2024年1月“七省聯(lián)考”預(yù)測卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1,已知集合§川y=ln（2-2）｝,則人口3=（）

A.B,卜

C.1x|l<x<D.kI

2.復(fù)數(shù)Z滿足（1+，）.Z=1—泮25,則［的虛部為（）

A.iB.-1C.-iD.1

3.英國數(shù)學家哈利奧特最先使用“<”和“〉”符號，并逐漸被數(shù)學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影

響深遠.對于任意實數(shù)。、b、c、d,下列命題是真命題的是（）

A.若a?</,則。<力B.若,則4c

C.若a<b,c<d,則acvbdD.若a<Z?,c<d,則Q+c<Z?+d

4.如圖所示，a為射線。4,OB的夾角，ZAOx=~,點尸（—1,3）在射線。8上，則$皿"+|）_（）

4cosa一

A2+6R-2+V3_273+1D,山

2222

5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0,2）上單調(diào)遞減的是（）

A.y=2.B.y=—x3

JQ2—x

C.y=cos—D.y=In-----

-22+x

6.已知圓C:（x-l）2+（y-l）2=l上兩動點A,6滿足口ABC為正三角形,o為坐標原點，則伊+礪的最

大值為（）

A.2GB.2V2

C.2V2-V3D.2V2+V3

7.現(xiàn)有4名男生和3名女生計劃利用假期到某地景區(qū)旅游，由于是旅游的旺季，他們在景區(qū)附近訂購了一

家酒店的5間風格不同的房間，并約定每個房間都要住人，但最多住2人，男女不同住一個房間，則女生甲

和女生乙恰好住在同一間房的概率是（）

23

C.D.—

710

8.a=21nl.01,Z?=lnl.02,c=Vf04-b則（)

A.a<b<cB.b<C<aC.D.a<c<b

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列命題正確的是（）

A.若樣本數(shù)據(jù)再,々，…，。的方差為2,則數(shù)據(jù)2%—1,2%T,…,2%-1的方差為8

2

B.若尸（A）=0.6,P（B）=0.8,P（A|B）=0.5,則P（B|A）=-.

C.在一組樣本數(shù)據(jù)（%,%）,（%,力）,…,（土,%）,（n>2,xl,x2,---,xn,不全相等）的散點圖中，若所有

樣本點（x,,y）a=1,2,）都在直線y=-gx+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為-g

D.以模型y=ceh去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗回歸方程，設(shè)z=lny,求得線性回歸方程為

z=4x+0.3,則c,左的值分別是e03和4

10.已知函數(shù)/（x）=cos21%+9］（0<夕<兀）的一個對稱中心為性,彳］,則（）

A./（X）的最小正周期為兀

s兀

C.直線％=石?是函數(shù)”X）圖像的一條對稱軸

D.若函數(shù)y="0x）（。〉0）在［0,可上單調(diào)遞減，則。（0,：

11.已知正項數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，ax=1,且2（S,+S"T）=a；+l（〃22）,〃eN*&=」-

anan+l

北為抄,｝的前〃項和.下列說法正確的是（）

A.4=2B.4=(—1)"

D.1<g

C.an=2n-l

12.如圖所示的六面體中，SA,SB,SC兩兩垂直，ST連線經(jīng)過三角形ABC的重心M,且

SM=>0),則(

A.若4=工，則7CL平面

2

B.若x=2,則SA〃平面rec

C.若5,45,0,7五點均在同一球面上，則4=工

2

D.若點T恰為三棱錐S-ABC外接球的球心，則4=2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知非零向量”，b,c滿足H=W，c=—G,若c為b在a上的投影向量，則向量a，Z?夾角的余

弦值為________

14.(d+1)(%—2成展開式中V項的系數(shù)為.

15.已知直線y=與_y=&x(尢＞左2)是曲線丁=。》+2111國(0€口)的兩條切線，則尢一左？=

16.已知橢圓。：二+丁=1的左、右焦點分別為耳，F(xiàn),,M是C上異于頂點的一點，。為坐標原點，E

47

為線段叫的中點，/耳”片的平分線與直線EO交于點P,當四邊形8的面積為2/時，

sinZMF^=.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在口48。中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a="(GsinC+cosC).

