素養提升課(三)水平面和豎直平面內的圓周運動1．掌握水平面內圓周運動的受力特點和分析解決方法。2．掌握豎直面內圓周運動的受力特點和分析解決方法。水平面內圓周運動問題1．常見運動模型分析模型圓盤模型圓錐擺模型圖示分析靜摩擦力Ff提供向心力，由Fn＝Ff＝μmg＝mv2R得，最大速度v彈力(細線拉力或斜面彈力)和物體重力的合力提供向心力①Fn＝F合＝mgtanθ②Fn＝F合＝mg2．解決圓周運動臨界問題的一般思路(1)要考慮達到臨界條件時物體所處的狀態。(2)分析該狀態下物體的受力特點。(3)結合圓周運動知識，列出相應的動力學方程分析求解。【典例1】如圖所示，水平轉盤上放有一質量為m的物體(可視為質點)，連接物體和轉軸的繩子長為r，物體與轉盤間的最大靜摩擦力是其壓力的μ倍，g為重力加速度，轉盤的角速度由零逐漸增大，求：(1)繩子對物體的拉力為零時的最大角速度；(2)當角速度為3μg[聽課記錄]_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[跟進訓練]1．(2022·福建廈門六中高一檢測)如圖所示，A、B、C三個物體放在水平旋轉平臺上隨平臺一起做勻速圓周運動，三個物體與旋轉平臺間的動摩擦因數均為μ，已知A的質量為2m，B、C的質量均為m，A、B離轉軸的距離均為R，C距離轉軸2R，以下說法正確的是()A．若轉速加快，A最先相對平臺滑動B．若轉速加快，C一定不會最先相對平臺滑動C．若都沒相對平臺滑動，則向心加速度aA＝aC>aBD．若都沒相對平臺滑動，則摩擦力fA＝fC>fB2．(2022·廣東廣州高一下聯考)市面上有一種自動計數的智能呼啦圈深受大眾喜愛。如圖甲所示，腰帶外側帶有軌道，將帶有滑輪的短桿穿入軌道，短桿的另一端懸掛一根帶有配重的細繩，其簡化模型如圖乙所示。已知配重(可視為質點)質量m＝0.5kg，繩長為L＝0.4m，懸掛點到腰帶中心的距離為r0＝0.2m。水平固定好腰帶，通過人體微小扭動，使配重做水平勻速圓周運動，計數器顯示在1min內轉動圈數為120圈，此時繩子與豎直方向夾角為θ。配重運動過程中腰帶可看作不動，重力加速度取g＝10m/s2,sin37°＝0.6，下列說法正確的是()A．勻速轉動時，配重受到的合力恒定不變B．若增大轉速，腰受到腰帶的彈力變大C．配重的角速度是120rad/sD．θ為37°豎直平面內圓周運動的問題1．輕繩和輕桿模型概述在豎直平面內做圓周運動的物體，運動至軌道最高點時的受力情況可分為兩類：一是無支撐(如球與繩連接，沿內軌道的“過山車”等)，稱為“輕繩模型”；二是有支撐(如球與桿連接，小球在彎管內運動等)，稱為“輕桿模型”。2．兩類模型分析對比項目輕繩模型輕桿模型常見類型均是沒有支撐的小球均是有支撐的小球過最高點的臨界條件v臨＝grv臨＝0討論分析(1)能過最高點時，v≥gr，FN＋mg＝mv2r，繩、軌道對球產生彈力(2)不能過最高點時，v＜gr，在到達最高點前小球已經脫離了圓軌道，如圖所示(1)當v＝0時，FN＝mg，FN為支持力，沿半徑背離圓心(2)當0＜v＜gr時，mg－FN＝mv2r，FN背離圓心，隨(3)當v＝gr時，FN＝0(4)當v＞gr時，FN＋mg＝mv2r，FN指向圓心并隨在最高點的FN圖線輕繩模型【典例2】(多選)用細繩拴著質量為m的小球，在豎直平面內做半徑為R的圓周運動，如圖所示。則下列說法正確的是()A．小球通過最高點時，繩子張力可以為0B．小球通過最高點時的最小速度是0C．小球剛好通過最高點時的速度是gRD．小球通過最高點時，繩子對小球的作用力可以與球所受重力方向相反[聽課記錄]_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________輕桿模型【典例3】如圖所示，輕桿長為2L，中點裝在水平軸O處，A、B兩端分別固定著小球A和B，A球的質量為m，B球的質量為2m，兩者一起在豎直平面內繞O軸做圓周運動。(1)若A球在最高點時，桿A端恰好不受力，求此時A球的速度大小；(2)若B球到最高點時的速度等于gL，求此時桿A端的受力大小和方向；(3)若桿的轉速可以逐漸變化，能否出現O軸不受力的情況？