專題12解析幾何

易命臺(tái)所

一、使用兩平行線間距離公式忽略系數(shù)相等致錯(cuò)

1.求兩條平行直線y=3x+5與6χ-2y+3=0間的距離.

【錯(cuò)解】直線方程y=3x+5可化為3χ-y+5=O,

則直線3χ-y+5=0與6χ-2y+3=0間的距離d—P31._.

√3r∏r10

【錯(cuò)因】6x—2y+10=0與6x—2y+3=0中x、y的系數(shù)不對(duì)應(yīng)相等，不能直接用公式。在使用兩

條平行直線間的距離公式時(shí)，一定要注意：兩條直線方程均為一般式，且x、y的系數(shù)

對(duì)應(yīng)相等，而不是對(duì)應(yīng)成比例，因此當(dāng)直線方程不滿足此條件時(shí)，應(yīng)先將方程變形.

【正解】經(jīng)變形得兩條平行直線的方程為6χ-2y+10=0和6χ-2y+3=0,

故它們之間的距離為'J°T=Z叵.

√62+2220

二、有關(guān)截距相等問(wèn)題忽略截距為零致錯(cuò)

2、直線/過(guò)點(diǎn)P(1,3),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則直線I的方程為

【錯(cuò)解】因?yàn)橹本€/過(guò)點(diǎn)P(l,3),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,設(shè)直線/的方程為'+』=1,

aa

1q

則一+士=1,所以α=4,故直線/的方程為±+}=1,即χ+y-4=0.【答案】x+y-4=0

ab44

【錯(cuò)因】錯(cuò)誤原因是忽略直線/過(guò)原點(diǎn),截距為零的情況.

【正解】若直線/過(guò)原點(diǎn),滿足題意,此時(shí)直線/的方程為y=3x；

若直線/不過(guò)原點(diǎn),設(shè)直線/的方程為二+上=1,則上+士=1,所以。=4,

aaah

故直線/的方程為±+l=l,即x+y—4=0.

44

綜上，直線/的方程為y=3x或X+y—4=0.

3.過(guò)點(diǎn)/(—3,5)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為.

【錯(cuò)解】設(shè)直線方程為‘+=-=1,即x—y=α,代入點(diǎn)(一3,5),得“=—8,

a—a

即直線方程為χ-y+8=0.答案：χ-y+8=0

【錯(cuò)因】未考慮直線過(guò)原點(diǎn)的情況。

【正解】①當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線方程為J，=-∣X,即5x+3y=0;

②當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為二+?=1,即χ-y=α,

a—a

代入點(diǎn)(-3,5),得。=一8,即直線方程為χ-y+8=0.

綜上，直線方程為5x+3y=0或x—y+8=0.

三、已知兩直線平行求參數(shù)的值未驗(yàn)證致錯(cuò)

4.已知直線4x+3y+1=0與x+(α—2)y+a=0平行，則α的值為.

【錯(cuò)解】令3Xl=α(α—2),解得〃=-1或α=3.答案：-1或3

【錯(cuò)因】未驗(yàn)證α的值會(huì)不會(huì)使兩直線平行。

【正解】令3XI="(α-2),解得a=-I或α=3.

當(dāng)α=-l時(shí)，兩條直線的方程都為χ-3y-l=0,即兩條直線重合，故舍去；

當(dāng)”=3時(shí)，兩條直線的方程分別為3x+3y+l=0,x+y+3=0,兩條直線平行.

：.a的值為3.

四、未討論參數(shù)的取值致錯(cuò)

5.已知直線4：mx+y-l=0,I2：(2m+3)x+my-l=0,m∈R,則"加=-2"是“∕∣_L乙''

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

—2m-3

【錯(cuò)解】C,因?yàn)楱M∣?L∕2,則(-W)X-----------=-1.即2加+3=-1，解得〃?=—2,

m

所以“優(yōu)=-2”是“W=O或加=一2”的充要條件.

