2023-2024學年北京初三上學期數學期末試卷含答案

學校:班級：姓名：考號：

一、選擇題（每題2分，共16分）

1.一元二次方程2爐+%-5=°的二次項系數、一次項系數、常數項分別是（）

A.2,1,5B.2,1,-5C.2,0,—5D.2,0,5

【答案】B

【解析】根據一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的二次項系數，一次項系數，以及常數項即可.

【詳解】解：???一元二次方程2x，x-5=0

二次項系數、一次項系數、常數項分別是2、1、-5

故選：B.

【點睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式為ax'+bx+cR（aWO）.

2.下列四個圖形中，為中心對稱圖形的是（）

【答案】B

【解析】把一個圖形繞某一點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做

中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心.

【詳解】解：選項B能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以是中心對

稱圖形；

選項A、C、D不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180。后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱

圖形；

故選:B.

【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形定義，關鍵是找出對稱中心.

3.將拋物線y=x?向上平移3個單位長度得到的拋物線是（）

A.y=x2+3B.y-x2-3C.y=（x+3>D.y=（x-3）2

【答案】A

【解析】根據拋物線的平移規律：上加下減，左加右減解答即可.

【詳解】解：將拋物線y=x?向上平移3個單位長度得到的拋物線是y=f+3

故選：A

【點睛】本題考查了二次函數圖象的平移，理解平移規律是解題的關鍵.

4.在平面直角坐標系xOy中，點A（2,3）關于原點對稱的點的坐標是（）

第1頁共23頁

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(3,2)D.(-2,-3)

【答案】D

【解析】根據“關于原點對稱的兩個點，橫坐標、縱坐標分別互為相反數”即可求得.

【詳解】解：點A(2,3)關于原點對稱的點的坐標是(-2,-3)

故選D

【點睛】本題考查了關于原點對稱的點的坐標特征，掌握“關于原點對稱的兩個點，橫坐標、縱坐標分別

互為相反數”是解題的關鍵.

5.用配方法解方程x?+4x=l,變形后結果正確的是()

A.(X+2)2=5B.(X+2)2=2C.(X-2)2=5D.(X-2)2=2

【答案】A

【解析】方程的兩邊同時加上一次項系數一半的平方即可，進而即求得答案.

詳解】解：X2+4X=1

X2+4x+4=l+4

即(x+2『=5

故選A

【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解題的關鍵.

6.中國象棋文化歷史久遠.在圖中所示的部分棋盤中，“焉”的位置在“一一-"(圖中虛線)的下方，'‘禹"

移動一次能夠到達的所有位置已用標記，則“焉”隨機移動一次，到達的位置在“一一”上方的概

率是()

111

6-4-D.2-

【答案】C

【解析】用“一-"(圖中虛線)的上方的黑點個數除以所有黑點的個數即可求得答案.

【詳解】解：觀察“焉”移動一次能夠到達的所有位置，即用“?”標記的有8處

位于，，一_"(圖中虛線)的上方的有2處

21

所以“焉”隨機移動一次，到達的位置在上方的概率是一=—

84

故選：C.

【點睛】本題考查概率的求法與運用，一般方法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同,

第2頁共23頁

ni

其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=—.

n

，則NP的度數為（）

D.40°

【答案】D

【解析】首先連接OA,OB,由PA,PB為。0的切線，根據切線的性質，即可得NOAP=NOBP=90°,又由圓

周角定理，可求得/AOB的度數，繼而可求得答案.

【詳解】解：連接0A,OB

Z0AP=Z0BP=90°

：/ACB=70°

.\ZA0B=2ZP=140o

AZP=360°-ZOAP-ZOBP-ZA0B=40°.

故選:D.

【點睛】此題考查了切線的性質與圓周角定理，注意掌握輔助線的作法和數形結合思想的應用.

