北京市密云區(qū)2022-2023學年高二第二學期期末考試

數(shù)學試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出

符合題目要求的一項.

1,已知集合A={T，°，1}，B={HMXT）K。},則A5=（）

A.0B.{0}C.{1}D.{0,1}

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)集合的交集運算即可求解.

【詳解】解：B={x|x（x-l）<0}={%|0<x<l},A={-1,0,1},

A8={0,1},

故選：D

2.命題“VxeR,%2一2%+3>0”的否定為（）

A.VxeR,x2-2x+3<0B.VXGR,x2-2JC+3<0

C.玉eR,x2-2x+3<0D.3xeR,%2-2x+3<0

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由全稱命題的否定是特稱命題，即可得到結(jié)果.

【詳解】因為命題“VxeR,x2-2x+3>0,5>則其否定為“HreR,x2-2x+3<0"

故選：D

3.已知。>6,則下列不等式中成立的是（）

222

A.2">2〃B.ab>bC.a>bD.^<|

【答案】A

【解析】

【分析】A選項可根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷，BCD選項可以舉反例得出.

【詳解】A選項，根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=2*（xeR）單調(diào)遞增可知，a>》u>2">2JA選項正確；

BCD選項，取=B選項變成—1>1，C選項變成1>1，D選項變成1<一1，BCD均錯誤.

故選：A

4.5名同學分別報名參加學校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊，每人限報其中的一個運動隊，則不同的報名

方法的種數(shù)為（）

A.53B.35C.A；D.C；

【答案】B

【解析】

【分析】

把不同的報名方法可分5步完成，結(jié)合分步計數(shù)原理，即可求解.

【詳解】由題意，不同的報名方法可分5步完成：

第一步：第一名同學報名由3種方法

第二步：第二名同學報名由3種方法

第三步：第三名同學報名由3種方法

第四步：第四名同學報名由3種方法

第五步：第五名同學報名由3種方法

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有3x3x3x3x3=35種方法.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了分步計數(shù)原理的應用，其中解答中認真審題，合理分步求解是解答的關鍵，著

重考查了分析問題和解答問題的能力.

5.下列函數(shù)中，在（0,+8）上單調(diào)遞增的奇函數(shù)是（）

A.y=4xB.y=x-1C.y=ln|x|D.y=x-—

x

【答案】D

【解析】

【分析】由函數(shù)奇偶性的定義及對數(shù)函數(shù)與幕函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】對于A：y=6,定義域為［0,+e）,不關于原點對稱，

所以y=4不具有奇偶性，故選項A錯誤；

對于B：y=X"',定義域為（-8,0）U（0,+8）,因為（一兀）7=-%7,所以y=/為奇函數(shù)，

由某函數(shù)性質(zhì)可知y=/在（0,+8）上單調(diào)遞減，故選項B錯誤；

對于C：y=ln|M，定義域為(-8,0)u(0,+oo),因為In卜x|=ln|x|,

所以函數(shù)y=ln|x|為偶函數(shù)，且xe(0,+8)時，y=\nx,

由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)y=Inx在(0,+00)上單調(diào)遞增，故選項C錯誤；

對于D：y—%——,定義域為(-8,0)U(0,+oo),因為(-x)-(—)=—),

所以y=X—,為奇函數(shù)，又〉=%與丁=一！都在(0,+8)上單調(diào)遞增，

XX

由單調(diào)性的性質(zhì)可知y=X—』在(0,+8)上單調(diào)遞增，故選項D正確.

X

故選：D.

6.某校開展“迎奧運陽光體育”活動，共設踢健、跳繩、拔河、推火車、多人多足五個集體比賽項目，各

比賽項目逐一進行.為了增強比賽的趣味性，在安排比賽順序時，多人多足不排在第一場，拔河排在最

后一場，則不同的安排方案種數(shù)為()

A.3B.18C.21D.24

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，分析可得：“多人多足'’有3種安排方法，再將踢健、跳繩、推火車安排在剩下的3個位置，由分

步計數(shù)原理計算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，多人多足不排在第一場，拔河排在最后一場，

則“多人多足'’有3種安排方法，

將踢健、跳繩、推火車安排在剩下的3個位置，有A；=6種安排方法，

則有3x6=18種安排方法.

故選：B.

