2023北京高三一模數(shù)學(xué)匯編

第四道解答題(第19題)

1.(2023?北京西城?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)F(X)=e'-cos》.

(1)求曲線(xiàn)N=/(x)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線(xiàn)方程：

⑵設(shè)g(χ)=χ∕'(χ)-f(χ),證明：g(χ)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

(3)判斷3個(gè))與4叫)的大小關(guān)系，并加以證明.

2.(2023?北京東城?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)Ax)="-Xln了.

⑴當(dāng)。=0時(shí)?，求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)設(shè)直線(xiàn)/為曲線(xiàn)y=∕(x)的切線(xiàn)，當(dāng)。≥∣時(shí)，記直線(xiàn)/的斜率的最小值為g(。)，求g(α)的最小值;

⑶當(dāng)α>0時(shí)，設(shè)M=卜=N=b∣y=r(x),xe(卷求證：MN.

3.(2023?北京朝陽(yáng)?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=e2*-Or-IgeR).

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)>0對(duì)Xe(O,+∞)恒成立，求”的取值范圍；

(3)證明：若F(X)在區(qū)間(0,+司上存在唯一零點(diǎn)％,則x°<α-2.

4.(2023?北京豐臺(tái)?統(tǒng)考一模)已知橢圓E:￡+《=13>6>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為4(0,1),焦距為2.

ab

(1)求橢圓E的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線(xiàn)與橢圓E交于8,C兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)8,C分別作直線(xiàn)=f的垂線(xiàn)(點(diǎn)B,C在直線(xiàn)/的

兩側(cè)).垂足分別為加，N,記A3MP,4Λ∕NP,VP的面積分別為S∣,S2,邑，試問(wèn)：是否存在常數(shù)

3使得S∣,∣S2,邑總成等比數(shù)列？若存在，求出，的值.若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.

5.(2023?北京石景山?統(tǒng)考一模)已知橢圓C:￡+方=M>8>0)過(guò)點(diǎn)且離心率為1

⑴求橢圓C的方程；

/、?PM

(2)過(guò)點(diǎn)P(T,1)且互相垂直的直線(xiàn)4,A分別交橢圓C于M,N兩點(diǎn)及S,T兩點(diǎn).求!網(wǎng)I何PM!的取值范圍.

6.(2023?北京房山?統(tǒng)考一模)已知橢圓E，*l(a>6>0)過(guò)點(diǎn)B(0,l),且離心率為孝

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線(xiàn)/與橢圓E相切，過(guò)點(diǎn)M(LO)作直線(xiàn)/的垂線(xiàn)，垂足為N,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：IoNl為定值.

7.(2023?北京順義?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=(x-2)e'-](x-l)2MeR.

(1)當(dāng)α=2時(shí)，求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線(xiàn)方程;

(2)求函數(shù)/(χ)的單調(diào)區(qū)間.

8.(2023?北京平谷?統(tǒng)考一模)己知橢圓E:J+g=l(a”>0)經(jīng)過(guò)A(-2,0),B[-1,∣)兩點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)

P(-2,l)的直線(xiàn)橢圓交E于N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于y軸的直線(xiàn)與線(xiàn)段/18交于點(diǎn)7,點(diǎn)〃滿(mǎn)足

MT=TH-

(1)求橢圓E的方程：

(2)證明：直線(xiàn)4N過(guò)定點(diǎn).

參考答案

1.(I)V=X

(2)證明見(jiàn)解析

⑶3∕[{l>4∕({∣,證明見(jiàn)解析

【分析】(1)求導(dǎo)得切點(diǎn)處的斜率，即可求解直線(xiàn)方程，

(2)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可確定函數(shù)的單調(diào)性，

(3)構(gòu)造函數(shù)〃(X)=*2,xe(0,田)，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，結(jié)合(2)的結(jié)論即可求解.

X

【詳解】(1)/'(x)=e*+sinx,所以/(O)=O,/(0)=1.

所以曲線(xiàn)y=∕(x)在點(diǎn)(OJ(O))處的切線(xiàn)方程為y=x.

(2)由題設(shè),g(x)=?(ev+sinx)-(ev-cosx)=(x-l)ex+xsinx+cosx.

所以g,M=?(e?+COSX).

