§

5

.

1二次型與對稱矩陣線性變換目錄Pa

r

t 1二次型及其對稱矩陣一、二次型一次項常數項解析幾何中，二次曲線的一般形式ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=

0二次項它的二次項為

(x,y)

ax2

2bxy

cy2是一個二元二次齊次多項式．一、二次型定義 只含有二次項的

n

元多項式1 2 n 11 1 22 2 nn

nx2f(x

,

x ,

,

x )

a x2

ax2

a

2a12

x1

x2

2a13

x1

x3

2an

1,n

xn

1

xn稱為

x1,x2,…,

xn

的一個

n

元二次齊次多項式

，簡稱

x1,x2,…,

xn

的一個

n

元二次型.注：當

aij

(i,

j

1,

2,

,

n)

為實數時,

f

(

x1

,

x2

,

,

xn

)

稱為實二次型.當aij

(i,

j

1,

2,

,

n)

為復數時,

f

(

x1

,

x2

,

,

xn

)

稱為復二次型.一、二次型令aij=aji，則2aijxixj=aijxixj+ajixjxi

，于是1 2 n 11

1

22

2

nn

nx22a11

x1

a12x1x2

a21

x2x1

a22x22

annxn2n

aijxi

xji

,j

1f(x

,

x ,

,

x )

a x2

a x2

a

2a12

x1

x2

2a13

x1

x3

2an

1,n

xn

1

xn

a1n

x1

xn

a2n

x2

xn

an1xnx1

an2xnx2

a11

x1

a12

x1

x2

a1

n

x1

xn2

a21

x2

x1

a22

x2

a2

n

x2

xn2

an1

xn

x1

an2

xn

x2

ann

xn221 122 21 2 n

a

x

2

n n

ax

n1

1

n2

2nn n

一、二次型f

(

x1

,

x2

,

,

xn

)

x1

(a11

x1

a12

x2

a1

n

xn

)

x2

(a21

x1

a22

x2

a2

n

xn

)

xn

(an1

x1

an

2

x2

ann

xn

)

a11x1

a12x2

a1n

xn

x

a x

a

(x,x

,

,

x )

x

a x

a21221 2 n

a11

a12a1n

x1

a

x

2n

2

a

x

n1

n2nn

n

a

a

(x,x

,

,

x )

a

a

xT

Ax對稱陣二次型的矩陣形式一、二次型21221 2 n 1 2 n

a11

a12a1n

x1

a

x

2n

2

a

x

n1

n2nn

n

a

af

(

x

,

x

,

,

x

)

(

x

,

x

,

,

x

)

a

a對稱陣

A

的秩也叫做二次型

f

的秩．二次型與矩陣之間存在著一一對應關系.1112n

2

1n

a

2n

A

a21

a

n

1nn

a

a

a

a

22

a

a對稱陣的二次型二次型f(x)的矩陣練習例1

寫出下列二次型對應的對稱矩陣.練習例2

求下列對稱矩陣對應的二次型.解

(1)練習例2

求下列對稱矩陣對應的二次型.解

(2)(3)Pa

r

t 2線性變換一、線性變換

1 0

0 0

對應1

x

x,

y1

0.yx01 1 1P(x,y

)投影變換P(x,

y)例

2階方陣

sin

cos

對應1 1

x

x cos

y sin

,

y

x1sin

y1

cos

.以原點為中心逆時針旋轉

角的旋轉變換例

2階方陣

cos

sin

P(

x,y)P1

(

x1

,

y1

)

yx0一、線性變換

得 a'x'2

+

b'

y'

2

=

d'

．n 解析幾何中，二次方程的一般形式ax2+2bxy+cy2=

d通過選擇適當的旋轉變換

x

x

cos

y

sin

,

y

x

sin

y

cos

.一、線性變換2 21 1 22 2 2n

n

x1

c11y1

c12y2

c1nyn

,

x

c

y

c

y

c

y

,

xn

cn1

y1

cm

2

y2

cnn

yn

.定義:

關系式一、線性變換例如

線性變換的系數矩陣C的行列式因此，該線性變換是一個非退化線性變換.一、線性變換2 21 1 22 2 2n n

x1

c11y1

c12y2

c1nyn

,

x

c

y

c

y

c

y

,

xn

cn1y1

cm2y2

cnnyn.一、線性變換經非定理1 二次型后,

仍為二次型經非退化線性變換. 該二次型的矩陣為.一、線性變換注：矩陣之間的合同關系與相似關系是兩種不同的關系.練習例 設,

則存在可逆矩陣使得則矩陣

A與

B是合同的,

但它們的特征值不相同,

因此

A與

B不相似.感謝觀看！§

5

.

2實二次型的標準形目錄配方法初等變換法正交變換法二次型與對稱矩陣的規范形Pa

r

t 1配方法一、標準形定義

如果一個二次型只含變量的平方項,則稱這個二次型為標準形.定理1對任何實二次型換 ,使得關于新變量的二次型,必存在非退化的線性變為標準形.定理2

對任意一個對稱矩陣

A,總存在一個可逆(非奇異)矩陣

C,使得為對角矩陣,即任何一個對稱矩陣都與一個對角矩陣合同.01一、標準形將二次型化為標準形的常用方法：配方法；初等變換法；正交變換法.二、配方法1.

