江淮十校2023屆高三聯考

數學試題

2023.5

注意事項：

1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本

試卷上無效.

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項符合題目要求.

1,已知集合4="'則%巧，集合B=｛（x，l）及="附,則集合AcB的元素個數為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】求出函數）與＞=1-國的交點坐標，即可判斷.

?,_2

【詳解】由，;二:_兇，消去y得d+國一i=o,即|X「+N—I=O,

解得兇=甘叵或兇=二1手（舍去），

所以尤=*且或彳=_士在，

22

-1+6—1+^5

即方程組的解為《2廣或〈

3-V5

V=--------------

即函數y=f與y=有兩個交點,

第1頁/共23頁

又集合A={(x,y)|y=/},集合B={(x,y)|y=]_|x|},

所以梯］［三，1,

即集合AcB的元素個數為2個.

故選：B

/兀71\

2.已知直線/的一個方向向量為萬=Hin§,cos§J,則直線/的傾斜角為()

【答案】A

【解析】

【分析】由方向向量的坐標得出直線的斜率，再求傾斜角即可.

兀

COS—A

【詳解】由題意可得：直線/的斜率上=一工=—=tan=，即直線/的傾斜角為E.

sin71366

3

故選：A

3.已知。，匕為實數，則使得“a>b>0”成立的一個充分不必要條件為()

A.—>—B.ln(a+l)>lnS+l)

ab

C.a3>b,D.y/a-l>yjh-l

【答案】D

【解析】

【分析】根據“充分必要條件”的定義逐項分析.

【詳解】對于A,如果，例如”=-21=-1,則—,>一1,不能推出a>8>0,如果

ab2

a>b>0,則必定有,既不是充分條件也不是必要條件，錯誤：

ab

對于B,如果ln(a+l)>ln(0+l),根據對數函數的單調性可知a+1>人+1,。>b，但不能推出

a>b>0,例如a=l,b=-0.5,不是充分條件，

如果a>b>Q,則a+l>Z?+l>O,；.lng+l)>ln(Z?+l),是必要條件，即ln(a+l)>+

是a>8>0的必要不充分條件，錯誤；

對于C,如果/>",因為>=/是單調遞增的函數，所以，不能推出a>Z?>0,例如

第2頁/共23頁

a=-\,b=-2,

如果a>8>0,則必有/>/,是必要不充分條件，錯誤；

對于D,如果，工斤〉病開，則必有a>621〉0,是充分條件，如果a>b>Q,例如

。=1/=0.5,則不能推出,所以是充分不必有條件，正確.

故選：D.

4.“學如逆水行舟，不進則退；心似平原跑馬，易放難收”(明?《增廣賢文》)是勉勵人們專心學習的.如果

每天的“進步”率都是1%,那么一年后是(1+1%>65=1.0產65；如果每天的“退步”率都是1%,那么一年后

1Qi3651ni

是(1-1%)365=0.99365.一年后“進步”的是“退步”的——-=(^)365?1481倍.如果每天的“進步”率和

0.99365099

“退步”率都是20%,那么大約經過()天后“進步”的是“退步”的一萬倍.

(1g2=0.3010,1g3#0.4771)

A.20B.21C.22D.23

【答案】D

【解析】

【分析】根據題意可列出方程10000x(1-0.2)*=1.2、，求解即可,

【詳解】設經過x天“進步”的值是“退步”的值的10000倍，

則10000x(1-0.2)，=1.2，,

即(―)x=10000,

0.8

技1?L2］。3337g20.1761

°0.8°2

故選：D.

5.哥特式建筑是1140年左右產生于法國的歐洲建筑風格，它的特點是尖塔高聳、尖形拱門、大窗戶及繪有

故事的花窗玻璃，如圖所示的幾何圖形，在哥特式建筑的尖形拱門與大窗戶中較為常見，它是由線段和

兩個圓弧AC、圍成，其中一個圓弧的圓心為A,另一個圓弧的圓心為B,圓。與線段A3及兩個圓弧

均相切，若AB=2,則。鼠無=()

第3頁/共23頁

B

D

【答案】A

【解析】

【分析】構造直角三角形，勾股定理求圓。的半徑，得到。4,余弦定理求C0S/A08,利用向量數量積公

式求礪?礪.