【錯(cuò)因】未考慮機(jī)=0的情況，

—2m—3

【止解】A,(1)當(dāng)加≠0時(shí)，因?yàn)?，，2，則(—加)x-----------=—1，即2加+3=—L解得m=-2.

m

(2)當(dāng)加=0時(shí),直線4,1的方程分別為3-1=0,3x-1=0,顯然［JL］，

由上可知*若K>L4，則加=0或加=-2,

所以“m=-2”是“m=0或加=一2”的充分不必要條件

五、誤用點(diǎn)線距離公式致錯(cuò)

6.點(diǎn)(1,T)到直線χ-y+l=O的距離是()

B.?C?也D.還

2222

【錯(cuò)解】由點(diǎn)到直線的距離公式知'x[(T)x""=與敕選C

√12+122

【錯(cuò)因】在運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，沒(méi)有理解直線Ax+By+C=O中，B的取值，B應(yīng)取T,而

不是取L

【止解】由點(diǎn)到直線的距離公式如“義1+([?X')+11=半故選D

√12+I22

7.“a=b”是"直線y=x+2與圓(x-α)2+(y+∕))2=2相切的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【錯(cuò)解】當(dāng)α=b時(shí)圓心坐標(biāo)為(a,-a),圓心到直線的距離為莊誓J=也與半徑相等，

√2

故α=b是直線和圓相切的充分條件，同理直線與圓相切時(shí)，

圓心("i)到量=x+2的距離為蛆二"^=√∑=α=b,

√2

故α=b是直線y=χ+2與圓(x-αf+(y+b)?=2相切的充分必要條件.選A。

【錯(cuò)因】在運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí),y=x+2應(yīng)先變?yōu)閤-y+2=0再計(jì)算.這里y的系數(shù)應(yīng)

為-1而不是未變形前的1.

【正解】C,%α=b時(shí)，圓心(α,-α)到有線x-y+2=0的距離為也與必不?定剛好等于√Ξ.

√2

故不是充分條件-，當(dāng)直線與圓相切時(shí),(ɑ,-方)到直線x-y+2=0的距離應(yīng)等于半徑，

即-S解得a+b-O^a+t>--4故也不是必要條件,

綜上可得，a=h是直線y=x+2L"因(χ-α)2+(y+b)2=2相切的既不充分也不必要條件.

六、忽視切線斜率不存在致錯(cuò)

8.過(guò)點(diǎn)尸(2,4)作圓(工一l)2+(v—1)2=1的切線，則切線方程為()

A.3x+4y-4=0

B.4x—3y+4=0

C.x=2或4x—3y+4=0

D.y=4或3x+4y-4=0

【錯(cuò)解】選B,設(shè)切線方程為歹一4=〃。-2),即去一丁+4—2左=0,則＞一＞上網(wǎng)=ι,

?√A2+1

解得％=：,得切線方程為4x—3y+4=0.

【錯(cuò)因】沒(méi)考慮斜率不存在的情況。

【正解】(1)當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線x=2與圓相切；

(2)當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y-4=K(x—2),即AX-.n+4-24=0,

則.一1?=2@=],解得上=4,得切線方程為4x—3y+4=0.

√?2+l3

綜上，得切線方程為x=2或4.v-3y+4=0.

9.已知直線/過(guò)點(diǎn)(5,10),且到原點(diǎn)的距離為5,則直線/的方程為.

【錯(cuò)解】設(shè)其斜率為h則所求直線方程為y-I0=?(χ-5),即h-y+10-5A=0,

由點(diǎn)到直線的距離公式得生”=5,解得上=3.故所求直線方程為3χ-4v+25=0.

?∣k2+?4

答案：3χ-4y+25=0

【錯(cuò)因】沒(méi)考慮斜率不存在的情況。

【正解】(1)當(dāng)斜率不存在時(shí)，所求直線的方程為χ-5=0,滿足題意；

(2)當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為則所求直線方程為廣-10=k(x—5),

即fcr—y+10—5%=0,由點(diǎn)到直線的距離公式得“~”∣=5,解得左='.