若二次型含有

x

i

的平方項，則先把含有

x

i

的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量重復上述過程，直到都配成平方項為止，經過非退化線性變換，就得到標準形;二、配方法例1

利用配方法化二次型

f

(x

,

x ,x)

x2

2x2

5x2

2x

x

2x

x

6x x1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3成標準形，并求所用的線性變換的矩陣.解f

x2

2x2

5x2

2

x x

2

x x

6

x x1 2 3 1 2 1 3 2 31 31 1 2x

2

2

x

x2 3 2 3

2

x

x

2

x

2

5

x

2

6

x

x含有

x1的項配方含有平方項21 2 3

x

x

x

2x2

5x2

6xx2 3 2 3

x2

x2

2x x2 3 2 3去掉配方后多出來的項3 2 32 2221 2 3x

4x

4x

x

x

x

x

.23221 2 3x

2x

x

x

x二、配方法

2 2 3

y3

x3

y1

x1

x2

x3令

y

x

2

x

3 3

x

y

x2

y2

2

y3

x1

y1

y2

y3

2

3

3

2

01

y

1

1

1

2 y01

y1

x

x

0

x1

f

x2

2x2

5x2

2

x x

2

x x

6

x x1 2 3 1 2 1 3 2 3

y2

y2

.1 2二、配方法所用變換矩陣為1

0

1

1 1

1

2

,0

C

1

0

.C

0二、配方法

k kjijj

xy

y

x

x

i

y

i

y

y

則先作可逆線性變換2. 若二次型中不含有平方項，但是至少有一個

aij

0

(i

j),化二次型為含有平方項的二次型，然后再按步驟1中方法配方.注：每一步所經的線性變換都是非退化的。二、配方法2 1 2

x3

y3

x

x1

y1

y2令解代入

f

2

x1

x2

2

x1

x3

6

x2

x3

,得 f

2

y

2

2

y

2

4

y

y

8

y

y

.1 2 1 3 2 3由于所給二次型中無平方項，所以

y

y ,

x3

2

3

x1

1

y

0

0 y

10

y1

1

1

10

即

x2

例2

利用配方法化二次型成標準形，并求所用的線性變換的矩陣.二、配方法再配方，得

232323 21y

6

y

.

2 y

2

yf

2

y

3 3

z

y

z1

y1

y33 3

令

z2

y2

2

y3

y

z

y2

z2

2z3

,

y1

z1

z3f

2z

2

2z

2

6z

2

.1 2 3得

y

3

3

y1

1

z

02

z2

1

z1

1

0

即

y2

0

10所用變換矩陣為

1

0

0

0

0C

11

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

3

1 1

10 0 02

1

1

.

C

2

0

.二、配方法注：向量

x

到向量

y

的線性變換為

x C1y

,向量

y

到向量

z

的線性變換為y C2z

,則向量

x

到向量

z

的線性變換為x C1C2z

.Pa

r

t 2初等變換法一、初等變換法一、初等變換法一、初等變換法即練習例3

利用對稱初等變換化二次型成標準形，并求所用的線性變換的矩陣.練習練習練習例4

利用對稱初等變換化二次型成標準形.練習練習Pa

r

t 3正交變換法一、正交矩陣及其性質定義5

設

C

為

n

階實矩陣，如果

C

滿足CTC

CCT

I則稱

C

為正交矩陣.例如，

都是正交矩陣.

cos

sin

sin

cos

2

0

，

00 0

1

12 2

1

12

1一、正交矩陣及其性質定理5 正交矩陣具有如下性質：（1）正交矩陣的行列式為1或-1;（2）正交矩陣的轉置等于其逆矩陣，即;（3）若A,

B為正交矩陣，則它們的逆矩陣和乘積矩陣AB也是正交矩陣；（4）C是正交矩陣的充要條件是C

的列（行）向量組是標準正交向量組.二、正交變換法定義6

設

C

為

n

階正交矩陣，x,

y

是

n

維實向量，則稱線性變換是

n

維實空間注：利用正交變換上的正交變換.將實二次型轉化為標準形則等價于實對稱矩陣A

求一個正交矩陣C，使得二、正交變換法定理6 對

n階實對稱矩陣

A，有（1）A

的特征值都是實數.（2）A

的對應于不同特征值的特征向量必正交.定理7 對

n

階實對稱矩陣

A，必存在正交矩陣

C，使得其中 為A

的特征值，C

的

n

個列向量是

A

的對應特征值的標準正交特征向量.二、正交變換法歸納以上定理的結果，用正交變換化二次型為標準形的一般步驟如下：，求

A

的

n

個特征值，求

A

關于；的線性無關的特征向量；（1）由（2）對 ，由（3）對重特征值 ，用施密特正交化方法，將

t

個線性無關的特征向量正交化；（4）將

A

的

n

個正交的特征向量單位化，再以它們為列向量構成正交矩陣

C，并寫出相應的正交變換 和二次型的標準形.練習例