7.設/'(X)是函數(shù)“X)的導函數(shù)，y=/'(x)的圖象如圖所示，則y=/(x)的圖象最有可能的是

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)導函數(shù)的圖象得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)/（X）的單調(diào)性即可判斷.

【詳解】由導函數(shù)的圖象可得當x<0時，>0,函數(shù)/（x）單調(diào)遞增；

當0<%<2時,r（x）<0,函數(shù)“X）單調(diào)遞減；

當x>2時，用x）>0,函數(shù)/（X）單調(diào)遞增.

只有C選項的圖象符合.

故選：C.

8.“1”<聯(lián)”是“刀<丁”成立的（）

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)y=lgx的單調(diào)性化簡l”<lgy,得0<x<y,從而根據(jù)充分條件與必要條件的定義判

斷即可.

【詳解】因為函數(shù)y=lgx在（0,+8）上單調(diào)遞增，

由Igxclgy,可得0<x<y,

而"0<x<y”是“x<y”成立的充分不必要條件.

所以“l(fā)gr<lgy”是“x<y”成立充分不必要條件.

故選：A

9.單級火箭在不考慮空氣阻力和地球引力的理想情況下的最大速度v滿足公式：v=voln^一「其中

機?

犯，加2分別為火箭結(jié)構(gòu)質(zhì)量和推進劑的質(zhì)量.%是發(fā)動機的噴氣速度.已知某單級火箭結(jié)構(gòu)質(zhì)量是推進劑

質(zhì)量的2倍，火箭的最大速度為lOkm/s.則火箭發(fā)動機的噴氣速度約為()(參考數(shù)據(jù)：ln2a0.7,

ln3?l.l.In4Kl.4)

A.15km/sB.25km/sC.35km/sD.45km/s

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得，%1?j,其中叫=2〃?2，

則10=%lng=%(ln3—ln2)=0.4%,求得%=25.

故選：B

10.已知函數(shù)/(同=蕓:/'(X)是"X)的導函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A.VXGR,=B.VxeR,<0

C.若0<西<工2，則%/(5)<w"/)D.若0"<々，則/(芯)+/(工2)</(%+9)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性概念判斷A,根據(jù)導函數(shù)的符號判斷B,利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合不等式的性質(zhì)

即可判斷C,利用特例法排除選項D.

【詳解】對于A,函數(shù)定義域為R,f(-x)=±-^±=L^=-±-ZL,所以/(-x)=-f(x),錯誤；

2-*+11+2'2*+1

>—[?2x2rIn2

對于B,因為y(x)==l=i——J,所以曰(x)=，"一由ln2>0知/'(x)>0,錯誤；

2X+12*+1(2*+1)2

對于C,因為依eR,f'(x)>0,所以/(x)在(p,”)上遞增，

x>0時，/(%)>/(0)=0,故對0<占<》2，0</(xJ</(%2),

由不等式的性質(zhì)可得0<%/(玉)<々/(々)，正確；

144

取芯=1,%=2,則%+/=3,/(3)+/(%2)=百，/(%+々)=二，

此時，/(xj+/(馬)>/(玉+々)，錯誤.

故選：C

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.

11.在(x+'l的展開式中，x的系數(shù)為；各項系數(shù)之和為.(用數(shù)字作答)

【答案】①.10②.32

【解析】

【分析】先求出二項式展開式的通項公式，然后令x的次數(shù)為1求出人再代入通項公式可求出x的系數(shù),

令X=1可求出各項系數(shù)之和.

【詳解】(X+L)的展開式的通項公式為方+1=C"5-r.[l)=C)5-2r,

令5-2r=1,得r=2,所以x的系數(shù)為C；=10,

令x=l,則(1+1)5=32,所以各項系數(shù)之和為32,

故答案為：10,32

12.已知x>l,那么x+—?—的最小值為.

【答案】3

【解析】

【分析】利用基本不等式計算可得.

【詳解】因為x>l,所以x-4>0,

當且僅當x-l=——，即x=2時取等號.

X—1

故答案為：3

13.在5道試題中有2道代數(shù)題和3道幾何題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回，則第1次

抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率為；在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概

率為.

33

【答案】①.—##0.3②.一##0.75

104

【解析】

【分析】設事件A表示“第1次抽到代數(shù)題”，事件B表示“第2次抽到幾何題”，然后利用古典概型

公式代入求解出P(A)與P(AB),再代入條件概率公式即可求解.

