二次函數創新題及新定義問題二次函數與新定義問題在二次函數與新定義問題中，重點是將題中給出的定義“翻譯”成學過的知識，再結合二次函數的性質綜合進行處理，其難點就在于“翻譯定義”的過程，對學生的理解能力和初中知識的運用能力要求較高.典例1.若兩個二次函數圖象的頂點，開口方向都相同，則稱這兩個二次函數為“同簇二次函數”．（1）請寫出兩個為“同簇二次函數”的函數；（2）已知關于x的二次函數y1=2x2﹣4mx+2m2+1，和y2=x2+bx+c，其中y1的圖象經過點A（1，1），若y1+y2與y1為“同簇二次函數”，求函數y2的表達式，并求當0≤x≤3時，y2的取值范圍．【答案】解：（1）設頂點為（h，k）的二次函數的關系式為y=a（x﹣h）2+k，當a=2，h=3，k=4時，二次函數的關系式為y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴該二次函數圖象的開口向上．當a=3，h=3，k=4時，二次函數的關系式為y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴該二次函數圖象的開口向上．∵兩個函數y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4頂點相同，開口都向上，∴兩個函數y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函數”．∴符合要求的兩個“同簇二次函數”可以為：y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的圖象經過點A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0，解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，∴y1+y2=2x2﹣4x+3+x2+bx+c=3x2+（b﹣4）x+（c+3），∵y1+y2與y1為“同簇二次函數”，∴y1+y2=3（x﹣1）2+1=3x2﹣6x+4，∴函數y2的表達式為：y2=x2﹣2x+1．∴y2=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴函數y2的圖象的對稱軸為x=1．∵1＞0，∴函數y2的圖象開口向上．當0≤x≤3時，∵函數y2的圖象開口向上，∴y2的取值范圍為0≤y2≤4．【精準解析】（1）只需任選一個點作為頂點，同號兩數作為二次項的系數，用頂點式表示兩個為“同簇二次函數”的函數表達式即可．（2）由y1的圖象經過點A（1，1）可以求出m的值，然后根據y1+y2與y1為“同簇二次函數”就可以求出函數y2的表達式，然后將函數y2的表達式轉化為頂點式，再利用二次函數的性質就可以解決問題．練習1.設二次函數y1，y2的圖象的頂點分別為（a，b）、（c，d），當a=﹣c，b=2d，且開口方向相同時，則稱y1是y2的“反倍頂二次函數”．（1）請寫出二次函數y=x2+x+1的一個“反倍頂二次函數”；（2）已知關于x的二次函數y1=x2+nx和二次函數y2=nx2+x，函數y1+y2恰是y1﹣y2的“反倍【答案】解：（1）∵y=x2+x+1，∴y=，∴二次函數y=x2+x+1的頂點坐標為（﹣，），∴二次函數y=x2+x+1的一個“反倍頂二次函數”的頂點坐標為（，），∴反倍頂二次函數的解析式為y=x2﹣x+；（2）y1+y2=x2+nx+nx2+x=（n+1）x2+（n+1）x，y1+y2=（n+1）（x2+x+）﹣，頂點坐標為（﹣，﹣），y1﹣y2=x2+nx﹣nx2﹣x=（1﹣n）x2+（n﹣1）x，y1﹣y2=（1﹣n）（x2﹣x+）﹣，頂點坐標為（，﹣），由于函數y1+y2恰是y1﹣y2的“反倍頂二次函數”，則﹣2×=﹣，解得n=． 1．小愛同學學習二次函數后，對函數進行了探究．在經歷列表、描點、連線步驟后，得到如圖的函數圖象．請根據函數圖象，回答下列問題：（1）觀察探究：①寫出該函數的一條性質：函數圖象關于軸對稱；②方程的解為：；③若方程有四個實數根，則的取值范圍是．（2）延伸思考：將函數的圖象經過怎樣的平移可得到函數的圖象？寫出平移過程，并直接寫出當時，自變量的取值范圍．【分析】（1）根據圖象即可求得；（2）根據“上加下減”的平移規律，畫出函數的圖象，根據圖象即可得到結論．【解答】解：（1）觀察探究：①該函數的一條性質為：函數圖象關于軸對稱；②方程的解為：或或；③若方程有四個實數根，則的取值范圍是．故答案為函數圖象關于軸對稱；或或；．（2）將函數的圖象向右平移2個單位，向上平移3個單位可得到函數的圖象，當時，自變量的取值范圍是且．2．（2021?長沙）我們不妨約定：在平面直角坐標系中，若某函數圖象上至少存在不同的兩點關于軸對稱，則把該函數稱之為“函數”，其圖象上關于軸對稱的不同兩點叫做一對“點”．