【詳解】若AB=2,則圓弧AC、6C的半徑為2,設圓。的半徑為r，則QA=2—r,過O作OO_LA8,

則。。=r,AO=1,

35

RtZSODA中，OA2=0D-+AD2.即（2-r）2=產+1,解得廠=工，則有。4=:,

44

AO2+BO2-AB27

△A05中,由余弦定理得cosZ.AOB

2AOBO25

:.OAOB=囪.西cosZAOB7

故選：A.

6.將函數/(x)=sin［無+g)+sin尤的圖像向左平移a(a>0)個單位后的函數圖像關于)，軸對稱，則實數

。的最小值為()

【答案】C

第4頁/共23頁

【解析】

【分析】利用兩角和的正弦公式化函數為一個角的一個三角函數形式，然后由平移變換寫出g(x)的表達式，

再由對稱性求得。，從而可得最小值.

【詳解】f(x)-sinxcosg+cosxsing+sinx=sinx+乎cosx=氐也卜+專)，將函數”x)圖像向

左平行移動a個單位后的函數記為g(x)，則g(x)=6sin[x+a+￡]，而函數g(x)的圖像關于》軸對稱有

g(0)=±V3,**-sin=±1,二〃+—=—+E(ZwZ),a=—+kn(kEZ),???〃>(),?二實數。

兀

的最小值為

故選：C.

7.若。被-1)"(〃€川)的展開式中，所有項的系數和與二項式系數和相等，且第6項的二項式系數最大,

則有序實數對(〃?,〃)共有()組不同的解

【答案】D

【解析】

【分析】根據二項式系數的性質求解.

【詳解】根據二項式系數的性質知：由第6項的二項式系數最大知〃的可能取值為9,10,11,

又由題得：令尸1,有(加一1)"二2",當〃=9,11時，m=3；當〃=10時，機=3或-1,

故有序實數對(〃?,〃)共有4組不同的解，分別為(3⑼,(3,11),(-1,10),(3,10).

故選：D.

/v2

8.已知。為坐標原點，橢圓E：與+==1(?！?,>()),平行四邊形。4cB的三個頂點A,B,C在橢圓

E上，若直線AB和OC的斜率乘積為-1，四邊形OACB的面積為殛，則橢圓E的方程為()

D..

c?產

第5頁/共23頁

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角換元設A(ncosa,/>sina),B(acos/?,加in"),代入橢圓方程可得cos(a-分)=-g,再根

據三角形面積的向量公式及斜率之積計算即可.

【詳解】先證三角形面積公式的向量形式：在AAOB中，方=(%，x),9=(%,%)，

34。人圖所入電+

則而Ae(O㈤

2ki^-y|

sinZ.AOB=Vl-cosZ.AOB=2?q=m網網sinNAOB=1|x^2-泡

??u^AOB

設A(acosa,Z?sina),B(acos9bsin,由題意可知；OC=OA+OB,

所以C(acosa+ocos/?,/?sina+/?sin0),

將C坐標代入橢圓方程有

(cosa+cos￡)2+(sina+sin/?)2=1=2+2(cosacos￡+sinasin￡)=cos(a-￡)二一；,

則卜in(a—6)卜日

所以四邊形OAC8的面積為S=2S&AOB=|acosa?bsin/?-acos〃?/?sina|=ab\sm(a-\f

即@。。=迫，又根據AB和oc的斜率乘積為-，知

222

222222

-h--s-i-n--c--x---b--s-i-n---/?--,--h--s-i-n--a--+--b--s--i-n-P--,——b~?--s-i-n----6-z----s-i-n----P---—h,--s-i-n---a----s--i-n----/-?———h

acosa-acos/3acosa+acosJ3a2cos2a-cos2(3a2sin2^-sin2aa2

所以\=_L,解之得：/=6,匕2=3.

a22

故選：B

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.