【詳解】設事件A表示“第1次抽到代數(shù)題”，事件B表示“第2次抽到幾何題”，

則尸⑷哈=|'c'c'3

所以第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率為P(A8)

一c'c110

2

在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為P(B|A)=爺舁=￥=(

5

33

故答案為：6-

14.一個車輛制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量x(單位：輛)與

創(chuàng)造的價值y(單位：元)之間的關系為：y=-20Y+2200X.如果這家工廠希望在一個星期內(nèi)利用這

條流水線創(chuàng)收60000元以上，請你給出一個該工廠在這周內(nèi)生成的摩托車數(shù)量的建議，使工廠能夠達成

這個周創(chuàng)收目標，那么你的建議是.

【答案】摩托車數(shù)量在51到59輛

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得-20f+2200%>60000,解不等式，且、取不等式解集中的正整數(shù)即可

【詳解】由題意得-20x2+2200A->60000，化簡得V一11()》+3000<0，

M(x-50)(x-60)<0,解得50cx<60,

因為x取正整數(shù)，

所以該工廠在這周內(nèi)生成摩托車數(shù)量在51到59輛時，工廠能夠達成這個周創(chuàng)收目標.

故答案為：摩托車數(shù)量在51到59輛

-

15.已知函數(shù)/。)=,："X".

'7尤3一x+i,x>%

①若％=0,不等式/(x)<l的解集為；

②若函數(shù)g(x)=/(x)-l恰有兩個零點，則實數(shù)%的取值范圍為.

【答案】①.(0,1)②.-l<Zr<l

【解析】

【分析】（空1）左=0時;借助導數(shù)工具判斷e'-x-lNO,結(jié)合三次函數(shù)的零點情況，分段求解不等式;

（空2）結(jié)合上一空e'-x-120進行零點個數(shù)判斷

ex-x,x<Qer-x-l,x<0

【詳解】攵=0時,小)=,

x3-x+l,x>0x3-x,x>0

x3-x<0x(x+l)(x—1)<0

令＜解得xw(0,l),

x>0

令h(x)-ev-x-l(x<0)，h'(x)=ex-1<0(x<0)，

即h(x)在xe(—8,0］上單調(diào)遞減，于是h(x)＞〃(0)=0,

即e'—x—INO，即e'.-％-1<0無解,

綜上可知，〃x)<l的解集為(0,1)；

e*—x—1x〈k

g(x)=4x)—l=<3'一，根據(jù)上一空的分析可知，ex-x-l>0，x=0取得等號,

X-X,X>K

故左<0時，e*-x-l=0無解，x3-x=0<^>x(x-l)(x+1)=0,x=-l>0或1，

%3一彳=0在x＞上時有2個根，即％=—1這個根需排除在外，則左2—1,于是一14后＜0；

當人20時，e'-x-l=0有唯一解x=0，于是/-%=0在%＞上時有1個根，

即x=l這個根需恰好被包含在內(nèi)，故女＜1,即OWZ＜1.

綜上所述，一14人＜1.

故答案為：（0,1）：—14女＜1

三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.某校高二年級的全體學生都參加了體質(zhì)健康測試，已知測試成績滿分為100分，規(guī)定測試成績在區(qū)間

［85,100］內(nèi)為“體質(zhì)優(yōu)秀”，在［75,85）內(nèi)為“體質(zhì)良好”，在［60,75）內(nèi)為“體質(zhì)合格”，在［0,60）內(nèi)為“體

質(zhì)不合格現(xiàn)從這個年級中隨機抽取6名學生，測試成績?nèi)缦拢?/p>

學生編號123456

測試成績608580789091

(1)若該校高二年級有600名學生，試估計高二年級“體質(zhì)優(yōu)秀”的學生人數(shù)；

(2)若從這6名學生中隨機抽取3人，記X為抽取的3人中“體質(zhì)良好”的學生人數(shù)，求X的分布列;

(3)求(2)中X的均值.

【答案】(1)300；

(2)分布列見解析；(3)E(X)=1.

【解析】

【分析】(1)先計算出優(yōu)秀率的估計值，再由頻率和頻數(shù)的關系求頻數(shù)；

(2)可得X的可能取值為0,1,2,求出X取不同值的概率即可得出分布列；

(3)根據(jù)隨機變量的均值公式求解.