√?2+l4

故所求直線方程為3x—4y+25=0.

綜上，得■切線方程為χ-5=0或3χ-4v+25=0.

10.若直線過(guò)點(diǎn)P(4,l)且被圓f+V=25截得的弦長(zhǎng)是6,則該直線的方程為.

【錯(cuò)解】設(shè)直線的方程為V-I=A(X—4),即kχ-y-4k-?-1=0,圓心到直線的距離

/~Γ∣-4?+lΓ[

則Ch2-lqp+l)=6,解得左=一"，所以直線方程為15x+8y-68=0.

8

答案：15x+8y-68=0

【錯(cuò)因】沒(méi)考慮斜率不存在的情況。

【正解】(1)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，該直線的方程為x=4,代入圓的方程解得y=±3,

故該直線被圓截得的弦長(zhǎng)為6,符合題意.

(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線的方程為y-l=A(x—4),即h一y一必+1=0,

圓心到直線的距離d=匚等』，則2^52-[爐口]=6,解得K=一任，

√?2+18

所以直線方程為15x+8y—68=0.

綜上所述，所求直線方程為x=4或I5x+8y-68=0.

答案：x=4或15x+8y-68=0

七、混淆直線與圓有公共點(diǎn)與直線與圓相交致錯(cuò)

IL若曲線C：χz+(y+l)2=l與直線/:x+y+a=O有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

22

X+3+1)-=1,

{x+y+a=O

消去x,化簡(jiǎn)得.2y"+2(a+l)y÷a2=0,則△>0=>V2-1<a<>∣2+1.

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為JΣ-l<α<√2+U

【錯(cuò)因】忽略了直線與圓相切時(shí)的情況。

【正解】因?yàn)榍€C與自線/有公共點(diǎn)，故聯(lián)立方程得卜,('+I))=1,

[x+y+q=0

消去X,化簡(jiǎn)得2y'+2(a+l)y+aJ0,則△≥O=y∣2-l≤a≤C+1，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為√Σ-l≤α≤√^+l

八、忽略方程X2+J2+‰+EJ+F=O表示圓的條件致錯(cuò)

12^已知圓C的方程為/+產(chǎn)+辦+2》+〃2=0,過(guò)點(diǎn)4(1,2)作圓的切線有兩條,求a的取值范圍.

【錯(cuò)解】將圓C的方程配方有(x+@)2+。+1)2=匕魚(yú).

24

.?.圓心C的坐標(biāo)為(一3一I),半徑r=亞券.

當(dāng)點(diǎn)/在圓外時(shí),過(guò)點(diǎn)A可以作圓的兩條切線，

.?.∣∕C"即J(l+∕+(2+l)2>"二

化簡(jiǎn)得。2+。+9>04=1-4x9=-35<0,.?.α∈R.

【錯(cuò)解】錯(cuò)解中只考慮了點(diǎn)/在圓C外部,而忽視了方程χ2+V+αχ+2y+∕=o表示圓的條件.

注意，二元二次方程d+f+Ay+Ey+F=O表示圓的條件是〃+不—4Q0.

【正解】將圓C的方程配方有(X+@)2+S+1)2=±M.?.匕密>0,①

244

.?.圓心C的坐標(biāo)為(一4,一1),半徑r=WTaj

22

當(dāng)點(diǎn)4在圓外時(shí),過(guò)點(diǎn)4可作圓的兩條切線，

ΛMC∣>r,β∣JJ(l+∣)2+(2+l)2化簡(jiǎn)得/+〃+"。.②，

由①②得一垣<a<2更,；.a的取值范圍是一氈

3333

九、忽視隱含條件致錯(cuò)

13.若點(diǎn)(1,2)在圓(x+α)2+(y-α)2=2∕的外部，則實(shí)數(shù)α的取值范圍是()

B.(-∞.O)u[°,3

-8,

AJD

+∞j

D.

