廣東省廣州市南國學校中學部高二數學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，F1、F2是橢圓與雙曲線C2的公共焦點，A、B分別是C1、C2在第二、四象限的公共點，若四邊形為矩形，則C2的離心率是（

）A. B. C. D.參考答案：D【詳解】試題分析：由橢圓與雙曲線的定義可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a(其中2a為雙曲線的長軸長)，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四邊形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(2)2，∴a＝，∴e＝＝.考點：橢圓的幾何性質．2.設A，B兩點的坐標分別為(－1,0),

(1,0)，條件甲：點C滿足；條件乙：點C的坐標是方程+=1(y10)的解.

則甲是乙的（

）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件Ｃ.充要條件

D．既不是充分條件也不是必要條件參考答案：B3.用0,1,2,3,4排成沒有重復數字的五位數，要求偶數相鄰，奇數也相鄰，則這樣的五位數的個數是

（

）

A、20

B、24

C、30

D、36參考答案：A略4.已知x與y之間的幾組數據如下表：x123456y021334假設根據上表數據所得線性回歸直線方程為=x+中的前兩組數據（1，0）和（2，2）求得的直線方程為y=b′x+a′，則以下結論正確的是（）A．＞b′，＞a′ B．＞b′，＜a′ C．＜b′，＞a′ D．＜b′，＜a′參考答案：C【考點】線性回歸方程．【分析】由表格總的數據可得n，，，進而可得，和，代入可得，進而可得，再由直線方程的求法可得b′和a′，比較可得答案．【解答】解：由題意可知n=6，===，==，故=91﹣6×=22，=58﹣6××=，故可得==，==﹣×=，而由直線方程的求解可得b′==2，把（1，0）代入可得a′=﹣2，比較可得＜b′，＞a′，故選C5.某社區現有480個住戶，其中中等收入家庭200戶、低收入家庭160戶，其他為高收入家庭.在建設幸福社區的某次分層抽樣調查中，高收入家庭被抽取了6戶，則在此次分層抽樣調查中，被抽取的總戶數為

（

）A．20

B．24

C．36

D．30參考答案：B6.在中，若，則A等于（

）A．或

B．或

C．或

D．或參考答案：D7.若圓的方程為（為參數），直線的方程為（t為參數），則直線與圓的位置關系是（

）。A

相交過圓心

B相交而不過圓心

C

相切

D

相離參考答案：D略8.下列有關命題的說法中錯誤的是（

）

A．若為假命題，則、均為假命題.B．“”是“”的充分不必要條件.C．命題“若則”的逆否命題為：“若則”.D．對于命題使得＜0，則，使.參考答案：D9.在300米高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°，則塔高為（

）

A.200米

B.米

C.200米

D.米參考答案：A10.已知集合，，則A∩B=（

）A.{－1,0,1} B.{－1,0} C.{0,1} D.{－1,1}參考答案：B【分析】先求集合，然后求.【詳解】因為，所以，選B.【點睛】本題考查了集合的交集.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量則的坐標是

.

參考答案：（-7，-1）略12.從5名學生中任選4名分別參加數學、物理、化學、生物四科競賽，且每科競賽只有1人參加。若甲參加，但不參加生物競賽，則不同的選擇方案共有

種。參考答案：13.已知曲線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為，若直線與曲線有且只有一個公共點，則實數的值為_________.參考答案：或【分析】由曲線的極坐標方程為，轉化為，然后求出表示以為圓心，1為半徑的圓，將，化為直角坐標方程為，然后，由題意可知，然后求解即可【詳解】曲線的極坐標方程為，化為直角坐標方程為，即，表示以為圓心，1為半徑的圓，又由直線的極坐標方程是，即，化為直角坐標方程為，由直線與曲線有且只有一個公共點，，解得或，所以，答案為或【點睛】本題考查極坐標方程與直角坐標方程的互化以及直線與圓的位置關系問題，屬于基礎題14.函數的單調遞增區間是___________________________。參考答案：15.如圖，將標號為1，2，3，4，5的五塊區域染上紅、黃、綠三種顏色中的一種，使得相鄰區域（有公共邊）的顏色不同，則不同的染色方法有

種．參考答案：3016.函數的遞減區間是__________．參考答案：（0,2）17.已知雙曲線與拋物線有一個公共的焦點，且兩曲線的一個交點為，若，則雙曲線方程為

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知是一次函數，且滿足

(Ⅰ)求；(Ⅱ)若F(x)為奇函數且定義域為R，且x＞0時，F(x)=f(x)，求F(x)的解析式.參考答案：解(Ⅰ)設，則

……………3分

故，

解得，

∴

……………6分(Ⅱ)∵F(x)為奇函數，∴F(-x)=-F(x)

…………………8分

當x=0時，F(-0)=-F(0)，即F(0)=0………………10分

當x＜0時，-x＞0

F(x)=-F(-x)=-[2(-x)+7]=2x-7，…………………13分

故，F(x)=.

