核心素養測評十八導數的存在性問題(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.若存在正實數x使ex(x2a)<1成立,則實數a的取值范圍是 ()A.(1,+∞) B.(0,+∞)C.(2,+∞) D.[1,+∞)【解析】選A.存在正實數x使ex(x2a)<1成立,即a>x2QUOTE在區間(0,+∞)上有解,令f(x)=x2QUOTE,f′(x)=2x+QUOTE>0,所以f(x)在區間(0,+∞)上單調遞增,所以f(x)>f(0)=1,又a>x2QUOTE在區間(0,+∞)上有解,所以a∈(1,+∞).2.(2019·莆田模擬)若函數f(x)=QUOTEx3x2+2x沒有極小值點,則a的取值范圍是()A.QUOTE B.QUOTEC.{0}∪QUOTE D.{0}∪QUOTE【解析】選C.f′(x)=ax22x+2,要使得f(x)沒有極小值,則要求f′(x)恒大于等于0,或者恒小于等于0,或者該導函數為一次函數,當該導函數為一次函數的時候,a=0,滿足條件,當f′(x)恒大于等于0的時候,則QUOTE,解得a∈QUOTE,當f′(x)恒小于等于0的時候,則QUOTE,此時a不存在,故a∈{0}∪QUOTE.3.已知函數f(x)=e2x,g(x)=lnx+QUOTE,對?a∈R,?b∈(0,+∞),f(a)=g(b),則ba的最小值為 ()A.QUOTE1 B.1QUOTEC.2QUOTE1 D.1+QUOTE【解析】選D.設f(a)=g(b)=t,t∈(0,+∞),可得a=QUOTE,b=QUOTE,令h(t)=ba=QUOTEQUOTE,t∈(0,+∞),則h′(t)=QUOTEQUOTE,令h′(t)=0,得t=QUOTE,由于h′(t)=QUOTEQUOTE是增函數,所以t∈QUOTE時,h′(t)<0,t∈QUOTE時,h′(t)>0,因此h(t)在QUOTE上單調遞減,在QUOTE上單調遞增,從而h(t)的最小值為hQUOTE=1+QUOTE.4.(2020·重慶模擬)若函數f(x)=QUOTEex在(0,1)內存在極值點,則實數a的取值范圍是 ()導學號A.(∞,0) B.(0,+∞)C.(∞,1] D.[1,0)【解析】選A.函數f(x)=QUOTEex,定義域為{x|x≠0},f′(x)=ex+xexQUOTE=QUOTE,因為f(x)在(0,1)內存在極值點,則f′(x)=QUOTE=0的實數根在(0,1)內,即x3+x2ax+a=0的實數根在區間(0,1)內,令g(x)=x3+x2ax+a,可知,函數g(x)=x3+x2ax+a在(0,1)內存在零點,討論a:a=0時,g(x)=x2(x+1)在(0,1)上無零點.a>0時,在(0,1)上,g(x)=x3+x2+(1x)a>0,無零點.a<0時,g(0)=a<0,g(1)=2>0,在(0,1)上有零點.所以實數a的取值范圍是a<0.二、填空題(每小題5分,共20分)5.(2020·贛州模擬)若函數f(x)=aexx2a有兩個零點,則實數a的取值范圍是________________.

【解析】因為f(x)=aexx2a,所以f′(x)=aex1.當a≤0時,f′(x)≤0恒成立,函數f(x)在R上單調遞減,不可能有兩個零點;當a>0時,令f′(x)=0,得x=lnQUOTE,函數f(x)在QUOTE上單調遞減,在QUOTE上單調遞增,所以f(x)的最小值為fQUOTE=1lnQUOTE2a=1+lna2a.令g(a)=1+lna2a(a>0),則g′(a)=QUOTE2.當a∈QUOTE時,g(a)單調遞增;當a∈QUOTE時,g(a)單調遞減,所以g(a)max=gQUOTE=ln2<0,所以f(x)的最小值為fQUOTE<0,函數f(x)=aexx2a有兩個零點.綜上所述,實數a的取值范圍是(0,+∞).答案:(0,+∞)6.設f(x)與g(x)是定義在同一區間[a,b]上的兩個函數,若函數y=f(x)g(x)在x∈[a,b]上有兩個不同的零點,則稱f(x)和g(x)在[a,b]上是“關聯函數”,區間[a,b]稱為“關聯區間”.若f(x)=xlnx與g(x)=QUOTE+m在[1,3]上是“關聯函數”,則實數m的取值范圍是________________.

