2023-2024學(xué)年浙江省桐鄉(xiāng)市數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.如圖，在長方體ABCB—A4CR中，AB=BC=2,CCX=1,則直線AQ和耳。夾角余弦值為（）

A.--B.3

33

「非n行

L-?-------U*------

55

221A

2.已知橢圓C：土+乙=1的左、右焦點分別為耳，居，點尸是橢圓。上的動點，m=\PF],n=\PFA,則一+—

169mn

的最小值為（）

95

A.-B.-

84

「20-37720+3A/7

99

3.等差數(shù)列｛4｝中,a3+as=24,則=()

A.240B.180

C.120D.60

4.某產(chǎn)品的銷售收入為（萬元）是產(chǎn)量x（千臺）的函數(shù)，且函數(shù)解析式為％=17/（龍〉0）,生產(chǎn)成本為（萬元）

是產(chǎn)量X（千臺）的函數(shù)，且函數(shù)解析式為%=2d—%2（%>0）,要使利潤最大，則該產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)（）

A.6千臺B.7千臺

C.8千臺D.9千臺

5.在等差數(shù)列｛%｝中，久=9,且。2，。4，即）構(gòu)成等比數(shù)列，則公差d等于（）

A.OB.3

C.-3D.0或3

YI—2k—1

6.數(shù)列｛q｝中，滿足。"='，攵eN*，設(shè)/5）=4+4+?3++4，-+4”，貝九/^。⑻一”2017）=

〃攵，〃=乙K

（）

A.22017B.22018

C.42017D.42018

22

7.如圖，耳、工分別為橢圓C：T+2r=1（。〉人〉0）的左、右焦點，P為橢圓。上的點，。是線段尸耳上靠近6

ab

的三等分點，PQK為正三角形，則橢圓。的離心率為（）

8.美學(xué)四大構(gòu)件是：史詩、音樂、造型（繪畫、建筑等）和數(shù)學(xué).素描是學(xué)習繪畫的必要一步，它包括明暗素描和結(jié)

構(gòu)素描，而學(xué)習幾何體結(jié)構(gòu)素描是學(xué)習素描最重要的一步.某同學(xué)在畫切面圓柱體（用與圓柱底面不平行的平面去截

圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體，原圓柱的母線被截面所截剩余的部分稱為切面圓柱體的母線）的過程

中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個橢圓，若切面圓柱體的最長母線與最短母線所確定的平面截切面圓柱體得到的截面圖形是有一

個底角為60度的直角梯形，則該橢圓的離心率為（）

ALBV2

A.ij,

22

C.2D.-

23

9.準線方程為y=-2的拋物線的標準方程為（）

A.y2=4xB.y2=8x

C.x2=4yD.x2=8y

10.某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類以及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從

中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測,若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種

數(shù)之和是（）

A.4B.5

C.6D.7

11.若。+，^二%+yeR）,則下列等式一定成立的是（）

1—i

A.x-3^+1=0B.x-3^-1=0

C.x+y=0D.x-y=0

12.已知+16>0”的必要不充分條件是2或x>3"，則實數(shù)。的最小值為（）

A.-2B.-1

C.OD.1

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛4｝是遞增等比數(shù)列，4+%=9,。2。3=8,則數(shù)列｛4｝的前幾項和等于.

14.若勺,％分別是平面外，的法向量，且勺=（1,2,尤），%=（x,x+l,光），則X的值為.

2

15.雙曲線必—21=1上一點p到M（3,o）的距離最小值為.

3

16.一支車隊有10輛車，某天下午依次出發(fā)執(zhí)行運輸任務(wù).第一輛車于14時出發(fā)，以后每間隔10分鐘發(fā)出一輛車.假

設(shè)所有的司機都連續(xù)開車，并都在18時停下來休息.截止到18時，最后一輛車行駛了小時，如果每輛車行駛的

速度都是60km/h,這個車隊各輛車行駛路程之和為千米

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知數(shù)列｛%,｝滿足％=1,??-??+1=?,A+1(neN,)-

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)記2=[—1g%],其中國表示不超過x最大整數(shù)，如[0.6]=0,[1g66]=1.

(1)求4、b[3、"123；

(ii)求數(shù)列也｝的前1000項的和.

18.(12分)已知圓M：x2+y2-4x-6y+12=0,過圓〃外一點P(3,—1)作圓加的兩條切線叢，PB,A,B

為切點，設(shè)。為圓M上的一個動點.