8.如圖，線段AB=5,動點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發，沿線段AB運動至點B,以點A為圓

心，線段AP長為半徑作圓.設點P的運動時間為t,點P,B之間的距離為y,OA的面積為S,則y與t,

S與t滿足的函數關系分別是（）

A正比例函數關系，一次函數關系B.一次函數關系，正比例函數關系

第3頁共23頁

C.一次函數關系，二次函數關系D.正比例函數關系，二次函數關系

【答案】C

【解析】根據題意分別列出y與t,S與t的函數關系，進而進行判斷即可.

【詳解】解：根據題意得PB=AB-AP=5-t

即y=5—“04/45）,是一次函數；

OA的面積為S=;rxAp2=R2,即S=R2（OW5）是二次函數

故選C

【點睛】本題考查了列函數表達式，一次函數與二次函數的識別，根據題意列出函數表達式是解題的關鍵.

二、填空題（每題2分，共16分）

9.拋物線丁=—3。—1）2+2的頂點坐標是.

【答案】（1,2）

【解析】直接根據頂點公式的特點求頂點坐標即可得答案.

【詳解】???）；=—3。—1）2+2是拋物線的頂點式

頂點坐標為（1,2）.

故答案：（1,2）

【點睛】本題主要考查了求拋物線的頂點坐標、對稱軸及最值的方法.解題的關鍵是熟知頂點式的特點.

10.若關于x的一元二次方程X?—2x+m=0有一個根為1,則m的值為.

【答案】1

【解析】根據關于x的方程x2-2x+m=0的一個根是1,將x=l代入可以得到m的值，本題得以解決.

【詳解】解：???關于x的方程x2-2x+m=0的一個根是1

l-2+m-0

解得m=l

故答案為：1.

【點睛】本題考查一元二次方程的解，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

11.寫出一個開口向上，并且與y軸交于點（0,2）的拋物線的解析式.

【答案】y=x2+2（答案不唯一）

【解析】根據題意，寫出一個a>0,c=2的解析式即可

【詳解】解：根據題意，a>Q,c=2

故y=/+2符合題意

故答案為：y=x2+2（答案不唯一）

【點睛】本題考查了二次函數各系數與函數圖象之間的關系，掌握二次函數的圖象的性質是解題的關鍵.

12.社團課上，同學們進行了“摸球游戲”：在一個不透明的盒子里，裝有20個除顏色不同外其余均相同

第4頁共23頁

的黑、白兩種球，將盒子里面的球攪勻后，從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復

上述過程.整理數據后，制作了“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數”的關系圖象，如圖所示，經分析

可以推斷“摸出黑球”的概率約為一

4“摸出黑球”的頻率

1.0

().8

0.6

J-----?

O50100I5O2OO250300350400450500摸球的總次數

【答案】0.2

【解析】根據“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數”的關系圖象，即可得出“摸出黑球”的概率.

【詳解】解：由圖可知，摸出黑球的概率約為0.2

故答案為：0.2.

【點睛】本題主要考查用頻率估計概率，需要注意的是試驗次數要足夠大，次數太少時不能估計概率.

13.2021年是中國共產黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚紅色文化,重走長征路”主題教育活動.據

了解，某展覽中心3月份的參觀人數為10萬人，5月份的參觀人數增加到12.1萬人.設參觀人數的月平均

增長率為x,則可列方程為

【答案】10(1+X)2=12.1

【解析】根據題意可得4月份的參觀人數為10(x+l)人，則5月份的人數為10(1+x)2,根據5月份的參觀

人數增加到12.1萬人，列一元二次方程即可.

【詳解】根據題意設參觀人數的月平均增長率為x,則可列方程為10(1+尤)2=12.1

故答案為：10(1+x)2=12.1

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據增長率問題列一元二次方程是解題的關鍵.

14.如圖，將AABC繞點A順時針旋轉得到AADE,若NDAE=110°,ZB=40°,則/C的度數為

【解析】先根據旋轉性質求得NC4B,再運用三角形內角和定理求解即可.

第5頁共23頁

【詳解】解：將AABC繞點A順時針旋轉得到aADE,ZDAE=110°

..ABAC=ZDAE=U0°

ZB=40。

ZC=180°-ZB-ABAC=180o-40°-110°=30°.

故答案是：30°.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質、三角形內角和定理等知識點，靈活運用旋轉的性質是解答本題的關

鍵.