(1)求&

(2)已知8。=2括，。為邊A3上的一點，若3。=1,ZACD=-,求AC的長.

2

18.如圖，三棱錐尸―ABC的平面展開圖中，AB1BC,P[B=AB=?，4=AC=4,4c=2J5,

E為鳥4的中點.

(1)在三棱錐P—ABC中，證明：BE1AC；

(2)求平面P8C與平面ABC夾角的余弦值.

19.已知數(shù)列｛4｝是各項都為正整數(shù)的等比數(shù)列，。1=3,且%是。2與q。4的等差中項，數(shù)列也｝滿足

4=I，％1=2b“+1.

（1）求數(shù)列｛%｝,｛0“｝的通項公式；

b+5

（2）若左?七一一28〃+2左—24對任意“eN*恒成立，求實數(shù)左的取值范圍.

20.某中學有A,2兩個餐廳為老師與學生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學、張老師兩人每天午餐和晚餐都

在學校就餐，近一個月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下：

選擇餐廳情況（午餐，晚餐）（AA）（B，A）(B⑻

王同學9天6天12天3天

張老師6天6天6天12天

假設(shè)王同學、張老師選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率.

（1）估計一天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；

（2）記X為王同學、張老師在一天中就餐餐廳的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望E（X）；

（3）假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學生去A餐廳就餐”，P（M）＞0,已知推出

優(yōu)惠套餐的情況下學生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證

明.P（M|N）〉P（M同.

21.如圖，在平面直角坐標系xOy中，歹為x軸正半軸上的一個動點.以廠為焦點、。為頂點作拋物線

C:y2=2px(p>0).設(shè)尸為第一象限內(nèi)拋物線C上的一點，。為了軸負半軸上一點，設(shè)。(—。,0),使得PQ

為拋物線。的切線，且|尸。|=2.圓G、。2均與直線0P切于點P，且均與無軸相切.

(1)試求出a，P之間的關(guān)系；

(2)是否存在點/，使圓與的面積之和取到最小值.若存在，求出點廠的坐標；若不存在，請說明

理由.

22.已知aeR,函數(shù)/(%)=幺+山%,g(x)=ax-lnx-2.

X

⑴當“X)與g(x)都存在極小值，且極小值之和為。時，求實數(shù)a的值;

112

⑵若/(%)=/(%2)=2(%產(chǎn)為2),求證：~+

2024年1月“七省聯(lián)考”押題預(yù)測卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

?=">=13=口y=ln（2，—2）|4cA

1.已知集合〔,3-2xJ,L-y\力，則Ar13=（）

x|0<x<-|x|l<X<-|

A.B.

C.|x|l<x<—D.xlx<-,x^l

2

【答案】B

【解析】由3—2x〉0解得所以A=]x|x<|

由2，-2〉0解得x>l，所以5={x|x>l},

所以Ac3={x[l<x<.

故選：B

2.復(fù)數(shù)z滿足（l+z>z=l—產(chǎn)3,則I的虛部為（）

A.iB.—1C.—iD.1

【答案】D

【解析】v（l+z）-z=l-z2025=l-i,

,「=1一'_（If/「2i「?

"―1+廠+—z）—2—，

z=i>

所以三的虛部為L

故選：D.

3.英國數(shù)學家哈利奧特最先使用“<”和“〉”符號，并逐漸被數(shù)學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影

響深遠.對于任意實數(shù)。、b、c、d,下列命題是真命題的是（）

A.若/,貝ija<。B.若。<。，則。c<0c

C.若a<。，c<d,則ac<》dD.若a<b,c<d,則a+c<b+d

【答案】D

【解析】對A：因為/<〃，可能。<。<0,故錯誤；

對B：當c<0時，若a<b,貝ijac〉Z?c,故錯誤；

對C：當a<Z?<0,c<d<0時，則ac>仇Z,故錯誤；

對D：若a<b,c<d,則a+cvZ?+d,故正確.

故選：D.

點P(-L3)在射線08上，則sm(a+?

