課件8-4多元復合函數求導法則多元復合函數求導法則概述多元復合函數的鏈式法則多元復合函數的偏導數求導法則多元復合函數的全導數求導法則多元復合函數求導法則的應用多元復合函數求導法則概述01多元復合函數的定義多元復合函數是由多個變量和多個基本初等函數通過有限次復合運算構成的函數。多元復合函數的一般形式為$f(u,v,w,...,z)$，其中$u,v,w,...,z$是中間變量，它們本身也可以是復合函數。掌握多元復合函數求導法則是學習微積分的重要基礎，它有助于理解函數的極值、曲線的切線、曲面的法線等概念。在解決實際問題時，多元復合函數求導法則能夠幫助我們找到最優解，提高決策的科學性和準確性。多元復合函數求導法則的重要性多元復合函數求導法則的歷史與發展多元復合函數求導法則的思想可以追溯到18世紀中葉，當時法國數學家偏微分方程的創始人之一萊布尼茨開始研究多元函數的導數。19世紀初，法國數學家傅里葉研究了更一般的多元復合函數的導數，并給出了求導的公式。隨著數學的發展，多元復合函數求導法則不斷完善和豐富，逐漸形成了系統的理論體系。多元復合函數的鏈式法則02如果$y=f(u)$，$u=g(x)$，則$y'=f'(u)g'(x)$。鏈式法則設$y=f(u)=u^2$，$u=g(x)=x^3$，則$y'=f'(u)g'(x)=2u(3x^2)=6x^2u$。舉例一元函數的鏈式求導法則鏈式法則如果$z=f(u,v)$，$u=g(x,y)$，$v=h(x,y)$，則$frac{partialz}{partialx}=f'_ucdotfrac{partialu}{partialx}+f'_vcdotfrac{partialv}{partialx}$，$frac{partialz}{partialy}=f'_ucdotfrac{partialu}{partialy}+f'_vcdotfrac{partialv}{partialy}$。舉例設$z=f(u,v)=uv$，$u=g(x,y)=x^2+y^2$，$v=h(x,y)=x^2-y^2$，則$frac{partialz}{partialx}=f'_ucdotfrac{partialu}{partialx}+f'_vcdotfrac{partialv}{partialx}=u'v+uv'=2x(x^2-y^2)+(x^2+y^2)2x=4x^3-4xy^2+4x^3+4xy^2=8x^3$。多元函數的鏈式求導法則舉例：設$z=f(u,v,w)=uvw$，$u=g(x,y)=x^2+y^2$，$v=h(x,y)=x+y$，$w=i(x,y)=cos(xy)$，則$\frac{\partialz}{\partialx}=f'_u\cdot\frac{\partialu}{\partialx}+f'_v\cdot\frac{\partialv}{\partialx}+f'_w\cdot\frac{\partialw}{\partialx}=2xu(x+y)w+uv(-sin(xy)\cdot2xy)=2x^3u(x+y)w-2xyuvsin(xy)$。鏈式法則的實例解析多元復合函數的偏導數求導法則03VS對于一個多元函數，如果一個自變量的變化量導致函數有一個確定的變化量，則稱該自變量是可微的。偏導數是多元函數在某一點處沿著某一方向的變化率。偏導數的性質偏導數具有線性、連續性和可加性等性質，這些性質在求導過程中非常重要。偏導數的定義偏導數的定義與性質鏈式法則如果一個多元復合函數由多個函數嵌套而成，則可以使用鏈式法則求導。鏈式法則是求偏導數的基本法則之一，它可以將一個復合函數的求導問題轉化為多個簡單函數的求導問題。乘積法則如果一個多元復合函數的自變量之間存在乘積關系，則可以使用乘積法則求導。乘積法則是將一個復合函數的求導問題轉化為多個簡單函數的求導問題。商式法則如果一個多元復合函數的自變量之間存在商的關系，則可以使用商式法則求導。商式法則是將一個復合函數的求導問題轉化為多個簡單函數的求導問題。偏導數的求導法則偏導數求導法則的實例解析以二元函數為例，設$z=f(x,y)$，其中$x=g(s,t)$，$y=h(s,t)$，$s=p(u,v)$，$t=q(u,v)$，$u=r(x,y)$，$v=s(x,y)$，求$frac{partialz}{partialx}$和$frac{partialz}{partialy}$。通過鏈式法則和乘積法則，可以得出結果。解析實例1以三元函數為例，設$z=f(x,y,z)$，其中$x=g(u,v,w)$，$y=h(u,v,w)$，$z=k(u,v,w)$，$u=p(a,b)$，$v=q(a,b)$，$w=r(a,b)$，$a=s(x)$，$b=t(x)$，求$frac{partialz}{partialx}$、$frac{partialz}{partialy}$和$frac{partialz}{partialz}$。通過鏈式法則和乘積法則，可以得出結果。解析實例2多元復合函數的全導數求導法則04對于多元復合函數，全導數是各個中間變量對自變量的偏導數的線性組合。全導數具有線性、鏈式和連續性等性質，這些性質在求導過程中非常重要。全導數的定義全導數的性質全導數的定義與性質123對于復合函數，如果外層函數是可微的，內層函數是多元函數，則全導數等于外層函數的導數乘以內層函數的偏導數。鏈式法則如果復合函數的中間變量是多個自變量的函數，則全導數等于各個中間變量對自變量的偏導數的乘積。偏導數的鏈式法則如果復合函數的中間變量是連續的，則全導數等于各個中間變量對自變量的偏導數的乘積之和。連續性法則全導數的求導法則實例1設$z=f(u,v)$，其中$u=g(x,y)$，$v=h(x,y)$，求$z$對$x$的全導數。實例2設$z=f(u,v)$，其中$u=g(x,y)$，$v=h(x)$，求$z$對$x$的全導數。實例3設$z=f(u,v)$，其中$u=g(x)$，$v=h(x,y)$，求$z$對$x$的全導數。全導數求導法則的實例解析多元復合函數求導法則的應用05在微積分中的應用多元復合函數在微積分中常常出現，掌握求導法則能夠幫助我們快速準確地找到這些函數的導數，進而解決諸如極值、曲線的切線等問題。研究函數的性質通過對多元復合函數求導，我們可以研究函數的增減性、凹凸性、拐點等性質，進而理解函數的形態和變化規律。優化問題在優化問題中，多元復合函數的導數可以用于找到函數的極值點，從而找到最優解。解決復雜函數的導數問題矩陣的求導在向量微積分中，多元復合函數可以用于表示向量函數和矩陣函數，通過對這些函數求導，我們可以找到向量場和矩陣場的梯度、方向導數和偏導數等概念。要點一要點二優化問題在矩陣優化問題中，多元復合函數的導數可以用于找到最優解，例如在特征值優化問題中，可以通過對特征多項式求導來找到最優的特征值。在