15.斛是中國古代的一種量器.據《漢書?律歷志》記載：“斛底，方而圜(huan)其外，旁有龐(tiao)

焉”.意思是說：“斛的底面為：正方形外接一個圓，此圓外是一個同心圓”.如圖所示

問題：現有一斛，其底面的外阿邕彳至為兩尺五寸(即2.5尺)，“廓旁”為兩寸五分(即兩同心圓的外圓與

內圓的半號之茬為0.25尺)，則此斛底面的正方形的邊長為尺.

【答案】72

【解析】如圖，根據四邊形CDEF為正方形，可得/D=90°,CD=DE,從而得到CE是直徑，ZECD=45°,然

后利用勾股定理，即可求解.

【詳解】解：如圖

第6頁共23頁

???四邊形CDEF為正方形

AZD=90°,CD=DE

，CE是直徑，ZECD=45°

根據題意得：AB=2.5,CE=2.5—0.25x2=2

CE2=CD2+DE2=2CD-

???CD=72

即此斛底面的正方形的邊長為公尺.

故答案為：5/2

【點睛】本題主要考查了圓內接四邊形，勾股定理，熟練掌握圓內接四邊形的性質，勾股定理是解題的關

鍵.

16.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E,F分別是邊DC,CB上的動點，且始終滿足DE=CF,AE,DF

交于點P,則/APD的度數為；連接CP,線段CP長的最小值為.

【解析】利用“邊角邊”證明4ADE和4DCF全等，根據全等三角形對應角相等可得/DAE=NCDF,然后求

出NAPD=90°,從而得出點P的路徑是一段以AD為直徑的弧，連接AD的中點和C的連線交弧于點P,此

時CP的長度最小，然后根據勾股定理求得QC,即可求得CP的長.

【詳解】解：四邊形ABCD是正方形

AD=CD,ZADE=ZBCD=90°

AD=CD

在△ADE和4DCF中，＜ZADE=/BCD=90°

DE=CF

/.△ADE^ADCF(SAS)

/DAE=ZCDF

VZCDF+ZADF=ZADC=90°

ZADF+ZDAE=90°

ZAPD=90°

由于點P在運動中保持NAPD=90°

點P的路徑是一段以AD為直徑的弧

第7頁共23頁

取AD的中點Q,連接QC,此時CP的長度最小

在RtZ\CQD中，根據勾股定理得，CQ=+QD2=?=小

所以，CP=CO_QP=J^T.

故答案為：90°；V5-1.

【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理，圓周角定理，全等三角形的性質和判定，能綜合運用性質

進行推理是解此題的關鍵.

三、解答題(共68分，17-22題，每題5分，23-26題，每題6分，27-28題，每題7分)

17.解方程：X2-2X-8=0.

【答案】%=一2,%=4.

【解析】利用配方法變形為(X-1>-9=0,再根據平方差公式變形為(x+2)(x-4)=。即可求解.

【詳解】?/—2犬—8=0

(1)2-9=0

(x-l+3)(x-l-3)=0

(x+2)(x-4)=0

則x+2=0或％—4=0

解得玉=-2,々=4.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解法，解題的關鍵是熟練掌握解一元二次方程的幾種方法.

18.如圖，AB為。0的弦，0CLAB于點M,交。0于點C.若。。的半徑為10,0M：MC=3：2,求AB的長.

第8頁共23頁

【解析】連接0A,根據。。的半徑為10,OM：MC=3：2可求出0M的長，由勾股定理求出AM的長，再由垂

徑定理求出AB的長即可.

【詳解】解：如圖，連接0A.

33

0M=—OC=—x10=6.

55

V0C1AB

.?.N0MA=90°,AB=2AM.

在RSAOM中,A0=10,0M=6

；?AM=^AO2-OM2=A/102-62=8.

AAB=2AM=16.

【點睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，掌握垂徑定理的推論是解題的關鍵.

19.下面是小明設計的“作圓的內接等腰直角三角形”的尺規作圖過程.

已知：?0.

