上海市民星高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)是奇函數(shù)且是上的增函數(shù)，若滿足不等式，則的最大值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略2.某單位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．為了調(diào)查他們的身體狀況，需從他們中抽取一個容量為36的樣本，最適合抽取樣本的方法是（）A．簡單隨機(jī)抽樣B．系統(tǒng)抽樣C．分層抽樣D．先從老年人中剔除一人，然后分層抽樣參考答案：D【考點】分層抽樣方法．【分析】由于總體由具有明顯不同特征的三部分構(gòu)成，故應(yīng)采用分層抽樣的方法，若直接采用分層抽樣，則運算出的結(jié)果不是整數(shù)，先從老年人中剔除一人，然后分層抽樣．【解答】解：由于總體由具有明顯不同特征的三部分構(gòu)成，故不能采用簡單隨機(jī)抽樣，也不能用系統(tǒng)抽樣，若直接采用分層抽樣，則運算出的結(jié)果不是整數(shù)，先從老年人中剔除一人，然后分層抽樣，此時，每個個體被抽到的概率等于==，從各層中抽取的人數(shù)分別為27×=6，54×=12，81×=18．故選

D．3.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的是（

）A.；

B.；

C.；

D.

參考答案：C略4.

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C5.在平行六面體中，，，則對角線的長度為A．

B．4

C．

D．參考答案：D略6.用反證法證明某命題時，對結(jié)論：“自然數(shù)a，b，c中至少有一個偶數(shù)”正確的反設(shè)為（

）A.a，b，c中至少有兩個偶數(shù) B.a，b，c老師偶數(shù)C.a，b，c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù) D.a，b，c都是奇數(shù)參考答案：D【分析】反證法的第一步是假設(shè)不成立，根據(jù)此規(guī)則得到答案.【詳解】對：自然數(shù)a，b，c中至少有一個偶數(shù).假設(shè)不成立，則應(yīng)該為：a，b，c都是奇數(shù)故答案選D【點睛】本題考查了反證法，屬于簡單題.7.已知等差數(shù)列共有10項，其中奇數(shù)項之和15，偶數(shù)項之和為30，則其公差是（）

A．5

B．4

C．3

D．2參考答案：C略8.已知函數(shù)，若|f（x）|≥2ax，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，0] B．[﹣2，1] C．[﹣2，0] D．[﹣1，0]參考答案：A考點：分段函數(shù)的應(yīng)用．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：作出函數(shù)f（x）和y=ax的圖象，將方程問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．解答：解：作出函數(shù)y=|f（x）|的圖象如圖：若a＞0，則|f（x）|≥2ax，若a=0，則|f（x）|≥2ax，成立，若a＜0，則|f（x）|≥2ax，成立，綜上a≤0，故選：A．點評：本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用分段函數(shù)作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．9.過兩點的直線在x軸上的截距是( )A． B． C． D．2參考答案：A略10.已知函數(shù)有三個極值點，則a的取值范圍是（

）A. B.(,) C. D.(，）參考答案：C【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)有三個極值點，等價為有三個不同的實根，利用參法分離法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)有三個極值點，等價為有三個不同的實根，即，即，則，則，有兩個不等于的根，則，設(shè)，則，則由得，由得且，則當(dāng)時，取得極小值（1），當(dāng)時，，作出函數(shù)，的圖象如圖，要使有兩個不同的根，則滿足，即實數(shù)的取值范圍是，故選：．【點睛】本題主要考查函數(shù)極值的應(yīng)用，以及利用構(gòu)造法以及參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化求函數(shù)的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若復(fù)數(shù)z=m2+m﹣2+（m2﹣m﹣2）i為實數(shù)，則實數(shù)m的值為．參考答案：2或﹣1【考點】復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】由虛部為0求解關(guān)于m的一元二次方程得答案．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z=m2+m﹣2+（m2﹣m﹣2）i為實數(shù)，∴m2﹣m﹣2=0，解得：m=2或﹣1．故答案為：2或﹣1．12.已知點P，Q為圓C：x2+y2=25上的任意兩點，且|PQ|＜6，若PQ中點組成的區(qū)域為M，在圓C內(nèi)任取一點，則該點落在區(qū)域M上的概率為

．參考答案：【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求出平面區(qū)域M的圖形，利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論．【解答】解：當(dāng)|PQ|=6時，圓心到線段PQ的距離d==4．此時M位于半徑是4的圓上，∴|PQ|＜6，∴PQ中點組成的區(qū)域為M為半徑為4的圓與半徑為5的圓組成的圓環(huán)，即16＜x2+y2＜25，PQ中點組成的區(qū)域為M如圖所示，那么在C內(nèi)部任取一點落在M內(nèi)的概率為=，故答案為：．【點評】本題主要考查幾何概型的概率計算，根據(jù)條件求出相應(yīng)的區(qū)域及其面積是解決本題的關(guān)鍵．13.已知數(shù)列{an}為正項等差數(shù)列，其前9項和，則的最小值為

參考答案：

14.在△ABC中，D為BC的中點，則=（+）將命題類比到空間：在三棱錐A﹣BCD中，G為△BCD的重心，則=

．參考答案：（++）考點：類比推理．專題：綜合題；推理和證明．分析：由條件根據(jù)類比推理，由“△ABC”類比“四面體A﹣BCD”，“中點”類比“重心”，從而得到一個類比的命題．解答：解：由“△ABC”類比“四面體A﹣BCD”，“中點”類比“重心”有，由類比可得在四面體A﹣BCD中，G為△BCD的重心，則有=（++），故答案為：在四面體A﹣BCD中，G為△BCD的重心，則有=（++）．點評：本題考查了從平面類比到空間，屬于基本類比推理．利用類比推理可以得到結(jié)論、證明類比結(jié)論時證明過程與其類比對象的證明過程類似或直接轉(zhuǎn)化為類比對象的結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題．15.已知x，y滿足約束條件，若y﹣x的最大值是a，則二項式（ax﹣）6的展開式中的常數(shù)項為

