表示

問題4：實數(shù)在數(shù)軸上是如何表示出來的？

【破解方法】類比數(shù)量用實數(shù)表示，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，尋求平面向量的幾何表示.用“帶箭頭

的線段“表示浮力，是初中物理已經(jīng)學(xué)習(xí)過的內(nèi)容，根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”理論，將這一內(nèi)容再次進行條理化、

系統(tǒng)化，讓舊知自然地遷移出新知；類比實數(shù)絕對值的幾何意義，尋求向量模的表示及幾何意義.

【教學(xué)過程】在學(xué)生回答問題4之后追問：數(shù)量可以用數(shù)軸上的點表示，那么向量呢？我們能不能找

到一種幾何圖形來表示平面向量呢？引導(dǎo)學(xué)生回顧物理學(xué)科中力和位移的表示方式，回顧實數(shù)中絕對值符

號的使用，讓學(xué)生探究平面向量的幾何表示和字母表示，探究向量的大小的表示方式，即向量的模的概念.

通常，在線段AB的兩個端點中，規(guī)定一個順序，假設(shè)A為起點，B為終點,我們就說線段AB具有方向，

具有方向的線段叫做有向線段.通常在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向.以A為起點、B為終點的有

向線段記作AB,線段AB的長度也叫做有向線段AB的長度，記作IAq.

向量也可以用字母a、b、c....表示

問題5：在數(shù)軸上，哪些實數(shù)比較特殊？那在你畫的有向線段中，哪些有向線段比較特殊呢？

【破解方法】引導(dǎo)學(xué)生類比實數(shù)集，挖掘向量集中的特殊元素.通過0、1這兩個特殊實數(shù)類比出零向量

和單位向量的概念.

【教學(xué)過程】在學(xué)生找出0、1這兩個特殊實數(shù)之后，引導(dǎo)學(xué)生類比發(fā)現(xiàn)向量集合中兩個特殊的向量,

一個是長度為零的向量，叫做零向量.一個是長度為1個單位的向量，叫做單位向量.明確向量是既有大小又

有方向的量.研究向量需要將代數(shù)形式和幾何形式相結(jié)合.

6.1.3相等向量與共線向量，一__一_,_u

AB

------------*1~~Γ

問題6：如圖，分別指出方格紙（由邊長為1的正方形格拼成）上向量A3、

CD

?---------------

CD、EF的方向和大小，并說明這三個向量的方向和大小的關(guān)系.

FE

【破解方法】通過探索我們發(fā)現(xiàn)：向量AB與C。具有大小相等方向相反

的特征，從而總結(jié)得出長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.AB與ER方向相同，線段所在的直線相

互平行，得出平行向量的概念：方向相同或相反的向量.記作A3〃EF.規(guī)定：零向量與任意向量平行.

a、b.C是一組平行向量，任作一條與a所在直線平行的直線I,在Lh任取一點0,在I上分別作出。4=a,OB

=b,OC=c,這組平行向量可以平移到一條直線上，因此，平行向量也叫共線向量.

問題7：下列說法中正確的是

①非零向量。與非零向量Z,共線，向量方與非零向量C共線，則向量，與向量C共線；

②任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四個頂點；

③向量a與）不共線，則a與）所在直線的夾角為銳角：

④零向量模為0,沒有方向；

⑤始點相同的兩個非零向量不平行；

⑥兩個向量相等，它們的長度就相等；

⑦若非零向量AB與CD是共線向量，則A、B、C、D四點共線.

【答案】①⑥

【解析】①向量共線即方向相同或相反，故非零向量間的共線關(guān)系是可以傳遞的；

②相等向量是共線的，故四點可能在同一直線上；

③向量不共線，僅指其所在直線不平行或不重合，夾角可能是直角或銳角；

④零向量不是沒有方向，它的方向是任意的；

⑤向量是否共線與始點位置無關(guān)；

⑥兩個向量相等，它們的長度相等，方向相同；

⑦共線向量即平行向量，非零向量AB與CD是共線向量，可能A、B、C、D四點共線，也可能AB、

CD平行.

【破解方法】從向量的定義可以看出，向量既有代數(shù)特征又有幾何特征，因此借助于向量可將代數(shù)問

題與幾何問題相互轉(zhuǎn)化.零向量是一特殊向量，它似乎很不起眼，但又處處存在.因此，正確理解和處理零向

量與非零向量之間的關(guān)系值得我們重視.對于平行向量或共線向量，它們可以在同一直線上，也可以所在直

線互相平行，方向可以相同也可以相反；相等向量則必須大小相等、方向相同.

問題8：如圖，。是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與向量殖，Oti,求相等的向量，與

向量初共線的向量;

B

Q

DE

【解析】與況相等的向量有在，前，/；

與協(xié)相等的向量有成，劭，成；

與δb相等的向量有屈,F?,Eb.

與向量力方共線的向量有9個：Dλ,EP,Fk,Ab,oλ,δb,Db,Bt,c^.

