第1章空間向量與立體幾何（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）一、單項(xiàng)選擇題：每題5分，共8題，共計(jì)40分。1．已知向量，，，若，，共面，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間向量共面定理進(jìn)行求解.【詳解】若，，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使得，即，即，解得.故選D.2．已知向量，，且與互相垂直，則的值是（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】先利用空間向量的數(shù)量積及模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示求出，再利用空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)榕c互相垂直，所以，即，即，解得.故選A.3．如圖，在平行六面體中，E，F(xiàn)分別在棱和上，且.記，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，由空間向量的線性運(yùn)算可得，由空間向量基本定理即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋裕?因?yàn)椋?故選:B.4．在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑，在鱉臑中，AB⊥平面BCD，，且，M為AD的中點(diǎn)，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可以求得向量夾角的余弦值，再根據(jù)向量夾角與異面直線夾角的關(guān)系可以求得異面直線夾角的余弦值.【詳解】畫(huà)出四面體，建立坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線所成角的余弦值即可.解：四面體是由正方體的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的，如下圖所示建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為因?yàn)楫惷嬷本€夾角的范圍為，所以異面直線BM與CD夾角的余弦值為故選C5．已知矩形為平面外一點(diǎn)，且平面，分別為上的點(diǎn)，，則（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量基本定理求出，求出答案.【詳解】因?yàn)椋裕剩?故選B6．空間內(nèi)有三點(diǎn)，，，則點(diǎn)P到直線EF的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出與，即可得，與，根據(jù)點(diǎn)P到直線EF的距離為可求解.【詳解】因?yàn)椋?所以，，.所以點(diǎn)P到直線EF的距離為.故選:D.7．已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，且平面，則長(zhǎng)度的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】以D為原點(diǎn)，以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．取的中點(diǎn)為H，連接，.證明出點(diǎn)P只能在線段上運(yùn)動(dòng)．設(shè)（）表示出，求出模長(zhǎng)，利用二次函數(shù)求出PC長(zhǎng)度的取值范圍.【詳解】以D為原點(diǎn)，以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，，，.取的中點(diǎn)為H，連接，.在正方體中，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.又面，面，所以面.同理可證：面.又，所以平面平面．因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)P只能在線段上運(yùn)動(dòng)．易知，設(shè)（），，則，，，．當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值36．故PC長(zhǎng)度的取值范圍為．故選C【點(diǎn)睛】立體幾何求最值的方法有兩類(lèi)：（1）幾何法：利用幾何圖形求最值；（2）代數(shù)法：把距離表示為函數(shù)，利用函數(shù)求最值.8．如圖，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)在棱上，給出下列三個(gè)結(jié)論：①三棱錐的體積的最大值為；②的最小值為；③點(diǎn)到直線的距離的最小值為．其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)錐體的體積公式判斷①，將將翻折到與矩形共面時(shí)連接交于點(diǎn)，此時(shí)取得最小值，利用勾股定理求出距離最小值，即可判斷②，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出點(diǎn)到距離，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】在直三棱柱中平面，對(duì)于①：因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，所以，又，又，，，點(diǎn)在棱上，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在點(diǎn)、在點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故①正確；對(duì)于②：如圖將翻折到與矩形共面時(shí)連接交于點(diǎn)，此時(shí)取得最小值，因?yàn)椋裕裕吹淖钚≈禐椋盛阱e(cuò)誤；對(duì)于③：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，所以，，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，則，所以當(dāng)取最大值，且時(shí)，即當(dāng)在點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)點(diǎn)到直線的距離的最小值為，故③正確；故選C二、多項(xiàng)選擇題：每題5分，共4題，共計(jì)20分，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的不得分。9．已知向量，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則直接求解．【詳解】解：向量，，，，故正確；，1，，故錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤；，故正確．