9.下列命題正確的有()

A.空間中兩兩相交的三條直線一定共面

B.已知不重合的兩個平面a,夕，則存在直線aua,bup,使得。，。為異面直線

第6頁/共23頁

C.過平面a外一定點尸，有且只有一個平面夕與a平行

D.已知空間中有兩個角/A4G，N&BG,若直線直線人與，直線4G，直線82c2，則

NA[4G=或N4B]G+N&B,C?=無

【答案】BC

【解析】

【分析】利用平面性質判斷選項A；利用兩平面位置關系和異面直線定義判斷選項B；利用線面垂直的性質

判斷選項C；舉反例否定選項D.

【詳解】選項A：空間中兩兩相交的三條直線可以共面也可以不共面.判斷錯誤；

選項B：已知不重合的兩個平面a,B,則a〃￡，或尸相交，

兩種情況均存在直線aua,bu/3,使得a,b為異面直線.判斷正確；

選項C：過平面a外一定點尸，有且只有一條直線機與平面a垂直，

過點P有且只有一個平面夕與直線機垂直，則a〃夕.

則過平面a外一定點尸，有且只有一個平面夕與0平行.判斷正確；

選項D：在如圖正方體中，直線直線為與，直線片qj_直線82c2，

TTTT

由ZA]B￡=5,NA232c2=；，可得/4用0工^B2C2,

且NA4a+2G*兀.判斷錯誤.

故選：BC

10.學校北園食堂老麻抄手窗口又推出了酸辣粉、米粉等新品.小明同學決定每隔9天去老麻抄手窗口消費

一次，連續去了5次，他發現這5次的日期中沒有星期天，則小明同學在這5次中第一次去北園食堂可能是

()

A.星期一B.星期三

C.星期五D.星期六

第7頁/共23頁

【答案】BD

【解析】

【分析】依題意每隔9天去一次，即每次都是在上一次的星期數往后數三天，一一列舉即可判斷.

【詳解】若第一次是星期一，則第二次是星期四，第三次是星期日，不符合題意，故A錯誤；

若第一次是星期三，則第二次是星期六，第三次是星期二，第四次是星期五，第五次是星期一，符合題

意，故B正確；

若第一次是星期五，則第二次是星期一，第三次是星期四，第四次是星期日，不符合題意，故C錯誤：

若第一次是星期六，則第二次是星期二，第三次是星期五，第四次是星期一，第五次是星期四，符合題

意，故D正確；

故選：BD

11.某項科學素養測試規則為：系統隨機抽取5道測試題目，規定：要求答題者達到等級評定要求或答完5

道題方能結束測試.若答題者連續做對4道，則系統立即結束測試，并評定能力等級為A；若連續做錯3道

題目，則系統自動終止測試，評定能力等級為C;其它情形評定能力等級為8.已知小華同學做對每道題的

概率均為:，且他每道題是否答對相互獨立，則以下說法正確的是（）

A.小華能力等級評定為A的概率為6泰4

1CQ

B.小華能力等級評定為B的概率為一

243

2

C.小華只做了4道題目的概率為

D.小華做完5道題目的概率為2

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用獨立事件的概率和對立事件的概率可求四個選項，根據結果判斷正誤.

【詳解】小華能力等級評定為A,則需要連續做對4道題，所以乙=（：V1（2丫64.下舔

4—,——---，A正確；

）3⑴243

小華能力等級評定為。，則他連續做錯3道題目，有四種情況，

所以足jiY+MqT+KFxRi+ixNduiN.

c[3）3（3）33UJ81

由題意小華能力等級評定為B的概率為^=1-^-^=1--=—,B正確；

BAc243243

小華只做了4道題目有兩種情況，一是4道題全對，二是第1題對了,后續3道題目全錯，其概率為

第8頁/共23頁

C正確;

小華做完3道題目結束測試的概率為鳥

小華做完5道題目的概率為乙=1-鳥-乙=藥，D不正確.

故選：ABC.

