2022-2023高二下數學模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.某商場對某一商品搞活動，已知該商品每一個的進價為3元，銷售價為8元，每天售出的第20個及之后的半價出

售.該商場統計了近10天這種商品的銷量，如圖所示，設x（個）為每天商品的銷量，y（元）為該商場每天銷售這種商品

的利潤.從日利潤不少于96元的幾天里任選2天，則選出的這2天日利潤都是97元的概率是（）

A.B.C.I

i1

QQ

,2

2.方程^―+表示雙曲線的一個充分不必要條件是（）

m-2m+3

A.-3<2Z7<OB.-3<m<2

C.-3<2Z7<4D.-KZZT<3

3.一同學在電腦中打出如下若干個圈：……若將此若干個圈依此規

律繼續下去,得到一系列的圈,那么在前55個圈中的?個數是（）

A.10B.9C.8D.11

4.設xo是函數/（x）=/”x+x-4的零點，則xo所在的區間為（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

5.已知zeC,zi=2-,z的實部與虛部相等，則/?=()

11

A.-2B.-C.2D.——

22

6.已知函數/（x）=2sin（2x+o）（0<o<〃），若將函數/（x）的圖象向右平移2個單位后關于y軸對稱，則下列結論

6

中不正確的是

5771T

A.9=丁B.（=,0）是/（X）圖象的一個對稱中心

612

TT

C.f\(p)=-2D.x=-￡是./'(X)圖象的一條對稱軸

7.已知一列數按如下規律排列：磔到7/2,-？-，則第9個數是()

A.-50B.50C.42D.—42

8.用數學歸納法證明等式1+2+3++(〃+3)=("+I5+4)(/eN*)時,第一步驗證〃=1時，左邊應取的項是

2

()

A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4

22

9.設尸為雙曲線C：5―二=1(a>0,Z?0)的右焦點，。為坐標原點，以。尸為直徑的圓與圓/+,2=/交于尸、Q

a~b~

兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為

A.0B.6

C.2D.75

10.觀察下面頻率等高條形圖，其中兩個分類變量x,y之間關系最強的是()

11.已知函數/(x)=Y—3x+m,若方程〃x)=0有兩個相異實根芭且玉+9<0,則實數〃，的值等于()

A.-2或2B.-2C.2D.0

12.直三棱柱A5C—A'B'C'中，AC=BC=AA,NACB=9O°,E、O分別為A3、88'的中點，則異面直線CE

與CO所成角的余弦值為()

A廂V10V2V15

A.------BR.------rC.Dn.------

4565

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

/\8

13.若x+0(a<0)的展開式中，常數項為5670,則展開式中各項系數的和為一.

\X)

14.若隨機變量X?N(3,CT2),且尸(0<X<3)=035,則P(X>6)=.

15.若關于x的不等式2x2—3x+a<0的解集為(加,1),則實數加=.

一一sina?cos。1/10

16.已知-------z—=-9且tan(a+/?)=—,則tan/?=____________.

l+3cos2a4、)3

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數f(x)=ln(x+a)--一x在％=0處取得極值.

(1)求實數a的值；

(2)若關于x的方程/(x)=-gx+6在區間［0,2］上恰有兩個不同的實數根，求實數b的取值范圍.

18.(12分)已知橢圓］+/=1(4＞。＞0)的離心率為乎，且/=26

(1)求橢圓的標準方程；

(2)直線/：萬一丁+m=0與橢圓交于4,8兩點，是否存在實數〃？，使線段四的中點在圓/+y2=5上，若存在,

求出加的值；若不存在，說明理由.

19.(12分)如圖，已知橢圓。:［+，=13＞。＞0)的離心率是￥，一個頂點是8(0,1).

(I)求橢圓C的方程；

(II)設P,。是橢圓。上異于點8的任意兩點，且BPLBQ.試問：直線PQ是否恒過一定點？若是，求出該定

點的坐標；若不是，說明理由.

20.(12分)某小組有7個同學，其中4個同學從來沒有參加過天文研究性學習活動，3個同學曾經參加過天文研究性

學習活動.