【破解方法】本題考查了共線向量與相等向量的判斷；方法：

1、如果兩個向量所在的直線平行或重合，那么這兩個向量是共線向量；

2、共線向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共線向量；

3、非零向量的共線具有傳遞性，即向量α,h,C為非零向量，若a〃。，b∕∕c,則可推出?！╟；

六、【教學(xué)成果自我檢測】

1.課前預(yù)習(xí)

設(shè)計意圖：落實與理解教材要求的基本教學(xué)內(nèi)容.

1、判斷下列命題的真假(真命題用：4表示；假命題用：X表示)

(1)如果IAB|〉ICol,那么AB>CQ;()

(2)若α,方都是單位向量，則。=6；()

(3)若a=b,且。與Z?的起點相同，則終點也相同；()

(4)零向量的大小為0,沒有方向；()

【答案】(1)X；(2)X；(3)√;(4)×;

【解析】對于(1);向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大小，所以，(1)是假命題；

對于(2)；。與。都是單位向量，則IaI=IZ?I=1,但α與?方向可能不同；所以，(2)是假命題；

對于(3)；是真命題；

對于(4)；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的；所以，(4)是假命題；

2、下列判斷正確的是()

A.長度為0的向量都是零向量B.零向量是最小的向量

C.單位向量都相等D.單位向量都是同方向向量

【答案】A

【解析】由零向量的定義知A正確；由于向量是不能比較大小的，故B不正確；顯然由于不注意方向所以

C錯因，D不正確；故選A；

3、下列說法正確的是()

A.若∣“∣>山∣,則α>力B.若Ial=誨則

C.若a=b,則a〃bD.a≠h,則α,人不是共線向量

【答案】C；

【解析】向量不能比較大小，所以A不正確：α=Z?需滿足兩個條件：a,Z?同向且IaI=隆所以B不

正確；a,。是共線向量只需方向相同或相反，所以D不正確，故選C；

4、下列命題中正確的有()

A.溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量B.向量的模是一個正實數(shù)

C.向量α與。不共線，則。與Z?都是非零向量D.若∣α∣>∣b∣,貝!]4>6

【答案】C；

【解析】溫度沒有方向，所以不是向量，故A錯；向量的模也可以為0,故B錯；向量不可以比較大小，

故D錯；若￡,石中有一個為零向量，則￡與B必共線，故若α與5不共線，則應(yīng)均為非零向量，故C對；

5、已知在平面內(nèi)點。固定，且IOAI=2,則A點構(gòu)成的圖形是()

A.一個點B.一條直線C.一個圓D.不能確定

【答案】C；

【解析】由于I次|=2,所以A點構(gòu)成一個以。為圓心，半徑為2的圓：故選C：

6、在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點。為圓心，C為半圓上一點，且/OCB=30。，∣A?∣=2,則配I=

【答案】I:

【解析】連接4C,由碗=|兩得NA8C=/OC8=30。，又NAC8=90。，則IAtI=孑砧=*2=1(直角三

角形中，30。角所對邊等于斜邊的一半)；

2.課堂檢測

設(shè)計意圖：例題變式練.

【變式1】判斷下列各命題是否正確,并說明理由：

⑴若Ia∣=∣?|,則α=b?,

(2)單位向量都相等；

(3)兩相等向量若起點相同,則終點也相同；

(4)若a=b,c=~,則a=c；

⑸若Ia?>?b∣,5J∣JΛ>b-,

(6)由于零向量方向不確定,故它不能與任意向量平行.

【答案】(1)錯；模相等,方向未必相同；

(2)錯：模相等,方向未必相同：

(3)正確；因兩向量的模相等,方向相同,故當(dāng)他們的起點相同時,則終點必重合；

(4)正確；由定義知是對的：

(5)錯；向量不能比較大??；

(6)錯；規(guī)定:零向量與任意向量平行.

【變式2】在復(fù)平面中，已知點A(2,1),B(0,2),C(一2,1),O(0,0).

給出下面的結(jié)論：

①直線OC與直線BA平行；?AB+BC-CA；?OA+OC=OBi?AC=OB-IOA.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解?析】k--=---,kg.-------------->?'.OC∕/AB,①正確；

o"c-22孫0-22

VAB+BCAC,②錯誤；

；OA+。C=(0,2)=。8,.,.③正確；

?.■08—2。4=(—4,0),AC=(T,0),.?.④正確.故選C.

3.課后作業(yè)

設(shè)計意圖：鞏固提升.

1.課本4頁練習(xí)

2.課本習(xí)題6.1復(fù)習(xí)鞏固及綜合運用

6.2平面向量的運算（單元教學(xué)設(shè)計）

一、【單元目標(biāo)】

（1）借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量的加、減運算及運算規(guī)則，理解其幾

何意義。

（2）通過實例分析，掌握平面向量的數(shù)乘運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義。理解兩個平

面共線的含義。

（3）了解平面向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義。

（4）通過物理中的“功”等實例，理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會計算平面

向量的數(shù)量積。

（5）通過幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義。

（6）會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。

二、【單元知識結(jié)構(gòu)框架】

向量的加、城運算

向量的段性運算

向黃的數(shù)集運算

向It的運算

向量的敷工積

三、【學(xué)情分析】

學(xué)生已具備了一定的觀察問題、分析問題的學(xué)習(xí)習(xí)慣，以及能從簡單的物理背景及生活

背景中抽象出數(shù)學(xué)概念的能力，這些都是學(xué)生學(xué)習(xí)本單元的基礎(chǔ).