【錯(cuò)解】選A,Y點(diǎn)(1,2)在圓的外部，Λ(l+α)2+(2-α)2>2a2,即5—2“>0,α<∣,

，實(shí)數(shù)”的取值范圍為

【錯(cuò)因】忽略了隱含條件αHO,

【正解】選B；點(diǎn)(1,2)在圓的外部，.?.(l+α)2+(2—α)2>2∕,gρ5-2α>0,a<~,又2α>0,

2

foq

.?.fl≠0,.?.實(shí)數(shù)α的取值范圍為(一8,O)LJI'2J.

14.已知點(diǎn)P(X,y)為圓N+y2=ι上的動(dòng)點(diǎn)，則/+4y的最大值為.

【錯(cuò)解】因?yàn)辄c(diǎn)P(X,夕)為圓χ2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，所以χ2+4y=1—y2+4y=—&—2尸+5.

所以當(dāng)y=2時(shí)，r+4J取得最大值為5.答案：5

【錯(cuò)因】忽略了隱含條件y∈[-U],

【正解】因?yàn)辄c(diǎn)尸(x,刃為圓χ2+y2=I上的動(dòng)點(diǎn)，Vλx2+4y=1—v2÷4y=—(y-2)2÷5.

因?yàn)閥∈[-LU,所以當(dāng)y=l時(shí)，/+4),取得最大值為4.答案：4

十、由直線的一般式方程求斜率時(shí)忽略符號(hào)致錯(cuò)

15.已知過(guò)點(diǎn)A(-2,m)和B(M,4)的直線與直線2x+y-l=0平行，則m的值為()

A.0B.-8C.2D.10

【錯(cuò)解】A,兩直線平行故斜率相等可得：Wz土=2.?.m=0.故選A.

【錯(cuò)因】直線2x+y-l=0的斜率是-2,而不是2,注意移項(xiàng)時(shí)要變號(hào)。

【正解】B,利用兩直線平行斜率相等可得：上七=_2=”,=-8故選A

-2-m

16.設(shè)直線ax+by+c=O的傾斜角為a,且Sina+cosa=0,則a、b滿足()

A.a+b=lB.a-b=lC.a+b=OD.a-b=O

【錯(cuò)解】C.Vsina+cosa=0=>tana=-?,Xtana=k=-=-?..,.a+b=0故選C.

h

【錯(cuò)因】直線ax+by+c=O的斜率是-而不是注意移項(xiàng)時(shí)要變號(hào)。

bh

【正解】D,Vsinα+cosa=0.?.tana=-?5Ltnaa≈k=--=↑:.a-b=0.

十一、計(jì)算不嚴(yán)謹(jǐn)致錯(cuò)

17.已知直線L過(guò)點(diǎn)(-2,0),當(dāng)直線L與圓f+y2=2χ有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜率k取值范圍是

^.(-2√2,2√2)β.(-√2,√2)

D.(--,?)

4488

【錯(cuò)解】設(shè)此直線為y=%(χ+2).圓心到直線的距離剛好好等于半徑(即相切)時(shí),

/女=InM=.?./=：,故選D.

√1+Λ2*8

【錯(cuò)因】計(jì)算出M,并沒(méi)有開(kāi)方算出左=±e.

4

【正解】可設(shè)直線方程為……代入圓的方程中,用。可得M<**上字.選C.

18、圓心為(1,2)且與直線5x-12x-7=0相切的圓的方程為.

【錯(cuò)解】圓心到直線的距離等于半徑，即∣lx5yx(-⑵-7∣=r=2..?.

√52+122

圓的方程為(X-I)2+(y-2)2=2.