根據該約定，完成下列各題．（1）若點與點是關于的“函數”的圖象上的一對“點”，則，，（將正確答案填在相應的橫線上）；（2）關于的函數，是常數）是“函數”嗎？如果是，指出它有多少對“點”如果不是，請說明理由；（3）若關于的“函數”，且，，是常數）經過坐標原點，且與直線，，且，是常數）交于，，，兩點，當，滿足時，直線是否總經過某一定點？若經過某一定點，求出該定點的坐標；否則，請說明理由．【分析】（1）由，關于軸對稱求出，，由“函數”的定義求出；（2）分和兩種情況考慮即可；（3）先根據過原點得出，再由“函數”得出的值，確定二次函數解析式后，和直線聯立求出交點的橫坐標，寫出的解析式，確定經過的定點即可．【解答】解：（1），關于軸對稱，，，的坐標為，把代入是關于的“函數”中，得：，故答案為，，；（2）當時，有，此時存在關于軸對稱得點，是“函數”，且有無數對“”點，當時，不存在關于軸對稱的點，不是“函數”；（3）過原點，，是“函數”，，，聯立直線和拋物線得：，即：，，，又，化簡得：，，即，，當時，，直線必過定點．3．（2021?杭州）在直角坐標系中，設函數，是常數，．（1）若該函數的圖象經過和兩點，求函數的表達式，并寫出函數圖象的頂點坐標；（2）寫出一組，的值，使函數的圖象與軸有兩個不同的交點，并說明理由．（3）已知，當，，是實數，時，該函數對應的函數值分別為，．若，求證：．【分析】（1）考查使用待定系數法求二次函數解析式，屬于基礎題，將兩點坐標代入，解二元一次方程組即可；（2）寫出一組，，使得即可；（3）已知，則．容易得到，利用，即代入對代數式進行化簡，并配方得出．最后注意利用條件判斷，得證．【解答】解：（1）由題意，得，解得，所以，該函數表達式為．并且該函數圖象的頂點坐標為．（2）例如，，此時，，函數的圖象與軸有兩個不同的交點．（3）由題意，得，，所以，由條件，知．所以，得證．4．（2021?衡陽）在平面直角坐標系中，如果一個點的橫坐標與縱坐標相等，則稱該點為“雁點”．例如，都是“雁點”．（1）求函數圖象上的“雁點”坐標；（2）若拋物線上有且只有一個“雁點”，該拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側）．當時．①求的取值范圍；②求的度數；（3）如圖，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側），是拋物線上一點，連接，以點為直角頂點，構造等腰，是否存在點，使點恰好為“雁點”？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由題意得：，解得，即可求解；（2）①拋物線上有且只有一個“雁點”，則，則△，即，而，；由、的存在，則△，而，則，即可求解；②求出點的坐標為，、點的坐標為，，即可求解；（3）分兩種情形：點在的下方或上方，分別根據全等三角形解決問題．【解答】解：（1）由題意得：，解得，當時，，故“雁點”坐標為或；（2）①“雁點”的橫坐標與縱坐標相等，故“雁點”的函數表達式為，拋物線上有且只有一個“雁點”，則，則△，即，，故；、的存在，則△，而，則，綜上，；②，則為，解得或，即點的坐標為，，由，，解得，即點的坐標為，，過點作軸于點，則，，故的度數為；（3）存在，理由：當點在的下方時，由題意知，點在直線上，故設點的坐標為，過點作軸的平行線交過點與軸的平行線于點，交過點與軸的平行線于點，設點的坐標為，則，，，，，，，，，，，，即，，解得或，當點在的上方時，過點作于，交的延長線于．同法可證，，可得，，，，，，，，故點的坐標為，或，或，．5．（2021?江西）二次函數的圖象交軸于原點及點．感知特例（1）當時，如圖1，拋物線上的點，，，，分別關于點中心對稱的點為，，，，，如表：2，①補全表格；②在圖1中描出表中對稱后的點，再用平滑的曲線依次連接各點，得到的圖象記為．形成概念我們發現形如（1）中的圖象上的點和拋物線上的點關于點中心對稱，則稱是的“孔像拋物線”．例如，當時，圖2中的拋物線是拋物線的“孔像拋物線”．探究問題（2）①當時，若拋物線與它的“孔像拋物線”的函數值都隨著的增大而減小，則的取值范圍為；②在同一平面直角坐標系中，當取不同值時，通過畫圖發現存在一條拋物線與二次函數的所有“孔像拋物線”都有唯一交點，這條拋物線的解析式可能是（填“”或“”或“”或“”，其中；③若二次函數及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個交點，求的值．【分析】（1）①根據中點公式即可求得答案；②根據題意先描點，再用平滑的曲線從左到右依次連接即可；（2）①當時，拋物線，當時，的函數值隨著的增大而減小，拋物線，當時，的函數值隨著的增大而減小，找出公共部分即可；②設符合條件的拋物線解析式為，令，整理得，分下面兩種情形：當時，當時，分別討論計算即可；③觀察圖1和圖2，可知直線與拋物線及“孔像拋物線”有且只有三個交點，即直線經過拋物線的頂點或經過拋物線的頂點或經過公共點，分別建立方程求解即可．