江西省景德鎮市新平中學高二數學理下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知不等式對任意實數x恒成立，則的最大值為（

）．A. B. C. D.參考答案：A分析：先轉化為，再轉化為，再求g(x)的最大值得解.詳解：原不等式可以化為，設f(x)=,所以，所以只有a+4>0，才能有恒成立.此時,設g(x)=所以所以故答案為：A點睛：（1）本題主要考查利用導數求函數的單調性和最值，考查利用導數解答恒成立問題，意在考查學生對這些知識的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵有兩點，其一是原不等式可以化為，求,其二是設g(x)=求g(x)的最大值.2.下列命題中，真命題是()（A）x0∈R，≤0

（B）x∈R,

2x＞x2（C）雙曲線的離心率為

（D）雙曲線的漸近線方程為參考答案：D3.已知全集U=R，集合則等于（

） A．B． C.D．參考答案：D略4.若曲線y＝x2＋ax＋b在點(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則()A．a＝1，b＝1

B．a＝－1，b＝1

C．a＝1，b＝－1

D．a＝－1，b＝－1參考答案：A5.已知集合M＝｛x|x＜3，N＝｛x|｝，則M∩N＝A．

B．｛x|0＜x＜3

C．｛x|1＜x＜3

D．｛x|2＜x＜3參考答案：D6.直線y=x+b是曲線y=lnx（x＞0）的一條切線，則實數b=（）A．ln2+1 B．ln2﹣1 C．ln3+1 D．ln3﹣1參考答案：B【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【專題】計算題；方程思想；導數的概念及應用．【分析】利用求導法則求出曲線方程的導函數解析式，由已知直線為曲線的切線，根據切線斜率求出切點坐標，代入直線解析式求出b的值即可．【解答】解：求導得：y′=，∵直線y=x+b是曲線y=lnx（x＞0）的一條切線，∴=，即x=2，把x=2代入曲線方程得：y=ln2，把切點（2，ln2）代入直線方程得：ln2=1+b，解得：b=ln2﹣1，故選：B．【點評】此題考查了利用導師研究曲線上某點的切線方程，熟練掌握導數的幾何意義是解本題的關鍵．7.設函數f（x）=sin（wx+）+sin（wx﹣）（w＞0）的最小正周期為π，則（）A．f（x）在（0，）上單調遞增B．f（x）在（0，）上單調遞減C．f（x）在（0，）上單調遞增D．f（x）在（0，）上單調遞減參考答案：B考點：三角函數中的恒等變換應用；三角函數的周期性及其求法．專題：計算題；三角函數的圖像與性質．分析：利用兩角和與兩角差的正弦可化簡得f（x）=﹣sinwx，依題意知w=2，利用正弦函數的單調性可得答案．解答：解：∵f（x）=sin（wx+）+sin（wx﹣）=﹣sinwx+coswx﹣sinwx﹣coswx=﹣sinwx，又f（x）的最小正周期為π，w＞0，∴w=2．∴f（x）=﹣sin2x，∵y=sin2x在[﹣，]上單調遞增，∴f（x）=﹣sin2x在[﹣，]上單調遞減，∴f（x）在（0，）上單調遞減，故選：B．點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，著重考查兩角和與兩角差的正弦及正弦函數的單調性與周期性，屬于中檔題．8.有下列數組排成一排：

，如果把上述數組中的括號都去掉會形成一個數列：則此數列中的第項是（

）

參考答案：B略9.已知，則“”是“”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.非充分非必要條件參考答案：A10.一個袋中裝有2個紅球和2個白球，現從袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，則取出的兩個球同色的概率為

（

）（A） （B）

（C）

（D）

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.復數化簡后的結果為

參考答案：略12.設函數.（1）用反證法證明：函數不可能為偶函數；（2）求證：函數在上單調遞減的充要條件是.

參考答案：（1）見解析（2）見解析解析：解：(1)假設函數是偶函數，

…………2分則，即，解得，

…………4分這與矛盾，所以函數不可能是偶函數.

…………6分(2)因為，所以.

…………8分①充分性：當時，，所以函數在單調遞減；

…………10分②必要性：當函數在單調遞減時，有，即，又，所以.

…………13分綜合①②知，原命題成立.

…………14分

略13.高二某班共有48人，學號依次為1,2,3，…，48，現用系統抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知學號5,29,41在樣本中，那么還有一個同學的學號應為__________．參考答案：17略14.△ABC中，角Ａ，Ｂ，C的對邊分別為ａ，ｂ，c，若其面積Ｓ＝，則

。

參考答案：略15.如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1的側面都是正方形，且AA1⊥底面ABC，M是側棱BB1的中點，則異面直線AC1和CM所成的角為

。參考答案：16.如下圖，在三角形中，，分別為，的中點，為上的點，且.若

，則實數

，實數

.參考答案：2,117.焦點在x軸上的橢圓方程為，離心率為，則實數的值為

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標系xOy中，直線L與拋物線y2=4x相交于不同的A、B兩點．且?=﹣4．（1）證明直線L必過一定點，并求出該定點．（2）求線段AB的中點P的軌跡方程．（3）求三角形AOB面積最小時，直線AB的方程．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質．【專題】綜合題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（1）設出直線的方程，同拋物線方程聯立，得到關于y的一元二次方程，根據根與系數的關系表示出數量積，根據數量積等于﹣4，做出數量積表示式中的b的值，即得到定點的坐標．（2）假設線段中點坐標，利用中點坐標公式，尋找坐標之間的關系即可求得．（3）求出AB，原點到直線l的距離，可得面積，即可求出三角形AOB面積最小時，直線AB的方程．【解答】（1）證明：設l：x=ty+b，代入拋物線方程y2=4x中得，y2﹣4ty﹣4b=0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=4t，y1y2=﹣4b，…∴=，令b2﹣4b=﹣4，∴b2﹣4b+4=0，b=2，∴直線l過定點（2，0），∴若，則直線l必過一定點…（2）解：設P（x，y）由（1）得：y1+y2=4t，y1y2=﹣4bb=2得x1+x2=4t2+4，∴x=2t2+2，y=2t消去t得P點的軌跡方程為：y2=2x﹣2…（3）解：AB=，原點到直線l的距離（式子中k為t）∴當k=0時，三角形AOB面的最小，最小值是…．【點評】本題主要考查向量的數量積的運算，考查軌跡方程的求解，利用了代入法，屬于中檔題．19.（本小題滿分12分）已知求：（Ⅰ）z＝x＋2y－4的最大值；（Ⅱ）z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；（Ⅲ）z＝的范圍．參考答案：作出可行域如圖所示，并求出頂點的坐標A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．(1)易知可行域內各點均在直線x＋2y－4＝0的上方，故x＋2y－4>0，將點C(7,9)代入z得最大值為21.(4分)(2)z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2表示可行域內任一點(x，y)到定點M(0,5)的距離的平方，過M作直線AC的垂線，易知垂足N在線段AC上，20.（本小題滿分12分）如圖示，過拋物線的焦點F的直線l交拋物線于點A，B，交其準線于C，若|BC|=2|BF|，且|AC|=5，求此拋物線的方程。

參考答案：21.用數學歸納法證明：對任意的n∈N*，++…+=．參考答案：【考點】數學歸納法．【分析】先驗證n=1時結論成立，再假設n=k結論成立，驗證n=k+1時是否成立即可．【解答】解：證明

（1）當n=1時，左邊