12.已知函數/(x)=ax+2("wO),則下列說法正確的有()

X

A.VabHO,函數/(x)是奇函數

B.三出?*0,使得過原點。至少可以作/a)的一條切線

C.\/ab0,方程/(sinx)=/(sinx+2)一定有實根

D.士出*0,使得方程sin[/'(x)]=cos[/(x)]有實根

【答案】AD

【解析】

【分析】選項A,由奇函數的定義判斷；選項B,通過聯立方程組判斷切線是否存在；選項C,由正弦函數

的有界性判斷方程的解；選項D,特殊值法判斷存在性.

【詳解】函數f(x)=ax+-(ab^O),定義域(―。,0)U(0,+8),且/(-x)=a(-x)+—=-ax--=—/(x),

x-XX

函數f(r)是奇函數，A選項正確；

b

設直線，=依，聯立方程：ax+-=kx,得(A-a)d-。=0,攵一。工0,4=46(左一。)工0,直線y=Ax

x

不可能是/(X)的一條切線，B選項錯誤；

.＜、〃＜、bbb

若/(當)=〃％2)，工尸無2,則叫+—=ax2+—,得玉々=一，

*Wa

hh

即sinx(sinx+2)=—,由sin尢的有界性，顯然$也尤(，也犬+2)=—不一定有解，C選項錯誤；

aa

TT

當/(x)=E+：,keZ,顯然存在ma,b,使方程Sin[/(x)]=cos[/(x)]有解，D選項正確.

4

故選：AD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知復數z滿足—-i)|=l(i是虛數單位)，則目的最大值為

【答案】V2+l##l+V2

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【解析】

【分析】根據復數的幾何意義有，復數z對應的點Z到點A。,-1)的距離為1,即點Z的軌跡為以

為圓心，半徑/*=1的圓，從而即可求解.

【詳解】解:因為復數z滿足卜一(1一1=1,

所以根據復數的幾何意義有，復數z對應的點Z到點A(l,-1)的距離為1,即點Z的軌跡為以A。,-1)為

圓心，半徑一=1的圓，

所以忖的最大值為+r=Ji?+(—if+1=也+1,

故答案為：V2+1.

S

14.｛凡｝是公差不為零的等差數列，前n項和為S,,，若$5=15,4，％，%成等比數列，則二絲=

^2023

【答案】1012

【解析】

【分析】利用等差中項及等比中項，結合等差數列的通項公式及前〃項和公式即可求解.

【詳解】設等差數列｛”“｝的首項為4,公差為4(4/0),則

因為§5=15,

所以§5=4+。2+。3+。4+。5=15,即5%=15,解得〃3=3.

因為。3，%，4成等比數列，

所以《=%42，即(3+34)2=3x(3+94),解得d=i或d=。(舍)，

所以q=4+2d=3,解得q=1,

所以4o23=1+(2023—1)x1=2023,

2023(1+2023)

所以每理=-------2------=1012-

“20232023

故答案為：1012.

15.函數/(x)=cos2x+2|sinx|(xe[0,2K])的值域為.

第10頁/共23頁

3

【答案】1,-

【解析】

【分析】利用換元法和二次函數性質即可求得f(x)的值域.

【詳解】/(x)=cos2x+2|sinx|=l-2sin2x+2|sinx|(xe[O,2TI])

令卜inx|=f,則

則fM的值域轉化為g(t)=l-2t2+2t,Ze[O,l]的值域，

I3「3一

g(^)=-2r+2r+1=-2(?--)+—,則g(f)w1,—,

31「3-

則gQ)的值域為1,耳,則函數/(x)的值域為1,-.

'3'

故答案為：1,彳

L2J

12

16.若函數/(無)=0?—§(a>0)與函數g(x)=%2一的圖像恰有三個不同交點，且交點的橫坐標構成

等差數列，則實數a的取值范圍是.

【答案】

【解析】

21

【分析】依題意，函數/?(》)=f(x)-g(x)^ax3-x2+-cx--有三個不同的零點，則

2

/。)=3依2—2x+§c=0有兩個不同的實數根，三個不同的零點構成等差數列，則三次函數//(X)的對稱

中心在x軸上，根據不等式求實數。的取值范圍.