4----------

cosa

26+1口2石-1

-2-■-2~

【答案】A

【解析】設(shè)射線。B所對的角為6則有sin"簫嚕，3=*=-吟,

7T

又因為￡=a+—,

4

71

所以a=〃—W，

sina=sin(￡—：)=(sinP-cos/?)=~~，cosa=cos(,一：)=~~

1.2國岳

所以sin(a+1)—sintz+

2io

275+715

sin(tz+—)10_2+V3

所以-------二

-

cosaV|2

彳

故選：A.

5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0,2）上單調(diào)遞減的是（)

A.y=2兇B.y=—x3

X2—x

C.y=cos—D.y=ln

22+x

【答案】C

【解析】對于A,函數(shù)/（%）=州的定義域為R,關(guān)于原點對稱,

且f(-x)=2T=2W=f(x),所以函數(shù)-3為偶函數(shù),

當xe(0,2)時/(尤)=2工，函數(shù)Ax)單調(diào)遞增,故A不符合題意;

對于B,函數(shù)/(x)=-V的定義域為R,關(guān)于原點對稱,

33

且y(-x)=-(-x)=x=-/(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù),

由幕函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)y=/在R上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(%)=-%3在R上單調(diào)遞減，故B不符合題意;

X

對于C,函數(shù)/(X)=cos1的定義域為R,關(guān)于原點對稱，

Xx

且/(-%)=cos(--)=cos—=f(x),所以函數(shù)/(x)為偶函數(shù),

當xe(0⑵時］e(o,l),又(0,1)Jo,",

所以函數(shù)/(尤)=cos］在(0,1)上單調(diào)遞減，故C符合題意；

2—x

對于D,函數(shù)/(x)=ln——的定義域為(-2,2),關(guān)于原點對稱,

2+x

且/(-x)=In+%=ln(-~-)-1=-ln-~-=-/(%),

,)2-x2+x2+x-

11_2x

所以“X)是奇函數(shù)，又廣⑴=

2-x2+x(2-x)(2+x)

令/'(x)<0n-2<%<0,令/'(%)>0=0<%<2,

所以函數(shù)/(X)在(-2,0)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增，故D不符合題意.

故選：C.

6.已知圓C:(x-l)2+(y-iy=l上兩動點A,B滿足口ABC為正三角形，。為坐標原點，則|土^+94的最

大值為()

A.2^/3B.2A/2

C.2V2-V3D.2V2+V3

【答案】D

【解析】由題可知口ABC是邊長為1的正三角形，

貝|」回|=手

設(shè)A3的中點為M,

又所以點M的軌跡方程為（x—+（y—1）2=:，且|。。=亞.

因為瓦+礪=2兩，所以|。4+。@=2,“卜

因為|OM|<|OC|+\MC\=42+^-，

當且僅當點C在線段OM上時等號成立,

所以|而|的最大值為亞

所以+礪|的最大值為2亞+6.

故選：D.

7.現(xiàn)有4名男生和3名女生計劃利用假期到某地景區(qū)旅游，由于是旅游的旺季，他們在景區(qū)附近訂購了一

家酒店的5間風格不同的房間，并約定每個房間都要住人，但最多住2人，男女不同住一個房間，則女生甲

和女生乙恰好住在同一間房的概率是（）

【答案】C

【解析】3名女生需要住2個房間或3個房間.

若3名女生住2個房間，則不同的方法種數(shù)為C；C；A；；

若3名女生住3個房間，則不同的方法種數(shù)為.

其中，女生甲和女生乙恰好住在同一間房的方法種數(shù)為C；A；,

C：A；_2

所以女生甲和女生乙恰好住在同一間房的概率是A51ZA5—7?

CaCX+2CX

故選：C

8.tz=21nl.01,Z?=lnl.02,c=Vf04-b則（）

A.a<b<cB.b<C<aC.C<a<bD.a<c<b

【答案】B

【解析】依題意，o-c=21nl.01+l-=l-lnl.O2,

4/(x)=21n(l+x)+l-Vl+4x,0<x<l，

222222

求導(dǎo)得，'(x)=---------=-—->--—=>0,

2

]+xJ1+4x-\Jl+2x+xJ1+4xJl+3xJl+4.X

因此函數(shù)〃x)在(0,1)上單調(diào)遞增，/(0.01)>/(0)=0,即a—c>0,則。〉c；

1111

令g(x)=Jl+2x-1-ln(l+x),0<x<E求導(dǎo)得g'(")=>0,

Jl+2x1+尤Jl+2xJ1+2X+Y

因此函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，g(0.02)>g(0)=0,即c—。>0,則c>。，

所以0<c<a.