求作：。。的內接等腰直角三角形ABC.

①作直徑AB；

第9頁共23頁

②分別以點A,B為圓心，以大于'AB的長為半徑作弧，兩弧交于M點；

2

③作直線M0交。0于點C,D；

④連接AC,BC.

所以AABC就是所求的等腰直角三角形.

根據小明設計的尺規作圖過程，解決下面的問題：

（1）使用直尺和圓規，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：連接MA,MB.

VMA=MB,OA=OB

...MO是AB的垂直平分線.

；.AC=.

VAB是直徑

AZACB=（）（填寫推理依據）.

/.△ABC是等腰直角三角形.

【答案】（1）見解析；（2）BC,90°,直徑所對的圓周角是直角

【解析】（1）過點。任作直線交圓于AB兩點，再作AB的垂直平分線0M,直線M0交00于點C,D；連結

AC、BC即可；

（2）根據線段垂直平分線的判定與性質得出AC=BC,根據圓周角定理得出NACB=90°即可.

【詳解】（1）①作直徑AB；

②分別以點A,B為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于M點；

2

③作直線M0交。。于點C,D；

④連接AC,BC.

所以aABC就是所求的等腰直角三角形.

（2）證明：連接MA,MB.

VMA=MB,OA=OB

??.M0是AB的垂直平分線.

第10頁共23頁

.\AC=BC.

：AB是直徑

AZACB=90°(直徑所對的圓周角是直角).

/.△ABC是等腰直角三角形.

故答案為：BC,90°,直徑所對的圓周角是直角.

【點睛】本題考查尺規作圓內接等腰直角三角形，圓周角定理，線段垂直平分線判定與性質，掌握尺規作

圓內接等腰直角三角形，圓周角定理，線段垂直平分線判定與性質是解題關鍵.

20.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax、2x+c的部分圖象經過點A(0,—3),B(l,0).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)結合函數圖象，直接寫出y<0時，x的取值范圍.

'c=-3

【解析】(1)利用待定系數法求拋物線解析式，將坐標代入解析式得出《c八解方程組即可；

a+2+c=0

(2)先求拋物線與x軸的交點，轉化求方程f+2x—3=0的解，再根據函數y<0,函數圖像位于x軸下

方，在兩根之間即可.

【詳解】解：⑴拋物線y=o?+2x+c經過點A(0,-3),B(l,0)代入坐標得：

c=-3

a+2+c=0

c=-3

解得《「

a=1

所求拋物線的解析式是y=f+2x—3.

(2)當y=0時，%2+2x-3=O

因式分解得：(x+3)(x—1)=0

x4-3=0,x—1=0

第11頁共23頁

/.xt=-3,x2-l

當yVO時，函數圖像在x軸下方

，y<0時，x的取值范圍為

【點睛】本題考查待定系數法求拋物線解析式，利用圖像法解不等式，解一元二次方程，方程組，掌握待

定系數法求拋物線解析式，利用圖像法解不等式，解一元二次方程，方程組是解題關鍵.

21.如圖，在平面直角坐標系xOy中，aOAB的頂點坐標分別為0(0,0),A(5,0),B(4,-3),將aOAB

繞點0順時針旋轉90°得到△0A'B',點A旋轉后的對應點為A'.

(1)畫出旋轉后的圖形△0A'B',并寫出點A'的坐標；

【答案】(1)見解析，4的坐標為。-5)；(2)lm=^

【解析】(1)將點A、B分別繞點0順時針旋轉90。得到其對應點，再與點0首尾順次連接即可;

(2)根據弧長公式求解即可.

【詳解】解：(1)如圖，△OA'B'即為所求.

第12頁共23頁

點A'的坐標為（0,—5）

（2）由題意可求0B=5

,,90%x55

..=----=-7T

BB1802

【點睛】本題主要考查作圖一旋轉變換，解題的關鍵是掌握旋轉變換的性質及弧長公式.