從物理背景引出向量運算的過程對學(xué)生來說仍然存在困難.特別是向量既有大小，也有

方向，在向量的線性運算中，對于方向如何參與運算，學(xué)生沒有直接的經(jīng)驗.另外，向量的

運算性質(zhì)的探究過程是類比實數(shù)的運算性質(zhì).類比數(shù)的運算，學(xué)生能夠想到向量的線性運算

可能會有一些類似的運算性質(zhì)，雖然名稱相同，但運算的原理、方法、運算規(guī)律都有較大的

區(qū)別，學(xué)生很容易帶著實數(shù)運算的思維定勢來理解平面向量運算，導(dǎo)致學(xué)生對向量的運算偏

于形式化記憶，對于平面向量的線性運算概念、算理的理解不深刻.再有，向量的加法的定

義是用作圖語言來刻畫的，對直接通過作圖定義向量運算的這種處理方法，學(xué)生是第一次接

觸，在理解上會有一定的困難.

向量的每一種運算都具有二重性，既表現(xiàn)為過程操作，又表現(xiàn)為一種對象、結(jié)構(gòu).這對

學(xué)生整體理解每一種向量的運算也帶來一定的困難.平面向量的加法具有豐富的物理背景，

平面向量的線性運算蘊含著特定的幾何意義，學(xué)生們原有的物理學(xué)習(xí)、幾何學(xué)習(xí)的差異性也

會直接影響他們對向量線性運算的學(xué)習(xí).

兩個向量夾角的定義是指同一點出發(fā)的兩個向量所構(gòu)成的較小的非負(fù)角，因此向量夾角

定義理解不清而造成解題錯誤是一些常見的誤區(qū).同時利用向量的數(shù)量積，可以解決兩向量

垂直問題，要深刻理解兩向量垂直的充要條件，應(yīng)用的時候才能得心應(yīng)手.

向量的數(shù)量積是一種新的向量運算，與向量的加法、減法、數(shù)乘運算一樣，它也有明顯

的物理意義、幾何意義，用途廣泛.但與向量的線性運算不同的是，它的運算結(jié)果不是向量

而是數(shù)量，這個不同點溝通了向量運算與數(shù)量之間的關(guān)系.

對于向量的數(shù)量積運算，學(xué)生容易受實數(shù)乘法運算性質(zhì)的負(fù)遷移的影響。

四、【教學(xué)設(shè)計思路/過程】

課時安排：約6課時

第1課時：向量的加法運算；

第2課時：向量的減法運算

第3課時：向量的數(shù)乘運算；

第4課時：共線向量與向量數(shù)乘運算的關(guān)系；

第5課時：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義；

第6課時：平面向量數(shù)量積的運算律.

教學(xué)重點：向量加、減運算的運算法則及其幾何意義，向量數(shù)乘運算的定義及其幾何意義，

向量數(shù)量積的概念與運算律。

教學(xué)難點：對向量加法運算法則與向量減法運算法則的理解，對向量數(shù)量積的概念及運算律

的理解，向量數(shù)量積的應(yīng)用。

五、【教學(xué)問題診斷分析】

6.2.1向量的加法運算

引言：我們知道，實數(shù)有了運算，威力無窮.向量是否能像數(shù)一樣進行運算呢？人們從

向量的物理背景和數(shù)的運算中得到啟發(fā)，引進了向量的運算.本節(jié)我們就來研究平面向量的

運算，探索其運算性質(zhì)，體會向量運算的作用。

問題1：位移、力是向量，它們可以合成.我們看看能否從位移的合成、力的合成中得

到啟發(fā)引進向量的運算.我們先來看一個與位移有關(guān)的問題。

如圖1,某質(zhì)點M從點A經(jīng)過點B到點C,質(zhì)點M的位移如何表示？

圖Ib

用具有較大的開放性和統(tǒng)攝性的問題開場,有利于幫助學(xué)生站在數(shù)學(xué)知識的整體高度認(rèn)識問

題、思考問題，并知道探究向量的運算從哪里開始，要到哪里去0

【破解方法】這容易讓我們想到向量可以這樣作加法運算，點明本節(jié)課首先研究向量的加法

運算。啟發(fā)學(xué)生由位移的合成引入向量的加法。

問題2：由位移的合成，你認(rèn)為如何進行兩個向量的加法運算？

【破解方法】學(xué)生借助位移的合成引入向量與向量之間的一種運算一一向量的加法運算.教

師要關(guān)注全體學(xué)生對這個問題的理解，鼓勵學(xué)生獨立思考后，進行交流.最后，教師給出向

量加法的定義及向量加法的三角形法則.對于向量加法的三角形法則，教師要關(guān)注學(xué)生對它

的意義的理解，強調(diào)向量的和的方向。

問題3：對于矢量的合成，物理學(xué)中還有其他方法嗎？請看下面的問題:

如圖2,在光滑的平面上，一個物體同時受到兩個外力尸1與尸2的作用，你能作出這個物

體所受的合力F嗎？由此你能給出向量加法的另一個法則嗎？

【破解方法】學(xué)生獨立思考，動手操作后，小組交流，最后師生由力的合成引入向量加法的

平行四邊形法則.

