2023屆高三二輪復習專題突破

抽象函數性質問題

一、單選題(共0分)

1.已知函數“X)的定義域為R，"5)=4,l(x+3)是偶函數，任意Λ,,X,∈[3,4W)滿足“xj-∕(xj>0,

XT2

則不等式/(3x-l)<4的解集為()

?-停3)b?[8,1卜(2,+∞)

C.(2,3)D?(|，2)

【答案】D

【分析】由/(x+3)是偶函數，得函數圖像關于直線x=3對稱，結合單調性求解不等式即可得到結果.

【詳解】因為“x+3)是偶函數，所以/(x)的圖像關于直線x=3對稱，

則"5)=/(1)=4,

因為任意%∈[3,+∞)滿足二㈤>0,

所以“x)在[3,+∞)上單調遞增，在(《,3)上單調遞減，

故/(3x-l)<4等價于—<5,解得∣<x<2.

故選：D

2.已知函數f(x)及其導函數r(x)的定義域均為R,若滿足/(x)+"2-X)=2,且尸(x)為奇函數，則

下列選項中一定成立的是()

A./(-1)=1B./(O)=OC./(l)=0D./(3)=-l

【答案】A

【分析】根據題意可得函數/(x)的奇偶性，然后令x=l,即可求得/(1),從而得到結果.

【詳解】因為廣(X)為奇函數，則—r(—χ)=r(χ),即/(—χ)=∕(χ),所以“X)為偶函數，

由/(x)+∕(2r)=2,得/⑴+f(l)=2,即J(I)=Z?(—1)=1,故A正確,C錯誤

令x=T,貝U∕(T)+∕(3)=2,貝∣J∕(3)=1,故D錯誤；

令X=O,則f(0)+∕(2)=2,故f(0)不一定等于0.故B錯誤.

故選:A

3.定義在(0,4)上的函數/(》)滿足/(2-力=/(2+6，0<.2時/(犬)=辰|,若/(x)>依的解集為

{Nθ<x<α或b<x<4},其中“<〃，則實數Z的取值范圍為()

(ln2AΓln2>}「11

A.I—,+∞IB.-^-,+∞IC.I-,+∞ID.-,+∞I

【答案】B

【分析】根據題意可知：函數，(X)關于x=2對稱，作出函數Ax)在區間(0,4)上的圖象，然后根據函數的

圖象和不等式的解集確定實數A的取值范圍即可.

【詳解】因為函數“X)滿足/(2-x)="2+x),所以函數因X)關于x=2對稱,

作出函數/(x)在區間(0,4)上的圖象，又因為不等式/(x)>質的解集為{x∣0<x<α或b<x<4},其中α<b,

根據圖象可知：

當直線y=依過點(2,In2)時為臨界狀態，此時％=坐，

2

故要使不等式"x)>依的解集為{x∣O<x<α或6<x<4},其中α<"則&2殍，

故選：B.

4.已知定義在R上的偶函數/(x)滿足小-?∣)-d*J=0J(2022)j若f(x)>f'(-x),則不等式

/(x+2)的解集為()

e

A.(t+∞)B.(fl)

C.(-∞,3)D.(3,+∞)

【答案】A

【分析】構造g(x)=e'∕(x),利用已知可得函數的單調性，利用周期性求出g⑶=e3∕(3)=e2,化簡已知

不等式，利用單調性得出解集.

【詳解】/(x)是偶函數，??j(x)=f(τ),則r(x)f(τ),即:(力是奇函數,

由/(x)>∕'(r)=-r(x),可得AX)+r(x)>O,構造g(x)=e"(x),則g(x)單調遞增;

/(x-∣)=,r-T),r?∕(x)=∕(r+3)=∕(r),即f(χ)的周期為3,則/(2022)="3)=：,即

2

e7(2022)=e-7(3)=ei不等式/(x+2)>?可化簡為e"2∕(χ+2)>e2,即g(x+2)>g(3),由單調性可

得x+2>3,解得x>l

故選：A

5.已知函數/(x),g(x)的定義域均為Rj(X)為偶函數，且F(X)+g(2-x)=l,g(x)-/(x-4)=3,下列

說法正確的有()

A.函數g(x)的圖象關于X=I對稱

B.函數〃x)的圖象關于(-1,-2)對稱

C.函數f(x)是以4為周期的周期函數

D.函數g(x)是以6為周期的周期函數

【答案】C

【分析】根據題中所給條件可判斷g")關于x=2和x=4對稱，進而得g(x)的周期性，結合g(x)的周期性

和/(X)的奇偶性即可判斷f(X)的周期性，結合選項即可逐一求解.

