哈爾濱工業大學

電工基礎正弦交流電路返回

2.1正弦電壓與電流

2.3電阻元件、電感元件與電容元件

2.4電阻元件的交流電路

2.5電感元件的交流電路2.6電容元件的交流電路

2.7電阻、電感與電容元件的交流電路

2.9并聯諧振

2.10功率因數的提高

目錄2.2正弦量的相量表示法2.8串聯諧振

直流電和正弦交流電

前面分析的是直流電路，其中的電壓和電流的大小和方向是不隨時間變化的。2.1正弦電壓與電流直流電壓和電流返回正弦電壓和電流實際方向和參考方向一致實際方向和參考方向相反＋－正半周實際方向和參考方向一致負半周實際方向和參考方向相反

正弦交流電的電壓和電流是按照正弦規律周期性變化的。2.1.1頻率和周期

正弦量變化一次所需要的時間（秒）稱為周期（T）。每秒內變化的次數稱為頻率（

），單位是赫茲（Hz）。我國和大多數國家采用50Hz的電力標準，有些國家（美國、日本等）采用60Hz。小常識

正弦量變化的快慢還可用角頻率來表示：

頻率是周期的倒數:=1/T已知=50Hz,求T和ω。[解]T=1/

=1/50=0.02s,ω=2π

=2×3.14×50＝314rad/s例題3.12.1.2幅值和有效值瞬時值和幅值

正弦量在任一瞬間的值稱為瞬時值，用小寫字母表示，如

、u、e

等。

瞬時值中的最大的值稱為幅值或最大值，用帶下標m的大寫字母表示，如Im、Um、Em等。有效值

在工程應用中常用有效值表示交流電的幅度。一般所講的正弦交流電的大小，如交流電壓380V或220V，指的都是有效值。

有效值是用電流的熱效應來規定的。設一交流電流和一直流電流I流過相同的電阻R，如果在交流電的一個周期內交流電和直流電產生的熱量相等，則交流電流的有效值就等于這個直流電的電流I。則交流直流根據熱效應相等有：正弦電壓和電動勢的有效值：

有效值都用大寫字母表示！由可得正弦電流的有效值：2.1.3初相位相位表示正弦量的變化進程，也稱相位角。初相位

t=0時的相位。相位：初相位：

0相位：初相位：

初相位給出了觀察正弦波的起點或參考點。說明相位差

兩個同頻率的正弦量的相位之差或初相位之差稱為相位差。則和的相位差為：當

時，比

超前角，

比

滯后角。

正弦交流電路中電壓和電流的頻率是相同的，但初相不一定相同，設電路中電壓和電流為：同相反相的概念同相:相位相同，相位差為零。反相:相位相反，相位差為180°。總結

描述正弦量的三個特征量：幅值、頻率、初相位返回O下面圖中是三個正弦電流波形。

與

同相，

與

反相。2.2正弦量的相量表示法正弦量的表示方法：三角函數式：★★波形圖：★

相量法：用復數的方法表示正弦量返回一個正弦量可以用旋轉的有向線段表示。

相量法ω有向線段的長度表示正弦量的幅值；有向線段(初始位置)與橫軸的夾角表示正弦量的初相位;有向線段旋轉的角速度表示正弦量的角頻率。正弦量的瞬時值由旋轉的有向線段在縱軸上的投影表示。有向線段可以用復數表示。

復數的加減運算可用直角坐標式，乘除法運算可用指數式或極坐標式。直角坐標式：指數式：極坐標式式：有向線段OA可用復數形式表示：表示正弦量的復數稱為相量注意：相量用上面打點的大寫字母表示。由復數知識可知：j為90°旋轉因子。一個相量乘上+j則旋轉+90°；乘上-j則旋轉-90°。復數的模表示正弦量的幅值或有效值復數的輻角表示正弦量的初相位正弦電壓的相量形式為：有效值相量幅值相量：一個正弦量可以用旋轉的有向線段表示，而有向線段可以用復數表示，因此正弦量可以用復數來表示。

把表示各個正弦量的有向線段畫在一起就是相量圖，它可以形象地表示出各正弦量的大小和相位關系。相量圖電壓相量比電流相量超前角1.只有正弦周期量才能用相量表示。2.只有同頻率的正弦量才能畫在一張相量圖上。注意[解](1)用復數形式求解根據基爾霍夫電流定律：在如圖所示的電路中，設：求總電流