(1)現從該小組中隨機選2個同學參加天文研究性學習活動，求恰好選到1個曾經參加過天文研究性學習活動的同學

的概率；

(2)若從該小組隨機選2個同學參加天文研究性學習活動，則活動結束后，該小組有參加過天文研究性學習活動的同

學個數X是一個隨機變量，求隨機變量X的分布列和數學期望EX.

21.(12分)已知，橢圓C過點兩個焦點為(0,2),(0,-2),E,尸是橢圓C上的兩個動點，如果直線ZE

的斜率與Z尸的斜率互為相反數，直線即的斜率為左，直線/與橢圓C相切于點4斜率為42?

（1）求橢圓C的方程；

（2）求勺+七的值.

1a\「1

22.（10分）（1）已知矩陣4=八，的一個特征值為；1=一2,其對應的特征向量a=.,求矩陣A及它的另一

0b\[2

個特征值.

⑵在極坐標系中，設P為曲線C：2=2上任意一點，求點P到直線/：psin,T=3的最小距離.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

分別計算每個銷量對應的利潤，選出日利潤不少于96元的天數，再利用排列組合公式求解.

【詳解】

當丫=時：i=18x5=90

當：9時：＞=：9x5='95

當丫=:。時：y=：9x5+l=96

當：■=21時：1=19x5+2=97

日利潤不少于96元共有5天，2天日利潤是97元

qio

故答案選A

【點睛】

本題考查了頻率直方圖，概率的計算，意在考查學生的計算能力.

2、A

【解析】

由題意知，（加―2）（根+3）<0=-3<2,則C,D均不正確，而B為充要條件，不合題意，故選A.

3、B

【解析】

將圓分組：第一組：。?，有2個圓；第二組：oo.,有3個圓；第三組：。。。?，有4個，…，每組圓

的總個數構成了一個等差數列，前〃組圓的總個數為5“=2+3+4+...+（〃+1）=號］乂〃，令S“=55,

解得〃。9.6,即包含9整組，故含有?的個數是9個，故選B.

【方法點睛】本題考查等差數列的求和公式及歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟：一、通過觀

察個別情況發現某些相同的性質.二、從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題（猜想）.常

見的歸納推理分為數的歸納和形的歸納兩類：（1）數的歸納包括數的歸納和式子的歸納，解決此類問題

時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時還要聯系相關的知識，如等差數列、等比

數列等；（2）形的歸納主要包括圖形數目的歸納和圖形變化規律的歸納.

4、C

【解析】

由函數的解析式可得/（2）<0,/（3）>0,再根據函數的零點的判定定理，求得函數的零點所在的區間，得到答案.

【詳解】

因為毛是函數/（x）=lnx+x—4的零點，由〃2）=ln2—2<0J（3）=ln3—l>0,

所以函數/（x）的零點七所在的區間為（2,3）,

故選C.

【點睛】

本題主要考查了函數的零點的判定定理的應用，其中解答中熟記零點的存在定理，以及對數的運算性質是解答的關鍵,

著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

5、C

【解析】

利用待定系數法設復數z,再運用復數的相等求得6.

【詳解】

i^z-a+ai(aeR),則(a+ai)i=2—初，即一。+出=2—初

—ci=2a=-2

,c.故選C?

a=-b"b=2

【點睛】

本題考查用待定系數法，借助復數相等建立等量關系，是基礎題.

6、C

【解析】

函數/(x)=2sin(2x+°)的圖象向右平移彳個單位，可得g(x)=2sin(2x-?+可，g(x)=2sin-^+可的

nTT5乃57r

圖象關于y軸對稱，所以—2+0=人乃+々，攵=0時可得e=9,故./■(x)=2sin(2x+3),

3266

/(⑼=2sin(,+^)=2sin芳=2,〃夕)=一2不正確，故選C.

7、A

【解析】

分析：根據規律從第3個數起，每一個數等于前兩個數之差，確定第9個數.

詳解：因為從第3個數起，每一個數等于前兩個數之差，所以第9個數是-19-31=-5(),

選A.

點睛：由前幾項歸納數列通項的常用方法為：觀察(觀察規律)、比較(比較已知數列)、歸納、轉化(轉化為特殊數列)、

聯想(聯想常見的數列)等方法.

8、D

【解析】

由數學歸納法的證明步驟可知：當”=1時，等式的左邊是1+2+3+1+3=1+2+3+4,應選答案D.

