專題6.1平方根（知識講解）【學習目標】1．了解平方根、算術平方根的概念，會用根號表示數的平方根．2．了解開方與乘方互為逆運算，會用開方運算求某些非負數的平方根，會用計算器求平方根．【要點梳理】知識點一、平方根和算術平方根的概念1.算術平方根的定義如果一個正數的平方等于，即,那么這個正數叫做的算術平方根（規定0的算術平方根還是0）；的算術平方根記作，讀作“的算術平方根”，叫做被開方數.特別說明：當式子有意義時，一定表示一個非負數，即≥0，≥0.2.平方根的定義如果，那么叫做的平方根.求一個數的平方根的運算，叫做開平方.平方與開平方互為逆運算.(≥0)的平方根的符號表達為，其中是的算術平方根.知識點二、平方根和算術平方根的區別與聯系1．區別：（1）定義不同；（2）結果不同：和2．聯系：（1）平方根包含算術平方根；（2）被開方數都是非負數；（3）0的平方根和算術平方根均為0．特別說明：（1）正數的平方根有兩個，它們互為相反數，其中正的那個叫它的算術平方根；負數沒有平方根．（2）正數的兩個平方根互為相反數，根據它的算術平方根可以立即寫出它的另一個平方根.因此，我們可以利用算術平方根來研究平方根.知識點三、平方根的性質知識點四、平方根小數點位數移動規律被開方數的小數點向右或者向左移動2位，它的算術平方根的小數點就相應地向右或者向左移動1位.例如：，，，.【典型例題】類型一、平方根??概念的理解??平方根??算術平方根 1．下列說法：①的平方根是±0.5；②任何數的平方都是非負數，因而任何數的平方根也是非負數；③算術平方根等于它本身的數是0，1；④平方根等于本身的數是0，其中正確的是（）A．④ B．①② C．②③④ D．③④【答案】D【分析】平方根的定義：如果一個數的平方等于，這個數就叫做的平方根，也叫做的二次方根；算術平方根的概念：一般地，如果一個正數的平方等于，即，那么這個正數叫做的算術平方根；依此即可求解．解：①負數沒有平方根，故錯誤；②正數和才有平方根，且正數有兩個平方根，它們互為相反數，的平方根是，故錯誤；③的算術平方根是，的算術平方根是，故正確；④的平方根是，故正確；故選：D．【點撥】本題考查了平方根，熟練掌握平方根的定義是解本題的關鍵．舉一反三：【變式1】下列說法中正確的是（

）A．的平方根為 B．的算術平方根為C．0的平方根與算術平方根都是0 D．的平方根為【答案】C【分析】根據平方根和算術平方根的概念即可得到答案．解：A、負數沒有平方根，不符合題意，選項錯誤；B、負數沒有算術平方根，不符合題意，選項錯誤；C、0的平方根與算術平方根都是0，符合題意，選項正確；D、，的平方根，不符合題意，選項錯誤，故選C．【點撥】本題考查了平方根和算術平方根，解題關鍵是熟練掌握其定義，注意負數沒有平方根和算術平方根，0的平方根與算術平方根都是0．【變式2】下列說法：（1）任何一個數都有兩個平方根，它們互為相反數；（2）數a的平方根是±；（3）的算術平方根是2；（4）負數不能開平方；（5），其中正確的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據負數沒有平方根，一個正數的平方根有兩個，且兩個平方根互為相反數，再逐一判斷即可．解：負數沒有平方根，故（1）不符合題意；（2）不符合題意；（3）不符合題意；（4）符合題意；（5）故（5）不符合題意；故選A．【點撥】本題考查的是平方根的含義，掌握“一個正數有兩個平方根，0的平方根是0，負數沒有平方根”是解本題的關鍵．類型二、平方根??求一個數的平方根與算術平方根 2．若是的算術平方根，則的平方根是______．【答案】【分析】先求出，再求出16的平方根即可．解：∵是的算術平方根，∴．∴16的平方根是．故答案為：【點撥】本題考查算術平方根以及平方根，解題的關鍵是理解算術平方根以及平方根的相關概念并會求一個數的算術平方根以及平方根．舉一反三：【變式1】0.16的算術平方根是______，的平方根是______．【答案】