問題4：向量加法的平行四邊形法則與三角形法則一致嗎？為什么？

【破解方法】學(xué)生畫圖探索，學(xué)生代表展示并發(fā)表見解，師生共同歸納結(jié)論：向量加法的三

角形法則和平行四邊形法則本質(zhì)上是一致的，解決具體的向量加法問題時，可以有選擇地使

用。

問題5：例1如圖3,已知向量a,b,求作向量a+b.

圖3。

【破解方法】學(xué)生先嘗試，通過獨立思考和動手操作，經(jīng)過同學(xué)

交流，教師讓不同的學(xué)生代表展示向量加法的兩個法則的作法.必要時，師生一起通過幾何

畫板等信息技術(shù)工具，改變向量a,b的大小和方向，求作向量a+b,教師強調(diào)向量的和的

方向，幫助學(xué)生明確向量加法的幾何意義.

追問1：在向量加法的作圖中，你認(rèn)為用三角形法則作圖應(yīng)注意什么？用平行四邊形法

則作圖呢？

【破解方法】學(xué)生思考回答，教師概括：在向量加法作圖時，向量起點可以在平面上任意

選取，用向量的三角形法則作圖時，兩個向量首尾相連；而用平行四邊形法則作圖時應(yīng)強調(diào)

向量的起點放在一起；當(dāng)兩個向量共線時，采用三角形法則作兩個向量的和。

問題6：如圖4,(1)已知向量a,b共線，它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？你能作出

向量a+b嗎？

(2)結(jié)合例1探索∣a+b∣,∣a∣,b∣之間的關(guān)系.

-2→?→

—3___

圖M

【破解方法】(1)學(xué)生自主探究，可以類比數(shù)的加法，也可以看成是三角形法則

的特例，當(dāng)兩個向量共線時也符合“首尾相接，首尾連”的三角形法則.必要時可以借助多

媒體手段演示作圖過程，使學(xué)生有更直觀的認(rèn)識.

(2)學(xué)生思考、動手操作，由例1,借助三角形的性質(zhì)(任意兩邊的和大于第三邊)

容易得到，當(dāng)a,b不共線時，有∣a+b∣<∣a∣+∣b∣成立.進一步發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a,b方向相反時,

1a+b1<IaI+1bI；當(dāng)且僅當(dāng)a,b方向相同時,∣a+b∣=∣a∣+∣b∣.從而有∣a+b∣W∣a∣+∣b∣,當(dāng)

且僅當(dāng)a,b方向相同時等號成立

問題7：請你用文字語言、符號語言、圖形語言分別描述如何求兩個向量的和.

【破解方法】學(xué)生思考、交流.教師組織多個學(xué)生用三種數(shù)學(xué)語言表述如何求向量的

加法，教師關(guān)注學(xué)生對向量加法的理解，幫助學(xué)生完整準(zhǔn)確地理解向量的加法法則.

問題8：從代數(shù)運算的角度理解，向量的加法是一種新的運算，定義了一種新的運算，自

然要研究其運算律的問題.類比數(shù)的加法的運算律，你認(rèn)為向量的加法是否也有運算律？先

猜測有哪些運算律，再說明理由.

【破解方法】學(xué)生自主探究，猜想并互相交流.

對于向量加法的結(jié)合律的證明，學(xué)生可能存在一定困難，需要教師引導(dǎo)學(xué)生通過作圖證

明，并理解作圖方法的多樣性.借助多媒體手段，演示作圖的兩個路徑(實際上是質(zhì)點運動

選擇的路徑不同，異曲同工而已).

師生借助如圖5(1),(2)分別證明向量加法的交換律和結(jié)合律.

問題9：例2如圖6,長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸，一艘船從

長江南岸A地出發(fā)，航行的速度的大小為15km/h,方向為垂直于對岸的方向，同時江水的

速度為向東6km/h.

(1)試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；

(2)求船實際航行的速度的大小(保留小數(shù)點后一位)與方向(用與江水速度間的夾

角表示，精確到1°).