(1)求|P0的取值范圍；

(2)求直線的方程.

19.(12分)已知直線/：y=x+拋物線C:y2=4x.

(1)/與。有公共點，求加的取值范圍；

(2)。是坐標原點，/過C的焦點且與。交于A3兩點，求Q鉆的面積.

22

20.(12分)已知雙曲線C：二一與=1(。＞0)〉0)的漸近線方程為A±2y=0,且過點(2后，指)

ab

(1)求雙曲線。的方程；

(2)過雙曲線的一個焦點作斜率為1的直線/交雙曲線于A,3兩點，求弦長?

2222

21.(12分)已知命題。：“曲線G：二一+當=1表示焦點在x軸上的橢圓”，命題處“曲線C,：，+=—=1

4m-3mm-tm-t-1

表示雙曲線”.

(1)若尸是真命題，求實數(shù)加的取值范圍；

(2)若。是《的必要不充分條件，求實數(shù)?的取值范圍.

22.(10分)已知數(shù)列｛”"｝是一個等差數(shù)列，且“2=1,a5=-5.

⑴求｛飆｝的通項ani

⑵求｛“"｝前〃項和S,的最大值

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】如圖建立空間直角坐標系，分別求出他耳。的坐標，由空間向量夾角公式即可求解.

【詳解】如圖：以。為原點，分別以D4,DC,所在的直線為8,y,z軸建立空間直角坐標系，則。(o,o,o),

4(2,0,0),R(0,0,1),4(2,24)，

所以9=(—2,0,1),B,D=(-2,-2,-l),

/“八nNAD.B.D4-1小

所以…町=阿麗=及e7r彳，

所以直線A2和耳。夾角的余弦值為(，

故選：D.

2、A

【解析】由橢圓的定義可得加+〃=8；

利用基本不等式，若a,b>Q,則a+bN2j石，當且僅當a=b時取等號.

【詳解】根據(jù)橢圓的定義可知，歸耳|+盧區(qū)|=2a=8,即m+〃=8,

因為加24-6〉0，n>4-V7>0.

..141f14、/、1（_n4mA1f__Fn_4m9

所以t一+_=《一+_（加+=d5+—+——>-x5+2------

mnn）加〃J8（VmnJQ

Q]6

當且僅當加g九=每時等號成立.

故選：A

3、C

【解析】由等差數(shù)列的前〃項和公式和性質(zhì)進行求解.

【詳解】由題意，得品）="兇產(chǎn)2=5（4+陽）=5（%+。8）=5><24=120.

故選：C.

4、A

【解析】構(gòu)造利潤函數(shù)，求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，求得最大值處對應(yīng)的自變量即可.

【詳解】設(shè)利潤為y萬元，貝！Jy=%—%=17/一（2/—/）=—2尤3+18/（X>0）,

y'--6x2+36x=-6x（x-6）.

令y'=o,解得x=0（舍去）或x=6,經(jīng)檢驗知x=6既是函數(shù)的極大值點又是函數(shù)的最大值點，.?.應(yīng)生產(chǎn)6千臺

該產(chǎn)品.

故選：A

【點睛】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某區(qū)間上最值的規(guī)律：

⑴若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減，/（?）與/3）一個為最大值，一個為最小值

⑵若函數(shù)在閉區(qū)間切上有極值，要先求出切上的極值，與/3）,/出）比較，最大的是最大值，最小的是最小

值，可列表完成

⑶函數(shù)Ax）在區(qū)間（a,刀上有唯一一個極值點，這個極值點就是最大（或小）值點，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用中經(jīng)常用

到

5、D

【解析】根據(jù)%=9,且生，。4嗎0構(gòu)成等比數(shù)列，利用“q,d”求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為乙