當(dāng)x>0時(shí)，因?yàn)閑`+cosx>e。+CoSX=I+cosXe0,所以g'(x)>0.

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

⑶V["1).

證明如下：

設(shè)h(x)=")、X∈(0,+∞).

X

貝股，(X)=駕.

X~JT

由(2)知g*)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(O)=O.

所以〃'(x)>0,即〃(X)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

所以哈H；),即3dx).

2.(l)(θ,?)

e

(2)1

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0,即可求得答案；

(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，確定函數(shù)單調(diào)性，即可求得函數(shù)最值；

(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，即可求得M,N,比較端點(diǎn)處的值的大小關(guān)

系，即可證明結(jié)論.

【詳解】(1)當(dāng)α=0時(shí)，/(x)=-xlnx,(x>0),故∕[x)=-lnx-l,

令尸(X)=-InX-I>0,則OCX<，，

即/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0-).

e

(2)由/(%)=OX2-χ]llχ,(%>0),可得/'(X)=2ΛX-Inx-I,

即直線(xiàn)/的斜率為/'*)=2ax-?nx-lf

設(shè)力(X)=2ax-?nx-?,貝IJh,(x)=2a一~-=,

XX

e11

因?yàn)棣痢?,故0<k≤-,

22ae

當(dāng)0<x<，-時(shí)，Λ,ω<O,/Z(X)在(0,'-)上遞減，

2a2a

當(dāng)x>∣時(shí)，Λ,(x)>O,版X)在(1-,+：?)上遞增，

2a2a

,

故"(x)min=??(?)=In2α，即∕(x)mjn=/z(?)=In2。，

即g(α)=ln2π,而“≥?∣,故g(ɑ)的最小值為In2x?∣=1.

(3)由已知α>0,由(2)可知X.；,時(shí)，/(x)為單調(diào)增函數(shù)，

?2a4a)

113131

由/(——)=一In—=In2〃，/'(―)=一一In—=—+In4α—In3,

la2aj4a24α2

則Λ/=卜Iy=r(x),x€((，W)}=(ln2a,g+ln4a-ln3),

又時(shí)，/'(X)為單調(diào)減函數(shù)，

14。2aJ

故N=Ny=/(x),xe(A()}=(1n24,-g+ln4q),

由于In3>1,即L-l∏3<-■-,???+In4a-In3<-■-+ln4t?,

2222

故MN.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：證明〃N時(shí)，要根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出"，N表示的集合，關(guān)鍵要進(jìn)

行端點(diǎn)處值的大小比較，從而證明結(jié)論.

3.(1)答案見(jiàn)解析

(2)α≤2

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)討論α≤0?a>0,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定單調(diào)區(qū)間；

(2)由/'(x)=2e2*-a,討論。42、a>2研究導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷了3單調(diào)性，進(jìn)而判斷題設(shè)不等式是否恒成

立，即可得參數(shù)范圍；

(3)根據(jù)(2)結(jié)論及零點(diǎn)存在性確定”>2時(shí)/(χ)在(gln],+e)上存在唯一零點(diǎn)，由零點(diǎn)性質(zhì)及區(qū)間單

調(diào)性，應(yīng)用分析法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證/S-2)>O在2上恒成立，即可證結(jié)論.

【詳解】(1)由題設(shè)/⑴=由2、一。,

當(dāng)α≤0時(shí)，∕,U)>0,則/S)在R上遞增；

當(dāng)4>0時(shí)，令./(X)=O,則x=g嗚，

若x<f吟，則f'(x)<O,AX)在(y,gin9上遞減；

若x>；嗚，貝IJr(X)>0,f(χ)在(g嗚,+⑹上遞增；

綜上，α≤0時(shí)/(x)的遞增區(qū)間為R,無(wú)遞減區(qū)間：

α>O時(shí)/S)的遞減區(qū)間為(p,[In《)，遞增區(qū)間為((In￡,+8).

