§2.1

導(dǎo)數(shù)的概念

CONTENT1導(dǎo)數(shù)的定義目錄2用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)3導(dǎo)數(shù)的幾何意義4函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系

前言微積分極限微分學(xué)積分學(xué)不定積分定積分導(dǎo)數(shù)微分

前言微積分學(xué)的創(chuàng)始人:

英國數(shù)學(xué)家牛頓

(Newton)

德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨

(Leibniz)

他們把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起,一個(gè)是切線問題(微分學(xué)的中心問題),一個(gè)是求積問題(積分學(xué)的中心問題).

前言牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來考慮,萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的.

牛頓在1671年寫了《流數(shù)術(shù)和無窮級(jí)數(shù)》,他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量,把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù).他所提出的中心問題是:已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑,求給定時(shí)刻的速度(微分法);已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法).百科全書式“全才”

前言1686年,萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn),他是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一,他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào),這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響.現(xiàn)今我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的.歷史上少有的“通才”

前言十七世紀(jì),有許多科學(xué)問題需要解決,這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素.歸結(jié)起來,大約有四種主要類型的問題:第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的,也就是求即時(shí)速度的問題;第二類問題是求曲線的切線的問題;第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題;第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力.

前言微分學(xué)

導(dǎo)數(shù):描述函數(shù)變化快慢

微分:描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具(從微觀上研究函數(shù))導(dǎo)數(shù)的定義Chapter1第一部分:變化率問題舉例引例1

變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度設(shè)一質(zhì)點(diǎn)按某種規(guī)律做變速直線運(yùn)動(dòng),質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程s與時(shí)間t的關(guān)系s=s(t),求質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度.質(zhì)點(diǎn)從到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為:質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為:第一部分:變化率問題舉例

設(shè)從0到t這段時(shí)間通過導(dǎo)體橫截面的電量為Q(t),求t0時(shí)刻的電流強(qiáng)度

i(t0).引例2

非恒定電流的電流強(qiáng)度

物理學(xué)中,對(duì)于恒定電流來說,電流強(qiáng)度(簡稱電流),即單位時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)線橫截面的電量,可用公式

來計(jì)算,其中Q為通過的電量,t為時(shí)間.但在實(shí)際問題中,常會(huì)遇到非恒定的電流.例如,正弦交流電.

時(shí)間t在時(shí)刻t0有增量,則在

這段時(shí)間內(nèi)的平均電流強(qiáng)度為

第一部分:變化率問題舉例

設(shè)從0到t這段時(shí)間通過導(dǎo)體橫截面的電量為Q(t),求t0時(shí)刻的電流強(qiáng)度

i(t0).引例2

非恒定電流的電流強(qiáng)度

當(dāng)

時(shí),的極限就是t0時(shí)刻的瞬時(shí)電流強(qiáng)度

i(t0),即

第二部分:導(dǎo)數(shù)的定義注:函數(shù)的導(dǎo)數(shù):函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比

在自變量增量趨于零時(shí)的極限.第二部分:導(dǎo)數(shù)的定義定義1設(shè)

y=f(x)在點(diǎn)

x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x在x0處取得增量(點(diǎn)

仍在該鄰域內(nèi))時(shí),相應(yīng)地,函數(shù)

y取得增量若當(dāng)

時(shí),極限存在,則稱此極限為函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x0處的導(dǎo)數(shù),并稱函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x0處可導(dǎo),記為第二部分:導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)定義式的其它形式：第二部分:導(dǎo)數(shù)的定義說明:在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,邊際成本率、邊際勞動(dòng)生產(chǎn)率和邊際稅率等從數(shù)學(xué)角度看就是導(dǎo)數(shù).根據(jù)導(dǎo)數(shù)概念,前面兩個(gè)問題可以表述為:(1)求變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度,即求路程函數(shù)s=s(t)

在處的導(dǎo)數(shù)即(2)求非恒定電流在t0時(shí)刻的電流強(qiáng)度,即求通過導(dǎo)體橫截面的電量函數(shù)Q(t)在t0處的導(dǎo)數(shù)即第二部分:導(dǎo)數(shù)的定義注:用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的步驟為:(1)求增量：(2)算比值：(3)取極限：第三部分：單側(cè)導(dǎo)數(shù)定義2設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0的某個(gè)左鄰域(或右鄰域)內(nèi)有定義,且極限

(或)存在,則稱此極限值為f(x)在點(diǎn)

x0的左導(dǎo)數(shù)(或右導(dǎo)數(shù)),記為(或),即第三部分：單側(cè)導(dǎo)數(shù)定理1函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0處可導(dǎo)的充分必要條件是:函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)

x0處的左、右導(dǎo)數(shù)均存在且相等,即

練習(xí)例1討論

在

x=0處的可導(dǎo)性.