【詳解】由/(x)+g(2-x)=l得f(-x)+g(2+x)=l,又f(x)為偶函數，所以

/(x)^∕?(-x),進而可得g(2r)=g(2+x);因此可得g(x)的圖象關于x=2對稱，

又g(x)-4)=3可得g(8-x)-"4-x)=3,結合f(x)為偶函數，所以g(x)=g(8-x),故g(x)的

圖象關于χ=4對稱，

因此g(x)=g("x)=g(4+x),所以g(x)是以4為周期的周期，故D錯誤，

由于/(x-2)=g(x+2)-3=g(2—x)—3=l_/(x)_3="x)=-"x-2)-2,所以/(r)+"x-2)=-2

K∕(X)=-∕(X-2)-2=-[-∕(X-4)-2]-2=∕(X-4),

因此/(x)的圖象關于(-1,-1)對稱，函數/(x)是以4為周期的周期函數，故C正確，B錯誤，

根據/(x)是以4為周期的周期函數，由〃x)+g(2—x)=l,g(x)—f(x-4)=3得g(x)+g(2—x)=4,所

以數g(x)的圖象關于(1,2)對稱，故A錯誤，

故選：C

6.已知函數fS)及其導函數f(x)的定義域均為R,記g(x)=∕(l+x)-x,若/(x)為奇函數，g(x)為偶

函數，貝∣J/'(2023)=()

A.2021B.2022C.2023D.2024

【答案】C

【分析】先根據g(χ)為偶函數得到/(i+幻-χ=f(i-χ)+χ,兩邊取X的導數可得：求

∕,d+x)÷/(1-X)=2,進而得到/(I)=1,在根據導函數/(x)為奇函數可得到導函數/'(X)的遞推公

∕?'(x+2)=/'(X)+2,然后根據遞推公式即可求解.

【詳解】；g(x)為偶函數，.?.g(χ)=g(-χ),即/(l+χ)-χ=∕(l-χ)+χ,兩邊同時對X求導得

f'(l+X)-I=-√'(l-x)+l,

即/'(l+x)+∕'(I-X)=2,令χ=0,則，(1)=1,

?.?f(χ)為奇函數，二/'(-W=-Γ(χ),

又f'(l+x)+∕,(l-x)=2,BP∕,ω=2-∕,(2-x),

聯立f?-x)=一「⑶得一/'(-X)=2-f'(2-X),即f'(x+2)=f'(x)+2,

：.∕,(2023)=∕,(2×1011+1)=∕,(l)+2×1011=2023,

故選：C.

115

7.已知函數/(x)的定義域為R,且〃x+l)+〃x—l)=2,∕(x+2)為偶函數,若〃0)=2,則ZyW=()

Jt=I

A.116B.115C.114D.113

【答案】C

【分析】由“x+l)+"x-l)=2可得函數〃x)的周期為4,

再結合/(x+2)為偶函數，可得/(x)也為偶函數，通過周期性與對稱性即可求解.

【詳解】由/(x+l)+∕(x-l)=2,得/(x+2)+∕(x)=2,

即/(x+2)=2-

所以/(x+4)=2-/(x+2)=2-[2-"x)]=∕(x),

所以函數/(x)的周期為4,

又/(x+2)為偶函數，

則"-x+2)=∕(x+2),

所以/(x)=∕(4-X)=/(-x),

所以函數/(x)也為偶函數，

X∕(x+l)+∕(x-l)=2,

所以”1)口3)=2,/(2)+∕(4)=2,

所以/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=4,

又/(l)+∕(-l)=2,即2/(1)=2,所以/(1)=1,

又“0)+/(2)=2,/(0)=2,

.?∕2)=0,

115

所以X"%)=["1)+∕(2)+"3)+”4)]X28+”1)+∕(2)+∕(3)=4X28+2+0=114

A=I

故選：C.

8.已知函數/(x),g(x)的定義域均為R,?/(x)÷g(2-%)=5,g(x)-/(χ-4)=7.若y=g(x)的圖像關于

直線x=2對稱，g⑵=4,則￡/(%)=()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

【答案】D

【分析】根據對稱性和已知條件得到〃x)+f(x—2)=—2,從而得到/(3)+/(5)++/(21)=-10,

/(4)+/(6)++/(22)=70,然后根據條件得到了(2)的值，再由題意得到g⑶=6從而得到/(1)的值

即可求解.

【詳解】因為y=g(χ)的圖像關于直線χ=2對稱，

所以g(2-x)=g(x+2),

因為g(x)—f(x-4)=7,所以g(x+2)-/(x-2)=7,即g(x+2)=7+f(x-2),

因為/(x)+g(2-x)=5,所以/(x)+g(x+2)=5,

代入得/(X)+[7+/(X-2)]=5,即/(x)+/(x-2)=-2,

所以八3)+/(5)++/⑵)=(-2)x5=-10,

/(4)+/(6)++∕(22)=(-2)×5=-10.

因為/(x)+g(2-x)=5,所以/(0)+g(2)=5,即"0)=1,所以/⑵=—2—/⑼=-3.

因為g(x)-∕(x-4)=7,所以g(x+4)-∕(x)=7,又因為/(x)+g(2-x)=5,

聯立得，g(2r)+g(尤+4)=12,

所以丫=8。)的圖像關于點(3,6)中心對稱，因為函數g(x)的定義域為R,

所以g(3)=6

因為/(x)+g(x+2)=5,所以〃1)=5-g(3)=T.