2222

(2)由Ax)=2e2一,

當(dāng)α≤2時(shí)，/'(X)>O在((),+8)上恒成立，故F(X)在((),+⑹上遞增，則/(x)>∕(0)=0,滿(mǎn)足要求；

當(dāng)4>2時(shí)，由(1)知：/(x)在(-8,Inq)上遞減，在(Lnq,+??)上遞增，ff∏-!-ln->O,

222222

所以/(X)在(0,；嗚)上遞減，在g嗚,+“)上遞增，要使"x)>0對(duì)x∈(0,M)恒成立，

所以，只需/(gIn；)=二一二lnf-l>O,

22222

令g(x)=X-XInX-I且χ>],則，(X)=-InX<0,即g(x)遞減，

所以g(x)<g⑴=0,故在X∈(0,+∞)±∕(x)>0不存在o>2i

綜上，a<1

(3)由(2)知：α≤2時(shí)，在(0,+∞)恒有/(x)>0,故不可能有零點(diǎn)；

。>2時(shí)，/(x)在(04Inq)上遞減，在(LnW+紇)上遞增，且/(0)=0,

2222

所以(0,；ln9上/(x)<0,無(wú)零點(diǎn)，即fglng<O,且X趨向于正無(wú)窮時(shí)/")趨向正無(wú)窮，

IClC

所以，在(萬(wàn)In5,+“)上存在唯一方,使/(Xo)=e2&-αxO-I=0,

要證x0<a-2,只需/5―2)=62(。-2>一“(4-2)-1>0在4>2上恒成立即可，

令f=a-2>0,若∕j(f)=e"-f(r+2)-l,貝i]〃'a)=2(e”T-1),

令PQ)=e2'-r-l,則p'(r)=2e"-l>0,即p(f)在(O,+∞)上遞增，故p(∕)>p(O)=O,

所以"Q)>0,即〃⑺在(0,??)上遞增，故Mf)>A(O)=O,

所以/(α-2)=e2(a-2)-α(α-2)-l>0?a>2上恒成立，得證；

故Xo<a-2,得證.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)，通過(guò)討論確定/(x)在某一單調(diào)區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)的“的范圍后，應(yīng)用分

析法證/(?-2)>0恒成立即可.

2

4.⑴5+y2=l

(2)存在，=1,使得$,∣S2,S,總成等比數(shù)列.

【分析】(1)根據(jù)。，匕，c的關(guān)系求解；

(2)表示,.BMP,ΛMNP,QVP的面積，利用韋達(dá)定理表示出S3,即可求出常數(shù)，的值.

【詳解】(1)根據(jù)已知可得匕=L2c=2,

所以Z?=LC=I,"=b2+c2=2,

所以橢圓E的方程為E+y2=l.

2

(2)由已知得，BC的斜率存在，且民C在X軸的同側(cè)，

設(shè)直線(xiàn)BC的方程為y=4x-2),β(x1,y1),C(x2,y2),不妨設(shè)

則y↑y2>o,為</<%，

y=k(x-2)

由4%2得(1+2攵2比2一8攵2元+8公一2=0,

—+y-=1

2

CX"2區(qū)"2一,

2,y

所以A=8(l-2K)>0,x∣+￡=1+2??''2=1+2左2'

因?yàn)镾l=^(r-xl)∣γl∣,S2=-∣(2-∕)∣y2-y1∣,S3=^(x2-OIy21>

所以s∣?S=((七τ)Q-占)IyIy21=；(WT)Q-XI)y%

r

=W%~(?r2——?∣)(x∣一2)(々-2)

2

=-k[r(x∣+x2)-xlX2-r]?[xl?x2-2(xl+x2)+4]

1,√Sk2tSk2-2八?2-216?2八

4(1+2及21+2公+2公1+2公)

Li?&一獷-產(chǎn)+小

22222

=-j^(2-0(γ2-γ1)=^?(2-∕)(x2-??)

=-?2T)2(.8二232公一8

16l+2/c2-1+2&2

=-?—^τvΓ-2?2(/-2)2+(∕-2)2L

4(1+2?2)2LJ

要使B,∣S2,$3總成等比數(shù)列，則應(yīng)有-產(chǎn)+2=(1-2)2解得f=l,

所以存在f=l,使得∣52,$3總成等比數(shù)列.