。例題3.2（2）用相量圖求解畫出相量圖，并作出平行四邊形，其對角線即是總電流。返回2.3電阻元件、電感元件和電容元件

在直流電路中（穩態），電感元件可視為短路，電容元件（穩態）可視為開路。在交流電路中，電感元件和電容元件中的電流均不為零。電阻元件：消耗電能，轉換為熱能（電阻性）電感元件：產生磁場，存儲磁場能（電感性）電容元件：產生電場，存儲電場能（電容性）返回2.3.1電阻元件對電阻元件，其電壓電流滿足歐姆定律：把上面兩式相乘并積分，得：由此可知，電能全部消耗在電阻上，轉換為熱能。金屬導體的電阻值與其材料導電性及尺寸的關系為：其中：ρ、、S分別為導體的電阻率、長度、橫截面積。2.3.2電感元件

對于一個電感線圈，習慣上規定感應電動勢的參考方向與磁通的參考方向之間符合右手螺旋定則。

線圈的感應電動勢為：電感的定義如果磁通是由通過線圈的電流

產生的，則：L為線圈的電感，也稱為自感。此時的感應電動勢也稱為自感電動勢：線圈的電感與線圈的尺寸、匝數及介質的磁導率μ有關：電感的單位為亨[利](H).電感元件的電壓電流關系電感中出現的自感電動勢表現在電感兩端有電壓降產生。設一電感元件電路電壓、電流及電動勢的參考方向如圖所示。根據基爾霍夫電壓定律：從而：把上式兩邊積分可得：式中為t=0時電流的初始值。如果

＝0則：電感元件的磁場能量

因此電感元件中存儲的磁場能量為：返回把式兩邊乘以并積分得：2.3.3電容元件

電容元件的電容C定義為電容上的電量與電壓的比值：電容的定義

電容的大小與電容元件的尺寸及介質的介電常數有關。平行板電容器的電容為：式中ε為介質的介電常數，S為極板面積，d為極板間距離。單位為法[拉](F).電容元件的電壓與電流的關系

對于圖中的電路有：

對上式兩邊積分，可得：式中u0為t=0時電壓的初始值。如果u0＝0則：電容元件的電場能量

電容元件中存儲的電場能量為：把式兩邊乘以u并積分得：特征電阻元件電感元件電容元件參數定義電壓電流關系能量元件總結如果一個電感元件兩端的電壓為零，其儲能是否也一定為零？如果一個電容元件中的電流為零，其儲能是否一定為零？思考題返回2.4電阻元件的交流電路電壓電流關系設圖中電流為：根據歐姆定律：從而：電壓和電流頻率相同，相位相同。相量形式的歐姆定律返回瞬時功率電壓和電流瞬時值的乘積就是瞬時功率：p≥0，總為正值，所以電阻元件消耗電能，轉換為熱能。平均功率平均功率是一個周期內瞬時功率的平均值：電壓、電流、功率的波形返回2.5電感元件的交流電路電壓電流關系設一非鐵心電感線圈(線性電感元件，L為常數),假定電阻為零。根據基爾霍夫電壓定律：設電流為參考正弦量：電壓和電流頻率相同，電壓比電流相位超前90°。返回從而：注意！這樣，電壓電流的關系可表示為相量形式：

ωL單位為歐[姆]。電壓U一定時ωL越大電流I越小，可見它對電流起阻礙作用,

定義為感抗：感抗XL與電感L、頻率

成正比。對于直流電＝0，XL＝0，因此電感對直流電相當于短路。瞬時功率P=0表明電感元件不消耗能量。只有電源與電感元件間的能量互換。用無功功率來衡量這種能量互換的規模。平均功率（有功功率）平均功率衡量電路中所消耗的電能，也稱有功功率。無功功率電感元件的無功功率用來衡量電感與電源間能量互換的規模，規定電感元件的無功功率為瞬時功率的幅值（它并不等于單位時間內互換了多少能量）。它的單位是乏（var）。返回電壓、電流、功率的波形返回

在第一個和第三個1/4周期內，電流在增大，磁場在建立，p為正值（u和i正負相同），電感元件從電源取用能量，并轉換為磁場能量；在第二個和第四個1/4周期內,電流在減小，p為負值（u和i一正一負），磁場在消失，電感元件釋放原先儲存的能量并轉換為電能歸還給電源。這是一個可逆的能量轉換過程。在一個周期內，電感元件吸收和釋放的能量相等。2.6電容元件的交流電路電壓電流關系對于電容電路：