22

所以E∕W=∕(l)+∕(2)+[43)+∕(5)++/(21)]+[∕(4)+∕(6)++∕(22)]=-l-3-10-10=-24.

k=l

故選：D

【點睛】含有對稱軸或對稱中心的問題往往條件比較隱蔽，考生需要根據已知條件進行恰當的轉化，然后

得到所需的一些數值或關系式從而解題.

二、填空題(共0分)

9.函數f(x)及其導函數:(x)定義域均為R,且/(3x+2)是偶函數，記g(x)=r(x),g(x+l)也是偶函

數，貝IJr(2022)=__________.

【答案】0

【分析】根據函數的奇偶性得到g(x)=-g(τ+4),根據導函數的奇偶性得到g(x)=g(-x+2),確定函數

的周期為4,得到廣(2022)=8(2022)=8出，計算得到答案.

【詳解】/(3x+2)是偶函數，/(3x+2)=∕(-3x+2),

兩邊求導得至∣J3∕'(3x+2)=-3f'(-3x+2),即g(3x+2)=-g(-3x+2),

即g(x)=-g(—x+4),取x=2,g(2)=-g(2),g(2)=0,

g(x+l)也是偶函數，故g(x+l)=g(-x+l),即g(x)=g(-x+2),

故一g(τ+4)=g(-x+2),即g(x)=-g(x+2),g(x+2)=-g(x+4).

故g(x)=g(x+4),4是函數的一個周期，r(2()22)=g(2022)=g(2)=0?

故答案為：0

16

10.已知/(X)是定義域為R的函數，f(x-2)為奇函數，/(2x-l)為偶函數，則Wy⑴=___.

/=0

【答案】O

【分析】依題意可得了(X)關于直線X=-I對稱、關于點(-2,0)對稱且時周期為4的周期函數，再求出

/(l)+∕(3)=0,/⑵+/(4)=0,即可得解.

【詳解】解：因為/(2x-D為偶函數，所以A-2x-l)=∕(2xT),所以∕?(r-l)=∕?(χ-1),即

f(-x-2)=f(x),則F(X)關于直線不=-1對稱,

因為/(x-2)為奇函數，所以/(x-2)=-Λ-x-2),所以/(x)的圖象關于點(一2,0)對稱，

所以/(x—2)=—/(—x—2)=—/(x),貝U/(x—4)=—/(x-2)="x),所以/(x)是周期為4的周期函數，

由/(x—2)=—/(r—2)=-∕?(4-x-2)=—/(2-x),BP∕(x)=-∕(-x),所以/(x)為奇函數，

又/(x)是定義域為R的函數，所以/(0)=0,

在f(x-2)=-f(x)中,令戶-1,所以〃-3)=-/(—1)=/⑴=—"3),

所以"l)+"3)=0,

在/(x—2)=/(T)中，令χ=-2,所以“Y)=/(2)=-44),

所以J?(2)+∕(4)=0,

所以/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=0,

所以f∕(i)="0)+4[∕(l)+"2)+∕(3)+∕(4)]=0.

/=O

故答案為：0

2()23

11.設g(x)是定義在R上的不恒為零的函數，且滿足g(x+l)為偶函數，g(x+2)為奇函數，則￡g(&)=

Jt=I

【答案】0

【分析】根據函數的奇偶性可知函數g(x)是周期為4的函數，然后利用周期性求解即可

【詳解】由g(x+l)為偶函數，則函數g(χ)關于直線X=I對稱，

則有g(r)=g(2+x);

由函數g(x+2)為奇函數，則函數g(x)關于(2,0)對稱，

則一g(r)=g(4+x),

所以g(4+x)=-g(x+2),

設t=x+2,則g(f+2)=-g(f),從而函數g(x)是周期為4的函數，

又由函數g(x)關于(2,0)對稱，可得g(l)+g⑶=0且g⑵=0,

由g(2)=-g⑼=0可得g(0)=0,所以g(4)=0,

因為g⑴+g(2)+g⑶+g(4)=0,

2Q23

所以Sg(Z)=g⑴+g(2)+L+g(2023)=505*[g(l)+g(2)+g⑶+g(4)]+g(l)+g(2)+g⑶

A=I

=505×0+0=0,

故答案為：0

三、多選題(共0分)

12.已知函數〃力=2々，則()

X-l

A.“X)的定義域是(-∞,1)(1,m)B.的值域是R

C./(X+1)是奇函數D.4X)在(-8,1)一(1,”)上單調遞減

【答案】AC

【分析】逐個判斷每個選項.

【詳解】對于A項，分式中分母不等于0,所以x-lrO,解得：x≠l

所以"x)的定義域是(-∞,1)(1,+8)；故A項正確；

對于B項，的值域是(-,O)(0,3),故B項錯誤；

z222

對于C項，/(Λ+1)=-,令g(x)=—，定義域為(T?,o)U(O,*?),g(-X)=--=-g(x)所以g(x)是奇函

XXX

數，即/(χ+l)是奇函數，故C項正確；

對于D項，多個單調區間可用逗號(或“和”)隔開，所以在(-∞,1),。,+8)上單調遞減，在

(→>,1)(l,+∞)上不是單調遞減的，故D項錯誤.

故選：AC.

