高三數學第一學期期中考模擬卷02一、單選題1．（2023·遼寧·鞍山一中校聯考模擬預測）設全集，集合，，則等于（

）A．或 B．或C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式、一元一次不等式求集合A、B，再應用集合的并、補運算求.【詳解】由題設，，，，∴，故.故選：C2．（2023春·遼寧·高一校聯考階段練習）已知復數z滿足，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】運用復數乘法運算及復數相等可求得a、b的值，再運用共軛復數及復數的模的運算公式即可求得結果.【詳解】設（a，），則，根據復數相等的定義，得，解得或，所以．故選：B.3．（2023春·遼寧營口·高二統考期末）已知函數，若，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由即可求出，則可求出的值.【詳解】當時，，無解，當時，，所以，故選：B.4．（2023秋·遼寧營口·高二營口市第二高級中學?？茧A段練習）各項不為零的等差數列中，，數列是等比數列，且，則A．4 B．8 C．16 D．64【答案】D【分析】根據等差數列性質可求得，再利用等比數列性質求得結果.【詳解】由等差數列性質可得：又各項不為零

，即由等比數列性質可得：本題正確選項：【點睛】本題考查等差數列、等比數列性質的應用，屬于基礎題.5．（2023·遼寧·校聯考模擬預測）等差數列前項和為，滿足，則下列結論中正確的是A．是中的最大值 B．是中的最小值C． D．【答案】D【詳解】本題考查等差數列的前n項和公式，等差數列的性質，二次函數的性質.設公差為則由等差數列前n項和公式知：是的二次函數；又知對應二次函數圖像的對稱軸為于是對應二次函數為無法確定所以根據條件無法確定有沒有最值；但是根據二次函數圖像的對稱性，必有即故選D6．（2023·遼寧·校聯考模擬預測）已知方程在上有且僅有兩個不同的解、，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】等價于的圖象與直線有且僅有兩個公共點，即直線與的圖象在內相切，利用導數求出即可判斷選項CD，再利用反證法分析選項AB即得解.【詳解】要使方程在上有兩個不同的解，則的圖象與直線有且僅有兩個公共點，所以直線與的圖象在內相切，此時，，設切點，由，∴.所以選項C正確，選項D錯誤.若選項A正確，則可得，所以.令，所以函數在上單調遞增，所以，所以，與矛盾，所以選項A錯誤；若選項B正確，則可得，因為，所以，所以不成立，所以選項B錯誤.故選：C.7．（2023春·遼寧錦州·高二統考期末）已知，設曲線在處的切線斜率為，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據導數幾何意義可得，利用導數可求得在上單調遞減；根據大小關系可得結論.【詳解】當時，，，，，在上單調遞減；，所以，而，所以，.故選：A.8．（2023·遼寧·建平縣實驗中學校聯考模擬預測）聲音是由物體振動產生的聲波，純音的數學模型是函數，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復合音.若一個復合音的數學模型是函數，則下列結論正確的是（

）A．是奇函數 B．的最小正周期為C．的最大值為 D．在區間上單調遞減【答案】D【分析】根據奇偶性的定義可判斷A；由可判斷B；利用換元法將問題化歸為二次函數給定區間求最值可判斷C；對求導，判斷的單調性可判斷D.【詳解】因為，定義域為R，所以是偶函數，故A不正確；因為，所以的最小正周期不是，故B不正確；因為，令，則，所以當時，取得最大值，最大值為，故C不正確；當，，則，當時，，，所以，所以在區間上單調遞減，故D正確.故選：D.二、多選題9．（2023秋·遼寧大連·高一?？茧A段練習）下列命題中是真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．是的必要不充分條件【答案】AC【分析】對于A，B，C利用不等式的性質判斷即可，對于D，利用充分條件和必要條件的定義判斷【詳解】解：對于A，因為，所以，所以，所以A正確；對于B，當時，由不等式的性質可知，若，則，所以B錯誤；對于C，由不等式的性質可知是正確的；對于D，由得，所以是的充分不必要條件，所以D錯誤，故選：AC【點睛】此題考查不等式性質的應用，考查充分條件和必要條件的判斷，屬于基礎題10．（2023秋·遼寧朝陽·高二建平縣實驗中學?？茧A段練習）如圖，在正方體中，E，F，G分別是棱，，的中點，則（