【詳解】函數/裊)=⑺3—1與函數g(x)=f—2的圖像三個不同交點，

等價于函數〃(X)=/(》)—g(x)=a？—x2+§cx-§有三個不同的零點，即/z(x)的圖像與X軸有三個交點,

29

由“(X)=3ax2-2x+-c,故必有方程3af_2x+§c=0有兩個不同的實數根，

則。>0,A=4-8tzc>0,/.ac<—

2

三次函數的圖像是中心對稱圖形，由/?(x)的圖像與X軸三個不同交點的橫坐標構成等差數列，則〃(x)的圖

像的對稱中心一定在x軸上，

第11頁/共23頁

291

hr(x)=3以2-2x+—c,令叭心=3ax2-2x+—c,令"(x)=6ax-2=0^x=一,

則函數M%）圖像的對稱中心橫坐標為「，當〃=o時符合題意,

2I1

+士°.」_一±=0,化簡整理即有6ac=2+9d，

33a3

故2+9/＜3，，礦＜工且。＞0

9

所以實數。的取值范圍是0,§卜

故答案為:

四、解答題：本題共6小題，共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在AABC中，內角4、B、C所對的邊分別為b、c,已知0sin（A+mj+acos（3+3）=0?

（1）求角A的大小；

（2）點。為邊8C上一點（不包含端點），且滿足NAO8=2NAC8,求生的取值范圍.

BC

【答案】（1）A=j

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理及三角恒等變換化簡即可；

（2）利用正弦定理將線段比值轉化為關于C的三角函數值計算范圍即可.

【小問1詳解】

由bsinlA+ll+acosl^+BjuO,結合正弦定理可得：

sinB—sinA+——cosA-sinAsin8=Onsin8——cosA——sinA=0

I22JI22J

因為Be（0,兀），所以sinS/O即走cosA=，sinA，

所以tanA=6，而Ae（0,無）,所以A=5；

【小問2詳解】

第12頁/共23頁

c

D

AB

由/AO8=2/AC8知：AO=CO,所以C<A,即Ce(0,g

在△ABD中，有8=空—C,ZBAD^--C,

33

由正弦定理可得:

百廠1.「

——COSC+-sinC

2211

+?tanC

>/3cosC2273

由Ce可得tanCe（0,、回），所以r1-

18.移動物聯網廣泛應用于生產制造、公共服務、個人消費等領域.截至2022年底，我國移動物聯網連接

數達18.45億戶，成為全球主要經濟體中首個實現“物超人”的國家.卜圖是2018-2022年移動物聯網連接數

卬與年份代碼，的散點圖，其中年份2018-2022對應的f分別為1-5.

oi/億戶

第13頁/共23頁

（1）根據散點圖推斷兩個變量是否線性相關.計算樣本相關系數（精確到0.01）,并推斷它們的相關程

度；

（2）求卬關于f的經驗回歸方程，并預測2024年移動物聯網連接數.

￡,一?。ㄟ场L）人

附:樣本相關系數r~?“I—p；；—>b=-~-----------，a=w-b-T>Jl740?41.7

博―）冶（叫-科y—r

【答案】（1）0.98,兩個變量具有很強的線性相關性

（2）w=4.k+2.7,2024年移動物聯網連接數31.4億戶.

【解析】

【分析】（1）由散點圖可判斷是否線性相關，再根據已知數據計算相關系數即可：

（2）由數據計算回歸方程，并由方程計算預測即可.

【小問1詳解】

由圖可知，兩個變量線性相關.

_1+2+3+4+5._7+12+13+19+24

由已知條件可得:t=------------=5,w=-----------------

5

所以Z&-7）（叫一訪）=16+3+0+4+18=41,

/=1

忙（叱一VV）2=V64+9+4+16+81=V174,、忙（―了=V4+1+0+1+4=M,

4141…

所以相關系數r=而而?—?0.98,

因此，兩個變量具有很強的線性相關性.