故選：B

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列命題正確的是()

A.若樣本數(shù)據(jù)%,％2,…，%的方差為2，則數(shù)據(jù)2%一1,2々一1,…,24-1的方差為8

2

B,若P(A)=0.6,P(B)=0.8,P(A|B)=0.5,則P(B|A)=j.

C.在一組樣本數(shù)據(jù)(%,%),(%,力),…,(土,%),(n>2,xl,x2,---,xn,不全相等)的散點圖中，若所有

樣本點(卬x)(i=1,2,)都在直線y=-gx+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為-g

D,以模型y=ceh去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗回歸方程，設(shè)z=lny,求得線性回歸方程為

2=4x+0.3,則c次的值分別是e03和4

【答案】ABD

【解析】對于選項A：若樣本數(shù)據(jù)石,々，…，蛛的方差為2,則數(shù)據(jù)2%-1,29-1,…,2%-1的方差為

22x2=8/7，故A正確；

對于選項B：若P(A)=0.6,P(3)=0.8,P(A|3)=0.5,則

2

—,故B正確;

P(A)P(A)0.6

對于選項C：在一組樣本數(shù)據(jù)。,%),(》2，%)，…，(X"，為)，("之2,%,%2,…,X"，不全相等)的散點圖中，

若所有樣本點(知y)”?=1,2,…，”)都在直線y=-gX+1上，其中-；是線性回歸方程的一次項系數(shù)，不

是相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)是刻畫一組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度一個量，范圍是[-1,1],當相關(guān)系數(shù)為正時呈正相關(guān)

關(guān)系，為負時呈負相關(guān)關(guān)系，故C不正確；

對于選項D：以模型y=cek去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗回歸方程，設(shè)z=lny,

則z=lny=lnc+lnek=lnc+立，由題線性回歸方程為2=4x+0.3,貝Hnc=0.3,左=4,故c,左的值

分別是e03和4,故D正確.

故選：ABD.

兀1

10.已知函數(shù)/(x)=cos2X+y1（0<^<71）的一個對稱中心為

~6,2，則（）

A./（X）的最小正周期為兀

C.直線％=皆57r是函數(shù)“X）圖像的一條對稱軸

D.若函數(shù)丁=/（。%）（0>0）在［0,可上單調(diào)遞減，則。6n

【答案】AC

11717rTT

［解析］/(%)=—cos(2x+0)+—則有2x—+0=—+左兀,％eZ,解得(p=—+kR,keZ,

22626

因為0<°<兀，所以夕=巴，所以=gcos［2X+B］1

+2)

6216J

則/（X）的最小正周期為兀，故A正確;

兀17113,,__

—cos—+—=—,故B錯快;

122324

2義1|+^=兀，則直線x=1^是“X）圖像的一條對稱軸，故C正確;

/、1(c兀)1「八-1-7171_71

y=/(G%)=—cos2刃1+—+一,當xe［0,兀J時,2Gx+一￡—,2g兀+一

216)2666

若函數(shù)y=>0）在［0,兀］上單調(diào)遞減，則有2。兀+巴W兀，

解得則0,三,故D錯誤.

112」

故選：AC

11.已知正項數(shù)列｛q,｝的前〃項和為"，q=1,且2(S“+S"_J=a；+l(〃N2),?GN*.^=-----

anan+\

（為｛〃｝的前〃項和.下列說法正確的是（）

A.〃2=2B.%=(一1)〃

C.an=2H-1D.7；,<|

【答案】CD

【解析】2(5〃+S“_J=片+1(〃>2),an>Q,

可得〃=2時，2(l+〃2+1)=d+1，解得。2=3,故A錯誤，

當〃23時,由2⑸+SQ=d+l,可得2(SI+S〃_2)=〃3+1，

上面兩式相減可得2(a“+a,t)=a；=&+%)(a“-%)，

由于。+。〃_1工0,所以4一〃1=2,

而。2—%=2,則。〃=4+2(〃-2)=3+2(〃-1)=2〃一1,首項也符合,

所以為=2幾—1,〃￡N*.故B錯誤，C正確,

___()

ctnan+x(2n-l)(2n+l)22n—l2〃+1

=-L(i-ll-11

+—F...+------------------)=-(1---------)<-.D正確,

23352n-l2n+l22n+l2

故選：CD

12.如圖所示的六面體中，SA,SB,SC兩兩垂直，ST連線經(jīng)過三角形ABC的重心M,且

SM=>0),則()