【錯(cuò)因】在算出r后,往(X-XO)2+(尸犬)2=尸中代入時(shí)、忘記后面是R

【正解】由圓心到直線的距離鐘了半徑得r=2.,?.?圓的方程為(X-I)2+(y-2)2=4.

易福找造關(guān)

1.若直線x=2的傾斜角為α,則α的值為()

A.0B.-C.-D.不存在

42

【答案】C

【解析】因?yàn)橹本€x=2垂直于X軸，所以傾斜南α為三

2

2.(多選)若直線/過(guò)點(diǎn)/(1,2),且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，則直線/的方程可能為

()

A.x~y+l=OB.x+y—3=0

C.2χ-y=0D.x—y—1=0

【答案】ABC

2—O

【解析】當(dāng)直線/經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線/的斜率攵一-=2,直線/的方程為y=2x,即2x一歹=0;

當(dāng)直線/不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線/的方程為χ-y=%或x+y=A,把點(diǎn)/(1,2)的坐標(biāo)代入可得1-2

=攵或1+2=總得4=—1或2=3,故直線/的方程為x—y+l=0或x+j—3=0.故選A、B、

C.

2

3.(多選)直線∕ι：(a?1])χ+αy-1=0,ι2.(a—l)χ+(α+α)y+2=0,/?//h，則a的值可能是

()

A.-1B.OC.1D.-2

【答案】BCD

【解析】由題意知，a(a—1)=(涼一1)(。2+0),整理得a2(a-])(a+2)=0,

解得4=0或a=1或a=-2.

當(dāng)a=0時(shí)，∕∣:x÷1=0,/2：x—2=0,八〃/2成立；

當(dāng)a=1時(shí)，八：y—1=0,/2：y+l=0,八〃/2成立；

當(dāng)a=—2時(shí)，∕∣:3x—Iy—1=0,lit3x—Iy—2=0,八〃/2成立.

綜上所述，a=0或a=1或a=-2.

4.已知某圓圓心在X軸上，半徑為5,且截y軸所得線段長(zhǎng)為8,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(x+3)2+∕=25B.(χ-3)2+∕=25

C.(x±3)2+∕=25D.(x+9)2+∕=25

【答案】C

【解析】如圖,由題設(shè)知Mq=r=5,MBl=8,.?.∣O∕∣=4.在RtA4OC中,

IOC=AMCP一。a2=、52—42=3.設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,0),則QCl=間=3,

.?.4=±3.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X±3)2+J∕2=25.

5.已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】A￡拈埠⑷

【解析】設(shè)圓心為C(x,y),則N(x-3)2+0，-4)2=1,?及

化簡(jiǎn)得(工-3)2+。-4)2=1,所以圓心。的軌跡是以切(3,4)為圓心，.........

_____-2-ij∕i23455J

1為半徑的圓，如圖.所以Qel+12IOM=正聲=5,二；

所以IOc|/5—1=4,當(dāng)且僅當(dāng)C在線段OW上時(shí)取得等號(hào)，故選A.

6.直線mx—y+2=0與圓/+爐=9的位置關(guān)系是()

A.相交B.相切C.相離D.無(wú)法確定

【答案】A

【解析】圓/+爐=9的圓心為(0,0),半徑為3,直線mχ-y+2=0恒過(guò)點(diǎn)4(0,2),

而(P+22=4<9,所以點(diǎn)Z在圓的內(nèi)部，所以直線〃a-y+2=0與圓x2+V=9相交.

7.已知直線//(/-l)x+2y=0與直線3x+(叱l)y+4=0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為()

A.“=1B.a=-3C.4=1或a=-3D.不存在

【答案】C

【解析】當(dāng)4=1時(shí)，直線4：y=o,直線4：x=-4,兩直線垂直，符合題意；當(dāng)時(shí)，由兩

直線垂直可得α2-l+2（α-l）=0,解得。=-3或1（舍去），綜上所述，。=1或"-3.