【小問2詳解】

八41八

結合（1）可知，^=—=4.1,a=w-b-T=15-4.1x3=2.7

所以回歸方程是：位=4.1/+2.7,

當1=7時,有你=4.1x7+2.7=31.4,即預測2024年移動物聯網連接數為31.4億戶.

19.已知平行六面體ABCD-ABiGA中，底面A8CD和側面都是邊長為2的菱形，平面

A8CD1平面AB81A，.

第14頁/共23頁

(2)若N4A8=60。，求二面角A—的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵姮

5

【解析】

【小問1詳解】

連接作A"LAB于，.

因為是菱形，所以4A_LA3,

又因為4A、4。匚面。44，

所以A3,面D4B1,而AQu面D44,所以43_LA。，

又平面A3CD工平面AB44,平面ABCDc平面ABB/=A3,所以片“，面ABC。,

又因為AOu面ABC￡>,所以4"_LA。.

4”、A4相交，且4"、A耳u面AB4A，

所以4。_1面43片4，ABu面AB44，所以AD1A3,

而A8CD為菱形，所以四邊形ABCO是正方形.

第15頁/共23頁

【小問2詳解】

在NAA8=60°時，易知”為A8的中點，如圖以”為中心，建立空間直角坐標系

則，A(1,O,O),4(一2,0,G),C(-1,2,0),次―1,0,0),

04=(2,-2,0)，CB,=(-1,-2,V3),CB=(0,-2,0)

而C4=02x—2y=0

設平面ABC的一個法向量而=(x,y,z),則—.，即〈

m-CB,=0-x-2y+yf3z—0

令x=1,則y=1,z=也>故啟=(1,1,百)

n-CB=0-2q=0

設平面BBC的一個法向量萬=(p,g/),則〈_.，即｛r令/*=1,則p=6,q=0,

n-CBx-0(-p-2^+V3r=0"

解得同=(JJ,0,l),

mil/__、inn273V15

則cos(m,n)=-------=—j=——=----

\m\-\n\V5x25

又因為A—BQ—8為銳二面角，所以A—gC—6的余弦值為巫.

5

20.設數列｛%｝的前〃項和為工，且3a”=2(S“+2〃)，

(1)證明：數列｛々+2｝是等比數列，并求｛4｝的通項公式;

1]

(2)設6“=logs%j-證明:+一1+7>J62”+l?

k"1/4人bJb2n-lJ

【答案】(1)證明見解析，an=M"-'-2

(2)證明見解析

【解析】

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S],〃=1/、

【分析】⑴根據。、.，作差得到?！?3。,1+4,即可得到4+2=3(。,1+2),從而得

⑸c-S,i，〃22

證，即可求出｛4｝的通項公式;

1)1+11

…[+加+1))1

(2)由(1)可得a="，方法一：令All匕5,

、"1人I仇“一J，則/(〃)’

/(?)-72/7+1

即可得證;

2n|＞空口，再累乘即可得證.

方法二：利用放縮法得到

2〃一112〃一1

【小問1詳解】

因為3a“=2(S“+2〃),

當〃=1時3a?=2(5]+2),解得q=4,

當〃22時3%_I=2(S“_1+In-2),

相減得=3a,2_]+4,所以+2=3(〃“_]+2),

所以｛《,+2｝是以首項為6,公比為3的等比數列,

即a“+2=6x3"T,所以a“=6x3"T—2.

【小問2詳解】

由(1)可得勿=log3""+2-iog3—=log33"=〃,

即證：(1+1)U+1Y1+\_

>、2〃+1

5

方法一:

則/(〃+1)=2”匕

'f(〃)，2〃+1?，2〃+3

因為(2〃+2)2>(2n+1)(2〃+3),所以/(〃+1)>f(n),

2

所以/(〃)單調遞增，即/(〃)>"1)=F>1,

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2n2〃+1(2nY2n2n+l_2n+l

方法二：放縮法:2n-l2n\2n-l)2n-l2n2n-\

2n]22H+1

所以2n-\)>2n-l

相乘得制.?。?n+\

二qY.2=2/2+1

2/i-lJ132/1-1

21.已知點R（O,1）,動點加在直線/：y=-l上，過點M且垂直于x軸的直線與線段MF的垂直平分線交

于點P,記點P的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的標準方程；

（2）過戶的直線與曲線。交于A,B兩點，直線。A,08與圓/+>2-2>=0的另一個交點分別為

D,E,求ADOE與&408面積之比的最大值.