9,A

【解析】

準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心率.

【詳解】

設PQ與X軸交于點A,由對稱性可知軸,

又|PQ|=|OF|=c,.1PA|=/,二PA為以OF為直徑的圓的半徑,

.?4為圓心|。4|=￡.

2

又P點在圓f+>2="上,

222

CC2日nC2^-￡1-2

—I-----=a~9即—=cT匕一r一4?

442a

:.e-V2,故選A.

本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優先考慮幾何法，避免代數法從頭至尾，

運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半

功倍，信手拈來.

10、D

【解析】

ac

在頻率等高條形圖中，一^與一j相差很大時，我們認為兩個分類變量有關系，即可得出結論.

【詳解】

在頻率等高條形圖中，'?與「相差很大時，我們認為兩個分類變量有關系，

a+bc+d

四個選項中，即等高的條形圖中xi,X2所占比例相差越大，則分類變量x,y關系越強，

故選D.

【點睛】

本題考查獨立性檢驗內容，使用頻率等高條形圖，可以粗略的判斷兩個分類變量是否有關系，是基礎題

11、C

【解析】

分析：利用導數法，可得當x=-l時，函數取極大值m+2,當x=l時，函數取極小值m-2,結合方程f(x)=0有兩

個相異實根XI,X2,且X|+X2<0,可得答案.

詳解：I,函數f(x)=x3-3x+m,

/.fr(x)=3x2-3,

令F(x)=0,貝！Jx=±l,

當x<-l,或x>l時，f(x)>0,f(x)為增函數；

當-IVxVl時，f（x）<0,f（x）為減函數；

故當x=-l時，函數取極大值m+2,

當x=l時，函數取極小值m-2,

又?方程f（X）=0有兩個相異實根Xi,X2,且X1+X2V0,

Am-2=0,

解得m=2,

故選：C.

點睛：本題考查的知識點是利用導數法研究函數的極值，方程根的個數判斷，難度中檔.對于函數的零點問題，它和

方程的根的問題，和兩個函數的交點問題是同一個問題，可以互相轉化；在轉化為兩個函數交點時，如果是一個常函

數一個含參的函數，注意讓含參的函數式子盡量簡單一些。

12、B

【解析】

以C為原點，C4為x軸，（方為）'軸，CG為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線CE與CD所

成角的余弦值.

【詳解】

以C為原點，C4為x軸，CB為）'軸，CC為工軸，建立空間直角坐標系，

設AC=BC=A4'=2,

則C（O,O,O）、A（2,0,0）、3（0,2,0）、￡（1,1,0）,C'（0,0,2）,D（0,2,l）,

C￡=（I],0）、CD=（O,2,T）,

設異面直線CE與所成角為e,

CEC'D2_V10

貝!Jcos0=----------

CE\\CDV2.V5-5

，異面直線CE與C'D所成角的余弦值為上

5

故選：B

【點睛】

本題考查了空間向量法求異面直線所成的角，解題的關鍵是建立恰當的坐標系，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、256

【解析】

根據二項式展開式的通項公式求得。，再用賦值法求出各項系數的和.

【詳解】

由二項式的展開式的通項公式得=/屋產

Tr+t

貝！J8-2r=0,廠=4所以C；/=5670,

所以a4=81,a<0,a=—3.

所以L+父/尤—3，再令X=1,

I龍1kxj

得展開式中各項系數的和=(-2)8=256.

故答案為256.

【點睛】

本題考查二項式展開式中的特定項和各項系數和，屬于中檔題.

14、0.15

【解析】

由X?N(3,<J2),得P(O<X<3)=P(3<X<6)=035,兩個式子相加，根據正態分布的對稱性和概率和為1即

可得到答案.

【詳解】

由隨機變量X?N(3,(T2),且P(0<X<3)=0.35,根據正態分布的對稱性得P(3<X<6)=035且正態分布的概

r…八1-0.35x2…

率和為1,得P(X>6)=-------------=0.15.

2

故答案為0.15

【點睛】

本題考查了正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，屬于基礎題.

1

15、一

2

【解析】

由不等式2x2-3x+aV0的解集為(小，1)可知：x=m,x=l是方程2必-3x+a=0的兩根.根據韋達定理便可分別

求出m和a的值.