8.直線（2w-l）x+叼+2=0和直線m+3y+l=0垂直，則實(shí)數(shù)加的值為（）

A.O或-1B.-1

C.3±√6D.3+y∣6

【答案】A

【解析】I大I為宜線（2"7-I）x+my+2=0和宜線"a+3y+l=O垂直，所以（2m-I）機(jī)+3m=O,

M=-1或=O.故選A.

9.過(guò)點(diǎn)/（1,4）,且橫、縱截距的絕對(duì)值相等的直線共有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】C

【解析】當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，橫、縱截距都為0,符合題意，當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程

14f■＞（c

XV—I—=1,Cl——3IQ=5

為±+5=1.由題意得αb解得A°或L＜綜上，符合題意的直線共有3條.

ab[∣α∣=∣?∣,2=3g=5

10.過(guò)點(diǎn)41,2）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）

A.x-y+l=OB.x+y-3=0

C.2x-y=O∏ξx+y-3=OD.2x-y=O或x-y+l=O

【答案】D

【解析】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，方程為y=2x,即2χ-y=0;當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方

程為±+2?=l,?.?直線過(guò)（1,2）,.?.L-2=1,.?.α=-l,，方程為x-y+l=O,故選D

a-aaa

H.若點(diǎn)尸（U）在圓C：x2+F+x-y+&=0的外部，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是（）

A.（-2,+∞）B.C.\2,g）D.（-2,2）

【答案】C

fl+1+l-l+A＞0I

【解析】由題意得〈1z1,a,解得-2＜左＜：,故選C.

[1+1-4Λ＞02

12.經(jīng)過(guò)點(diǎn)41,2）可做圓/+/+必一2尸4=0的兩條切線，則機(jī)的范圍是（）

A.（―?o,—U（2＞^^÷QO）B.（—5,—2Λ∕3）U（2??∕3,÷oo）

C.(-oo,-2?>∕2)(2Λ∕2,+oo)D.(―5,—2V2)U(2?V2,+oo)

【答案】B

22

【解析】圓χ2+j√+zπχ-2y+4=0,即為。-今了+(,一1)2=9.3,二?二〉。=<-2√?或

加>2√J:由題意知點(diǎn)/在圓外，.?.l+4+,"-4+4>0,解得m>-5.所以-5<,"-2√J或m>2√L

13.已知直線4：ax+4y—2=0與直線4：2x—5少+6=0互相垂直，垂足為(LC),則α+b+c的

值為()

A.20B.-4C.0D.24

【答案】B

??

【解析】直線4的斜率為—0,直線，2的斜率為一,兩直線垂直,可知—且一=—1，α=10,將垂

4545

足坐標(biāo)代入直線∕∣方程，得到c=-2,代入直線4方程，得到6=-12,所以

α+b+c=10-2-12=-4,

14.若直線/]:x+@+6=0/2Jα-2)x+3y+2α=0平行，則∕∣與乙間的距離為()

A.√2B.隨C.√3D.更

33

【答案】B

【解析】由題：直線4：x+a_y+6=0與41α-2)x+3y+2α=0平行，

則3=α(α-2),即。2_2°_3=0，解得α=3或α=-l,

當(dāng)α=3時(shí)，宜線4:x+3y+6=0與4：x+3y+6=0重合；

2

當(dāng)α=-l時(shí)，直線∕∣:x-y+6=0與4:x-y+-=0平行：，

6_2

兩直線之間的距離為3=8√2.

√2^3

15.若直線∕∣:ax+y-l=0與直線4：x+砂+1=0平行，則兩平行線間的距離為()

A.IB.√2C.2D.2√2

【答案】B

【解析】直線hαx+y-l=O與直線4?+@+1=0平行，則/—1=0,解得。=±1，

當(dāng)a=—1時(shí)，宜線4：x—y+l=O與直線4：x-N+l=0重合，故舍去.當(dāng)。=1時(shí)，直線

∕∣:X+y—1=0與直線4：x+y+1=0平行，故兩平行線間的距離d=4"=√2.