【解答】解：（1）①、關于點中心對稱，點為的中點，設點，，，故答案為：；②所畫圖象如圖1所示，（2）①當時，拋物線，對稱軸為直線，開口向上，當時，的函數值隨著的增大而減小，拋物線，對稱軸為直線，開口向下，當時，的函數值隨著的增大而減小，當時，拋物線與它的“孔像拋物線”的函數值都隨著的增大而減小，故答案為：；②拋物線的“孔像拋物線”是，設符合條件的拋物線解析式為，令，整理得，拋物線與拋物線有唯一交點，分下面兩種情形：當時，無論為何值，都會存在對應的使得，此時方程無解或有無數解，不符合題意，舍去；當時，△，即，整理得，當取不同值時，兩拋物線都有唯一交點，當取任意實數，上述等式都成立，即：上述等式成立與取值無關，，解得，，，則，故答案為：；③拋物線，頂點坐標為，其“孔像拋物線”為：，頂點坐標為，拋物線與其“孔像拋物線”有一個公共點，二次函數及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個交點時，有三種情況：①直線經過，，解得：或（舍去），②直線經過，，解得：或（舍去），③直線經過，，但當時，與只有一個交點，不符合題意，舍去，綜上所述，．6．（2021?云南）已知拋物線經過點，當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小．設是拋物線與軸的交點（交點也稱公共點）的橫坐標，．（1）求、的值；（2）求證：；（3）以下結論：，，，你認為哪個正確？請證明你認為正確的那個結論．【分析】（1）當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，可得對稱軸為直線，且拋物線經過點，列出方程組即可得答案；（2）由是拋物線與軸的交點的橫坐標，可得，，兩邊平方得，，即可得結果；（3）正確，可用比差法證明，由（2）可得，即，而，再由，判斷，，故，從而．【解答】（1）解：經過點，當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，即對稱軸為直線，，解得；（2）證明：由題意，拋物線的解析式為，是拋物線與軸的交點的橫坐標，，，，，；（3）正確，理由如下：由（2）知：；，，而，由（2）知：，，，，即，，，即，．7．（2021?南通）定義：若一個函數圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數圖象的“等值點”．例如，點是函數的圖象的“等值點”．（1）分別判斷函數，的圖象上是否存在“等值點”？如果存在，求出“等值點”的坐標；如果不存在，說明理由；（2）設函數，的圖象的“等值點”分別為點，，過點作軸，垂足為．當的面積為3時，求的值；（3）若函數的圖象記為，將其沿直線翻折后的圖象記為．當，兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”時，直接寫出的取值范圍．【分析】（1）根據“等值點”的定義建立方程求解即可得出答案；（2）先根據“等值點”的定義求出函數的圖象上有兩個“等值點”，，同理求出，，根據的面積為3可得，求解即可；（3）先求出函數的圖象上有兩個“等值點”或，再利用翻折的性質分類討論即可．【解答】解：（1）在中，令，得不成立，函數的圖象上不存在“等值點”；在中，令，解得：，，函數的圖象上有兩個“等值點”或；（2）在函數中，令，解得：，，，在函數中，令，解得：，，，軸，，，，的面積為3，，當時，，解得，當時，，△，方程沒有實數根，當時，，解得：，綜上所述，的值為或；（3）令，解得：，，函數的圖象上有兩個“等值點”或，①當時，，兩部分組成的圖象上必有2個“等值點”或，，，令，整理得：，的圖象上不存在“等值點”，△，，，②當時，有3個“等值點”、、，③當時，，兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”，④當時，，兩部分組成的圖象上恰有1個“等值點”，⑤當時，，兩部分組成的圖象上沒有“等值點”，綜上所述，當，兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”時，或．8．（2021?大連）已知函數，記該函數圖象為．（1）當時，①已知在該函數圖象上，求的值；②當時，求函數的最大值．（2）當時，作直線與軸交于點，與函數交于點，若時，求的值；（3）當時，設圖象與軸交于點，與軸交與點，過點作交直線于點，設點的橫坐標為，點的縱坐標為，若，求的值．【分析】（1）先把代入函數中，①把代入中，可得的值；②將分為兩部分確定的最大值，當時，將配方可得最值，再將代入中，可得，對比可得函數的最大值；（2）分兩種情況：在軸的上方和下方；證明是等腰直角三角形，得，列方程可得結論；（3）分兩種情況：①，如圖2，過