【詳解】

由題意得：1為2f—3x+a=0的根，所以。=1,

,11

從而2x—3%+1<0—<x<1tn——

22

故答案為1

【點睛】

本題考查一元二次不等式的解法，屬于基礎題.

16、-1

【解析】

通過sina,cosa的齊次式，求得tana的值；再利用兩角和差的正切公式求解tan/?.

【詳解】

sina?cosa_sinacostztana1

l+3cos2asin?a+4cos2atan2?+44

.?.tana=2

tana+tan/?_2+tan夕_1

又tan(a+￡)

1-tanatan￡l-2tan￡3

解得：tan/?=-l

本題正確結果：-1

【點睛】

本題考查同角三角函數關系以及兩角和差公式的應用，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

(l)a=l；(2)be-1+ln3,^+ln21.

17、

【解析】

(I)函數〃無)=ln(x+a)-f-x,對其進行求導，在％=o處取得極值，可得.(0)=(),求得“值；

53

(II)由Q=1知/(x)=ln(x+l)—/一次,由/(1)=一］工+人，得］n(x+l)-12一〃=()令

9(x)=ln(x+l)-x2

則關于X的方程/(x)=-|x+力在區間［0,2］上恰有兩個不同的實數根，轉化為。(x)=0在［0,2］上恰有兩個不同實

數根，對8(x)對進行求導，從而求出匕的范圍；

【詳解】

(I)廣(力=^--2x-l,x=0時，/(x)取得極值，.?./'(())=0,

1

故一2x0-1=0,解得。=|.經檢驗。=1符合題意.

0+?

53

(II)由々=1知/(x)=ln(x+l)-%2-x,由/(%)=一耳元+6,得］n(x+l)-f十萬不一^二。

3

令°(x)=ln(x+l)-x2+—x-/7,

則”x)=—；x+人在［°，2］上恰有兩個不同的實數根,

等價于O(x)=0在［0,2］上恰有兩個不同實數根.

_2x+l=_(4X+5)(1)

22(x+l)

當X€(0,l)時,o'(x)>0,于是e⑺在［0,1］上單調遞增;

當xw(l,2)時,d(x)<0,于是。(x)在［L2］上單調遞增;

^?(0)=-&<0,

3

依題意有〈=Zn(l+1)-1+--/?>0,In3-l</?<ln2+-.

以2)=/〃(1+2)—4+3—HO.

【點睛】

本題考查利用導數研究函數的極值及單調性以及方程的實數根問題，解題過程中用到了分類討論的思想，分類討論的

思想也是高考的一個重要思想，要注意體會其在解題中的運用，屬中檔題.

18、（i）r*2_=i；（2）實數%不存在，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）運用橢圓的離心率公式和「的關系，解方程可得進而得到橢圓方程；（2）設義.，

羽丫：小：I,線段/:的中點為聯立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標公式，求得的1：坐標,

代入圓的方程，解方程可得明，進而判斷不存在.

試題解析：（1）由題意得e=解得a=JI.b=c=】故橢圓的方程為X：+1=1；

（2）設；：，線段的中點為1/，工：..1」聯立直線：與橢圓的方程得，即

3?:*?2mx-療-2=0，

A=-4*二）>。即<3，

占網

河產一工7，

X+X.??!In:

所以X，=------=-------V=V'?":=——，

r23。”3

即又因為\!點在圓丁?「=5上，

33

可得—3

33

解得，=二3與<3矛盾.

故實數，.不存在.

考點：橢圓的簡單性質.

丫23

19、（I）二+丁=1（II）直線PQ恒過定點（0,——）

45

【解析】

試題分析：（I）設橢圓C的半焦距為c.求出b利用離心率求出a,即可求解橢圓C的方程；（II）證法一：直線PQ

2

的斜率存在，設其方程為y=kx+m.將直線PQ的方程代入、+y2=i消去y,設p（%,y）,Q（x2,^2）,利用韋達

定理，通過BP_LBQ,化簡求出5〃72一2〃?—3=0，求出m,即可得到直線PQ恒過的定點.證法二：直線BP,BQ

丫2

的斜率均存在，設直線BP的方程為丫=1?+1,將直線BP的方程代入、+>2=1,消去y,解得x,設P（%,y）,轉

化求出P的坐標，求出Q坐標，求出直線PQ的方程利用直線系方程求出定點坐標

試題解析：（I）解：設橢圓C的半焦距為J依題意，得〃=1,

22

H口p~2—.c.=-a-----l-=——3

a2a24

解得"=4.

