北郵概率統計課件1.1隨機試驗contents目錄隨機試驗概述樣本空間與事件概率論基本概念隨機變量及其分布隨機變量的數字特征大數定律與中心極限定理01隨機試驗概述在一定條件下進行的、其結果具有不確定性的試驗。試驗結果不能預先確定，但具有多種可能性。試驗可以在相同條件下重復進行，且每次試驗的可能結果不止一個。隨機試驗定義隨機試驗的結果是不確定的，無法預測具體結果。結果的不確定性可重復性多樣性在相同條件下，隨機試驗可以重復進行，且每次試驗的結果具有統計規律性。隨機試驗的可能結果通常有多種，且每種結果出現的概率一般不相等。030201隨機試驗特點古典概型幾何概型泊松概型其他概型隨機試驗分類01020304試驗中所有可能結果有限，且每個基本事件發生的可能性相同。試驗結果可以無限多，但具有某種幾何度量性質，如長度、面積或體積等。描述單位時間內隨機事件發生的次數，適用于事件之間互相獨立且發生概率較小的情況。包括馬爾可夫鏈、隨機過程等更為復雜的隨機試驗模型。02樣本空間與事件樣本空間定義隨機試驗中所有可能結果組成的集合，記作S。樣本空間中的每一個元素，即每一個可能的結果，記作ω。樣本空間中只包含有限個樣本點。樣本空間中包含無限個樣本點。樣本空間樣本點有限樣本空間無限樣本空間對立事件兩個事件互為補集，即它們的并集是全集，且沒有公共的樣本點。互斥事件兩個事件沒有公共的樣本點。不可能事件不包含任何樣本點的事件，記作?。事件樣本空間的子集，即某些樣本點組成的集合。必然事件包含樣本空間中所有樣本點的事件，記作S。事件定義及性質01事件的包含關系如果事件A的每一個樣本點都是事件B的樣本點，則稱事件A包含于事件B。02事件的相等關系如果事件A和事件B互相包含，則稱事件A和事件B相等。03事件的并運算兩個事件所有樣本點的集合，記作A∪B。04事件的交運算兩個事件公共的樣本點的集合，記作A∩B。05事件的差運算屬于事件A但不屬于事件B的樣本點的集合，記作A?B。06事件的對立運算事件A的對立事件，即不屬于事件A的所有樣本點的集合，記作Aˉ。事件間關系與運算03概率論基本概念描述某一事件發生的可能性大小的數值。概率的直觀定義非負性、規范性、可加性。概率的性質滿足非負性、規范性和可列可加性的函數稱為概率。概率的公理化定義概率定義及性質

條件概率與獨立性條件概率的定義在某一事件發生的條件下，另一事件發生的概率。事件的獨立性如果兩個事件的發生互不影響，則稱這兩個事件是獨立的。多個事件的獨立性如果一組事件中任意多個事件的發生都不影響其他事件的發生，則稱這組事件是相互獨立的。如果事件組滿足完備事件組，且都是樣本空間的一個劃分，則對任一事件B，全概率公式表達為P(B)=∑P(A)P(B|A)。全概率公式在全概率公式的假定之下，貝葉斯公式將條件概率P(A|B)表達為P(A)P(B|A)/∑P(A)P(B|A)。貝葉斯公式用于在已知一些相關條件下，更新某一假設的概率。貝葉斯公式的應用全概率公式與貝葉斯公式04隨機變量及其分布設隨機試驗的樣本空間為S，如果對于每一個樣本點e∈S，都有一個實數X(e)與之對應，則稱X=X(e)為隨機變量。隨機變量的定義隨機變量具有可測性、單值性和對應關系的確定性。隨機變量的性質隨機變量定義及性質123如果隨機變量X的所有可能取值是有限個或可列個，則稱X為離散型隨機變量。離散型隨機變量的定義離散型隨機變量的分布律可以用分布列來表示，即列出X的所有可能取值及對應的概率P{X=x}。離散型隨機變量的分布律二項分布、泊松分布、幾何分布等。常見離散型隨機變量的分布離散型隨機變量及其分布律03常見連續型隨機變量的分布均勻分布、指數分布、正態分布等。01連續型隨機變量的定義如果隨機變量X的分布函數F(x)是連續函數，則稱X為連續型隨機變量。02連續型隨機變量的概率密度連續型隨機變量的概率密度函數f(x)是F(x)的導數，即f(x)=F'(x)。f(x)具有非負性和規范性。連續型隨機變量及其概率密度05隨機變量的數字特征方差衡量隨機變量取值的離散程度，即各數值與其平均數差值的平方和的平均數。數學期望描述隨機變量取值的“平均水平”，是隨機變量所有可能取值與其對應概率的乘積之和。性質數學期望具有線性性質，方差具有可加性。數學期望與方差協方差衡量兩個隨機變量的總體誤差，即兩個隨機變量各自偏離其期望值的程度。相關系數衡量兩個隨機變量之間線性相關程度的量，取值范圍為[-1,1]。性質協方差和相關系數都具有對稱性，且相關系數是協方差的標準化形式。協方差與相關系數描述隨機變量分布形態的量，如一階原點矩為數學期望，二階中心矩為方差。矩描述多個隨機變量之間相關關系的矩陣，其中每個元素表示兩個隨機變量之間的協方差。協方差矩陣協方差矩陣是對稱矩陣，且對于多元正態分布，其協方差矩陣描述了分布的形態。性質矩與協方差矩陣06大數定律與中心極限定理種類包括伯努利大數定律、辛欽大數定律等。應用在保險、金融、質量控制等領域有廣泛應用，如通過大量歷史數據預測未來風險。含義大數定律是描述隨機現象平均結果穩定性的定理，即當試驗次數足夠多時，隨機事件的頻率趨于一個穩定值。大數定律含義01中心極限定理是概率論中討論隨機變量序列部分和分布漸近于正態分布的一類定理。種類02包括獨立同分布的中心極限定理、德