13.已知函數“X)及其導函數r(x)的定義域均為R,記g(x)=r(x),若/(3-x),g(∣-2x)均為奇函

數，貝IJ()

A./(3)=OB.g(3)=O

D.g⑸=-g⑻

【答案】AD

【分析】對A,根據定義域為R的奇函數的滿足在x=()處的值為0判斷即可;對B,根據題意不能求出g⑶

的值；對C,根據奇函數的性質可得F(I)佃的關系；對D,根據/(3-X)為奇函數推導可得

g(3-x)=g(3+x),再g(∣-2x)為奇函數可得g(χ)的周期為2,再令X=；可得g

進而根據周期性判斷即可

【詳解】對A,因為“3-x)為奇函數，且定義域為R,故"3-0)=0,即"3)=0,故A正確;

對B,g(g-2x)為奇函數貝l]g(∣)=0,且無條件推出g(3)的值，故B錯誤;

對C因為〃3-力為奇函數,故小—；)=—小+；)即/圖=一佃，

故C錯誤:

對D,因為〃3—x)為奇函數，則"3-x)=-∕(3+x),?[∕{3-x)],=[-∕(3+x)]?故

-f,(3-x)=-f'(3+x),所以g(3τ)=g(3+x),即g(x)關于x=3對稱.

又g(∣-2x)為奇函數，故g(x)關于6,0)對稱，結合g(x)關于x=3對稱有

gQ卜YMm即g(∣τ)&g(}τ)?

故g(x)=-g(x+l),又g(x+l)=-g(x+2),所以g(x)=g(x+2),即g(x)的周期為2.

=即g(2)=-g(3),所以g(2+2x3)=-g(3+2),即g(5)=-g⑻，故D正確;

故選：AD

14.已知函數.f(x)是奇函數，/(x+l)是偶函數，并且當Xe(0,1]J(X)=I-2》，則下列結論正確的是()

A./(x)在(-3,-2)上為減函數

B./(x)在(g,∣)上〃力＜0

Cf(X)在[L2]上為增函數

D?/(x)關于x=3對稱

【答案】BD

【分析】由已知可得/(x)的圖象關于(0,0)中心對稱，且關于x=l軸對稱，周期為4,則可依次判斷每個

選項正誤.

【詳解】因為“X)是奇函數，/(X+1)是偶函數，

所以/(T)=-/U),/(χ+l)=∕(-χ+l),

所以f(X+4)=f(x+3+1)=f(-x-3+1)=/(-%-2)=-/(x+2),

又/(x+2)=∕U+l+l)=/(-X-I+1)=f(-x)=-/(X),

所以“x+4)=f(x),

所以函數/(x)的周期為4,其圖象關于x=l軸對稱，

當x∈(0,l］時，f(x)=?-2x,則函數/(x)在x∈(O,l)上遞減,

根據對稱性可得”X)在X∈(1,2)單調遞增，

再結合周期性可得/(x)在(-3,-2)上為增函數，故A錯誤，

因為當x∈(0,l］時，/(x)=l-2x,

/(x)在小于0,根據對稱性可得/(x)在小于0,故B正確；

/(x)的圖象關于x=l軸對稱，所以j［g)=∕(g)=O,/(2)=∕(0)=0,

所以/(x)不可能在口，2］上為增函數，故C錯誤；

因為/(τ)=-√(χ),/(χ+l)=∕(-χ+l),

所以/(T-X)=-/(x+D=-/(-X+D=∕(-I+x)

所以“χ)的圖象關于X=-I軸對稱，

因為"x)的周期為4,所以"x)關于x=3對稱，故D正確.

故選：BD.

15.已知函數g(x)是定義在R上的奇函數，且g(x+2)=g(x-2).若x∈［0,2］時，g(χ)=j2x-Y,則下

列結論正確的有()

A.函數g(x)的值域為［T1］

B.函數g(x)圖像關于直線x=l對稱

C.當實數k=±?∣時，關于X的方程Ig(X)I+g(∣H)=丘恰有三個不同實數根

D.當實數ke一船筆卜哈用時，關于X的方程Ig(X)I+g(W)=日恰有四個不同實根

【答案】ABD

【分析】根據已知利用周期性得到函數的圖像，數形結合判斷方程根的個數即可求得人的范圍進行判斷.

【詳解】解析：由g(x+2)=g(x-2),函數g(x)周期為4.

2

又g(x)為奇函數，而xe[0,2]時，g(λ)=?∣2x-x,

即y=4三7,變形整理得(x—iy+y2=ι(y≥o).

可得函數g(“圖像：

片

1

θs,???)ɑ.*

-1

由圖像可知，函數g(x)的值域為卜1,1]且關于X=I對稱，

選項AsB正確.

記〃X)=Ig(X)I+g(∣χ∣),

由/(T)=Ig(T)I+(H)=HWl+g(∣-χl)=∣.?W∣+s(IXI)=?(?),

所以/(X)為偶函數,當X∈[O,2]時，f(x)=2g(x),當x∈[2,4]時,F(X)=0,

/(X)圖像為：

W

2

△

~-4-Dk02468IOx

又方程Ig(X)I+g(∣x∣)=心有四個不同的根,當x≥0時,

即直線V=點與函數y=2g(x),xe[4kAk+2],壯Z有四個交點，

即直線y=?∣x與函數y=g(x),xe[4k,4k+2],ZeZ有四個交點，

數形結合可得又因為/(x)為偶函數，

所以%€-骼普，器)，同時左=±骼時恰有一個交點，

選項C錯誤，D正確.