22.2021年6月17日，神舟十二號成功發射，標志著我國載人航天踏上新征程.某學校舉辦航天知識講座，

需要兩名引導員，決定從A,B,C,D四名志愿者中，通過抽簽的方式確定兩人.抽簽規則：將四名志愿者

的名字分別寫在四張完全相同且不透明卡片的正面，把四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，先從中隨

機抽取一張卡片，記下名字，再從剩余的三張卡片中隨機抽取第二張，記下名字.

（1）“A志愿者被選中”是事件（填“隨機”或“不可能”或“必然”）；

（2）用畫樹狀圖或列表的方法求出A,B兩名志愿者回町被選中的概率.

【答案】（1）隨機；（2）見解析J

【解析】（1）根據隨機事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可：

（2）畫樹狀圖，得出所有等可能結果數，再從中找到符合條件的結果數，繼而利用概率公式求解即可.

【詳解】（1）根據隨機事件的概念，A志愿者被選中是隨機事件上

故答案為：隨機.

由上述樹狀圖可知：所有可能出現的結果共有12種，并且每一個結果出現的可能性相同.其中A,B兩名志

愿者同時被選中的有2種.

21

P（A,B兩名志愿者同時被選中）—-=—

126

【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適

合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數與總

情況數之比.

23.已知關于x的一元二次方程/一（&+4?+4%=0.

（1）求證：該方程總有兩個實數根；

（2）若該方程有一個根小于2,求人的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析；（2）k<2.

【解析】（1）根據方程的系數結合根的判別式，可得△=（kY）,NO,由此可證出方程總有兩個實數根；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出力=4,X2=k,根據方程有一根小于2,即可得出k的取值

第13頁共23頁

范圍.

【詳解】(1)vx2-(k+4)x+4k=0

；.△=[一伏+4)]2-4x4Z=氏2-8%+16=伏-4)220

???方程總有兩個實數根.

(2)Vx2-(k+4-)x+4k=0

.?.。-4)。一攵)=0

解得：玉=4x?=k

???該方程有一個根小于2

：.k<2.

【點睛】本題考查了根的判別式、因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程表示出方

程的兩個根，熟練掌握當△》()時.，方程有兩個實數根是解題關鍵.

24.為了改善小區環境，某小區決定在一塊一邊靠墻(墻長25m)的空地上修建一個矩形小花園ABCD,小花

園一邊靠墻，另三邊用總長40m的柵欄圍住，如下圖所示.若設矩形小花園AB邊的長為xm,面積為ym2.

(1)求y與x之間的函數關系式；

(2)當x為何值時，小花園的面積最大？最大面積是多少？

【答案】(1)(1)y=-2x2+40x.(7.5<x<20)；(2)當x為10m時，小花園的面積最大，最大面積

是200m2

【解析】(1)首先根據矩形的性質，由花園的AB邊長為xm,可得BC=(40-2x)m,然后根據矩形面積即可

求得y與x之間的函數關系式，又由墻長25m,即可求得自變量的x的范圍；

(2)用配方法求最大值解答問題.

【詳解】解：(1)?四邊形ABCD是矩形

.*.AB=CD,AD=BC

VAB=xm

.,.BC=(40-2x)m

.,.花園的面積為：y=AB?BC=x?(40-2x)=-2x>40x

V40-2x^25,x+x<40

/.x>7.5,x<20

???7,5<x<20

第14頁共23頁

，y與x之間的函數關系式為:y=-2x2+40x(7.5Wx<20)；

(2);y=-2(x-10)2+200,(7.5<x<20)

當x=10時ym,、=200.

答：當x為10m時，小花園的面積最大，最大面積是200nl2.

【點睛】本題考查了二次函數的應用、一元二次方程的應用，解題的關鍵是明確題意，列出函數解析式.

25.如圖，AC是。0的弦，過點0作0PL0C交AC于點P,在0P的延長線上取點B,使得BA=BP.

(1)求證：AB是。0的切線；

(2)若。。的半徑為4,PC=2jL求線段AB的長.

【答案】(1)見解析；(2)AB=3.

【解析】(1)先根據等腰三角形的性質可得/BPA=NBAP、Z0AC=Z0CA.再運用等量代換說明/0AB=90°,

即可證明結論；

(2)先由勾股定理可得0P=2,設AB=x,則OB=x+2.在Rt^AOB中運用勾股定理列方程解答即可.