因為%=9,且％，%，Io構(gòu)成等比數(shù)列，

所以q+3d=9,（q+d）（%+9d）=81,

解得d=0,d=3,

故選：D

6、C

【解析】由遞推公式可歸納得/5)—/(〃-1)=4日，由此可以求出“2018)—“2017)的值

n,n=2k—l

【詳解】因為?=<〃+a?_1

/()=.+4+4+2+ay,,

ak,n=2k

所以=(?1+%+%+%)_(?+%)=%+/=3+1=4,

/(3)—f(2)=4/5+/+%+%=5+3+7+1=4~,

“4)-"3)=%+%)++%=9+5+11+3+13+7+15+1=43,

L

Silt/(2018)-/(2017)=42017

故選C

【點睛】本題主要考查利用數(shù)列的遞推式求值和歸納推理思想的應(yīng)用，意在考查學(xué)生合情推理的意識和數(shù)學(xué)建模能力

7、D

【解析】根據(jù)橢圓定義及正三角形的性質(zhì)可得到|尸片|\|尸6再在中運用余弦定理得到。、c的關(guān)系，進而

求得橢圓的離心率

【詳解】由橢圓的定義知，忸￡|+|?閭=2a,則5忱@+|尸用=2a,

因PQK為正三角形，所以歸用=￡,|「周=、

在月中，由余弦定理得4c2=更“2+—a2-2x—x—xcos60°=—a~,

25255525

則02=工，；.e=也，

255

故選：D

【點睛】本題考查橢圓的離心率的求解，考查考生的邏輯推理能力及運算求解能力，屬于中等題.

8、A

【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為「，由題意知，D￡=A5=2r,橢圓的長軸長CD=生巨r(nóng),短軸長為2廠，可以求出七瓦c

3

的值，即可得離心率.

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為乙依題意知，最長母線與最短母線所在截面如圖所示

DE=AB=2r

從而8=磊=半「

因此在橢圓中長軸長2a=拽廠

3

短軸長2b=2r,

227242212V3

c=a—b=—r—r=—r=>c=—r

333

c1

a2

故選：A

【點睛】本題主要考查了橢圓的定義和橢圓離心力的求解，屬于基礎(chǔ)題.

9、D

【解析】必二⑷^的準線方程為了二—^

【詳解】必=8丁的準線方程為了=-2.

故選：D.

10、C

【解析】按照分層抽樣的定義進行抽取.

【詳解】按照分層抽樣的定義有，糧食類：植物油類：動物性食品類：果蔬類=4:1:3:2,抽20個出來,

則糧食類8個，植物油類2個，動物性食品類6個，果蔬類4個,

則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是6個.

故選：C.

11、D

【解析】利用復(fù)數(shù)除法運算和復(fù)數(shù)相等可用。表示出乂丁，進而得到尤,y之間關(guān)系.

1+ai(l+az)(l+z)1—〃+(〃+1)力〃+11+1..

【詳解】a+---=a+\8—^=。+------------=—：——I——：—I=x+yi,

1.(f)222

tz+1。+1.c

：.x=----,y=-----,貝!Jx-y=O.

2.2

故選：D.

12、A

4-a>3

【解析】首先解不等式（五+。）2-16>。得到%>4-a或根據(jù)題意得到“°,再解不等式組即可.

-4-tz<-2

【詳解】（x+a）~—16>0,解得％>4—a或x<-4—a,

因為“（x+a）?-16>0”的必要不充分條件是“xW—2或％之3”,

4—tz>3

所以</^-2<a<l.

-4-a<-2

實數(shù)。的最小值為-2.

故選：A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2n-l

a,+a,=9

【解析】由題意，〈。，解得q=l,%=8或者弓=8,4=1,

a,?%=%?%=&

而數(shù)列｛??）是遞增的等比數(shù)列，所以q=L4=8,

即/=幺=8,所以q=2,

%

因而數(shù)列｛4｝的前幾項和s“=*：）=m=2"-1,故答案為2"-1.

考點：1.等比數(shù)列的性質(zhì)；2.等比數(shù)列的前幾項和公式.

14、一1或一2

【解析】由題可得々?%=%+2（%+1）+%2=0,即求.

【詳解】依題意，“,巧=x+2（x+l）+%2=0,解得工=一1或%=一2.

故答案為：x=—1或％=-2.

15、2

【解析】設(shè)出點尸的坐標，利用兩點間距離公式結(jié)合二次函數(shù)求出最小值即可作答.

【詳解】設(shè)尸(%,%),則焉-/l,即y；=3焉—3,

于是得IPM|=J(%0—3)2+y；=：4x；—6/+6=14(X°_])2+1，而1%但1,則當/=1時，|PM|min=2,

2

所以雙曲線Y—2L=i上一點尸到“(3,0)的距離最小值為2.

3

故答案為：2

16、①.2.5##°##2工②.1950

22

【解析】通過分析，求出最后一輛車的出發(fā)時間，從而求出最后一輛車的行駛時間，這10輛車的行駛路程可以看作等

差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式進行求解.