【解析】因為f(x)=xlnx與g(x)=QUOTE+m在[1,3]上是“關聯函數”,令y=h(x)=f(x)g(x),所以函數y=h(x)=f(x)g(x)=xlnx+QUOTEm在[1,3]上有兩個不同的零點,即h(x)=0在[1,3]有兩個不同的實數根,令xlnx+QUOTEm=0,即m=xlnx+QUOTE.設F(x)=xlnx+QUOTE,即y=m與F(x)=xlnx+QUOTE有兩個交點,則F′(x)=1QUOTEQUOTE=QUOTE=QUOTE.所以F′(x)>0,得x>2;F′(x)<0,得0<x<2,所以F(x)在[1,2]上遞減,在[2,3]上遞增,F(1)=3,F(2)=3ln2,F(3)=QUOTEln3.作出函數F(x)圖像,如圖.作直線y=m,平移可知當3ln2<m≤QUOTEln3時符合題意,所以實數m的取值范圍是(3ln2,QUOTEln3].答案:(3ln2,QUOTEln3]7.設函數f(x)=x2xlnx+2,若存在區間[a,b]?QUOTE,使f(x)在[a,b]上的值域為[k(a+2),k(b+2)],則k的取值范圍為________________.

【解題指南】判斷f(x)的單調性,得出f(x)=k(x+2)在QUOTE上有兩解,作出函數圖像,利用導數的意義求出k的范圍.【解析】f′(x)=2xlnx1,設g(x)=f′(x),則g′(x)=2QUOTE,所以當x≥QUOTE時,g′(x)≥0,所以f′(x)在QUOTE)上單調遞增,所以f′(x)≥f′QUOTE=ln2>0,所以f(x)在QUOTE上單調遞增,因為[a,b]?QUOTE,所以f(x)在[a,b]上單調遞增,因為f(x)在[a,b]上的值域為[k(a+2),k(b+2)],所以QUOTE,所以方程f(x)=k(x+2)在QUOTE上有兩解a,b.作出y=f(x)與直線y=k(x+2)的函數圖像,則兩圖像有兩交點.若直線y=k(x+2)過點QUOTE,則k=QUOTE,若直線y=k(x+2)與y=f(x)的圖像相切,設切點為(x0,y0),則QUOTE,解得k=1.所以1<k≤QUOTE.答案:QUOTE8.(2020·上饒模擬)已知函數f(x)=x+QUOTE,g(x)=2x+a,若?x1∈QUOTE,?x2∈QUOTE,使得f(x1)≥g(x2),則實數a的取值范圍是____________. 導學號

【解析】當x1∈QUOTE時,由f(x)=x+QUOTE得,f′(x)=QUOTE,令f′(x)>0,解得:x>2,令f′(x)<0,解得:x<2,所以f(x)在QUOTE上單調遞減,在(2,3]上單調遞增,所以fQUOTE=8.5是函數的最大值,當x2∈[2,3]時,g(x)=2x+a為增函數,所以g(3)=a+8是函數的最大值,又因為?x1∈QUOTE,?x2∈[2,3],使得f(x1)≥g(x2),可得f(x)在x1∈QUOTE的最大值不小于g(x)在x2∈[2,3]的最大值,即8.5≥a+8,解得:a≤QUOTE.答案:a≤QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2020·黃岡模擬)已知函數f(x)=ex·(a+lnx),其中a∈R.(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線與直線y=QUOTE垂直,求a的值.(2)記f(x)的導函數為g(x).當a∈(0,ln2)時,證明:g(x)存在極小值點x0,且f(x0)<0.【解析】(1)f′(x)=ex·(a+lnx)+ex·QUOTE=ex·QUOTE,依題意,有f′(1)=e·(a+1)=e,解得a=0.(2)令g(x)=ex·QUOTE,所以g′(x)=ex·QUOTE+ex·QUOTE=ex·QUOTE.