【詳解】解：⑴證明：；BA=BP

.\ZBPA=ZBAP.

V0A=0C

.\Z0AC=Z0CA.

V0P10C

AZC0P=90°.

；.N0PC+/0CP=90°.

ZAPB=ZOPC

...NBAP+N0AC=90°.即/OAB=90°

.,.0A1AB.

???0A為半徑

.?.AB為。0的切線;

(2)在RtZ\OPC中，0C=4,PC=2也

：.OP=SJPC2-OC2=2.

設AB=x,則0B=x+2.

第15頁共23頁

在RtaAOB中，x2+42=（x+2）2

；.x=3,即AB=3.

【點睛】本題主要考查了圓的性質、圓的切線證明、勾股定理等知識點，靈活運用相關性質、定理成為解

答本題的關鍵.

26.在平面直角坐標系xOy中，點（1,m）和（2,n）在拋物線），=-x?+法上.

（1）若m=0,求該拋物線的對稱軸；

（2）若mn<0,設拋物線的對稱軸為直線x=f

①直接寫出f的取值范圍；

3

②已知點（一1,力），（一，y）,（3,y）在該拋物線上.比較y"%,丫3的大小，并說明理由.

223

【答案】（1）x=；；（2）①;<r<i；②%<y<%，見解析

【解析】（1）把點（1,m）,m=0,代入拋物線丫=-/+法，利用待定系數法求解解析式，再利用公式求解

拋物線的對稱軸方程；

b1,

（2）①先判斷加，，異號，求解拋物線y=-/+法的對稱軸為：X='^T~^=2b=t，拋物線與x軸的

交點坐標為：（0,0）,僅,0）,根據點（l,m）和（2,n）在拋物線>=-9+法上，則加>0,〃<0,可得1<沙<2,

從而可得答案；②設點（一1,y。關于拋物線的對稱軸％=。的對稱點為（x0，X）,再判斷2</<3.結合

拋物線開口向下，當龍〉/時，y隨x的增大而減小，從而可得答案.

【詳解】解：（1）二?點（1,m）在拋物線>=■上，m=0

-1+6=0.

；?b=l.

所以拋物線為：y=-x2+x,

1

該拋物線的對稱軸為x

2x(-1)2?

(2)①Q，〃〃<0,則m,〃異號

b1,

而拋物線y=-x2+bx的對稱軸為:x=---~---=-b=t,

2?(1)2

令y=0,則-%2+bx=0,

解得：玉=0,々="

所以拋物線與X軸的交點坐標為：（0,0）,（h0）,

點（1,m）和（2,n）在拋物線y=-x?+法上

第16頁共23頁

\m>0,H<0,

\1<Z?<2,

\即

222

②為<X<%?理由如下：

由題意可知，拋物線過原點.

設拋物線與X軸另一交點的橫坐標為X’.

?拋物線經過點(1,m),(2,n),mn<0

.,.l<x<2.

.1,

??一</<1.

2

設點(一1，y.)關于拋物線的對稱軸x=/的對稱點為(為,y).

?.?點(一1,力)在拋物線上

.??點(x(),y)也在拋物線上.

由九o-f=f—(―1)得/=2r+1.

1,

?/—<r<1

2

：.l<2t<2.

.".2<2t+l<3.

2<x0<3.

由題意可知，拋物線開口向下.

當%>/時，y隨x的增大而減小.

33

?.,點(］，yz),(x()，M),(3,y3)在拋物線上，且/<5</<3

-,?%<y<必

【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解拋物線的解析式，拋物線的對稱軸方程，拋物線的對稱性與增

減性，掌握“利用拋物線的增減性判斷二次函數值的大小”是解本題的關鍵.

27.如圖，在等邊三角形ABC中，點P為^ABC內一點，連接AP,BP,CP,將線段AP繞點A順時針旋轉

60°得到AP'，連接PP,BP'.