5.⑴/1

34

(2)一,一

''43

【分析】(1)根據(jù)橢圓過(guò)點(diǎn)且離心率為T(mén)列方程組求得。力，c的值，即可得橢圓C的方程;

(2)討論直線(xiàn)4的斜率不存在時(shí)?，直線(xiàn)4的斜率不存在時(shí)，求各交點(diǎn)坐標(biāo)即可得高才的取值，再討論

直線(xiàn)4,12的斜率均存在，不妨設(shè)直線(xiàn)人的方程為y=/(x+l)+1,則直線(xiàn)&的方程為＞?=-∣(x+∣)+l,

Kr

M(AX),N(Λ?,%),Sα,%),T(x4,"),聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式即可求得

冒?PM?睛?PN?1的范圍，綜合可得答案.

-)2

【詳解】(1)橢圓C：￡+￡=1("＞人＞0)過(guò)點(diǎn)(0,6),且離心率為T(mén)

b=Q

f?=√3

￡=:，解得,22

所以C=I,所以橢圓。的方程為工+二=1；

a2C43

a=2

a2=b2+c2

(2)當(dāng)直線(xiàn)4的斜率不存在時(shí)，則直線(xiàn)4：X=-I,代入橢圓方程得y=±T，

所以M(TI)N11,-|｝直線(xiàn)4：y=l,代入橢圓方程得χ=±乎，所以“呼,1),N[-呼,1

?PM??PN?ll^TΓ2^'l3

所以WirlIP?p?p;

?PM??PN?4

當(dāng)直線(xiàn)4的斜率不存在時(shí)，同理可得扁訝=]；

當(dāng)直線(xiàn)44的斜率均存在，不妨設(shè)直線(xiàn)4的方程為y=A(χ+l)+i,則直線(xiàn)4的方程為y=-](χ+l)+l,

K

Ma,X),N(X2,%)，S(W，%)，丁(王，”)，

y=Z(x+l)+l

則/，消去＞得(3+4k2)χ2+8M%+l)x+4(%+l)2-12=0'

—+—=1

143

△>ο恒成立'所以玉+%=一需?,中小4(?+l)2-12

3+4/

222

所以IPMIpNl=√l+?∣Λl+1∣?√l+?∣x2+1|=(1+?)∣Λ,X2+(X,+X2)+1|

2

4(?+l)-12-8?(?+l)=E?i?;

=(1+公)+1

3+4%23+4〃

同理可得，將％換成可得忸刈尸q=1+Γ?J廠(chǎng)工二["記)頁(yè)行

kLJ3+4N

IPMIPM(∣+G)?3?3/+4：(4K+3)+；317/34

加以IPSIIPTlLI1]3+4公3+4公44(3+4/)(『可'

Ik^^J3k+4

綜上所述，局?PM局??P的N?取值范圍是「匕34行-.

6.(1)≤+∕=1

⑵及

【分析】(1)利用橢圓過(guò)點(diǎn)8(0,1),得到。=1,再由橢圓的離心率為受，求出。的值，從而求到桶圓E

2

的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)對(duì)直線(xiàn)/的斜率為0、斜率不存在及斜率存在且不為0三種情況討論，從而求出IoNl=/，得到結(jié)論.

【詳解】(1)因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)B(O,D,所以b=l,

又e=呈,a2^b2+c2,所以￡=也三=「5=變，得到”=夜，

2a?cr?a22

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y+∕=l?

(2)當(dāng)直線(xiàn)斜率/存在且不為O時(shí)，設(shè)直線(xiàn)/的方程為y=履+,"(k≠0),

y=kx+m

聯(lián)立直線(xiàn)/和橢圓E的方程得I/，消去y并整理，得(2^+l)χ2+4hκ+2,〃2-2=0,

—+/=1

因?yàn)橹本€(xiàn)/與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)相等的根,

Δ=16k2m2-4(2公+l)(2w2-2)=0,

化簡(jiǎn)整理得∕√=2K+ι

因?yàn)橹本€(xiàn)MN與/垂直'所以直線(xiàn)MN的方程為y=-%α-D,

1-km

X—τ-

y=-τ^&f礎(chǔ)俎1+公?-hnk+m

聯(lián)立得k，解得,.?.Nk

k+m

y=kx+m"T7F

k2nr÷?2+∕n2+1_(^2÷?)(w2÷?)_m2+1

n2222

所?產(chǎn)(l÷?)~(1+Jt)、+公

把蘇=2/+1代入上式得，∣0Λf=(：；；)=2,所以IaVI=√L為定值；

當(dāng)直線(xiàn)/斜率為0時(shí)，直線(xiàn)/：y=±l,過(guò)點(diǎn)M(LO)作直線(xiàn)/的垂線(xiàn)，則垂線(xiàn)方程為X=1,