因為ex>0,所以g′(x)與a+QUOTEQUOTE+lnx同號.設h(x)=a+QUOTEQUOTE+lnx,則h′(x)=QUOTE=QUOTE.所以對任意x∈(0,+∞),有h′(x)>0,故h(x)在(0,+∞)上單調遞增.因為a∈(0,ln2),所以h(1)=a+1>0,hQUOTE=a+lnQUOTE<0,故存在x0∈QUOTE,使得h(x0)=0.g(x)與g′(x)在區間QUOTE上的情況如下:xx0(x0,1)g′(x)0+g(x)↘極小值↗所以g(x)在區間QUOTE上單調遞減,在區間(x0,1)上單調遞增.所以若a∈(0,ln2),存在x0∈QUOTE,使得x0是g(x)的極小值點.令h(x0)=0,得到a+lnx0=QUOTE,所以f(x0)=QUOTE·(a+lnx0)=QUOTE·QUOTE<0.【變式備選】1.已知函數f(x)=QUOTEx23lnx.(1)求f(x)在(1,f(1))處的切線方程.(2)試判斷f(x)在區間(1,e)上有沒有零點?若有,則判斷零點的個數.【解析】(1)由已知得f′(x)=xQUOTE,有f′(1)=2,f(1)=QUOTE,所以在(1,f(1))處的切線方程為yQUOTE=2(x1),化簡得4x+2y5=0.(2)由(1)知f′(x)=QUOTE,因為x>0,令f′(x)=0,得x=QUOTE,所以當x∈(0,QUOTE)時,有f′(x)<0,則(0,QUOTE)是函數f(x)的單調遞減區間;當x∈(QUOTE,+∞)時,有f′(x)>0,則(QUOTE,+∞)是函數f(x)的單調遞增區間.當x∈(1,e)時,函數f(x)在(1,QUOTE)上單調遞減,在(QUOTE,e)上單調遞增;又因為f(1)=QUOTE,f(e)=QUOTEe23>0,f(QUOTE)=QUOTE(1ln3)<0,所以f(x)在區間(1,e)上有兩個零點.2.(2019·淄博模擬)已知函數f(x)=lnxax+ab(a>0,b∈R).(1)若存在正數a,使f(x)≤0恒成立,求實數b的最大值.(2)設a=1,若g(x)=xex2xf(x)沒有零點,求實數b的取值范圍.【解析】(1)因為f(x)=lnxax+ab,所以f′(x)=QUOTEa=QUOTE,所以y=f(x)在QUOTE上單調遞增,在QUOTE上單調遞減.所以f(x)max=fQUOTE=lna1+ab.所以存在正數a,使ab≤1+lna成立,即存在正數a,使得b≤QUOTE成立.令h(x)=QUOTE,x∈(0,+∞),因為h′(x)=QUOTE,所以y=h(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減.所以h(x)max=h(1)=1,所以b≤1.故b的最大值為1.(2)因為a=1,所以f(x)=lnxx+b.所以g(x)=xexxlnxb.所以g′(x)=QUOTE(x+1).令x0∈(0,1),使得QUOTE=QUOTE.兩邊取自然對數,得x0=lnx0,所以g(x)在(0,x0)上單調遞減,在(x0,+∞)上單調遞增.由題設可知,要使函數g(x)沒有零點,則要g(x)min=g(x0)>0即可,g(x0)=x0·QUOTEx0+x0b=1b>0,所以b<1.10.(2019·石家莊模擬)設f′(x)是函數f(x)的導函數,我們把滿足f′(x)=x的實數叫做函數y=f(x)的好點.已知函數f(x)=QUOTEe2xaexQUOTEx2. 導學號(1)若0是函數f(x)的好點,求a.(2)若函數f(x)不存在好點,求a的取值范圍.【解析】(1)因為f(x)=QUOTEe2xaexQUOTEx2,所以f′(x)=e2xaexQUOTEx,由f′(x)=x,得e2xaexQUOTEx=x,即e2xaexa2x=0.因為0是函數f(x)的好點,所以1a=0,解得a=1.(2)由(1)知f