2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.盒中裝有10個乒乓球，其中6個新球，4個舊球，不放回地依次取出2個球使用，在第一次取出新球的條件下，

第二次也取到新球的概率為()

3152

A.—B.—C.—D.一

51095

2.對于實數(shù)x,符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[n]=3,[-1.08]=-2,定義函數(shù)f(x)=x-[x],則下列命

題中正確的是—

①函數(shù)f(x)的最大值為1；②函數(shù)f(x)的最小值為0；

③方程G(x)=〃x)—g有無數(shù)個根；④函數(shù)f(x)是增函數(shù).

A.②③B.①②③C.②D.③④

3.若實數(shù)a,人滿足log。2<log”2,則下列關(guān)系中不可能成立的是()

A.G<b<a<\B.0<6Z<1<bC.a>h>\D.0<b<l<a

4.橢圓如2+〃y2=i與直線x+y=l相交于A8兩點，過AB中點”與坐標(biāo)原點連線斜率為①，則'=()

2n

A.—B.C.1D.2

23

5.若(ax-9)展開式的常數(shù)項為60,則“值為()

A.4B.±4C.2D.±2

6.過點(e,—e)作曲線y=e'-x的切線，則切線方程為()

A.y=(-1-e)x+e2B.y=(e-l)x-e2

C.y=(ee+l-l)x-ee+2D.y={ee-Y)x-ee+i

7.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(-x)=/(x),且函數(shù)/(x)在(e,0)上是減函數(shù)，若

b=/「og21，c=/(2°3),則叫b,c的大小關(guān)系為()

A.c<h<aB.a<c<bC.b<c<aD.a<b<c

8.已知函數(shù)/(jc)=6sin2x-cos2x的圖象向左平移2個單位長度，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍得函數(shù)g(x)的圖象,

則g(x)在下列區(qū)間上為單調(diào)遞減的區(qū)間是。

9.已知命題p：函數(shù)丁=1。80,5(*2+2%+“)的值域為/?；命題中函數(shù)y=—(5—20是R上的減函數(shù).若p或g為

真命題，p且g為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.a<\B.a<2C.\<a<2D.aVl或

10.給出定義：若函數(shù)f(x)在。上可導(dǎo)，即/'(X)存在，且導(dǎo)函數(shù)7'(X)在。上也可導(dǎo)，則稱/(x)在。上存在二階

導(dǎo)函數(shù)，記/"(%)=(1(X))',若尸'(x)<o在。上恒成立，則稱/(X)在。上為凸函數(shù).以下四個函數(shù)在(0,、)上不

是凸函數(shù)的是()

A./(x)=sinx+cosxB.f(x)=Inx—2x

C./(x)=—x3+2x-lD.f(x)--xe~x

11.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=「L在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

12.對于函數(shù)^=/(幻/€寵,“丁=|/(刈的圖象關(guān)于1軸對稱”是“「=/(幻是奇函數(shù)，，的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2

13.已知(1+x)")=4+q(l-x)+a2(1—x)H--Fq。(l-x)。，則心=.

14.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程％2+1+1=0的根為.

V2V21

15.若雙曲線=>0,6>0)的一個焦點到一條漸近線的距離等于焦距的一，則該雙曲線的漸近線方程是

a~h~4

16.若x〉。，y>。，且皿*幅9-。叫，則|+上的最小值為--------

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

711

17.(12分)在極坐標(biāo)系中，已知直線I的極坐標(biāo)方程為夕sin(9+§)=5.以極點為坐標(biāo)原點，極軸為X軸正半軸建

x=4w

立直角坐標(biāo)系xQy,曲線C的參數(shù)方程為“，(m為參數(shù)).

y=4"

(1)求直線I的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；

(2)已知點P(G-2),直線I和曲線C相交于A，B兩點,求附

18.(12分)定義：a^^；(x2+x+l)tt=D>2"+O>2n-'++D>2"-2++￡)>、+比”(〃GN)中,把比,D\,

D；,…,。/叫做三項式的〃次系數(shù)列(如三項式的1次系數(shù)列是L1,1).