如果電容兩端加正弦電壓：則：電壓和電流頻率相同，電壓比電流相位滯后90°。返回從而：這樣，電壓電流的關系可表示為相量形式：

(1/ωC)單位為歐[姆]。電壓U一定時(1/ωC)越大電流I越小,可見它對電流起阻礙作用,

定義為容抗：容抗XC與電容C，頻率

成反比。對直流電＝0，XC→∞，因此電容對直流相當于開路，電容具有隔直通交的作用。瞬時功率平均功率（有功功率）電容的平均功率（有功功率）：

P=0表明電容元件不消耗能量。只有電源與電容元件間的能量互換。無功功率

為了同電感的無功功率相比較，設電流為參考正弦量，則：

這樣，得出的瞬時功率為：

由此，電容元件的無功功率為：

電容性無功功率為負值，電感性無功功率取正值。電壓、電流、功率的波形返回

在第一個和第三個1/4周期內，電壓在增大，電容在充電，p為正值（u和

正負相同），電容元件從電源取用能量，并轉換為電場能量；在第二個和第四個1/4周期內,電壓在減小，p為負值（u和

一正一負），電容在放電，電容元件釋放原先儲存的能量并轉換為電能歸還給電源。這是一個可逆的能量轉換過程。在一個周期內，電容元件吸收和釋放的能量相等。2.7電阻、電感與電容元件串聯的交流電路電壓電流關系根據基爾霍夫電壓定律：設串聯電路電流為參考正弦量，則：

同頻率的的正弦量相加，得出的仍為同頻率的正弦量，所以可得出下面形式的電源電壓：返回相量關系

基爾霍夫電壓定律的相量形式為：

由此：其中實部為“阻”，虛部為“抗”，稱為阻抗。阻抗Z不是一個相量，而是一個復數計算量。阻抗模：單位為歐[姆]。反映了電壓與電流之間的大小關系。阻抗角（電壓與電流的相位差）：

其大小由電路參數決定，反映了電壓與電流之間的相位關系。復數形式的歐姆定律：

由此可得：復數形式的歐姆定理：相量圖電壓三角形相量圖中由、、構成的三角形稱為電壓三角形。瞬時功率平均功率（有功功率）根據電壓三角形：于是有功功率為：無功功率功率因數

視在功率單位為：伏·安（V·A）功率﹑電壓﹑阻抗三角形

返回有功功率、無功功率和視在功率的關系：2.8

串聯諧振

串聯諧振頻率：串聯諧振的條件：則：如果：電壓與電流同相，發生串聯諧振。諧振的概念：含有電感和電容的交流電路，電路兩端電壓和電路的電流同相，這時電路中就發生了諧振現象。串聯諧振特征：(1)電路的阻抗模最小，電流最大。因為所以從而在電源電壓不變的情況下，電路中的電流達到最大值：(2)電壓與電流同相，電路對外呈電阻性。

此時，電路外部（電源）供給電路的能量全部被電阻消耗，電路不與外部發生能量互換。能量的互換只發生在電感與電容之間。(3)

和有效值相等，相位相反，互相抵消，對整個電路不起作用，因此電源電壓

。在電力工程中應避免串聯諧振，以免電容或電感兩端電壓過高造成電氣設備損壞。在無線電技術中常利用串聯諧振，以獲得比輸入電壓大許多倍的電壓。應用常識(4)當時，。因為和可能超過電源電壓的許多倍因此串聯諧振也稱為電壓諧振。2.9

并聯諧振

并聯諧振條件：電路的等效阻抗為：

線圈的電阻很小，在諧振時ωL>>R，上式可寫成：并聯諧振頻率：并聯諧振特征：(1)電路的阻抗模最大，電流最小。在電源電壓不變的情況下，電路中的電流達到最小值：(2)電壓與電流同相，電路對外呈電阻性。(3)兩并聯支路電流近于相等，且比總電流大許多倍。當

并聯諧振時兩并聯支路的電流近于相等且比總電流大許多倍。因此并聯諧振又稱為電流諧振。2.10功率因數的提高

負載的有功功率：

負載的無功功率：功率因數低的原因：

只有電阻性負載的功率因數為1。其它負載電壓和電流間存在相位差，功率因數介于0和1之間。功率因數：返回功率因數低的危害