圖的

【破解方法】學(xué)生作出幾何圖形，將問題轉(zhuǎn)化為向量加法問題，并依據(jù)向量加法定義及平

面幾何知識求解，給出解答過程和結(jié)果.這是首個將實際問題轉(zhuǎn)化為向量問題的題目，對有

困難的學(xué)生，教師可以引導(dǎo)學(xué)生閱讀題意，思考問題中有哪些數(shù)據(jù)，能否畫出圖形，與所學(xué)

的哪些向量知識有聯(lián)系等等，并適當(dāng)規(guī)范學(xué)生的書寫。

6.2.2向量的減法運算

問題1(1)類比實數(shù)X的相反數(shù)是-X,對于向量a,你能定義“相反向量”-a嗎？它有

哪些性質(zhì)？

(2)你認(rèn)為向量的減法該怎樣定義？

(1)類比實數(shù)X的相反數(shù)是-X,定義相反向量，為幫助學(xué)生探討向量的減法法則做

準(zhǔn)備.(2)引導(dǎo)學(xué)生類比數(shù)的減的減法定義向量的減法.

問題2已知向量a和b,a-b的幾何意義是什么？

段如??.麗衛(wèi)?.麗:-?4MW

3向量遍法的文義A

?一????("Wλi+3i?).

Re通中.fM>Xr'Λ,?*ι

OCK早行，通國?，以

H1?fX<?>>

最后師生共同概括向量減法的作圖步驟：

如圖2,已知向量a,b,在平面內(nèi)任取一點0,作刀=。，礪=A，則麗=α-%即

a-b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.

在此過程中教師需要強調(diào)向量減法的結(jié)果的方向，明確向量減法的幾何意義.

追問1：(1)在圖2中，如果從a的終點到b的終點作向量，那么所得向量是什么？

(2)如果改變圖2中向量a的方向，使a〃b,怎樣作出a-b呢？

【破解方法】讓學(xué)生明確向量減法的幾何意義.

問題3：例3如圖3(1),已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.

【破解方法】理解向量減法的幾何意義，掌握作兩個向量的差的基本方法.

問題4:例4.如圖，在2BC。中，AB=a,AD=b,你能用α,b表示向量尼，麗嗎？

D,

Ake--------?--------XB

atJ

圖如

【破解方法】讓學(xué)生借助向量的加、減運算用已知向量表示其他向量.

6.2.3(1)向量的數(shù)乘運算

引言:我們知道數(shù)是可以做乘法的，平面向量既有大小,又有方向，平面向量可以做乘法嗎？

它和實數(shù)可以做乘法嗎？

問題1已知非零向量a,作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a),它們的長度和方向是怎樣的？

【破解方法】類比數(shù)的加法運算，用向量加法運算法則，計算3個向量a(或-a)的和，

用簡約的方式表示計算的結(jié)果，進而提出向量數(shù)乘運算的概念，發(fā)展學(xué)生的運算素養(yǎng).

問題2如果把非零向量a的長度伸長到原來的3.5倍,方向不變得到向量b,向量b該如

何表示？向量a,b之間的關(guān)系怎樣？

【破解方法】通過用向量a表示結(jié)果，探討結(jié)果的長度與方向，I凡固向量數(shù)乘運算的概

念.

問題3我們知道實數(shù)的乘法有很好的運算律，那么向量數(shù)乘運算有哪些運算律呢？請你寫

出來并加以驗證.

【破解方法】學(xué)生類比數(shù)的運算律自行猜想出向量數(shù)乘運算的運算律，并借助向量數(shù)乘運

算的定義及其幾何意義加以驗證.幫助學(xué)生積累從運算的定義出發(fā)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)運算的一些性

質(zhì)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗.

例5計算：

(1)(-3)×4a;

(2)3(a+b)-2(a-b)-a;

(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).

解：(1)原式=(一3X4)α=-12a；

(2)原式=3a+3b-2a+2b—a=5b；

(3)原式=2a+3b-c-3a+2b—c=-a+5b-2c.

【破解方法】幫助學(xué)生鞏固向量數(shù)乘的概念及運用向量數(shù)乘的運算律進行計算，理解其中的

算理，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

例6.如圖，D4BCD的兩條對角線相交于點“，且荏=a,AD=b,用α,b表示而N,^MB,

流和而

圖IP

【破解方法】鞏固向量加法、減法及向量數(shù)乘運算的定義，會用兩個向量表示其他向量，滲

透用向量研究幾何問題的意識，為后?嵌學(xué)習(xí)平面向量基本定理奠定基礎(chǔ).

6.2.3(2)共線向量與向量數(shù)乘運算的關(guān)系

例7.如圖，已知任意兩個非零向量α,b,試作。X=a+b,0β=α+2b,OC=a+3b.猜

想4B,C三點之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想.

\,

圖2"

【破解方法】通過操作、觀察，讓學(xué)生掌握利用向量共線判斷三點共線的方法，提高學(xué)生綜

合運用向量知識解決問題的能力，發(fā)展直觀想象和邏輯推理數(shù)學(xué)素養(yǎng).

例8.已知a,b是兩個不共線的向量，向量b-ta,-Ib共線，求實數(shù)t的值.