【小問1詳解】

高二年級隨機抽取的6名學生中，“體質(zhì)優(yōu)秀”的有3人，優(yōu)秀率為g,

將此頻率視為概率，估計高二年級“體質(zhì)優(yōu)秀”的學生人數(shù)為‘X600=300(人)；

2

【小問2詳解】

高二年級抽取的6名學生中“體質(zhì)良好''的有2人，非“體質(zhì)良好”的有4人.

所以X的可能取值為0,1,2,

32

P(X=0)=/C°c=三1，P(X=1)=*c'C=守3P(X=2)=C/2cl=A1，

所以隨機變量X的分布列為:

X012

32

P

555

I3i

【小問3詳解】隨機變量X的均值E(X)=0xs+lxm+2xg=l

17.已知函數(shù)/(x)=￡-3x+Inx.

⑴求曲線y=在點(1,/⑴)處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(力的單調(diào)區(qū)間和極值.

【答案】⑴"2=0；

(2)函數(shù)/*)的單調(diào)遞增區(qū)間有(0,；),(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間有

極大值為一■--In2,極小值為—2.

4

【解析】

【分析】（1）求函數(shù)/（X）的定義域和導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求切線斜率，由點斜式求切線方程；

（2）解方程/'（%）=0求其根；由導數(shù)的正負來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的極值.

【小問1詳解】

函數(shù)〃x）=x2-3x+hu的定義域為（0,+助，

導函數(shù)/'（x）=2x—3+」=（2t1）色;1）,

XX

所以/"）=0,/⑴=一2,

故切線方程為y+2=0；

【小問2詳解】

由（1）=2%-3+-=；

XX

令r（x）=0,可得x=；或x=l,

當0<x<g時，制x）>0,函數(shù)〃x）在（0,￡|上單調(diào)遞增；

當g<x<l時，/（力<0,函數(shù)/（力在上單調(diào)遞減；

當X>1時，制x）>0,函數(shù)/'（x）在上單調(diào)遞增;

所以函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間有（1,-KO）,單調(diào)遞減區(qū)間有

所以當x=，時，函數(shù)/（X）取極大值，極大值為了[:]=一2-1!12,

24

當x=l時，函數(shù)/（X）取極小值，極小值為了⑴=-2.

18.交通擁堵指數(shù)（TPI）是表征交通擁堵程度客觀指標，TP1越大代表擁堵程度越高.某平臺計算TPI

實際行程時間

的公式為：TPI=二,并按TPI的大小將城市道路擁堵程度劃分為如下表所示的4個等級:

暢通行程時間

TPI[1,1.5)[1.5,2)[2,4)不低于4

擁堵等級暢通緩行擁堵嚴重擁堵

某市2023年元旦及前后共7天與2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下圖:

12月29日12月30日12月31日1月1日1月2日1月3日1月4日

....?.2023年---------2022年

（1）從2022年元旦及前后共7天中任取1天，求這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率；

（2）從2023年元旦及前后共7天中任取3天，將這3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI

高的天數(shù)記為X,求X的分布列及數(shù)學期望E（X）；

（3）把12月29日作為第1天，將2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TP1依次記為

ax,a2,..a-）,將2022年同期TPI依次記為偽色，M，記q=q-4（7=1,2,,7）,請直

接寫出上一4取得最大值時i的值.

【答案】（1）I2

（2）答案見解析（3）i=6

【解析】

【分析】（1）根據(jù)隨機事件的概率公式即可求解：

（2）結(jié)合題意先求出X的分布列，再結(jié)合數(shù)學期望的公式求解即可；

（3）結(jié)合題意先求得ea-0.065,進而即可求解.

【小問1詳解】

由圖可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的共2天，

2

所以這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率為

【小問2詳解】

由圖可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI高的天數(shù)只有.1月3日和1月4日這2天,

所以P(X=O)=|PM4

p(x=g*=IH

[2

P(X=2)=^CC=—5=-1

'7357

所以X的分布列為:

X012

241

P——

777

■雙幻=。4+1+嗎號

【小問3詳解】

由題意，q=q—4=1.908-2.055=-0.147,

c2=a-,—b2=2.081—2.393=—0.312,

c3=a3-=1.331-1.529=-0.198,

=%—〃=L202—1.302=-0.1,

c5=a5-Z?5=1.271-1.642=-0.371,

06=4-％=2.256-1.837=0.419,

c-j=a-j-b-j=2.012-1.755=0.257,

1〃1

所以5==—x(—0.147—0.312—0.198—0.1—0.371+0.419+0.257)^—0.065,

7i=i7

所以除一同取得最大值時，z=6.