A.若％=,，則TC,平面

2

B.若2=2,貝！JSA〃平面TBC

C.若5,43,0,7五點均在同一球面上，則2=工

2

D.若點T恰為三棱錐S-ABC外接球的球心，則4=2

【答案】BCD

【解析】因為六面體中，SA,SB,SC兩兩垂直，ST連線經(jīng)過三角形ABC的重心M,

所以可以將六面體放在長方體中，點T在對角線SN上運動，

以S為坐標原點，S3,SC,S4所在直線分別為x,%z軸，建立空間直角坐標系，

設(shè)SB=m,SC=n.SA=t,

則A(0,0,,C(0,H,0),B(m,0,0),

設(shè)3C的中點尸，連接A尸，與SN交于點M,且=

mn

設(shè)M(q,w,e),由加=可2/得(q,w,e—2(掌；,

3D\NN

解得qw=,故Af,SM=—SN,

3331333J3

此時TC=(0,n,0)-(m,n,t^=(-m,0,-?),TA==(-m,-n,0),

由于無.瓶=(-m,0,V〉(-鞏-〃,0)=療wo,故TC,7X不垂直,

故TC與平面ALB不垂直，A錯誤;

B選項，若2=2,即麗=2而，此時點T為對角線SN的中點，此時T

設(shè)平面TBC的法向量為j=(x,y,z),

j-CB=(x,y,z)?(機，—〃，0)=mx-ny=0

解得z=0,令X=〃，則丁=加，故）=（冬m,0）,

又麗=(o,oj),故］.麗=(〃,肛o>(o,oj)=o,

故），麗，所以SA〃平面：EBC,B正確；

C選項，由于長方體的頂點在同一球面上，若5,43,0,7五點均在同一球面上，

則點T一定在點N處，此時4=,，C正確；

2

D選項，三棱錐S-ABC的外接球即為長方體SN的外接球，

若點T恰為三棱錐S-ABC外接球的球心，則點T為對角線SN的中點，

所以4=2,D正確.

故選：BCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知非零向量2,B，之滿足問=忖，c=1a,若之為很在￡上的投影向量，則向量B夾角的余

弦值為________

【答案】|

3

b

【解析】由°=！。，"為B在￡上的投影向量，c=；a=Wcos（a,B>^=hCOS（a,B）a=cos（a,a

所以:a=cos（a,6）a,故cos（a,6）=j

故答案為：—

3

14.（必+1）（》一2）4展開式中V項的系數(shù)為.

【答案】8

【解析】由題意可知：（x—2）4展開式的通項公式為&]=C[xA.（—2）',=0,1,2,3,4,

所以（3+l）（x-2）4展開式中用項的系數(shù)為C：x（―2?+C：x（―2）=16—8=8.

故答案為：8.

15.已知直線丁=左％與丁=自%（占>左2）是曲線y=。％+2111忖（0€11）的兩條切線，則尢一左2=

4

【答案】一

【解析】由已知得，曲線的切線過(0,0),

x>0時，曲線為y=ax+21nx,設(shè)玉>0,直線y=在曲線上的切點為(和。占+21nxJ,y'=a+~-,

(2)

切線：y—(〃玉+21nxJ=a+—(%-石)，又切線過(0,0)

IxiJ

(212

-axx-2]nx1=QH——(一七)，???石=0,kx=a+—,

I\)e

同理取光<0,曲線為y=〃％+21n(—x),設(shè)％<0,直線y二心％在曲線上的切點為+2皿-%2)),

,2

y=〃+一，

(2)

切線：y-(tzx2+21n(-x2))=〃+—(x-x2),又切線過(0,0)

IX2)

24

x?——e,k2=a—,:?k、_k?=_,

ee

4

故答案為：一

e

16.已知橢圓C:二+V=i的左、右焦點分別為耳，F(xiàn),M是C上異于頂點的一點，。為坐標原點，E

472

為線段兒嵋的中點，/K”用的平分線與直線EO交于點尸，當四邊形8的面積為20時，

sinZMF^=.