故選：ABD

16.已知函數y=f(x)的定義域為R,函數卜=/@+1)的圖象關于點(2,2)對稱，函數y=∕(2x)的圖象關

于直線X=I對稱，下列結論正確的有()

A./(2)=2B./(3)=2C./(l)+∕(3)=4D.嗎)

【答案】BCD

【分析】根據給定條件，探討函數y于(χ)的性質，再逐項判斷作答.

【詳解】函數yj(χ)的定義域為R,由函數丫=/(犬+1)的圖象關于點(2,2)對稱，得y=∕?(χ)的圖象關于

點(3,2)對稱，

則有f(6—x)?f(x)=4,取χ=3得43)=2,B正確;

由函數y="2x)的圖象關于直線X=I對稱，得f［2(2-x)］"(2x),則有/(4-x)力X),函數產/(x)的

圖象關于直線x=2對稱，

因此八1)=/(3),有/(1)+/(3)=4,C正確;

于是得/(6—x)V(4-x)=4,即f(x+2)=4-f(x),有/(χ+4)=4-/(x+2H(X),取X=V得,

D正確；

函數8(》)=8$事》+2的圖象關于點(3,2)對稱，且關于直線戶2對稱，而g(2)=l,A不正確.

故選：BCD

17.已知奇函數/(x)在R上可導，其導函數為了'(X),且J(I)-f(l+x)+2x=0恒成立,若/(x)在［0』

單調遞增，則()

A."x)在［1,2］上單調遞減B./(O)=O

C./(2022)=2022D.∕,(2O23)=l

【答案】BCD

【分析】根據函數的的對稱性和周期性，以及函數的導數的相關性質，逐個選項進行驗證即可.

【詳解】方法一：

對于A,若/(x)=x,符合題意，故錯誤，

對于B,因已知奇函數f(x)在R上可導，所以/(0)=0,故正確，

對于C和D,設g(x)="x)-X,則g(x)為R上可導的奇函數,g(0)=0,

由題意“Jχ)+χ7=∕(l+χ)τ-χ,得g(l-χ)=g(l+χ),g(χ)關于直線X=］對稱，

易得奇函數g(x)的一個周期為4,g(2022)=g⑵=g(0)=0,故C正確，

由對稱性可知，g(x)關于直線x=-1對稱，進而可得g'(T)=0,(其證明過程見備注)

且g'(x)的一個周期為4,所以g<2023)=g<T)=0,故D正確.

備注：g(l-x)=g(l+x),即-g(l-x)=-g(l+x),所以g(-l+x)=g(-I-x),

等式兩邊對X求導得，√(-l+x)=-g,(-l-x),

令X=0,得g'(T)=-g'(T),所以g'(T)=0?

方法二：

對于A,若/(x)=x,符合題意，故錯誤，

對于B,因已知奇函數/(x)在R上可導，所以/(0)=0,故正確，

對于C,將/(1一同一/(1+力+2》=0中的工代換為；(：+1,

得/(T)-"2+X)+2X+2=0,所以"X+2)+∕(X)=2X+2,

可得/(x+4)+∕(x+2)=2x+6,兩式相減得，“x+4)—"x)=4,

貝IJ”6)—/(2)=4,/(10)-∕(6)=4......../(2022)-∕(2018)=4,

疊加得/(2022)-/⑵=2020,

又由/(x+2)+/(x)=2x+2,得”2)=-/(0)+2=2,

所以/(2022)=/(2)+2020=2022,故正確，

對于D,將/(I)-/(l+x)+2x=0的兩邊對X求導，得-/(l)-r(l+x)+2=0,

令X=O得，∕,(1)=1,

將-F(T)=F(X)的兩邊對X求導,得f'(r)=r(χ),所以/'(T)=I,

將/(χ+4)-"x)=4的兩邊對X求導，得r(x+4)=r(χ)，

所以r(2023)=r(2019)=…=∕(T)=1,故正確.

故選：BCD

18.已知函數y=F(X-I)的圖象關于直線戶-1對稱，且對VxeR有/(x)+∕(-x)=4.當x∈(0,2］時,

f(x)=X+2,則下列說法正確的是()

A./(x)的最小正周期是8B./(x)的最大值為5

C./(2022)=0D./(x+2)為偶函數

【答案】ACD

【分析】利用對稱關系以及恒等式對等式進行變形，可以得到函數/U)的周期，即可判斷選項A,由上述

過程中可得/(x+2)=/(-x+2),即可判斷選項D,求出函數/*)在[-2,2]上的函數解析式，利用函數

y=/(x)的圖象關于直線X=-2對稱，研究一個周期中的最大值，即可判斷選項B,利用函數的周期性以

及對稱性求解/(2022),即可判斷選項C.