）A．平面 B．平面C．點在平面內 D．點F在平面內【答案】BD【分析】連接、根據正方體的性質可得，即可得到平面，再根據中位線的性質及平行公理得到，即可得到、、、四點共面，從而得解；【詳解】解：連接、，在正方體中，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又，所以，所以、、、四點共面，即點F在平面內，故B、D正確；再連接，顯然不在平面，所以與平面不平行，故A錯誤；由平面，可知點不在平面內，故C錯誤；故選：BD11．（2023秋·遼寧丹東·高一鳳城市第一中學校考期末）已知函數，有4個零點，，，，則（

）A．實數的取值范圍是 B．函數的圖象關于原點對稱C． D．的取值范圍是【答案】ACD【分析】根據分段函數的性質，以及二次函數零點與方程的根的關系，即可分析零點，進而判斷正誤.【詳解】解：由題可知，當時，有2個零點，故，解得，當時，此時，而，易知，也有2個零點，故，A正確；，B錯誤；的4個零點滿足：，則，是方程的兩個根，則有，且，，于是得，C正確；由C選項知，，由，得：，而函數在上單調遞減，從而得，D正確.故選：ACD.12．（2023秋·遼寧朝陽·高三校聯考階段練習）函數的部分圖象如圖所示，則（

）A．，若恒成立，則B．若，則C．若，則D．若，且，則【答案】ACD【分析】根據函數圖象求出函數解析式，再根據余弦函數的性質計算可得；【詳解】解：由圖可知，，所以，又，所以，所以，又，且，所以，所以；對于A：因為，所以，，所以，故A正確；對于B：若，即，所以或，，即或，，故B錯誤；對于C：因為關于對稱，又，即，所以和關于對稱，故，所以，故C正確；對于D：因為且，由在區間內的對稱軸為可知，，所以，故D正確；故選：ACD三、填空題13．（2023春·遼寧沈陽·高一同澤高中?？茧A段練習）已知，且，則的值為.【答案】【分析】利用換元法令，則結合誘導公式可得，求的值注意符號的判斷．【詳解】令，則∵，則故答案為：．14．（2023·海南省直轄縣級單位·?？寄M預測）已知正數，滿足，若，則．【答案】6【分析】化簡不等式，利用基本不等式求出，即可得出的值.【詳解】由題意，由，得，即，故．又，所以，當且僅當即時，等號成立，此時，解得或，則，所以.故答案為：.15．（2023·吉林長春·東北師大附中?？家荒＃┤粼趦却嬖跇O值，則實數的取值范圍是．【答案】【分析】求出函數的導數，問題轉化為在內有變號零點，利用二次函數的性質求出a的取值范圍．【詳解】在內存在極值，則在內有變號零點，，，與同號，則有，解得，即實數的取值范圍是.故答案為：16．（2023秋·遼寧沈陽·高一東北育才學校?？茧A段練習）在古希臘數學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個球，這個球與圓柱的側面及兩個底面都相切，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以自豪的發現．記圓柱的體積是球的體積的m倍，圓柱的表面積是球表面積的n倍，則m與n的大小關系是．【答案】【分析】設球的半徑為，利用圓柱的體積是球的體積的m倍，圓柱的表面積是球表面積的n倍，可得，，即可得出結論．【詳解】設球的半徑為R，因圓柱的體積是球的體積的m倍，圓柱的表面積是球表面積的n倍，則，，得．故答案為：．四、解答題17．（2023秋·遼寧撫順·高二?？奸_學考試）已知中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求的值；(2)若，，求的周長與面積.【答案】(1)(2)11，【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換的知識求得.（2）先求得，然后利用正弦定理求得，從而求得三角形的周長與面積.【詳解】（1）由正弦定理得，故，而在中，，故，又，所以，則，則，，故.（2）因為，且，所以，.