(D填空：三項式的2次系數(shù)列是；

三項式的3次系數(shù)列是；

(2)由楊輝三角數(shù)陣表可以得到二項式系數(shù)的性質(zhì)*=C：+C產(chǎn),類似的請用三項式”次系數(shù)列中的系數(shù)表示

歐：(14k42〃-1,左eN)(無須證明)；

⑶求a的值.

19.(12分)已知/(x)=|x—a|x+|x-2|(x-a).

(1)當(dāng)“=1時，求不等式/'(x)<0的解集；

(2)若xe(—8,l)時，f(x)<0,求。的取值范圍.

X,_1_x

20.(12分)在同一直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過伸縮變換《2后，曲線C的方程變?yōu)橛?2+y'2=l.以坐標(biāo)原點為極點，x

軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為「$山(￡一?)=6.

(1)求曲線C和直線1的直角坐標(biāo)方程；

(2)過點P(1,O)作1的垂線1。交C于A,B兩點，點A在x軸上方，求』3一焉的值.

IPM\PB\

21.(12分)如圖，正方體ABC。-A與GR的所有棱長都為1,求點A到平面A3。的距離.

c

22.(10分)在極坐標(biāo)系中，曲線G：psin20=4cos^,以極點為坐標(biāo)原點，極軸為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系大。，,

X—2d—t

2

曲線G的參數(shù)方程為a為參數(shù)).

V3.

y

(1)求G、。2的直角坐標(biāo)方程;

(2)若曲線G與曲線交于A、8兩點，且定點P的坐標(biāo)為(2,0),求|1為卜儼目的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1,C

【解析】

試題分析：在第一次取出新球的條件下，盒子中還有9個球，這9個球中有5個新球和4個舊球，

故第二次也取到新球的概率為-

9

考點：古典概型概率

2、A

【解析】

本題考查取整函數(shù)問題，在解答時要先充分理解［x］的含義，根據(jù)解析式畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象進(jìn)行分析可得結(jié)果.

【詳解】

畫出函數(shù)八x)=x-［x］的圖象，如下圖所示.

由圖象得，函數(shù)火X）的最大值小于1,故①不正確；

函數(shù)/U）的最小值為0,故②正確；

函數(shù)每隔一個單位重復(fù)一次，所以函數(shù)G（x）=〃x）-g有無數(shù)個零點，故③正確；

函數(shù)八x）有增有減，故④不正確.

故答案為②③.

【點睛】

本題難度較大，解題的關(guān)鍵是正確理解所給函數(shù)的意義，然后借助函數(shù)的圖象利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解.

3、D

【解析】

根據(jù)題意，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，依次分析選項，綜合即可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，實數(shù)匕滿足log“2<l0gz,2,

對于A,若a,Z?均大于0小于1,依題意，必有故A有可能成立；

對于6,若log〃2>0>log“2,則有故8有可能成立；

對于C,若。，Z?均大于1,由log“2<k）g〃2,知必有故C有可能成立；

對于O,當(dāng)時，log“2>0,log?2<0,log02<log〃2不能成立，

故選O.

【點睛】

本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，注意分類討論。、〃的值，屬于中檔題.

4、A

【解析】

試題分析：設(shè)可得自”=&=坐，心=三貴=一1,由AB的中點為“，

入02x2-*1

--如1+HV；=1

可得%+々=2%,必+%=2%，由A,B在橢圓上，可得〈；刀，，兩式相減可得

nvc^+ny］=1

根（%一馬）-2%+〃（y-%>2%=0，整理得絲=也，故選A.

n2

考點：橢圓的幾何性質(zhì).

【方法點晴】本題主要考查了直線與橢圓相交的位置關(guān)系，其中解答中涉及到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì)的

應(yīng)用，當(dāng)與弦的斜率及中點有關(guān)時，可以利用“點差法”，同時此類問題注意直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，運用判別

式與韋達(dá)定理解決是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生的推理與運算能力，屬于中檔試題.