【破解方法】讓學(xué)生熟練運用共線向量定理，體會知識間的聯(lián)系.

6.2.4向量的數(shù)量積(1)

引言：前面我們學(xué)習(xí)了向量的加、減運算?類比數(shù)的運算，出現(xiàn)了一個自然的問題：向

量能否相乘？如果能，那么向量的乘法該怎樣定義呢？

【破解方法】用具有較大的開放性和統(tǒng)攝性的問題開場，有利于幫助學(xué)生站在數(shù)學(xué)知識

的整體高度認(rèn)識問題、思考問題，并知道探究向量的運算從哪里開始，要到哪里去.

問題1在物理課中我們學(xué)過功的概念：如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S(如

圖所示)，那么力F所做的功為τ=Lf∣l?s∣8se,其中O是F與S的夾角.

W:.

S

LO-Qj,

功是一個標(biāo)量，它由力和位移兩個向量來確定.這給我們一種啟示，能否把“功”

看成是兩個向量“相乘”的結(jié)果呢？

例9.已知同=5,同=4,4與屈勺夾角9=2^,求α?6

例10.設(shè)同=12,網(wǎng)=9,cι?b=-54√2,求α與鄴J夾角

【破解方法】啟發(fā)學(xué)生由物理中功的概念引入向量的數(shù)量積的概念，通過例題鞏固數(shù)量

積的概念.

問題2定義：設(shè)a,b是兩個非零向量，AB^a,CD^b,我們考慮如下的變換：過而

的起點A和終點B,分別做而所在直線的垂線，垂足分別為A,B12?∣1麗,我們稱上

述變換為叫做向量:在g上的投影(projection).叫做向量Z在了上的投影向量。

圖6.2-20

問題3根據(jù)數(shù)量積的概念，數(shù)量積有哪些性質(zhì)？

師生活動：教師與學(xué)生一起總結(jié)：

設(shè)a,b是非零向量，它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量，則

(1)a?e=e?a=∣a∣cos0.

(2)αli<=>fl?=0.(1與任意向量垂直)

(3)當(dāng)a與b同向時，a?b=IaIIbI；當(dāng)a與b反向時,a?b=-∣a∣∣b∣.

特別地，a:a=\a\'^,\a=4a~a.

此外，由卜。SfMWl還可以得到

(4)∣a?b∣≤∣a∣∣b∣.

補充(5)cos^?i?v

ITI

【破解方法】結(jié)合數(shù)量積、投影的概念和幾何意義,讓學(xué)生自己嘗試得到數(shù)量積的性質(zhì),

培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的能力.

6.2.4向量的數(shù)量積(2)

問題1向量a與b的數(shù)量積的含義是什么？向量的數(shù)量積具有哪些運算性質(zhì)？

a?b=IaIIbIcosθ,其中0為向量a與b的夾角.

設(shè)a,b是非零向量，它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量，則

①a?e=e?a=Ialcosθ.

@aVb<=>ab=Q.

③當(dāng)a與b同向時，a?b=IaIbl；當(dāng)a與b反向時，a?b=-1a∣∣bI.

特別地，a；。="2或⑷=Ja?a.

@|a?bI≤Iab∣.

補充⑤COS。

與向量的線性運算一樣，定義了向量的數(shù)量積后，就要研究數(shù)量積運算是否滿足一

些運算律.

【破解方法】引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)量積的概念，為后續(xù)學(xué)習(xí)運算律打基礎(chǔ).

問題2類比數(shù)的乘法運算律，結(jié)合向量的線性運算的運算律，你能得到數(shù)量積運算的

哪些運算律？你能證明嗎？

由向量數(shù)量積的定義，可以發(fā)現(xiàn)下列運算律成立：

對于向量a,b,C和實數(shù)人，有

φa?b=b?a；

②(λ?a)?b=A(a?b)=a?(λb);

③(a+b)?c=a?c+b?c.

證明：如圖，任取一點0,作五5=0，OB=b,OC=c,OD=a+?.

設(shè)a,b,a+b與C的夾角分別為仇，ft,仇它們在C上的投影分別為

凡麗，西,與c方向相同的單位向量為e,則

=∣α∣cosfte>OB1=bcosfte,OD1=∣α+?cos0e.

因為a=BD>所以。*=BlR>則OR—OB+BlR=OBI-Q￡》,即

∣α÷?cos5e=IeJcpsfte+0|cosfte.

整理,得(Ia+bkos8-IaIcosft-IAIcosft)e=0

所以」。士心CQ5夕一⑷c°3仇一|。|COSft=O.即CQSAalcosa+1加cosβ.

所以」〃十力CCOS由⑷IClCoS優(yōu)+力ccosft

因止匕(a+b)?c=a?c+b?c.

所以向量的數(shù)量積運算滿足分配律.

(3)教師追問：設(shè)a,b,C是向量，(a?b)c=a(b?c)一定成立嗎？為什么？

【破解方法】有了運算方法就有運算律，通過問題讓學(xué)生理解平面向量數(shù)量積運算律,

并運用投影向量的性質(zhì)證明數(shù)量積的分配律.