(1)用等式表示6P與CP的數量關系，并證明；

(2)當NBPC=120°時

①直接寫出/P3P的度數為;

②若M為BC的中點，連接PM,請用等式表示PM與AP的數量關系，并證明.

第17頁共23頁

A

【答案】（1）BP=CP，理由見解析；（2）①60°；②PM=，AP,見解析

2

【解析】（1）根據等邊三角形的性質，可得AB=AC,ZBAC=60°,再由由旋轉可知：

AP^AP1,NP4p'=60°,從而得到ZBAP'=NC4P,可證得上ABP'段AACP,即可求解；

（2）①由NBPC=120°,可得NPBC+NPCB=60°.根據等邊三角形的性質，可得NBAC=60°,從而得

到NABC+/ACB=120°,進而得到NABP+NACP=60°.再由ABP空/CP,可得NABP=NACP,

即可求解；

②延長PM到N,使得NM=PM,連接BN.可先證得△PCMg^NBM.從而得到CP=BN,ZPCM-ZNBM.進而

得至UBN=BP'.根據①可得ZP'BP=6O°，可證得,PNB絲.：PPB,從而得到PN=PP.再由PAP1

為等邊三角形，可得"P=AP.從而得到PN=AP,即可求解.

【詳解】解：（1）BP=CP-理由如下：

在等邊三角形ABC中，AB=AC,ZBAC=60°

由旋轉可知：AP=AP,ZPAP'=60°,

：.乙PAP—NBAP=NBAC-NBAP

即/BAP=ZCAP

在八45。和aACP中

AB=AC

<NBAP'=NCAP

AP'=AP

：.ABP/AACRSAS).

:?BP=CP-

(2)①：/BPC=120°

AZPBC+ZPCB=60°.

在等邊三角形ABC中，/BAC=60°

ZABC+ZACB=120°

；./ABP+/ACP=60°.

???.ABP^ACP.

第18頁共23頁

ZABP^ZACP

：.ZABP+ZABP,=60°.

即NPBP=60°；

②PM=』AP.理由如下：

2

如圖，延長PM到N,使得NM=PM,連接BN.

為BC的中點

在△PCM和△NBM中

PM=NM

<NPMC=NNMB

CM=BM

.,.△PCM^ANBM(SAS).

ACP=BN,ZPCM=ZNBM.

:.BN=BP.

VZBPC=120°

AZPBC+ZPCB=60°.

.,.ZPBC+ZNBM=60".

即NNBP=60°.

VZABC+ZACB=120°

ZABP+ZACP=60°.

，NABP+NABP'=60°.

即NP6P=60。.

：.4PBP=4NBP.

在aRNB和，PPB中

第19頁共23頁

BN=BP'

<NNBP=NP'BP

BP=BP

:,PNB&PPB（SAS）.

：.PN=PP'.

VAP=AP',ZPAP'^60°,

???二am為等邊三角形

:.PP=AP.

...PN=AP

1,八

，PM=-AP.

2

【點睛】本題主要考查了等邊三角形判定和性質，全等三角形的判定和性質，圖形的旋轉，熟練掌握等邊

三角形判定和性質定理，全等三角形的判定和性質定理，圖形的旋轉的性質是解題的關鍵.

28.在平面直角坐標系X。），中，。。的半徑為1,對于直線1和線段AB,給出如下定義：若將線段AB關于

直線1對稱，可以得到。0的弦A'B'（A',B'分別為A,B的對應點），則稱線段AB是。0的關于直線1對

稱的“關聯線段”.例如：在圖1中，線段A8是。0的關于直線1對稱的“關聯線段”.

①在線段4與中，。。的關于直線y=x+2對稱的“關聯線段”是一.；

②若線段紜中，存在。0的關于直線y=—x+m對稱的“關聯線段”，則〃？=；

（2）已知直線曠二一弓x+0S>0）交x軸于點C,在AABC中，AC=3,AB=1,若線段AB是。0的關于直線

y=-曰x+bS>0）對稱的“關聯線段”，直接寫出b的最大值和最小值，以及相應的BC長.

第20頁共23頁

234x

J..J...I

III

?It