【詳解】解：因為函數y=∕(χ-D的圖象關于直線X=-I對稱，

故/O)的圖象關于直線X=-2對稱，

因為對VXeR有f(x)+/(-%)=4,

所以函數y=/(X)的圖象關于點(0,2)成中心對稱，

所以/(-2+X+2)=f[-2-(x+2)],BP/(x)=/(-4-X)=4-f(-x),

X∕(-4-X)+∕(Λ+4)=4,即/(T-X)=4-∕(X+4),

所以/(x+4)=/(-X),所以∕l(x+4)+4]=∕lTx+4)]=∕(x),

所以f(x+8)=∕(x),所以f(x)的周期為8,故A正確；

又一(x+2)=∕(-x+2),故函數/(x+2)為偶函數，故D正確；

因為當Xe(0,2]時，/(x)=x+2,且/(x)+∕(-X)=4,

則當xe[-2,0)時，-Xe(0,2],

所以f(τ)=-x+2=4-∕(x),所以/(x)=x+2,

故當xe[-2,2]時，/(x)=x+2,

又函數V=F(X)的圖象關于直線X=-2對稱，

所以在同一個周期[-6,2]上，/(x)的最大值為"2)=4,

故AX)在R上的最大值為4,故B錯誤：

因為“2022)=/(252x8+6)=/(6)=/(2+4)=/(-2)=4-/(2)=0,所以C正確.

故選：ACD.

19.已知函數“X)及其導函數/'(X)的定義域均為R,若/(2-x),r(∣-2x)均為奇函數，則()

A./(2)=0B.Γ(l)=Γ(0)C./(3)="2)D.尸(2022)=-尸㈠)

【答案】ACD

【分析】由題知/(2T)=?√(2+x),尸(；一2%|=-尸］|+2*;進而得"2)=0,f(∣)=0可判斷A；

再對/(2-x)=-∕(2+x)求導可得/'(x+l)=?√'(x),進而得外x)為周期函數，周期為2,進而可得

,,,

∕(2022)=/(O)=-∕(-l),/'(I)=-∕(0)可判斷BD；再根據∕{∣-2x)=-Jf(I+2x)得

F(I-2x)-2G=J(I+2x)-2。?，進而得G=C?時，/(2)=43)可判斷C..

【詳解】解：因為若f(2-x),/'(∣-2x)為奇函數，

所以/(2r)f(2+x),Oq=-f'(∣+2x)

令X=O得〃2)=-/⑵，《|)=H1}即/⑵=O,f(∣)=0，A選項正確;

所以，_/'(2_力=_/'(2+力，即r(2-x)=∕'(2+x),

所以，函數用X)關于x=2對稱，gθ)對稱，

所以,《|-十寸仔+-《|7),即r(%Tl-χ)

所以，Γ(x+l)=-∕,(x),

所以，∕,(x+2)=-∕,(x+l)=Γ(x),即函數附x)為周期函數，周期為2,

所以，r(2O22)=r(o)=—r(T),r(i)=—r(o),故D選項正確，B選項錯誤；

對于C選項，由/'(∣-2x)=--［∣+2x］可得-3/1|-2》)+^=-3/1|+2”+。2，其中6，。2為常數,

所以/(∣)-2G=∕(0-2G,所以G=C2，

故令X=；得/(2)-2G="3)-2G,即〃2)=/(3),故C選項正確.

故選：ACD.

20.己知函數/(》)、g(x)的定義域均為R,為偶函數，且f(x)+g(2τ)=l,g(x)-∕(x-4)=3,

下列說法正確的有()

A.函數g(x)的圖象關于X=I對稱B.函數f(x)的圖象關于(TT)對稱

C.函數〃x)是以4為周期的周期函數D.函數g(x)是以6為周期的周期函數

【答案】BC

【分析】利用題中等式以及函數的對稱性、周期性的定義逐項推導，可得出合適的選項.

【詳解】對于A選項，因為〃x)為偶函數，所以/(r)=∕(x)?

由/(x)+g(2-x)=l,可得f(-x)+g(2+x)=l,可得g(2+x)=g(2-x),

所以，函數g(x)的圖象關于直線x=2對稱，A錯；

對于B選項，因為g(x)-f(x-4)=3,則g(2-x)—，(一2-x)=3,

又因為F(X)+g(2-x)=l,可得/(x)+"-2τ)=-2,

所以，函數〃X)的圖象關于點(TT)對稱，B對；

對于C選項，因為函數為偶函數，且/(x)+"-2-X)=-2,

則/(x)+∕(x+2)=—2,從而/(x+2)+∕(x+4)=-2,貝∣J/(x+4)=∕(x),

所以，函數/(x)是以4為周期的周期函數，C對；

對于D選項，因為g(x)-∕(x-4)=3,且f(x)=∕(x-4),.?.g(x)-/(X)=3,

又因為/(x)+g(2-X)=1,所以，g(x)+g(2-x)=4,

又因為g(2-x)=g(2+x),貝IJg(X)+g(x+2)=4,所以，g(x+2)+g(x+4)=4,

故g(x+4)=g(x),因此，函數g(x)是周期為4的周期函數，D錯.