例IL我們知道，對任意〃力￡R,恒有(〃+b)2=a2+2ah+h2

S+6)(〃-b)="-比對任意向量〃展否也有下面類似的結(jié)論？

(1)(fl+i)2=Λ→2fl?b-b^J；

(2)(a^b)(a-b)=a1-b1.

解：(1)(S西也&)也Q=Q痣:紅虻殳0:他全心2。卜方;.

(2)(Q+力)?(a-by)≈aa-ab-ba-bb≈a1-b1

因此，上述結(jié)論是成立的.

例12已知∣a∣=6,∣b∣=4,a與b的夾角為60o,求(a+2b)?(a-3b).

解：(a+2b)?(a-3b)=a?a-3a?b+2b?a-6b?b

二Ial匚公八6|舁<

=IQiIl叱分6貽

=62-6×4×cos60o-6×42

=-72.

例13已知∣a∣=3,∣b∣=4,且a與b不共線.當(dāng)k為何值時，向量a+kb與a-kb

互相垂直？

解：a+kb與a-kb互相垂直的充要條件是(a+kb)?(a^kb)=0,即因為

3

a2≈32≈9,?2=42=16,所以9-16戶=0.因此后=±—

4

a+kb與a-kb互相垂直.

【破解方法】通過例題，讓學(xué)生熟悉向量數(shù)量積的運算.

六、【教學(xué)成果自我檢測】

1.課前預(yù)習(xí)

設(shè)計意圖：落實與理解教材要求的基本教學(xué)內(nèi)容.

1.（2022春?溫州期中）標(biāo)+前-標(biāo)等于（）

A.BCB.ADC.ABD.DA

【分析】利用向量的加法、減法法則求解.

【解答】解：AD+DC-AB=AC-AB=BC）

故選：A.

【點評】本題主要考查了向量的加法、減法運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2022春?河南月考）設(shè)O為AABC的重心，M為AABC所在平面內(nèi)任意一點，則

NA+MB+≡=（）

A.0B.MOc.2M0D.3M0

【分析】根據(jù)題意，由重心的性質(zhì)可得丞+瓦+沃="6,又由證+而+而=記+瓦+而+

0B+M0+0C.變形可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，如圖：設(shè)aABC中，D、E、尸分別為三邊BC、AC和AB的中

點，

...—?

又由。為AABC的重心，則A。、BE、CF相交于點0,且0A+0B+0C=0，

則證+MB+MC=MO+0A+M0+≡+M0+OC=3MO-

故選：D.

【點評】本題考查向量的線性運算，涉及向量的加減運算，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2022春?臺州期末）3（2W-E）-2G+33）的化簡結(jié)果為（）

A.4a+3bB.4a_9bC?8a-9bD.4a-3b

【分析】由平面向量的線性運算法則即可求得答案.

【解答】解：3（2a-b）-2（a+3b）=6a-3b-2a-6b=4a-9b?

故選：B.

【點評】本題考查平面向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題.

—?—?..—?—?”■?—?—?

4.（2022春?江岸區(qū)期末）已知a，b是平面內(nèi)兩個不共線向量，AB=，〃a+2b，BC=3a^b，

A,B,C三點共線，則機=（）

A.-2B.2C.-6D.6

33

【分析】根據(jù)共線向量和平面向量基本定理即可得出m的值.

【解答】解：:A,B,C三點共線，

，標(biāo)與前共線，

，存在入，使標(biāo)=λ皮，

?,?ma+2b=3λa-λb?且W,E不共線,

.?.pn=3λ,解得加=_6.

l-λ=2

故選：C.

【點評】本題考查了共線向量和平面向量基本定理，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2022春?聊城期末）若平面上的三個力Fι,F2,為作用于一點，且處于平衡狀態(tài).已

知IFlI=IN,?F3?=2N,Fl與尸3的夾角為120°,則尸2的大小為（）

A.INB.√3ZVC.V?ND.3N

【分析】由三力平衡，知幣J=樂［+日I，將其兩邊平方，并結(jié)合平面向量的數(shù)量積進行

運算，得解.

【解答】解：由題意知，∣pζ∣=∣-p?+ρ7^b

所以∣yζF=∣釘+yζF=∣y^F+2y^?yζ+∣yζF=l+2XI×2×cosl20o+4=3,

乙?O?IOO

所以幣J=E?

故選：B.

【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的物理應(yīng)用，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

6.（2022春?雨花臺區(qū)校級月考）已知向量a=（2,0）,b=（-1，^?）＞則下列結(jié)論正

確的是（）

A.a，b=-3B.a〃bC.b?（a+b）D.Ial=Ibl

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算，向量垂直與平行的性質(zhì)，向量的模的定義即可

分別求解.