√2

16.已知點(diǎn)(a+La-l)在圓》2+/_2"_4=0的外部(不含邊界),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.a<1B.a>IC.0<a<1D.a>—

5

【答案】B

【解析】PlX2+?2-2ay-4=0,即x?+(y-a)2=a2+4,圓心(0,a),半徑廠=+4,

因?yàn)辄c(diǎn)(a+l,"l)在圓Y+y2-2qy-4=0的外部，所以點(diǎn)(a+l,"l)到圓心(0,a)的距離大于半

徑，即J(a+1(+(T)2>J/+4,解得〃>1,故選B.

17.過(guò)點(diǎn)(1,2)作直線/,滿足在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線/有()條.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】若截距都為零，則直線過(guò)(o,o),則直線方程為y=2x；若截距都不為零，則設(shè)直線方

程為±+上=1,則?L+2=1,解得a=3,所以直線方程為：x+y-3=0,故滿足在兩坐標(biāo)軸上

aaaa

截距相等的直線/有2條；故選B

18.若方程χ2+y2-2y+w2-M+l=0表示圓，則實(shí)數(shù)用的取值范圍為()

A.(-2,1)B.(TjC.(-∞,0)o(l,+∞)D.(0,1)

【答案】D

【解析】由方程χ2+∕-2y+m2-機(jī)+1=0表示圓，則02+(-2)2-4(∕√-∕n+l)>0,

解得0<m<1.所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(0,D.故選D

19.已知直線/：x+y-2=0與X軸和V軸分別交于4、8兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在以點(diǎn)/為圓心，2為半

徑的圓上，當(dāng)心IBP最大時(shí)，ANPB的面積為()

A.√2B.IC.2D.2√2

【答案】C

【詳解】由已知/(2,0),8(0,2)圓/的方程為(》-2)2+/=4,當(dāng)乙48戶最大時(shí)，

此時(shí)立線P8是圓/(x-2>+V=4的切線，即直線PB的方程為：y=2或X=0,

當(dāng)直線Rl的方程為y=2時(shí)?，zUP8的面積為1χ2x2=2,

2

當(dāng)直線RI的方程為X=O時(shí)，AZPB的面積為1χ2x2=2,

2

20.當(dāng)圓/+_/=4截直線/：x-ay+zn-1=0(/neR)所得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，加的值為()

A.-√2B.√2C.-1D.1

【答案】C

【詳解】直線/過(guò)定點(diǎn)”(1,1),圓W+/=4的圓心為O(0,0),半徑r=2,

當(dāng)/_LO/時(shí)，圓V+y2=4截直線/：1-叩+機(jī)_1=0(wwR)所得的弦長(zhǎng)最短，

由于％0/=1，所以分=T,即--—=-l,w=-l.

-m

21.已知直線hx+y-4=0,圓。52+/=2,A/是/上一點(diǎn)，MA,Λ∕8分別是圓。的切線，

則()

A.直線/與圓。相切B.圓。上的點(diǎn)到直線/的距離的最小值為加

C.存在點(diǎn)使NXMB=90。D.存在點(diǎn)M,使A∕M8為等邊三角形

【答案】BD

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，圓心到直線的距離d=?7?=2√∑>√∑=r,所以直線和圓相離，故

√12+12

A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，圓O上的點(diǎn)到直線/的距離的最小值為"r?=√∑,故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)OM_L/時(shí)，有最大值60。，故C錯(cuò)誤：

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)OMdJ時(shí)，A∕M5為等邊三角形，故D正確.