由（1）得，，則，由正弦定理得，則，.故的周長為，的面積為.18．（2023·遼寧沈陽·東北育才學校?？家荒＃┮阎獢盗袧M足.(1)求數列的通項公式；(2)設，數列的前n項和，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意得當時，，兩式相減得到，再求得，即可得到數列的通項公式；（2）由（1）得，求得成立；當時，得到，結合裂項求和法，求得，進而證得.【詳解】（1）解：因為，當時，，兩式相減得，可得，令，可得，所以數列的通項公式為.（2）解：由（1）知，且，當時，可得成立；當時，，所以，因為，可得，可得，所以，綜上可得，.19．（2023·吉林長春·東北師大附中?？家荒＃┘质?023年開始，高考取消文理分科，實行“”的模式，其中的“1”表示每位學生必須從物理、歷史中選擇且只能選擇一個科目．某校高一年級有2000名學生（其中女生900人），該校為了解高一年級學生對物理、歷史的選科情況，采用比例分配的分層抽樣的方法抽取了200名學生進行問卷調查，其中選擇歷史的男生有40人，選擇物理的女生有30人．(1)利用以上信息完成下面的列聯表，根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為學生性別與選擇科目有關？性別選擇物理選擇歷史總計男生女生總計(2)某個外語學習小組共有7人，其中有3人選擇了歷史，4人選擇了物理，隨機抽取4人進行對話練習，用表示抽中的4人中，選擇歷史的同學人數，求的分布列及期望．附：，其中0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列聯表見解析；能認為學生性別與選擇科目有關(2)分布列見解析；【分析】（1）根據分層抽樣得到抽取男生和女生的人數，進而得到列聯表，求出的值比較即可；（2）根據排列組合的知識求出各值時的概率即可，寫出分布列，求出期望即可.【詳解】（1）根據采用比例分配的分層抽樣得其中抽取男生的人數為人，則抽取女生人數為人，則列聯表如下：性別選擇物理選擇歷史總計男生7040110女生306090總計100100200則，能認為學生性別與選擇科目有關；（2）可能取值為，，，，，，則的分布列如：.20．（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽市第一二〇中學?？奸_學考試）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，，D，E分別是線段AC，的中點，在平面ABC內的射影為D．

(1)求證：平面BDE；(2)若點F為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的性質定理和判定定理證明；（2）利用空間向量的坐標運算求出二面角的余弦值求解.【詳解】（1）連接,因為為等邊三角形，D是線段AC的中點，所以，又因為平面，平面，所以,,平面,所以平面,平面,所以，由題設可知，四邊形為菱形，所以,因為D，E分別是線段AC，的中點，所以,所以，又因為平面BDE,所以平面BDE.（2）

以為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則,設，則所以平面的一個法向量,設平面的一個法向量為,所以，設，則，所以，設，所以，因為，所以二次函數在單調遞增，所以，所以，所以銳二面角的余弦值的取值范圍．21．（2023·吉林長春·東北師大附中校考一模）橢圓的離心率為，過橢圓焦點并且垂直于長軸的弦長度為1．(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線與橢圓相交于，兩點，與軸相交于點，若存在實數，使得，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據橢圓離心率公式，結合橢圓垂直于長軸的弦長公式進行求解即可；（2）根據直線是否存在斜率，結合平面向量的坐標運算公式、一元二次方程根與系數關系分類討論進行求解即可.【詳解】（1）因為該橢圓的離心率為，所以有，在方程中，令，解得，因為過橢圓焦點并且垂直于長軸的弦長度為1，所以有，由可得：，所以橢圓的方程為；（2）當直線不存在斜率時，由題意可知直線與橢圓有兩個交點，與縱軸也有兩個交點不符合題意；當直線存在斜率時，設為，所以直線的方程設為，于是有，因為該直線與橢圓有兩個交點，所以一定有，化簡，得，設，于是有，因為，所以，代入中，得，于是有，化簡，得，代入中，得.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是由向量等式得到.22．（2023春·遼寧·高二鳳城市第一中學校聯考期中）已知函數(1)求在處的切線方程；(2)若對任意的恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意，求導即可得到結果；（2）根據題意，轉化為在區間上恒成立，然后證得在區間上，，再分與討論，即可得到結果.【詳解】（1）因為，則，且，所以切線方程為.（2）由已