若不能，用公式推導說明理由。若能，則求出此時A、B球的速度大小。[聽課記錄]_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________豎直平面內圓周運動的分析方法(1)明確運動的模型，是輕繩模型還是輕桿模型。(2)明確物體的臨界狀態，即在最高點時物體具有最小速度時的受力特點。(3)分析物體在最高點或最低點的受力情況，根據牛頓第二定律列式求解。[跟進訓練]3．某游樂場中的“過山車”有兩個半徑分別為r1、r2的圓形軌道，固定在豎直平面內，如圖所示，某游客乘坐的小車從傾斜軌道上滑下，連續經過兩圓形軌道的最高點O、P時速度大小分別為v1、v2，若在這兩點，小車對軌道的壓力都為零，則v1∶v2為()A．r1r2B．r14．(多選)如圖所示，豎直平面內固定有一個半徑為R的光滑圓環形細管，現給小球(直徑略小于管內徑)一個初速度，使小球在管內做圓周運動，小球通過最高點時的速度為v，已知重力加速度為g，則下列敘述中正確的是()A．v的極小值為0B．v由零逐漸增大的過程中，軌道對球的彈力先減小再增大C．當v由值gR逐漸增大的過程中，軌道對小球的彈力也逐漸增大D．當v由值gR逐漸減小的過程中，軌道對小球的彈力也逐漸減小素養提升課(三)水平面和豎直平面內的圓周運動[關鍵能力·情境探究達成]典例1解析：(1)當恰由最大靜摩擦力提供向心力時，繩子拉力為零，此時角速度達到最大，如圖甲所示，設此時轉盤轉動的角速度為ω0，則μmg＝mω02r，得ω0(2)當ω＝3μg2r時，ω＞ω0，所以繩子的拉力F和最大靜摩擦力共同提供向心力，如圖乙所示，此時F＋μmg＝mω2r，代入數據解得F＝答案：(1)μgr(2)1跟進訓練1．D[A、B、C同軸轉動，則角速度相等，向心力Fn＝mω2r，可知A、C所需向心力大小相等；由于最大靜摩擦力f＝μN＝μmg，可知A的最大靜摩擦力大于C的最大靜摩擦力，所以當平臺轉速增加時，C比A先滑動；同理可得A、B同時滑動，故選項A、B錯誤。若都沒相對平臺滑動，A、B、C三個物體的角速度相等，根據an＝rω2可知，C的軌道半徑最大，C的向心加速度最大，A、B的向心加速度相等，即aC>aB＝aA，故選項C錯誤；若都沒相對平臺滑動，A、B、C三個物體做勻速圓周運動，靠靜摩擦力提供向心力，fA＝2mRω2，fB＝mRω2，fC＝2mRω2，可知B物體所受的摩擦力最小，A、C物體所受的摩擦力相等，即fA＝fC>fB，故選項D正確。]2．B[勻速轉動時，配重受到的合力提供向心力，其大小不變，但方向變化，故配重受到的合力改變，故A錯誤。以配重為研究對象，其受到重力和拉力，如下圖甲所示，在豎直方向，根據平衡條件可得Tcosθ＝mg，配重轉速增大，θ增大、T增大；設腰帶的質量為M，對腰帶進行受力分析，如下圖乙所示，在水平方向，根據平衡條件可得N＝Tsinθ，若增大轉速，T和θ都增大，則腰受到腰帶的彈力變大，故B正確。計數器顯示在1min內轉動圈數為120圈，可得轉動周期T＝1120min＝0.5s，角速度ω＝2πT＝2π0.5rad/s＝4πrad/s，故C錯誤。根據圖甲結合牛頓第二定律可得mgtanθ＝mr4π2T2，由題意知r＝]典例2AC[設小球通過最高點時的速度為v，由合力提供向心力及牛頓第二定律得mg＋FT＝mv2R。當FT＝0時，v＝gR，故A正確；當v＜gR時，FT＜0，而繩子只能產生拉力，不能產生與重力方向相反的支持力，故B、D錯誤；當v>gR時，FT＞0，小球能沿圓弧通過最高點，可見，典例3解析：(1)若A球在最高點時，桿A端恰好不受力，則A球的重力提供向心力即mg＝mv2L，解得v＝(2)由于兩球的線速度大小相等，故A球的速度也為gL，對A球有TOA－mg＝mv解得TOA＝2mg，方向豎直向上由牛頓第三定律可知，此時桿A端的受力大小為2mg，方向豎直向下。(3)要使O軸不受力，根據B球的質量大于A球的質量，可判斷B球應在最高點，且此時桿對A、B均表現為拉力。對B球有TOB′＋2mg＝2對A球有TOA′－mg＝mO軸不受力時，TOA′＝TOB′，又有vA＝vB解得vA＝vB＝3gL答案：(1)gL(2)2mg，方向豎直