【答案】（1）x2=4y

4

（2）—

25

【解析】

【分析】（1）利用拋物線定義即可求得曲線C的標準方程：

（2）先求得:3的表達式，再利用均值定理即可求得其最大值.

【小問1詳解】

過點M且垂直于x軸的直線與線段的垂直平分線交于點P,

則|PM|=|PF|,則點p到直線y=-1和定點mi）距離相等，

則P的軌跡為以F（0,l）為焦點以直線y=-1為準線的拋物線，

則曲線C的方程為：丁=4）

【小問2詳解】

設A,B,D,E坐標分別為A（x，yJ,8（蒼，%），。（七，％），打不乂），

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ra為S&DOE_I°DI?II_1*3X4I

IOA。。切一同

1x

令直線/%：y=k1x,勺=7，OB-y=K'的=一

x2+y2-2y=0_2kl

由

y=k{x守.31+k：，

2k2

由

1+&￡

所以陷

4kllc2

I"玉工2（1+左；）（1+片）

令L：y^kx+l,與》2=4y聯立得：/一4米一4=0,

所以，%々=-4,玉+々=4左，則丫?=1

所以4/2="=一；，代入得：昌=記

玉/4%17

4

又因為曾+后N2k#J=g,

l&xj14

所以尸｝=不5-------------當且僅:

村也|；+4(6+修)25

4

所以AOOE與AAOB面積之比的最大值為一

22.對于定義在。上的函數尸(x),若存在「€。，使得/(%)=%,則稱不為尸(x)的一個不動點.設函

數fM=(x-l)ev-tzInx+x，已知%(4H1)為函數/⑶的不動點?

(1)求實數。的取值范圍；

(2)若keZ,且筑＜a對任意滿足條件的與成立，求整數七的最大值.

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23

(參考數據：In2=0.693,ln3?l.l,e7al.95'e2-7391￡*4.48)

【答案】(1)ae(0,e)U(e,+8)；

(2)2.

【解析】

【分析】(1)根據給定的不動點定義，構造函數g(x)=(x-l)e、-alnx,利用導數結合零點存在性定理探

討函數g(x)在(0,1)口(1,+8)上的零點作答.

(2)由(1)可得。=魚業;，結合給定條件確定出々值2,再利用導數講明不等式2%<(/二I).“

Inx0In玉)

作答.

【小問1詳解】

依題意，方程(x-l)e*-alnx=0在(0,+8)內有根%，且七力1,

2x

令g(x)=(尤一l)e、—alnx,xe(0,l)U(l,+oo),求導得g，(x)=xe<—@=一",

XX

當aW0時，g'(x)>0在(0,1),(1,+oo)上都遞增，而g(l)=0,因此函數g(x)在(0,1)、(L+o。)無零點,

當a〉0時，令h(x)=x2ex-a,xe(0,l)U(1,+?>),h'(x)=(x2+2x)e'>0,則函數g'(x)在(0,1),(1,+℃)

上都遞增，

當0<a<e時，當x〉l時，g'Cv)>g'(l)=e-a>0,函數g(x)在(1,+8)上遞增，無零點，

當0<x<l時，〃(0)=-a<0,則存在占e(0,l),使得/z(xJ=O,即/(再)=0,

當xw(0，x)時,g'(x)<O,g(x)遞減，在XG(M，1)時,g'(x)>O,g(x)遞增，

eee

g(X1)<g(l)=。，而一一<T，有e”

QC、C、LC、C

_e_e_￡_e_e_￡_?

g(e^)=(e-°-l)ec<，-olne^=e+e-?+e<，-ee">0'

因此存在x°e(0,x。，使得g(x0)=0,即函數g(x)在(0,1)上有零點吃,則0<a<e,

當a>e時，當0<x<l時，g'a)<g'(l)=e-