故選．10．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若空間向量，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得B．A，B，C三點(diǎn)不共線，空間中任意點(diǎn)O，若，則P，A，B，C四點(diǎn)共面C．，，與夾角為鈍角，則x的取值范圍是D．若是空間的一個(gè)基底，則O，A，B，C四點(diǎn)共面，但不共線【答案】ACD【分析】根據(jù)空間向量平行、空間點(diǎn)共面、空間向量夾角、基底等知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，若是零向量，是非零向量，則，但不存在實(shí)數(shù)，使得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，，，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，與夾角為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，如下圖所示三棱錐，是空間的一個(gè)基底，但不共面，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選ACD11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，是的中點(diǎn)，則（

）A．直線平面 B．C．三棱錐的體積為 D．異面直線與所成的角為【答案】ABD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法一一驗(yàn)證即可；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，，，，所以，即，所以，故B正確；，，，設(shè)異面直線與所成的角為，則，又，所以，故D正確；設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，即，又直線平面，所以直線平面，故A正確；，故C錯(cuò)誤；故選ABD【點(diǎn)睛】本題考查空間向量法在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題.12．.如圖，在菱形中，，沿對(duì)角線將折起，使點(diǎn)，之間的距離為，若分別為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．無(wú)論P(yáng)運(yùn)動(dòng)到哪，都是銳角B．線段的最小值為C．平面平面D．當(dāng)分別為線段的中點(diǎn)時(shí)，與所成角的余弦值為【答案】BCD【分析】設(shè)BD的中點(diǎn)為O，連接AO，CO，建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量作有關(guān)計(jì)算.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，由題意可知：，因?yàn)椋裕忠字驗(yàn)椋云矫妫驗(yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫蔆正確，當(dāng)P點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)，，A錯(cuò)誤；以為原點(diǎn)，分別為軸建立坐標(biāo)系，則，設(shè)，由得，，，當(dāng)時(shí)，，故B正確；當(dāng)分別為線段的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)與所成的角為，所以與所成角的余弦值為，故D正確；故選BCD.三、填空題：每題5分，共4題，共計(jì)20分。13．已知向量為平面的法向量，點(diǎn)在內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為.【答案】【分析】把點(diǎn)到平面距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積問(wèn)題求解．【詳解】解：，0，，點(diǎn)到平面的距離為．故答案為：.14．已知向量，向量，則向量在向量方向上的投影為．【答案】【分析】代入向量投影的計(jì)算公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋裕韵蛄吭诜较蛏系耐队皵?shù)量為.故答案為：.15．,為空間直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，，若，則．【答案】0【分析】由向量的平行公式，則，可以求出，即可得到的值.【詳解】由A.B的點(diǎn)坐標(biāo)可得，因?yàn)椋瑒t，所以．故答案為：0.16．如圖，棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)在平面內(nèi)，三條棱,,都在平面的同側(cè).若頂點(diǎn),到平面的距離分別為,，則平面與平面所成銳二面角的余弦值為【答案】【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，設(shè)連結(jié)則四面體為直角四面體；作平面的法線作于于于連結(jié)，令由等體積可得令可得設(shè)，解得；則的法向量為由得，∴，平面的法向量為，則平面與平面所成銳二面角的余弦值為四、綜合題：共6題，共計(jì)70分。17．（本題10分）如圖，在空間四邊形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)，，.（1）試用向量，，表示向量；（2）若，，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】(1）根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)求出即可；(2）根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)代入計(jì)算即可.【詳解】（1），故∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，故（2）由題意得故故18．（本題12分）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱(chēng)為“斜坐標(biāo)系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標(biāo)系稱(chēng)為“斜60°坐標(biāo)系”.我們類(lèi)比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)：分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（x軸?y軸?z軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）相對(duì)應(yīng)，稱(chēng)向量的斜60°坐標(biāo)為[x，y，z]，記作.