此時(shí)N(U)或N(l,—1),∣CW∣=√L為定值；

當(dāng)直線(xiàn)/斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)/：x=±忘，過(guò)點(diǎn)/(1,0)作直線(xiàn)/的垂線(xiàn)，則垂線(xiàn)方程為y=(),

此時(shí)N(-√Σ,o)或N(√5,θ),∣0v∣=√L為定值；

綜上所述，∣ON∣=√L為定值.

7.⑴y=x-3

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)當(dāng)α=2時(shí)，求出函數(shù)/(χ)的導(dǎo)函數(shù)/(x),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出x=0處的切線(xiàn)的斜率，利

用點(diǎn)斜式求出切線(xiàn)方程；

(2)對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，由此求得/(?)的單調(diào)區(qū)間.

【詳解】(D當(dāng)α=2時(shí)，/(x)=(x-2)ev-(X-I)2,

所以廣(X)=(X-I)e=2(x7)

又因?yàn)?(0)=(0-2)e0-(0-l)2=-3,k=/,(0)=(0-l)e°-2(0-1)=1,

所以f(x)在(0,7(0))處的切線(xiàn)方程為y+3=x-0,即y=x-3

(2)由題意知，/(x)的定義域?yàn)镽

f,(x)=(x-l)ev-a(x-1)=(x-l)(ev-a)

□當(dāng)α≤0時(shí)，ex-a>0,則當(dāng)XVI時(shí)/'(工)<。，當(dāng)x>l時(shí)J"(x)>O,

所以/(x)在(TU)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增；

□當(dāng)α>0時(shí),由f,M=0得x=l或X=Inα,

⑴若〃=e,IjliJ/V)=(χ-l)(ex-e)≥0,所以在R上單調(diào)遞增,

(ii)若0<a<e,則Ina<1,

所以當(dāng)x<ln0或x>l時(shí)f'(x)>O,當(dāng)Ina<x<l時(shí)∕r(x)<0,

所以/U)在(Inα,1)上單調(diào)遞減,在(→x),lna)和(1,+⑹上單調(diào)遞增,

(iii)若。>e,則Ina>1,

所以當(dāng)Λ<1或x>In4時(shí)f'(x)>O,當(dāng)IVX<In<7時(shí)/'(X)<O,

所以f(x)在(1,Ina)上單調(diào)遞減，在(-8,1)和(Ina,+e)上單調(diào)遞增，

綜上所述，當(dāng)α≤0時(shí)，/S)的單調(diào)遞減區(qū)間是(7,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+8)；

當(dāng)0<α<e時(shí)，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(Ina,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,lnα)和(1,+紇)；

當(dāng)α=e時(shí)，/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-w,+∞),無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)α>e時(shí)，f(χ)的單調(diào)遞減區(qū)間是(LIna),單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,1)和(Ina,+/).

X22

8.(1)-+v^=1

43

(2)直線(xiàn)"N過(guò)定點(diǎn)(-2,0),證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；

(2)先根據(jù)兩條特殊直線(xiàn)的交點(diǎn)，判斷定點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)過(guò)點(diǎn)P的一般方程，聯(lián)立橢圓方程，得到韋達(dá)定

理，求得直線(xiàn)77V的方程，并代入定點(diǎn)坐標(biāo)，驗(yàn)證是否成立，即可判斷是否過(guò)定點(diǎn).

【詳解】(1)解：因?yàn)闄E圓E的方程為E:￡+E=l(a>0>0)經(jīng)過(guò)A(-2,0),∕-l,±]兩點(diǎn)，

`'?2J

μ=ι

則;o,解得。2=4,廿=3,

、『十礦1

22

所以橢圓E的方程為：—+?=1.

43

(2)因?yàn)?一2,0),B(T1)，所以A8:y=g(x+2)

口假設(shè)過(guò)點(diǎn)P(-2,l)的直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，則