【詳解】因為14+3x9=15.5,所以最后一輛車出發(fā)時間為15時30分，則最后一輛車行駛時間為18-15.5=2.5小時,

60

第一輛車行程為(18—14)x60=240km,且從第二輛車開始，每輛車都比前一輛少走/x60=10km,這10輛車的

行駛路程可以看作首項為240,公差為-10的等差數(shù)列，則10輛車的行程路程之和為

10x9

%=240x10+(—x(—10)=1950(km).

故答案為：2.5,1950

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)a=—；

nn

(2)(i)4=0,%=1,423=2；(ii)1893.

【解析】(1)推導(dǎo)出數(shù)列,為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，即可求得數(shù)列｛%,｝的通項公式；

(2)(i)利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合題中定義可求得乙、%3、偽23的值；

(ii)分別解不等式0Wlg〃<l、lWlg〃<2、2<lgn<3,結(jié)合題中定義可求得數(shù)列｛2｝的前1000項的和.

【小問1詳解】

解：因為#1,—則j2i，可得%=j

——(23=—d39可得。3=]，以此類推可知，對任意的ZlwN*，W。.

由4-%=6N*),變形為=J一;j

11,

???一是一個以1為公差的等差數(shù)列，且首項為一=1,

an\4

所以，~=l+(n-l)-l=n,因此，an

ann

【小問2詳解】

解：(i)bn=[~lg,an]=[lgn\,則4=[1gl]=[0]=0,

10<23<100,貝！|l=lgl0<lg23<lgl00=2,故打3=[lg23]=l,

100<123<1000,則2=lgl00<lgl23<lgl000=3,故夠=[lgl23]=2；

(ii)lg1000=3,當041g九<1時,即當1W〃<1O時，bn=[lgn]=0,

當lWlg〃<2時，即當10W〃<100時，Z??=[lg?]=l,

當2Wlg〃<3時，即當100W〃<1000時，/??=[lgw]=2,

因此，數(shù)歹(){%}的前1000項的和為0x9+1x90+2x900+3=1893.

18、(1)[717-1,^/17+1]

(2)x—4y+9=0

【解析】(1)求出尸M,就可以求尸。的范圍；

⑵使用待定系數(shù)法求出切線的方程，再求求切點的坐標，從而可以求切點的連線的方程.

【小問1詳解】

如下圖所示，因為圓M的方程可化為(％-2)2+&-3)2=1,

所以圓心M(2,3),半徑廠=1,

且PM=J(2—3)2+(3+1)2=V17，

所以|PQL=MT，pQL=g+i

故|P0取值范圍為[而'-1,后+1]

【小問2詳解】

可知切線K4,收中至少一條的斜率存在，設(shè)為左，則此切線為丁+1=左(尤-3)

即kx~y~3k—1=0,

由圓心M到此切線的距離等于半徑廠，即

15

所以兩條切線的方程為y+l=3）和x=3>

8

1943

于是由聯(lián)立方程組得兩切點的坐標為(3,3)和

17，17

"-3

171

所以右8=而—=-

17-

（》一3）即x-4y+9=0

⑵2日

【解析】(1)聯(lián)立直線/與拋物線C的方程消去x,借助判別式建立不等式求解作答.

⑵利用⑴中信息求出點A,8縱坐標差的絕對值即可計算作答.

【小問1詳解】

y=x+m.

依題意，由〈2，消去工并整理得：y2-4y+4m^0,

[K=4X

因/與C有公共點，則A=16-16m20,解得：m￡l,

所以加的取值范圍是相￡1.

【小問2詳解】

拋物線C：V=4x的焦點尸(1,0),貝！|加=-1,設(shè)4和％),8(々,％),

由(1)知，%+%=4,%為=4根=一4，則|%-%1=J(X+=4L，

因此，SOAB=^\OF\-\yi-y2\=2y/2,

所以。鉆的面積2立.

r2v2

20、（1）——匕=1；

43

（2）|蜴=24.

【解析】（1）根據(jù)雙曲線漸近線斜率、雙曲線過點（20,石）可構(gòu)造方程求得由此可得雙曲線方程;

（2）由雙曲線方程可得焦點坐標，由此可得A3方程，與雙曲線方程聯(lián)立后，利用弦長公式可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

由雙曲線方程知：漸近線斜