5、D

【解析】

由二項式展開式的通項公式寫出第k+1項，求出常數(shù)項的系數(shù)，列方程即可求解.

【詳解】

因為姓_9）展開式的通項為T*+1=C^-k^k（-1//=C"-*（一1）*/永，

令6—54=0,則2=4,所以常數(shù)項為《/-，（—［『二切，即［5.2=60,所以a=±2.

故選D

【點睛】

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，熟記二項展開式的通項即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.

6、C

【解析】

設(shè)出切點坐標(biāo)（與，/。），求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=x0時的導(dǎo)數(shù)值，即切線的斜率，然后由直線方程的點

斜式得切線方程，代入已知點的坐標(biāo)后求出切點的坐標(biāo)，則切線方程可求.

【詳解】

由y=e"—x,得y'=e'—1,

設(shè)切點為（/，。"），

則再『。=*一1，

切線方程為y—八=（靖。-1）（刀一不），

?.?切線過點(e,-e),

exo=exo(l-xo)f

解得：7)=e+l.

切線方程為y—e"+i=e"M(x—e—1),整理得：y=(ee+'-\)x-ee+2.

故選C..

【點睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點的切線方程，過曲線上某點處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)值，是

中檔題.

7、B

【解析】

利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性可得，距離y軸近的點，對應(yīng)的函數(shù)值較小，可得選項.

【詳解】

因為函數(shù)/(x)滿足/(-x)=/(x),且函數(shù)/(x)在(F,0)上是減函數(shù)，所以可知距離y軸近的點，對應(yīng)的函數(shù)值

較小；log2；=log22-2=-2,2°-3>2°=1且2°-3<2]=2，所以人>c>a,故選B.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng).

8、A

【解析】

先利用輔助角公式將函數(shù)化為丫二人小班的+⑼的形式，再寫出變換后的函數(shù)g(x),最后寫出其單調(diào)遞減區(qū)間即可.

【詳解】

/(x)=V3sin2x-cos2x的圖象向左平移三個單位長度，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍變換后g(x)=-2cosx,g(x)在

區(qū)間[一〃+2攵],2米r],ZeZ上單調(diào)遞減

故選A

【點睛】

本題考查三角函數(shù)變換，及其單調(diào)區(qū)間.屬于中檔題.

9、C

【解析】

分別求命題，為真命題時”的范圍，命題4為真命題時。的范圍；根據(jù)〃或4為真命題，。且q為假命題，得到命題，，

q中有一個真命題，一個假命題，分命題〃為真命題且命題《為假命題和命題夕為真命題且命題"為假命題兩類求出。

的范圍.

【詳解】

解：命題，為真時，即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實數(shù)，

故二次函數(shù)/+2x+a的判別式A=4-4a..O,

從而1;

命題4為真時，5—2。>1解得a<2.

若。或4為真命題，。且4為假命題，故夕和夕中只有一個是真命題，一個是假命題.

a>2

若P為真，夕為假時，，，無解；

a<1

a>1

若。為假，q為真時，〈一解得1<。<2；

a<2

綜上可得l<a<2,

故選：C.

【點睛】

本題考查根據(jù)復(fù)合命題的真假得到構(gòu)成其簡單命題的真假情況，屬于中檔題.

10、D

【解析】

對A,B,C,D四個選項逐個進(jìn)行二次求導(dǎo)，判斷其在(o,上的符號即可得選項.

【詳解】

若/(x)=sinx+cosx,貝!|/"(x)=-sinx-cosx,

在xe(0卷)上,恒有/”(x)<0；

若/(x)=lnx-2x,貝!|/"(幻=一-y,在xe上，恒有/"(無)<0；

若/(x)=-丁+2x-l,貝!!/"(x)=-6x,在上，恒有/”(x)<0；

若/(x)=-xe~x,則f(x)-2e~x-xe~x=(2-x)e~x.

在尤e〔O弓J上，恒有/”(x)>0,故選D.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)公式，充分理解凸函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.