【分析】根據求一個數的算術平方根與平方根進行計算即可求解．【詳解】0.16的算術平方根是，，則的平方根是故答案為：，【點撥】本題考查了求一個數的算術平方根與平方根，理解平方根與算術平方根的定義是解題的關鍵．平方根：如果一個數的平方等于，那么這個數就叫的平方根，其中屬于非負數的平方根稱之為算術平方根．立方根：如果一個數的立方等于，那么這個數叫做的立方根．【變式2】已知2a-1的算術平方根為3，3a+b-1的算術平方根為4，求a+2的平方根．【答案】a+2的平方根是【分析】利用平方根及算術平方根列出式子，得到a的值，確定出a+2的值，即可求出平方根．解：由題意得2a-1=9，3a+b-1=16，解得：a=5，b=2，則a+2=7，∴a+2的平方根是．【點撥】此題考查了平方根，以及算術平方根，讀懂題意并列出式子是解本題的關鍵．類型三、平方根??平方根??算術平方根的非負性 3．已知＝b＋8，求a＋b的平方根．【答案】±3【分析】根據算術平方根的非負性列出不等式，解不等式求出a，進而求出b，根據平方根的概念計算即可．解：由題意得：a﹣17≥0，17﹣a≥0，解得：a＝17，則b＝﹣8，∴a+b＝9，∵9的平方根是±3，∴a+b的平方根是±3．【點撥】本題考查的是算術平方根的非負性、平方根的概念，掌握被開方數是非負數是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】若，求的平方根．【答案】【分析】根據算術平方根的非負性，絕對值的非負性及偶次方的非負性得到，求出a，b，c的值，再根據平方根定義得到答案即可．解：∵，∴，∴，∴，∴的平方根是．【點撥】此題考查了算術平方根的非負性，絕對值的非負性及偶次方的非負性，求一個數的平方根，正確掌握各非負性是解題的關鍵．【變式2】已知，求的平方根．【答案】±【分析】首先根據非負數的性質列方程組求得a和b的值，然后求解．解：∵，∴a﹣3=0，b﹣4=0，解得a=3，b=4，∴，∴．【點撥】本題考查了非負數的性質，幾個非負數的和等于0，則每個數是0，初中范圍內的非負數有：數的偶次方、絕對值以及算術平方根．類型四、平方根??算術平方根估算??算術平方根的整數部分與小數部分4．如圖，每個小正方形的邊長均為，陰影部分是一個正方形．（1）陰影部分的面積是__________，邊長是____________；（2）寫出不大于陰影正方形邊長的所有正整數；（3）為陰影正方形邊長的小數部分，為的整數部分，求的值．【答案】（1）13，；（2）不大于的所有正整數為：1，2，3；（3）【分析】（1）由大正方形的面積減去四個小三角形的面積即可得到陰影部分面積，根據算術平方根的定義即可求出邊長；（2）對進行估值，即可解答；（3）對，估值，分別求出a，b的值即可．解：（1）陰影部分面積為：，∵陰影部分是一個正方形，∴邊長為：，故答案為：13，．（2）不大于的所有正整數為：1，2，3．（3）∵，∴，∵∴∴．【點撥】本題考查了無理數的估值及運算，解題的關鍵是掌握無理數的估值方法．舉一反三：【變式1】已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整數部分，求a+b+2c的平方根．【答案】±5【分析】分別根據算術平方根、平方根的意義，無理數的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根據平方根的意義即可求解．解：∵＝3，∴2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵3a﹣b+1的平方根是±4，∴15﹣b+1＝16，解得：b＝0，∵，∴10＜＜11，∴c＝10，∴a+b+2c＝5+0+2×10＝25，∴a+b+2c的平方根為＝±5．【點撥】本題考查了算術平方根、平方根的意義，無理數的估算，熟知算術平方根、平方根的意義是解題關鍵．【變式2】設2+的整數部分和小數部分分別是x、y，試求x、y的值與x-1的算術平方根．【答案】．分析：先找到介于哪兩個整數之間，從而找到整數部分，小數部分讓原數減去整數部分，然后代入求值即可．解：因為4＜6＜9，所以2＜＜3，即的整數部分是2，所以2+的整數部分是4，小數部分是2+-4=-2，即x=4，y=-2，所以=．