故選：BC.

【點睛】結論點睛：對稱性與周期性之間的常用結論：

(1)若函數〃x)的圖象關于直線X=。和χ=b對稱，則函數的周期為7=2Ia-小

(2)若函數F(X)的圖象關于點(。,0)和點伍,0)對稱，則函數F(X)的周期為7=2,-小

(3)若函數Fa)的圖象關于直線X=。和點(6,0)對稱，則函數/(x)的周期為T=4∣α-*

21.已知定義在R上的函數/(x)滿足〃T)=/(x),/(2-X)=-/(x),且當XW(T0］時，/(x)=—Ir,

則()

A."x)的圖像關于點(TO)對稱

B.〃x)在區間［5,6］上單調遞減

C.若關于X的方程/(x)="在區間［0,6］上的所有實數根的和為?，則布=-日

??

D.函數y=f(χ)T∏N有4個零點

【答案】ACD

【分析】對于A,由/(2-x)=-∕(x),結合偶函數性質，可得答案;

對于B,根據偶函數的對稱性和函數圖像的中心對稱性，可得答案；

對于C,根據函數與方程的關系，結合對稱性，可得答案；

對于D,根據函數的圖像性質，函數值域之間的比較，可得答案.

【詳解】由題意，得/(2+x)=-∕(-x)=—/(x),所以/(4+x)="x),所以/(x)是以4為周期的函數,

i?∕(-2-x)=∕(4-2-x)=∕(2-x)=-∕W>所以"x)的圖像關于點(TO)對稱，故選項A正確；

由A可知：當x∈(-1,()]時，f(x)=-1—X,當xe[—2,—1)時，—2—x∈(-1,()],

F(X)=-F(-2-x)=-[-l-(-2-x)]=-l-x.即當x∈[-2,0]時，/(x)=-l-x,

又"-x)="x),所以為偶函數，則當Xe(0,2]時，-%∈[-2,0],

[—1—Y—2≤γ≤0

/(x)=∕(-x)=x-l,所以〃X)=.根據/(x)的周期性，

當x∈(2,4]時，x-4∈(-2,0],則f(χ)=∕(χ-4)=-1—(x—4)=3—X,

同理，當xe(4,6],〃x)=x—5,得/(x)=｛一八，

[X—3,4<X≤O

所以“X)在區間[5,6]上單調遞增，故選項B錯誤；

根據上述結論，函數/(x)在[0,6]上的圖像如下：

求方程/(力=相等價于函數/(x)的圖像與V="?的圖像相交點的橫坐標，如圖，

設從小到大依次為玉，演，匕，其中三歪=4,其和2x4+x∣=g,解得%=ge(0,l),代入/(x)=x-l,

12

↑^m=--?=--,故選項C正確；

求函數y=/(x)-ln∣R的零點個數，即求曲線y=∕(χ)與y=ln∣H的公共點個數.

當x>0時，y=ln∣χ=lnx在點(1,0)處的切線方程為y=x-1,故y=x-l(x∈(0,2])與y=lnx只有一個公共

點(1,0).由In2<l,ln6>l,得xw(2,?∏o)時，y=1川目與y=∕(x)有一個交點，故當x>0時，y=∕(x)與

y=ln∣x∣有2個公共點.由y=∕(x)與y=ln∣x∣均為偶函數，得當XCO時，y=f(x)與.y=ln∣Λ^∣有2個公共

點，故函數y=√(x)-ln∣x∣有4個零點.如下圖.

故選項D正確.

故選：ACD.

22.設函數/(x)定義域為R,/(X-D為奇函數，/(x+l)為偶函數，當XW(TJ時,/(x)=-x2+l,則下

列結論正確的是()

?-4?4

B./(x+7)為奇函數

C.f(x)在(6,8)上為減函數

D.方程/(x)+Igx=O僅有6個實數解

【答案】ABD

【分析】利用函數奇偶性以及特值可以得到/(T)=-?，選項A正確；利用函數奇偶性可以得到函數的

周期性選項B正確；利用函數奇偶性以及周期性得出函數圖象可得選項C錯誤；通過數形結合可選項D

正確.

【詳解】對于選項A：f(x+D為偶函數,故洋x+l)=f(τ+D,令K=］得：∕φ=∕(-∣+D=∕(-∣),

1?11

又/(XT)為奇函數，i?/(X-1)=-/(-X-D,令X=；得：/(-*=-/W-I)=-/(-；)，其中

zH)=4+ι=r

所以修)=〃-§Tm

故選項A正確；

對于選項B：因為/C"D為奇函數，所以/O)關于(To)對稱，

又/(x+l)為偶函數，則/(χ)關于x=l對稱,所以/(x)周期為4x2=8,

故/(x+7)=∕(x-l),所以/(f+7)=/(T-I)T(X-1)=-/(x—1+8)=-/(x+7),

從而/(x+7)為奇函數，

故選項B正確；

對于選項C：F(X)=-X2+1在Xe(-1,0)上單調遞增，又Ax)關于(-1,0)對稱，所以AX)在(-2,0)上單調遞

增，且/CO周期為8,故F(X)在(6,8)上單調遞增，

故選項C錯誤；

對于選項D：根據題目條件畫出/")與>=Tgx的函數圖象，如圖所示：

其中y=-lgx單調遞減且-Igl2<-1,所以兩函數有6個交點，故方程/(x)+lgx=0僅有6個實數解，

故選項D正確.