(1)若，，求的斜60°坐標(biāo)；(2)在平行六面體中，AB=AD=2，AA1=3，，如圖，以為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”.①若，求向量的斜坐標(biāo)；②若，且，求.【答案】(1)(2)①；②2【分析】（1）根據(jù)所給定義可得，，再根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）設(shè)分別為與同方向的單位向量，則，①根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則得到，即可得解；②依題意、且根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律得到方程，即可求出，再根據(jù)及向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；【詳解】（1）解：由，，知，，所以，所以；（2）解：設(shè)分別為與同方向的單位向量，則，①②由題，因?yàn)椋裕芍獎(jiǎng)t19．（本題12分）如圖，平面，，，，，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)若二面角的余弦值為，求線段的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)；(3)【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得，，，，的坐標(biāo)，設(shè)，可得是平面的法向量，再求出，由，且直線平面，得平面；（2）求出，再求出平面的法向量，利用向量夾角公式得到直線與平面所成角的正弦值；（3）求出平面的法向量，由兩平面法向量所成角的余弦值為，列式求線段的長(zhǎng).【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫妫谄矫鎯?nèi)，則，，又，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，.設(shè)，則.則是平面的法向量，又，可得.又∵直線平面，∴平面；（2）依題意，，，.設(shè)為平面的法向量，則令，得.∴.∴直線與平面所成角的正弦值為；（3）設(shè)為平面的法向量，則，取，可得，由題意，，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.∴線段的長(zhǎng)為.20．（本題12分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證得平面，利用線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理，證得，從而得到平面；（2）方法一：根據(jù)題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)，之后求得平面的法向量以及向量的坐標(biāo)，求得的最大值，即為直線與平面所成角的正弦值的最大值.【詳解】（1）證明：在正方形中，，因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫忠驗(yàn)槠矫妫矫嫫矫妫裕驗(yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以且平面，所以因?yàn)椋云矫妫?）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法因?yàn)閮蓛纱怪保⒖臻g直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)椋O(shè)，設(shè)，則有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.［方法二］：定義法如圖2，因?yàn)槠矫妫云矫妫谄矫嬷校O(shè)．在平面中，過(guò)P點(diǎn)作，交于F，連接．因?yàn)槠矫嫫矫妫裕钟善矫妫矫妫云矫妫制矫妫裕钟善矫嫫矫妫云矫妫瑥亩礊榕c平面所成角．設(shè)，在中，易求．由與相似，得，可得．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．［方法三］：等體積法如圖3，延長(zhǎng)至G，使得，連接，，則，過(guò)G點(diǎn)作平面，交平面于M，連接，則即為所求．設(shè)，在三棱錐中，．在三棱錐中，．由得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．在中，易求，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，直線PB與平面QCD所成角的正弦值即為平面的法向量與向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值，即，再根據(jù)基本不等式即可求出，是本題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：利用直線與平面所成角的定義，作出直線PB與平面QCD所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；方法三：巧妙利用，將線轉(zhuǎn)移，再利用等體積法求得點(diǎn)面距，利用直線PB與平面QCD所成角的正弦值即為點(diǎn)面距與線段長(zhǎng)度的比值的方法，即可求出．21．（本題12分）已知三棱柱中，，，，．(1)求證：平面平面ABC；(2)若，在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使二面角的平面角的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)P的位置；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）連接，由線面垂直的判定有平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，最后根據(jù)線面垂直、面面垂直的判定證結(jié)論.（2）構(gòu)建空間坐標(biāo)系，假設(shè)存在使題設(shè)條件成立，進(jìn)而求得面、面的法向量，根據(jù)已知二面角余弦值及空間向量夾角的坐標(biāo)表示列方程求，即可判斷存在性.【詳解】（1）由知：四邊形為菱形．連接，則，又且，∴平面，平面，則；又，即，而，∴平面，而平面ABC，∴平面平面ABC．（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CA、CB為x、y軸的正向，平面上過(guò)C且垂直于AC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．∵，，，∴，，，．設(shè)在線段AC上存在一點(diǎn)P，滿(mǎn)足，使二面角的余弦值為，則，所以，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得；平面的一個(gè)法向量