考點：1．估算無理數的大小；2．算術平方根．類型五、平方根??求代數式平方根5．已知是方程組的解，求的平方根．【答案】±1【分析】將a與b代入值代入方程組計算求出m與n的值即可．解：將代入方程組可得：解得：,所以（m+n）2018=1，所以（m+n）2018的平方根是±1．【點撥】此題考查了解二元一次方程組和平方根的定義，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．舉一反三：【變式1】已知的平方根是，的算術平方根是4．求a、b的值；求的平方根．【答案】(1)a＝5，b＝4；(2)．【分析】（1）根據平方根，算術平方根的定義，求解即可；（2）根據平方根定義，求解即可．(1)解：∵的平方根是，的算術平方根是4．∴，，解得a＝5，b＝4．(2)解：當a＝5，b＝4時，ab+5＝25，而25的平方根為，即ab+5的平方根是．【點撥】此題主要考查平方根和算術平方根，解題的關鍵是熟知平方根，算術平方根的定義．【變式2】已知x﹣2和y﹣2互為相反數，求x+y的平方根．【答案】±2【分析】根據相反數的定義可求x+y，再根據平方根的定義可得答案．解：∵x﹣2和y﹣2互為相反數，∴x﹣2+y﹣2＝0，∴x+y＝4，4的平方根是±2．故x+y的平方根是±2．【點撥】本題考查了相反數的性質和平方根的定義，屬于基本題型，熟練掌握以上基本知識是解題關鍵．類型六、平方根??利用平方根解方程6．求下列各式中的x．(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）先移項，然后利用平方根求解方程即可；（2）先移項，然后利用平方根求解方程即可．（1）解：移項得：，∴，∴，∴（2），∴∴∴．【點撥】題目主要考查利用平方根解方程，熟練掌握解方程方法是解題關鍵．舉一反三：【變式1】解方程：；(2)．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）先將方程整理為，再利用平方根解方程即可得；（2）先將方程整理為，再利用平方根解方程即可得．（1）解：，，，或．（2）解：，，，或，或．【點撥】本題考查了利用平方根解方程，熟練掌握平方根的性質是解題關鍵．【變式2】求下列各式中的的值．；(2)【答案】(1)；(2)或【分析】根據平方根的定義求解.解：(2)解：或【點撥】本題考查了利用平方根解方程，解題的關鍵是理解平方根的概念.類型七、平方根??算術平方根??規律題7．求一個正數的算術平方根，有些數可以直接求得，如，有些數則不能直接求得，如，但可以通過計算器求．還有一種方法可以通過一組數的內在聯系，運用規律求得，請同學們觀察下表：n160.160.00161600160000…4x0.04y400…(1)表格中x＝；y＝；(2)從表格中探究n與數位的規律，并利用這個規律解決下面兩個問題：①已知≈1.435，則≈；②已知＝1.83，若＝0.183，則x＝．【答案】(1)0.4；40；(2)①143.5；②0.03489【分析】（1）把n=0.16代入x=求解即可；把n=1600代入y=求解即可；（2）①根據被開方數小數點向右移動了4位，則算術平方根小數點向右移動兩位求解；②根據算術平方根小數點向左移動1位；則被開方數小數點向左移動了2位求解．（1）解：當n=0.16時，x===0.4，當n=1006時，x===40，故答案為：0.4，40；（2）解：①已知≈1.435，則≈143.5；故答案為：143.5；②已知＝1.83，若＝0.183，則x＝0.03489．故答案為：0.03489．【點撥】本題考查了算術平方根，解題的關鍵在于從小數點的移動位數考慮．舉一反三：【變式1】你能找出規律嗎？計算：，，，；(2)根據找到的規律計算：；(3)若，，用含a，b的式子表示．【答案】(1)6；6；20；20；規律見解析；(2)9；(3)【分析】（1）首先求出每個算式的值是多少，然后總結出規律：（a≥0，b≥0），據此判斷即可．（2）根據進行解答即可．