故選：ABD

23.定義在R上的函數Ax)與g(x)的導函數分別為f'(x)和g'(χ),若g(x+l)-∕(2-x)=2,∕,(x)=g,(x-l),

且g(x+2)為奇函數，則下列說法中一定正確的是()

A.g(2)=0B.函數f(x)關于x=2對稱

2023

C.函數/(X)是周期函數D.Zg(Z)=O

ft=l

【答案】ACD

【分析】由g(x+2)為奇函數可得g(2)=0,由g(x+l)-∕(2-x)=2取導數可得/(x+l)+r(2-x)=0,

>>0”

結合條件可得r(x+2)+∕'(2-x)=0,判斷B,再由條件判斷函數/(X),g(x)的周期，由此計算￡8(左)，

A=I

判斷C,D.

【詳解】因為g(x+2)為奇函數，所以g(x+2)=—g(—x+2),

取x=0可得g(2)=0,A對，

因為g(x+l)_/(2_x)=2,所以g[x+l)+尸(2-x)=0

所以g'(x)+∕'(3-X)=0,又f'(x)=g'(x-D,即r(x+l)=g'(x),

T(x+l)+r(3-x)=0,故((x+2)+1(2—x)=0,

所以函數尸(x)的圖象關于點(2,0)對稱，B錯，

因為尸(X)=g'(x-1)，所以[/(x)-g(x-l)]'=0

所以“x)-g(XT)=c，C為常數，

因為g(x+l)-∕(2-x)=2,所以g(3-x)-"x)=2,

所以g(3^~x)-g(x^~l)=2+c,取x=2可得C=—2,

所以g(x7)=g(3-x),X^(x+2)=-g(-x+2),即g(x+l)=-g(r+3),

所以g(χ+ι)=-g(χ-ι),所以g(χ)=-g(χ-2),

所以g(x+4)=-g(x+2)=g(x),故函數g(x)為周期為4的函數，

因為g(x+2)=-g(x),所以g(3)=-g(l),g(4)=-g⑵=0,

所以g⑴+g(2)+g(3)+g(4)=0,

2023

所以Zg(A)=M⑴+g(2)+g(3)+g(4)]+[g(5)+g⑹+g⑺+g(8)]+-?

k=l

+[g(2017)+g(2018)+g(2019)+g(2020)]+g(2021)+g(2022)+g(2023),

2()23

所以∑g(A)=505X0+g(2021)+g(2022)+g(2023)=g⑴+g(2)+g(3)=-g(4)=0,

k=l

2023

故E>(A)的值為0,D正確；

Λ=l

因為g(3r)T(X)=2,BP∕ω=g(3-x)-2

故函數/(x)也為周期為4的函數，C正確.

故選：ACD.

【點睛】本題的關鍵在于結合g(x+D-/(2r)=2,f'(x)=g'(x-↑),且g(x+2)為奇函數三個條件,得到

函數f(x),g(x)的周期，利用對稱性和周期性判斷各個選項.

24.已知函數/G)及其導函數/'(X)的定義域均為R,記g(x)=∕'(x),/(2x-l)+∕(3-2x)=∕(-2),

g(lτ)+g(-3x)=gbg),則()

A./(4)=0B.g(2)=g(T)

C.^[-?]=0D.g(2022)=g(0)

【答案】ACD

【分析】代入x=-g,找到含有/(4)的等式可判斷A正確，令f=2x-1,建立等式并求導，可得到g(x)關

于x=l對稱,利用g(j)=g(l+x),用-X換X得到方程組解得g(-3x)=g(3x),可知g(x)為偶函數，進

而可判斷周期為2,容易判斷D正確，利用g(x)為周期為2的偶函數，結合選項變換函數值，可求得

g(-；)=0,判斷g(2),g(-l)不一定相等.

【詳解】f(2x-l)+f(3-2x)=∕(-2),

令X=-；，得〃一2)+〃4)=〃—2)

../(4)=0,所以A正確.

令f=2x-l,貝IJJC)+/(2—。=/(一2)

求導數得，r(t)-f'(2τ)=0,即g(f)=g(2τ)

所以g(x)關于X=I對稱，；?g(l-X)=g(l+X)

?(l-x)+g(-3x)=^(--)

又因為g(-3x)=g(3x)

g(l+x)+g(3x)=g(-/)

所以g(x)為偶函數.

???g(x)=g(-x)=g(2-x),g(x)的周期為2.

因為g(x)為周期為2的偶函數，

所以g(2)=g(0),g(T)=g(l)

令X=O時，g(2)+g(-?)=g(l)+g(0)=g(-g)

133I

令X=一萬，↑?g(^)+?(?)=g(~~)

g(T)=g(-；)???g(-g)=O,所以B不正確，C正確.

因為g(x)的周期為2,