【解答】解：?.?a=（2,0）,b=（-1,-1）,

；?a?b=-2，，A錯誤;

又2X(-1)-(-1)XoWO,.?.a與b不平行，錯誤；

：b?(a+b)=H+12=-2+2=0,b~L(a+b)，?"正確;

V∣al=2,市=迎，???R∣≠后I，錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算，向量垂直與平行的性質(zhì)，向量的模的定義，

屬基礎(chǔ)題.

7.(2022春?丹東期末)設(shè)向量Z=(4,0),E=(-1,√3),則2在E上的投影的數(shù)量為

()

A.-1B.-2C.1D.2

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的投影公式，即可求解.

【解答】解：Va=(4,0),E=(-1,√3),

?"?a*b=4×(-l)+0×Vs=~4?IElW(-1)2+)2=2,

—?—?

.?.1在E上的投影的數(shù)量為a：b=-4一2.

Ibl2

故選：B.

【點評】本題主要考查向量的投影公式，屬于基礎(chǔ)題.

8.(2022春?長清區(qū)校級月考)連擲兩次骰子分別得到點數(shù)mn,則向量(m,n)與向量

(-1,1)的夾角8>三的概率是()

2

A.?B.?C.—D.?

231212

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式，以及列舉法，即可求解.

【解答】解：由題意可知，向量(孫")的可能組合有36種，

要使向量(m,n)與向量(-1,1)的夾角θ

2

則(m,n)?(-111)—n-m<0,即"<〃?，

滿足條件的情況如下：

當(dāng)機=2時，n∈{l},

當(dāng)機=3時，"∈{1,2),

當(dāng)機=4時，n∈{l,2,3},

當(dāng)∕w=5時，n∈{l,2,3,4),

當(dāng)機=6時，"∈{1,2,3,4,5},

綜上所述，共有15種，

故向量（nt,n）與向量（-1,1）的夾角θ〉生的概率是15=5.

23612

故選：D.

【點評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積公式，以及列舉法，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2022春?常熟市校級期中）己知向量a=（1，2）,a+b=%3）,若a~Lb，則m=

（）

A.^3B.^1C.^2D.3

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算，以及向量垂直的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：:a=（1,2）,a+b=（m，3）,

?'?b=（a+b）-a=（m,3）-（1,2）=（加…6

Va?b.

Λl×（，*-1）+1X2=0,解得機=7.

故選:B.

【點評】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2.課堂檢測

設(shè)計意圖：進一步理解與鞏固

一.選擇題（共7小題）

I.（2022春?雨花臺區(qū)校級月考）已知向量Z=（2,0）,E=（-1，-1），則下列結(jié)論正

確的是（）

A.a'b=-3B.a〃bC.b?（a+b）D.IaI=Ibl

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算，向量垂直與平行的性質(zhì)，向量的模的定義即可

分別求解.

【解答】解：,?*a=（2,0）,b=（-I,-1）,

：?a?b=-2,'A錯誤；

又2X（-I）-（-1）X0≠0,，之與石不平行，,B錯誤；

；b?（a+b）=ZW+/=-2+2=0,.?.b-L（a+b），，C正確;

,，lal=2,IbI=J，IalWlbI，錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算，向量垂直與平行的性質(zhì)，向量的模的定義，

屬基礎(chǔ)題.

2.（2022春?重慶期中）下列等式中一定成立的是（）

A.OA+0B=BAB.QA-OB=ABC.AB+BA=OD.AB+≡+H=O

【分析】直接利用向量的加減運算逐一分析四個選項得答案.

【解答】解：OA+≡≠OA-OB=BA-故A錯誤；

≡-OB=BA.故B錯誤；

AB+BA=AB-AB=O-故C錯誤；

AB+BC+H=(AB+^BC)-AC=AC-AC=0-故D正確.

故選：D.

【點評】本題考查向量的加減運算，是基礎(chǔ)題.

3.(2022春?滑縣期末)如圖為正八邊形ABCDEFGH,其中o為正八邊形的中心，則

≡+≡+FH=()

A.OBB.ODC.OFD.OH

【分析】利用向量的加法運算求解即可.

【解答】解：；正八邊形ABCDE尸G”，

???OC+HG+FH=OC+FH+≡=OC+FG=OC+≡=OB-

故選：A.

【點評】本題考查向量的加法運算，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2023秋?張家港市月考)在aABC中，4B=2,AC=3,∕BAC=60°,N為線段BC的

中點，M為線段AC上靠近點A的三等分點，兩條直線4N與B例相交于點尸，則下?前

=()

A.?B.?C.9D,紅

4444

【分析】由平面向量數(shù)量積的運算，結(jié)合平面向量的線性運算求解即可.

【解答】解：設(shè)下=λ飛，BP=μBM，

又獲+而=踴，

則根+?^≡=λ武

又N為線段BC的中點，M為線段AC上靠近點A的三等分點,

貝|」AB+U?AC-AB)^-(AB+AC)'

又戢，無不共線，

3-2

(?,1

λ至

μ=Λ

μ4

?191..

t即3r1AP或AN十(AB+AC)，

.??1??.?1?2?21R

則rlAP?BC=+(AC+AB)