11、A

【解析】

分析：利用復(fù)數(shù)的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共扼復(fù)數(shù)，化簡復(fù)數(shù)二，從而可得結(jié)果.

詳解：：由于復(fù)數(shù)，z=^='」=虧=5+不1,

1+z+222

在復(fù)平面的對應(yīng)點坐標(biāo)為

二在第一象限，故選A.

點睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算.要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共

加復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式

相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.

12、B

【解析】

由奇函數(shù)，偶函數(shù)的定義，容易得選項B正確.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、180

【解析】

.(l+x)'°=[(-2)+(1-，(l+x),°=/+4(1—x)+a2(1—x)"+...+?10(l—x)10,

2)2=180,故答案為180.

【方法點晴】本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于中檔題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之

一，關(guān)于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：(1)考查二項展開式的通項公式=C/"-7/；

(可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù))(2)考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；(3)二項展開式定理的應(yīng)

用.

14、

2

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)范圍求根公式求解

【詳解】

因為D=1-4=-3<0,所以方程1+力1=o的根為T士日二二1

22

故答案為：二1±兩

2

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)范圍解實系數(shù)一元二次方程，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

15、y=±-x

3

【解析】

利用點到直線的距離公式計算出焦點到漸近線的距離，然后根據(jù)對應(yīng)距離等于焦距的-求解出-的值，即可得到雙曲

4a

線的漸近線方程.

【詳解】

因為焦點到漸近線的距離d=/岡=b,所以8='.2c=：,

y/a2+b242

所以。2=4人2=優(yōu)+加，所以2=也，

a3

所以漸近線方程為：y=±立x.

3

故答案為：y=x.

3

【點睛】

本題考查雙曲線漸近線方程的求解，難度一般.雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛軸長度的一半.

1fi4+26

3

【解析】

分析：由對數(shù)運算和換底公式，求得*N的關(guān)系為x+2y=2,根據(jù)基本不等式確定

詳解：因為x>0,y>Q

所以+

log24

(24

log2(3x3')=ilog23

3'X32V=32?所以x+2y=2,即g(x+2)，)=l

▼,211/21)

所以一+丁=K(x+2y)-+—

x3y2，(x3yJ

Jc24yx

2+-+—+一

23x3y)

+2E)

一213

1(84百〕

>-----+

213

>4+273

3

4y_x

x=6-2A/3

當(dāng)且僅當(dāng)4上yx

37即,x3y，此時七時取等號

y=\l3-l

九+2y=2

所以最小值為4+26

3

點睛：本題考查了對數(shù)的運算和對數(shù)換底公式的綜合應(yīng)用，根據(jù)“1”的代換聯(lián)系基本不等式求最值，綜合性強(qiáng)，屬于中

檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)屈+y-1=(),x2=4y；(2)44

【解析】

分析：(D首先將直線/的極坐標(biāo)方程展開后，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式，可求得直線的直角坐標(biāo)方程.利用

代入消元法消去加可求得曲線。的普通方程.(2)利用直線參數(shù)的幾何意義，借助根與系數(shù)關(guān)系，可求得4Hp刈的

值.

詳解：

17171

(1)由「s由+=e得psinOcosy+pcosOsiny=即psinO+yf3pcosd-1=0「?/的直角坐標(biāo)方程

2332

氐+y-l=O,

x=4mx,（x

由4/2，得加=—，代入y=4m2得y=4x—即f=4y,所以。的普通方程：f=4y；

y=4m24）（4

x=73——?

2

(2)P(6-2)在/上，/的參數(shù)方程為<a為參數(shù)）,

y=—2+Brt

2

將/的參數(shù)方程代入。得:,即產(chǎn)―120f+44=0.

txt2=44,

叫冏=陶=44.

點睛：本小題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程和普通方程互劃，考查利用直線參數(shù)的幾何意義解

題.屬于基礎(chǔ)題.