2

所以，橢圓。的方程是r上+丁=1.

4

（U）證法一：易知，直線的斜率存在，設其方程為），=履+機.

將直線PQ的方程代入f+4y2=4,

消去整理得（1+442）f+8切收+4加2-4=0.

設P(石,％),Q(x2,y2),

,8km4m2-4八、

則%+%=----r9X?X=--------.(1)

?1+4左21-1+4公

因為且直線3P,3Q的斜率均存在,

y.—1—11

所以山一?~—=T,整理得王9+乂以一⑶+%）+1=°?（2）

X\X2

因為y=履］+機，y2=Ax2+m,

22

所以X+%=Mx1+電）+2機，yxy2=kx}x2+加左（％+x2）+/n.（3）

將（3）代入（2）,整理得

（1+公）工［工2+4（加-1）（玉+々）+（加-if=。.（4）

將（1）代入（4）,整理得5加2一2加一3二0.

,3

解得力=-g,或m=1（舍去）.

所以，直線P。恒過定點（0,-

證法二：直線BP,BQ的斜率均存在，設直線8P的方程為y="+l.

將直線外的方程代入Y+4y2=4,消去y,得（1+4/?2+8日=o

解得x=0,或％=一三.

1+4《

1-4￡

設所以金詢

1+4公

-Sk1-4公

所以P（

1+4公1+4公)

1Xkk2-4

以-丁替換點P坐標中的左，可得0（上行

k4+二公+4，

1-44281c

y---------2x4--------：

從而，直線PQ的方程是1,=_RJ+”廠.

i+4戶一戶+41+4-4+/

依題意，若直線PQ過定點，則定點必定在>軸上.

3

在上述方程中，令x=0,解得y=-j.

所以，直線P。恒過定點（0,—|）.

考點：圓錐曲線的定值問題；橢圓的標準方程

420

20、（1）一（2）分布列見解析，Ex=—

77

【解析】

r'r1

（1）恰好選到1個曾經參加過數學研究性學習活動的同學為事件A，則P（A）=*,計算得到答案、

241

（2）隨機變量x=2,3,4,計算尸（》=2）=亍，P（X=3）=~,P（X=4）=~,得到分布列，計算數學期望得到答

案.

【詳解】

（1）記“恰好選到1個曾經參加過數學研究性學習活動的同學”為事件A,

4

一

則其概率為P（A）一7-

(2)隨機變量x=2,3,4,

「37C'C'4C2

*尤=2)=4=4,p(x=3)=3=3,尸(x=4)=W—1.

'/C；7'7Cf7'/C；7

.?.隨機變量x的分布列為

X234

24]_

P

777

【點睛】

本題考查概率的計算，分布列，數學期望，意在考查學生的計算能力和應用能力.

22

21＞(1)匕+±=1；(2)0.

106

【解析】

(1)可設橢圓C的方程為《+'=1(。＞人＞0),由題意可得c=2,由橢圓的定義計算可得進而得到b,即可得

到所求橢圓方程；

(2)設直線力用y=A|x-|^|+|(代入橢圓方程，運用韋達定理可得"的坐標，由題意可將衣換為一女，可得產的

坐標，由直線的斜率公式計算可得直線所的斜率，設出直線/的方程，聯立橢圓方程，運用直線和橢圓相切的條件：

判別式為0,可得直線/的斜率，進而得到所求斜率之和.

【詳解】

解：(1)由題意可設橢圓c的方程為、■+方

且c=2,2a=J（|）2+（|+2尸+J（|）2+（|一2）=亭+萼=2而,

即有a—V10，b=yjcT—c2=A/6>

2V2

所以橢圓的方程為v匕+巴=1;

106

+1,代入橢圓方程可得

⑵設直線力區y=k

（5+3A:2）x2+3^（5-3jt）x+3（|-y）2-30=0,