因為M尸平分/耳叫，所以尸到〃耳，的距離相等，

設(shè)為3則%%=；（眼周+|班|）"=26

易知0E是△耳煙的中位線，延長耳P,〃鳥交于點G,則P為片G的中點,

過耳作于”,

易得閨叫=2/?=|耳聞sin/g%則與”乃=2百sin/M鳥耳=2后，從而sin/崢耳=乎.

故答案為：逅

3

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在口ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=。（百sinC+cosC）.

(2)已知3C=2g，。為邊AB上的一點，若3。=1,ZACD=-,求AC的長.

2

【答案】(1)3=烏.(2)AC=—.

62

【解析】(1)a=b(百sinC+cosC),根據(jù)正弦定理得，sinA=sin5(百sinC+cosC),

即sinBcosC+cosBsinC=V3sinBsinC+sinBcosC，

所以cos5sinC=V3sinBsinC，因為sinC>0，

所以cosB=拒sinB，所以tanB=——，

3

因為5￡（0,兀），所以3哈

⑵因為g=25BD=L八，根據(jù)余弦定理得

CD-=BC"+BD2-2BCBDcosB=l+12-2xlx2y/3=7，CD=y/l.

2

71

NBDC=—+ZA,/.sinZBDC=sin—+ZA=cosA.

22

BCCD.2百=也

在口。。中，由正弦定理知,

3sinNBDC—sin/B''*cosA-

2

，cosA=理，所以sinA=￥

.4sinA2GCD._V21

??tanA=-------=---，??AC=---

cosA3AC2

18.如圖，三棱錐尸―ABC的平面展開圖中，AB1BC,RB=AB=瓜P2A=AC=4,片。=2行,

E為EA的中點.

(1)在三棱錐尸—ABC中，證明：BE1AC；

(2)求平面P6C與平面ABC夾角的余弦值.

V165

【答案】(1)證明見解析

33

【解析】(1)

由68=48=指，得PB=AB=娓，且E為PA的中點,

所以

取4c中點為尸，連接E尸，BF，

pcI-

可得EE=——=72,

2

在APBA中，BE=^AB2-AE2=V2，

Ar

在口ABC中，BF=—=2,

2

所以BE2+FE2=Bp2,

所以5ELEF

因為ERnPA=E,EF,PAu平面PAC,

所以BE，平面PAC,

因為ACu平面PAC,

所以5E1AC；

(2)如圖，過點E作EGLP4,交AC于點G,

以西，EA-而分別為了軸，，軸，z軸正方向建立空間直角坐標系.

則E(0,0,0),4(020),3(0,0,揚,P(0,-2,0),

在口ABC中，可得點C到/%距離為J7，

故可得c(J7,-1,0),

AB=(0,-2,V2),5C=(V7,-1,-V2),麗=(0,2,0)

設(shè)平面ABC與平面PBC的一個法向量分別為々,n2=(x2,y2,z2),

平面PBC與平面ABC的夾角為氏

nA-AB=-2y1+42Z1=0377r-

由＜———?i—1—,y,=1=>x=----,4=72，

n1-BC=V7x1-^-72^=07

所以=,1,V2,

7

n-PB=2y2

2+V2Z2=0，取為=Tn%=*，22="

由<

n2-BC=V7%2-%-V2Z2=0

網(wǎng)「?一〃2I—7

所以3"巾=疝x后

33

7

-時馬

所以帆=^-,-l,V2

所以兩平面的夾角的余弦值為翅更.

33

19.已知數(shù)列｛4｝是各項都為正整數(shù)的等比數(shù)列，q=3,且%是出與1%的等差中項，數(shù)列也｝滿足

4=1也+i=22+1.

（1）求數(shù)列｛an｝,｛bn｝的通項公式；

b+5

（2）若左?七一一428〃+2左—24對任意“eN*恒成立，求實數(shù)左的取值范圍.

【答案】（1）%=3X2"Lbn=T-l-,（2）[4,+a））.