18、(1)1,2,3,2,1;1,3,6,7,6,3,1(2)￡>*：,'=￡>*-'+D*+D*+,(l<k<2n-\,k^N)(3)50

【解析】

【試題分析】(1)分別將〃=2,3代入，把(f+x+1)”展開進(jìn)行計算即可求得三項式的2次系數(shù)列是1,2,3,2,1;三

項式的3次系數(shù)列是1,3,6,7,6,3,1；(2)運用類比思維的思想可得比；=+。,丁(1WA一1次eN)；

(3)由題設(shè)中的定義可知比表示(/+X+1,展開式中一的系數(shù)，因此可求出O：=C；C；+C；C：=50.

解：(1)三項式的2次系數(shù)列是1,2,3,2,1;

三項式的3次系數(shù)列是1,3,6,7,6,3,1；

+

(2)比：=比7+a+D^'(l<k<2n-l,keN);

(3)式表示(V+x+i)6展開式中一的系數(shù)，所以o；=c：c；+c2=5().

19、(1)(2)

【解析】

(1)根據(jù)“=1,將原不等式化為|x-l|x+|x-2|(x—l)<0,分別討論x<l,l<x<2,xN2三種情況，即可求

出結(jié)果；

(2)分別討論“21和a<l兩種情況，即可得出結(jié)果.

【詳解】

(1)當(dāng)。=1時，原不等式可化為|x-l|x+|x-2|(x-l)<0；

當(dāng)x<l時，原不等式可化為(l-x)x+(2-x)(x-l)<0,即(x-l)2>0,顯然成立,

此時解集為(-8,1)；

當(dāng)l?x<2時，原不等式可化為(x-l)x+(2—x)(x-l)<0,解得x<l,此時解集為空集；

當(dāng)xN2時，原不等式可化為(x-l)x+(x-2)(x—l)<0,即*一1)2<0,顯然不成立；此時解集為空集;

綜上，原不等式的解集為(-8,1)；

(2)當(dāng)“21時，因為xe(-oo,l),所以由/(x)<0可得(a-x)x+(2-x)(x-a)<0,

即(x—a)(x—l)>0,顯然恒成立；所以滿足題意;

2(x-d),a<x<\

當(dāng)a<l時，/(x)=1c..........,因為時，/(x)<0顯然不能成立，所以。<1不滿足題意;

2{x-a)(\-x),x<a

綜上，。的取值范圍是[1,48).

【點睛】

本題主要考查含絕對值的不等式，熟記分類討論的方法求解即可，屬于常考題型.

丫2

2后一產(chǎn)2百=()(2)----1

20、(1)—+y=1,-

4-\PA\IPB|T

【解析】

(1)將變換公式代入x'2+y'2=l得，即可曲線C的方程，利用極坐標(biāo)與直角的互化公式，即可求解直線的直角坐標(biāo)

方程；

(2)將直線lo的參數(shù)方程代入曲線C的方程整理得7/-4收-12=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系和直線的參數(shù)方程中參

11

數(shù)的幾何意義，即可求解E；一的值.

\PMIP6I

【詳解】

x'--X,,X2

(1)將42代入x'2+y2=l得，曲線C的方程為工+丁=1,

,4

[y=y

由psinC。一匹)=6,得psinOcos三一pcos0sin-=6,

x=pcosOl「

把《.八,代入上式得直線1的直角坐標(biāo)方程為瓜-y+26=0.

y-夕sin，

(2)因為直線I的傾斜角為所以其垂線I。的傾斜角為

5式161

x-1+rcos—X=l------1

f（t為參數(shù)），即＜2

則直線10的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）

1

y=0+/sin—y=9

代入曲線C的方程整理得7f2-46-12=0,

設(shè)A,B兩點對應(yīng)的參數(shù)為tl,t2,由題意知%>0,，2<°，

4G

4+，2

則＜，KA=（4A/3）2+4X7X12＞0,

12

丫2=T

所以」-----L=_L—J_=￡L±&.=—迫.

\PA\|PB\乙-t2Z/23

【點睛】

本題主要考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，直線參數(shù)方程的應(yīng)用，其中解答中熟記互化公式，合理利用韋達(dá)定理和直

線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

、V3

21V

【解