19.高爾頓釘板裝置如圖所示，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之

間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃，讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下

落的過程中每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板底部的格子中，格子從左

到右依次編號為0,1,2,…，10,用X表示小球最后落入格子的號碼.

1n

(1)當X=4時，求小球向右下落的次數(shù);

(2)求X的分布列;

(3)求E(X).

【答案】(1)4(2)分布列見解析

(3)5

【解析】

【分析】(1)根據(jù)試驗即可求出；

(2)分析得到X進而利用二項分布求概率公式求出相應的概率;

(3)利用期望公式求出期望.

【小問1詳解】

當X=4時，則小球最終落入4號格子，則在通過的10層中有4層需要向右，6層向左,

故小球向右下落的次數(shù)為4；

【小問2詳解】

設4=“向右下落”，響左下落”，則P(A)=P(^)=g，

因為小球最后落入格子的號碼X等于事件A發(fā)生的次數(shù)，

而小球下落的過程中共碰撞小木釘10次，所以X

X的可能取值為0，1，2,3,4,5,6,7,8,9,10,

所以P(x=o)y?*出、焉,P(X=D=C!?喘.

P(X=2)=C；。?4J=意，P(X=3)y(1J=合

4、5

P(X=4)=C：J；IX63

1丫果P(X=5)Y?4

2>7256

門、6/1\4P(X=7)=C：°]jxgJ=^

P(X=6)=C：°Kx-105

I，/I，，512

<IY15

尸(X=8)=C近P(X=9)=C：。-x-=---

2512

P(X=10)=C舊、10zJxO1

X—-1024,

所以X的分布列為：

X012345678910

14563451

P515105105155

1024102425610241024

512128512512茂512

【小問3詳解】由(2)知

八115c45cl5)105廠63,10515c45

EX—0x+1x+2x+3x+4x+5x+6x+7x+8x

102451210241285122565121281024

+9x—+10x—?—=5.

5121024

20.已知函數(shù)/(x)=xe*-辦(aGR).

(1)若y=/(x)在R上是增函數(shù)，求實數(shù)〃的取值范圍;

(2)當。=1時，判斷0是否為函數(shù)/(x)的極值點，并說明理由;

(3)判斷了(X)的零點個數(shù)，并說明理由.

【答案】⑴,°°，一(

(2)是，理由見解析(3)答案見解析

【解析】

【分析】(1)對函數(shù)求導，若y=/(x)在R上是增函數(shù)，即r(x”0恒成立，得a<(l+x)e"設

g(x)=(l+x)e)求導后利用單調(diào)性求得函數(shù)的最小值，即可求得結(jié)果；

(2)/,(x)=(l+x)e'-l,令〃(x)=(l+x)e「1,對函數(shù)〃(x)求導后求得廣(力的單調(diào)性即可判斷

出結(jié)果;

(3)令/(x)=xe'-ar=O,即x(e'—。)=0,對。分類討論求解方程的根，從而得出答案.

【小問1詳解】

/(x)=xex—ax[aeR),則/'(x)=(l+x)ev-a,

若y=/(x)在R上是增函數(shù)，即/'(x)20恒成立，得aW(l+x)e、，

設g(x)=(l+x)e",g'(x)=(x+2)e",

g'(x)>0得x>—2,g'(x)<0得x<-2,

即g(x)在(f,-2)遞減，在(-2,+8)遞增，

貝iJg(x)Ng(-2)=-4，

e

故,即Qw1—00,--T.

e-Ie」

【小問2詳解】

當a=l時，r(x)=(l+x)e"-l,

令/z(x)=(l+x)e*_l,〃(x)=(x+2)e*,

當xe(-2,+8)時，〃(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增，/'(x)單調(diào)遞增，又/'(0)=0,

當xe(—2,0)時，/'(x)<0,4X)單調(diào)遞減，

當xe(0,+8)時，f\x)>Q,/(x)單調(diào)遞增，

故x=0是函數(shù)“X)的極小值點.

【小問3詳解】

令/(x)=xe*—4a=0,即x(e，-a)=。,

當a?0時，e、-a>0，故〃力=。的根有1個，即x=0,則/(x)有1個零點；

當a=l時，由e=l=O,得x=0,故/(力=0的根