………14分19.已知數列{an}是首項為a1=，公比q=的等比數列，設（n∈N*），cn=anbn（n∈N*）（1）求數列{bn}的通項公式；（2）求數列{cn}的前n項和Sn．參考答案：【考點】等差數列與等比數列的綜合；數列的求和．【專題】計算題；轉化思想．【分析】（1）由題意知本題an=，（n∈N*），再根據bn+2=3logan（n∈N*），求出數列{bn}的通項公式；（2）求數列{cn}的前n項和Sn．先根據cn=anbn（n∈N*）求出數列{cn}通項，再利用錯位相減法求其前n項和Sn．【解答】解：（1）由題意知，an=，（n∈N*），又bn=3logan﹣2，故bn=3n﹣2，（n∈N*），（2）由（1）知，an=，bn=3n﹣2，（n∈N*），∴cn=（3n﹣2）×，（n∈N*），∴Sn=1×+4×+7×+…+（3n﹣5）×+（3n﹣2）×，∴Sn=1×+4×+7×+…+（3n﹣8）×+（3n﹣5）×+（3n﹣2）×，兩式相減，得Sn=+3﹣（3n﹣2）×=﹣（3n+2）×∴Sn=﹣，（n∈N*）【點評】本題考查了等差與等比數列的綜合，主要考查了等比數列的通項公式及求和的技巧錯位相減法，如果一個數列的項是由一個等差數列的項與一個等比數列的相應項乘積組成，即可用錯位相減法求和．本題易因錯位相減時規則不熟悉出錯，要好好研究．20.已知函數f（x）=ax+lnx（a∈R），g（x）=x2﹣2x+2（Ⅰ）求f（x）的單調區間；（Ⅱ）若?x1∈（0，+∞），均?x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范圍．參考答案：【考點】6B：利用導數研究函數的單調性；6E：利用導數求閉區間上函數的最值．【分析】（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）問題可轉化為f（x）max＜g（x）max，根據函數的單調性分別求出f（x）的最大值和g（x）的最大值，求出a的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ），①當a≥0時，∵x＞0，∴f'（x）＞0，所以f（x）的單調增區間為（0，+∞），②當a＜0時，令f'（x）＞0，得，令f'（x）＜0，得，所以f（x）的單調增區間為（0，），單調減區間為（，+∞）；（Ⅱ）問題可轉化為f（x）max＜g（x）max，已知g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g（x）max=2，由（Ⅰ）知，當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，值域為R，故不符合題意；當a＜0時，所以f（x）在（0，）上單調遞增，在（，+∞）單調遞減，故f（x）max=f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a），所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得：a＜﹣e﹣3．【點評】本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．21.如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA=AD=2，點E、F、G分別為線段PA、PD和CD的中點.（1）求異面直線EG與BD所成角的大小；（2）在線段CD上是否存在一點Q，使得點A到平面EFQ的距離恰為？若存在，求出線段CQ的長；若不存在，請說明理由.參考答案：（1）；（2）線段CQ的長度為.【分析】（1）以點A為坐標原點，射線AB，AD，AZ分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建系如圖示，寫出點E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），和向量，的坐標，利用異面直線EG與BD所成角公式求出異面直線EG與BD所成角大小即可；（2）對于存在性問題，可先假設存在，即先假設在線段CD上存在一點Q滿足條件，設點Q（x0，2，0），平面EFQ的法向量為，再點A到平面EFQ的距離，求出x0，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．【詳解】解：（1）以點A為坐標原點，射線AB，AD，AZ分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系如圖示，點E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），則，．設異面直線EG與BD所成角為θ，所以異面直線EG與BD所成角大小為．（2）假設在線段CD上存在一點Q滿足條件，設點Q（x0，2，0），平面EFQ的法向量為，則有得到y＝0，z＝xx0，取x＝1，所以，則，又x0＞0，解得，所以點即，則．所以在線段CD上存在一點Q滿足條件，且線段CQ的長度為．【點睛】：考查空間向量的應用，向量的夾角公式，解本題關鍵在于對空間向量和線線角的結合原理要熟悉.屬于基礎題.22.已知圓上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足.

（1）求點G的軌跡C的方程；

（2）過點（2，0）作直線，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設

是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.參考答案：解析;（1）Q為PN的中點且GQ⊥PN

GQ為PN的中垂線|PG|=|GN|

∴|GN|