【解析】⑴設(shè)數(shù)列｛%｝的公比為心則”N*,

33

。3是％與的等差中項，2%=%+a“4，

32

：.2q=l+-（f,解得q=2或q=w（舍去），.?.4=3X2"T

.??%=2舟+1,，%+1=2出+1）,

又4+1=2,.?.數(shù)例]｛4+1｝是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,

.?也+1=2",也=2"—1；

b+5

（2）由左,一-----凡28〃+2k—24,

2

整理可得左（2"T+2）—3x2"T28（〃一3）+2左，即（左一3>2'i28（〃一3）,

r對任意〃￡N*恒成立，

162

令/(〃)=M,則仆+1)-/(〃)=云n-3（〃一2）一2（〃一3）4-n

n+12角

乙/2〃2

??.當“W4時，/(n+l)>/(n),當“25時，/(n+l)</(n),

.?.當〃=4或5時，/(〃)取得最大值，

"4)=16

一“一^之3一1.解得人

1616

故實數(shù)上的取值范圍是［4,+8).

20.某中學有A,2兩個餐廳為老師與學生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學、張老師兩人每天午餐和晚餐都

在學校就餐，近一個月(30天)選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下：

選擇餐廳情況(午餐，晚餐)（AA）（AB）(B，A)(B，B)

王同學9天6天12天3天

張老師6天6天6天12天

假設(shè)王同學、張老師選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率.

(1)估計一天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；

(2)記X為王同學、張老師在一天中就餐餐廳的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望E(X)；

(3)假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學生去A餐廳就餐”，P(M)>0,已知推出

優(yōu)惠套餐的情況下學生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證

明.

【答案】(1)0,6(2)分布列見解析，L9(3)證明見解析

【解析】(1)設(shè)事件C為“一天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐”，

因為30天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的天數(shù)為6+12=18,

1Q

所以尸(C)=%=0.6.

(2)記X為王同學、張老師在一天中就餐餐廳的個數(shù)，

則X的所有可能取值為1和2,

所以P(X=1)=0.3X0.2+0.1X0.4=0.1,

p(X=2)=1-P(X=1)=0.9,

所以X的分布列為

X12

P0.10.9

所以X的數(shù)學期望E（X）=lxO.l+2xO.9=1.9.

P(NM)P(NM)_P[N)-P(NM)

（3）由題知尸（N|“）〉尸（N|町，所以

P(M)P(M)-l-P(M)

所以P（NM）＞P（N〉P（M）,

所以P（NM）-P（N）P（NM）＞P（N＞P（M）_P（N）P（NM）,

BPP（W）-P（2V）＞P（^）-P（2W）,

P（NM）P（NM）..

所以為:〉書）即P（〃|N）＞P

21.如圖，在平面直角坐標系xOy中，歹為X軸正半軸上的一個動點.以廠為焦點、。為頂點作拋物線

C:y2=2px（p＞0）.設(shè)尸為第一象限內(nèi)拋物線C上的一點，。為％軸負半軸上一點，設(shè)。（一。,0）,使得P。

為拋物線。的切線，且|尸。|=2.圓G、。2均與直線0P切于點尸，且均與無軸相切.

（1）試求出WP之間的關(guān)系;

（2）是否存在點歹，使圓C1與。2的面積之和取到最小值.若存在，求出點歹的坐標；若不存在，請說明

理由.

【答案】（1）4a2+2pa=4-（2）存在,

【解析】（1）由條件拋物線C：丁2=2內(nèi)（2〉0）,點。（一。,0）（。〉0）,

設(shè):%=加丁一。（加＞0）,將其與拋物線C的方程聯(lián)立，消去尤得9—2pmy+2pa=0.①

因為PQ與拋物線C切于點尸，所以，方程①的判別式為A=4/m2—4x2pa=0,解得m=，藁.

進而，點、P（a,12pa）.故|尸@=J1+蘇|丹_。|=J+但J2pa=個4a2+2pa.

由|「。|=2,則4a?+2pa=4.4tz2+2pa=4.

（2）設(shè)G、G的圓心分別為。1（和%）、Q（/，%）.

注意到，0P與G、。2圓切于點P故

設(shè)圓G、G與X軸分別切于M、N,如圖所示:

則。。1、。。2分別為NPOM、NPON的角平分線，故10M=|。0,|QN|=