.（用數(shù)字作答）參考答案：﹣540【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】首先利用約束條件得到可行域，結(jié)合y﹣x的幾何意義求出其最大值，然后對二項式的通項求常數(shù)項．【解答】解：已知得到可行域如圖：設(shè)z=y﹣x變形為y=x+z，當(dāng)此直線經(jīng)過圖中B（0，3）時，直線在y軸的截距最大，z最大，所以z的最大值為3，所以a=3，二項式（3x﹣）6的通項為，所以r=3時，展開式中的常數(shù)項為=﹣540；故答案為：﹣540【點評】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題與二項式定理的運用；關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合正確求出a，然后由二項展開式通項求常數(shù)項．16.已知雙曲線的方程為，則此雙曲線的實軸長為

．參考答案：6【考點】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】雙曲線方程中，由a2=9，求出a，即可能求出雙曲線的實軸長．【解答】解：雙曲線方程中，∵a2=9，∴a=3∴雙曲線的實軸長2a=2×3=6．故答案為6．17.設(shè)是正方體的一條棱，這個正方體中與平行的棱共有______________條．參考答案：3略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題1０分）已知f(x)是二次函數(shù)，其圖像過點（0，1），且求f(x)參考答案：略19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD于點M．（1）求證：AM⊥PD（2）求點D到平面ACM的距離．參考答案：【考點】點、線、面間的距離計算．【分析】（1）推導(dǎo)出AB⊥AD，AB⊥PA，從而AB⊥平面PAD，由BM⊥PD，PD⊥平面ABM，AM⊥PD．（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點D到平面ACM的距離．【解答】證明：（1）∵在四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，∴AB⊥AD，AB⊥PA，∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∵BM⊥PD于點M，AB∩BM=B，∴PD⊥平面ABM，∵AM?平面ABM，∴AM⊥PD．解：（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），C（1，2，0），P（0，0，2），D（0，2，0），M（0，1，1），=（0，2，0），=（1，2，0），=（0，1，1），設(shè)平面ACM的法向量=（x，y，z），則，取x=2，得=（2，﹣1，1），∴點D到平面ACM的距離：d===．【點評】本題考查線線垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．20.已知橢圓C1：的離心率為，且橢圓上點到橢圓C1左焦點距離的最小值為﹣1．（1）求C1的方程；（2）設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2：y2=4x相切，求直線l的方程．參考答案：【考點】K4：橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（1）運用橢圓的離心率和最小距離a﹣c，解方程可得a=，c=1，再由a，b，c的關(guān)系，可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)出直線y=kx+m，聯(lián)立橢圓和拋物線方程，運用判別式為0，解方程可得k，m，進(jìn)而得到所求直線的方程．【解答】解：（1）由題意可得e==，由橢圓的性質(zhì)可得，a﹣c=﹣1，解方程可得a=，c=1，則b==1，即有橢圓的方程為+y2=1；（2）直線l的斜率顯然存在，可設(shè)直線l：y=kx+m，由，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由直線和橢圓相切，可得△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0，即為m2=1+2k2，①由，可得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，由直線和拋物線相切，可得△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=0，即為km=1，②由①②可得或，即有直線l的方程為y=x+或y=﹣x﹣．21.已知平面上的動點P（x，y）及兩定點A（﹣2，0），B（2，0），直線PA，PB的斜率分別是k1，k2且．（1）求動點P的軌跡C的方程；（2）設(shè)直線l：y=kx+m與曲線C交于不同的兩點M，N．①若OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點），證明點O到直線l的距離為定值，并求出這個定值②若直線BM，BN的斜率都存在并滿足，證明直線l過定點，并求出這個定點．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；恒過定點的直線；圓錐曲線的軌跡問題．【分析】（1）利用斜率計算公式即可得出；（2）把直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，①利用OM⊥ON?x1x2+y1y2=0即可得到k與m的關(guān)系，再利用點到直線的距離公式即可證明；②利用斜率計算公式和根與系數(shù)的關(guān)系即可得出k與m的關(guān)系，進(jìn)而證明結(jié)論．【解答】解：（1）由題意得，（x≠±2），即x2+4y2=4（x≠±2）．∴動點P的軌跡C的方程是．（2）設(shè)點M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立，化為（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴△=64k2m2﹣16（m2﹣1）（1+4k2）=16（1+4k2﹣m2）＞0．∴，．∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，①若OM⊥ON，則x1x2+y1y2=0，∴，∴，化為，此時點O到直線l的距離d=．②∵kBM?kBN=﹣，∴，∴x1x2﹣2（x1+x2）+4+4y1y2=0，∴+，代入化為，化簡得m（m+2k）=0，解得m=0或m=﹣2k．當(dāng)m=0時，直線l恒過原點；當(dāng)m=﹣2k時，直線l恒過點（2，0），此時直線l與曲線C最多有一個公共點，不符合題意，綜上可知：直線l恒過定點（0，0）．22.如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖2.（1）求證：DE∥平面A1CB；（2）求證：A1F⊥BE；（3）線段A1B上是否存在點Q，使A1C⊥平面DEQ?說明理由。參考答案：（1）因為D，E分別為AC，AB的中點，所以DE∥BC，又因為DE平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所