解

而

由于,因而

在

x=0處不可導(dǎo).

練習(xí)例2求函數(shù)

在

x=0處的導(dǎo)數(shù).

解

當(dāng)

時(shí),故

當(dāng)

時(shí),由,得第四部分：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)及導(dǎo)函數(shù)定義3若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo),則稱f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；若f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在點(diǎn)a右側(cè)可導(dǎo),在點(diǎn)b左側(cè)可導(dǎo),則稱

f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo).注:f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)時(shí),對(duì)任意的,總存在唯一的導(dǎo)數(shù)值

與之對(duì)應(yīng).因此

是x的函數(shù),稱

為f(x)的導(dǎo)函數(shù),簡稱導(dǎo)數(shù),導(dǎo)函數(shù)

也可記為第四部分：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)及導(dǎo)函數(shù)

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

,也就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值,即第四部分：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)及導(dǎo)函數(shù)?思考

函數(shù)

f(x)在某點(diǎn)

x0處的導(dǎo)數(shù)

與導(dǎo)函數(shù)

有什么區(qū)別與聯(lián)系？

解

是

在點(diǎn)

x0的導(dǎo)數(shù)值,是一個(gè)具體的數(shù)值.

是由于f(x)在某區(qū)間

I上每一點(diǎn)都可導(dǎo)而定義在

I上的一個(gè)新函數(shù).兩者的區(qū)別兩者的聯(lián)系一個(gè)是數(shù)值,另一個(gè)是函數(shù).

在某點(diǎn)

x0處的導(dǎo)數(shù)

即是導(dǎo)函數(shù)

在

x0處的函數(shù)值.用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)Chapter2第一部分:用定義求導(dǎo)數(shù)注:用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)

f(x)的導(dǎo)數(shù)分為三步:(1)求增量：(2)算比值：(3)取極限：

練習(xí)例3求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù).

解

即

練習(xí)例4求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù).

解

因?yàn)?/p>

時(shí),所以

練習(xí)例5設(shè)

存在,求極限

解

練習(xí)例6若函數(shù)

f(x)可導(dǎo),求.

解

導(dǎo)數(shù)的幾何意義Chapter3第一部分:導(dǎo)數(shù)的幾何意義

割線的斜率為:例如

切線問題設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示,是其上的一點(diǎn),求曲線在點(diǎn)處切線的斜率k.

切線的斜率為:第一部分:導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義:曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線斜率若,曲線過上升;若,曲線過下降;若,切線與x軸平行;若,切線與x軸垂直.第一部分:導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線

y=f(x)在點(diǎn)

處的切線方程為法線方程為

練習(xí)例7若曲線

y=x3在(x0,y0)處切線斜率等于3,求點(diǎn)(x0,y0)的坐標(biāo).

解

由題意得,即

解得

把

x0=1代入

y=x3,得

y0=1.把

x0=-1代入

y=x3,得

y0=-1.綜上得,點(diǎn)(x0,y0)的坐標(biāo)為(1,1)和(-1,-1).

練習(xí)例8拋物線

y=x2在何處切線與Ox軸正向夾角為,并求該處的切線方程.

解

由題意得,即

解得

把

代入

y=x2,得

所以

y=x2在點(diǎn)

處切線與Ox軸正向夾角為,且此處的切線為函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系Chapter4第一部分：函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理2若函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),則它在x0處連續(xù).

證

因?yàn)楹瘮?shù)

y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),故有其中,從而

所以,函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).第一部分：函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理2若函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),則它在x0處連續(xù).注：該定理的逆命題不成立.即函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù),但在該點(diǎn)不一定可導(dǎo).例如,在例5中函數(shù)

f(x)=|x|在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo).例9設(shè)

問a,b取何值時(shí),函數(shù)

f(x)在x=0處可導(dǎo).解

f(x)在x=0處可導(dǎo),其必要條件是

f(x)在x=0處連續(xù),即因?yàn)樗?/p>

b=1.

練習(xí)

練習(xí)例9設(shè)

問a,b取何值時(shí),函數(shù)

f(x)在x=0處可導(dǎo).解

又若要

f(x)在x=0處可導(dǎo),必有

a=1.所以,當(dāng)a=1,b=1時(shí),