（3）根據，，可得，據此解答即可．解（1）∵，，，，∴總結出的規律是：（a≥0，b≥0）．故答案為：6；6；20；20（2）；（3）∵，，∴，【點撥】此題主要考查了算術平方根的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是注意觀察總結出規律，并能正確的應用規律．【變式2】（1）先完成下列表格：a……0.00010.01110010000…………0.01______1____________……（2）由上表你發現什么規律？（3）根據你發現的規律填空：①已知=1.732則=______=______②已知=0.056，則=______【答案】（1）0.1，10，100；（2）被開方數的小數點向左或向右每移動兩位開方后所得的結果相應的也向左或向右移動1位；（3）17.32，0.1732，560【分析】（1）直接利用已知數據開平方得出答案；（2）利用原數據與開平方后的數據變化得出一般性規律是被開方數的小數點向左或向右每移動兩位開方后所得的結果相應的也向左或向右移動1位；（3）利用（2）中發現的規律進而分別得出各數據答案．解：（1）a……0.00010.01110010000…………0.010.1110100……（2）規律是：被開方數的小數點向左或向右每移動兩位開方后所得的結果相應的也向左或向右移動1位；（3）①∵=1.732，∴=17.32；=0.1732；②∵=0.056，∴=560．故答案為①17.32；0.1732；②560．【點撥】此題主要考查了算術平方根，正確發現數據開平方后的變化規律是解題關鍵．類型八、平方根??應用??算術平方根??平方根8．如圖，紙上有五個邊長為1的小正方形組成的圖形紙（圖1），我們可以把它剪開拼成一個正方形（圖2）．(1)圖中拼成的正方形的面積是___________；邊長是___________；(2)你能把十個小正方形組成的圖形紙（圖3），剪開并拼成正方形嗎？若能，請仿照圖的形式把它重新拼成一個正方形．并求出這個正方形的邊長是___________．【答案】(1)；；(2)剪拼圖見解析；【分析】（1）拼成的正方形面積等于原五個小正方形的面積；進一步求邊長即可；（2）仿照（1）中的方法剪拼，根據大正方形的面積求邊長即可；（1）解：∵拼成的正方形面積等于原五個小正方形的面積∴拼成的正方形面積為：由正方形的面積公式可得：（2）解：剪拼圖如下：∵拼成的正方形面積等于原10個小正方形的面積∴拼成的正方形面積為：由正方形的面積公式可得：【點撥】本題考查了算術平方根；熟練掌握圖形的拆補是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】如圖，用兩個邊長為cm的小正方形拼成一個大的正方形．(1)求大正方形的邊長：(2)若沿此大正方形邊長的方向剪出一個長方形，能否使剪出的長方形紙片的長寬之比為4：3，且面積為48？【答案】(1)大正方形的邊長為8cm沿此大正方形邊的方向剪出一個長方形，能使剪出的長方形紙片的長寬之比為4：3，且面積為48【分析】（1）根據已知正方形的面積關系即可求出大正方形的邊長；（2）先求出長方形的邊長，再判斷即可．解（1）大正方形的邊長為acm，則，∵，∴．答：大正方形的邊長為8cm．（2）設長方形紙片的長為4xcm，寬為3xcm，則，解得，∵，∴，，，∵大正方形的邊長為8cm，符合．所以沿此大正方形邊的方向剪出一個長方形，能使剪出的長方形紙片的長寬之比為4：3，且面積為48．【點撥】本題考查了平方根的實際應用，能根據題意列出算式是解此題的關鍵．【變式2】如圖，有一塊正方形鐵皮，從四個頂點處分別剪掉一個面積為的正方形后，所剩部分正好圍成一個無蓋的長方體容器，量得該容器的體積是，求原正方形鐵皮的邊長．【答案】【分析】設原來正方形的邊長為，然后根據長方體容積公式列方程計算．解：從四個頂點處分別剪掉一個面積為25的正方形，剪掉的正方形邊長為5，設原來正方形的邊長為，由題意可得：，，，解得：或（不合題意，舍去），原來正方形的邊長為16．【點撥】本題考查平方根的實際應用，理解平方根的概念