22.下列命題正確的是()

A.已知點(diǎn)4(2,—3),3(-3,-2),若直線y=H'-l)+l與線段有交點(diǎn)，則女≥;或左≤-4

B.〃?=1是直線4：∕nx+y-l=O與直線公(〃L2)X+⑺-2=0垂直的充分不必要條件

C.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)且在X軸和了軸上的截距都相等的直線的方程為χ+y-2=0

D.已知直線∕∣:?X-y+l=O,l2:x+αy+l=O,α∈R,和兩點(diǎn)Z(0,1),5(-1,0),如果與(交

于點(diǎn)〃，則IMI網(wǎng)的最大值是1.

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A,Y直線P="(x-l)+1過(guò)定點(diǎn)產(chǎn)(U),又點(diǎn)4(2,-3),5(-3,-2),

.,_1+3_.._1+2_3

pa1-2PB1+34

3

如圖可知若直線y=儀x-l)+l與線段48有交點(diǎn)，則上≤M"=-4,或A≥∕*=?,故A正確；

對(duì)于B,由直線mx+y-l=0與直線4：(加-2)x+〃沙一2=0垂直得，

m(m-2)+W=O,解得〃?=0或〃?=1,故"?=1是直線∕∣:mx+j—l=O與直線4：

(∕n-2)x+叼-2=0垂直的充分不必要條件，故B正確；

對(duì)于C,當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線為X=N,

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線為二+[=1,代入點(diǎn)(U),得。=2,所以直線方程為x+y-2=0,

aa

故經(jīng)過(guò)點(diǎn)(I,i)Q在X軸和V軸上的截距都相等的直線的方程為x+y-2=0或X=N,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,:直線∕∣:4X-V+1=0,12：x+αy+l=O,Xa×l-l×α=O,所以兩直線垂直，

.?.∣M4∣2+Mg=.時(shí)=2,.?/必.物設(shè)地半生=1,當(dāng)且僅當(dāng)p?4∣=∣Mδ∣時(shí)取等號(hào)，故D正

確.

23.下列說(shuō)法箱誤的是()

A.若直線∕x-y+l=O與直線x-oy-2=0互相垂直，貝IJa=-I

TT3Tl

B.直線XSina+>+2=O的傾斜角的取值范圍是0,—3：，T)

4J4

C.4(0,l),8(2,l),C(3,4),D(-l,2)四點(diǎn)不在同一個(gè)圓上

D.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(Ll)且在X軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=O

【答案】ACD

【解析】當(dāng)〃=O時(shí)，直線/χ-y+l=0與直線工-什-2=0也互相垂直，所以選項(xiàng)A不正確；

直線XSina+y+2=0的傾斜角e,可得tan。=-Sina∈［-l,1］,所以。的取值范圍是［04］U［手］)；

所以B正確；由題得∣∕8∣=2,∣ZO∣=∕i,∣8D∣=JTb,.?.cosN8∕0=q^U=",

20+

ICDI=2√5,∣BC∣=√Tθ,∣BD∣=√Tθ,.?.cosABCD'IP-^逮，所以/8/。+NBCD=萬(wàn).

2×2√5×√10-2

所以力(0,l),5(2,l),C(3,4),Q(-l,2)四點(diǎn)在同一個(gè)圓上,所以選項(xiàng)C不正確;

經(jīng)過(guò)點(diǎn)(Ll)且在X軸和V軸上截距都相等的直線方程為X+y-2=0,或V=X,所以D不正確;

24.若直線(3α+2)x+(l—40)y+8=0與(5a—2)x+(α+4)y-7=0垂直，貝IJa=.

【答案】0或1

【解析】由兩直線垂直的充要條件，得(3α+2)(5α—2)+(1—40)(α+4)=0,解得α=0或α=l.

25.若半徑為八圓心為(0,1)的圓和定圓(X-1)2+8-2)2=1相切，則/?的值等于.

【答案】y∣2-?或3+1

［解析］依題意，√(0-l)2+(l-2)2=r+\或N(O-I)2+(1—2)2=∣r-l∣,

解得r=y∣2~1或r=y∣2+?.

26.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,l)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程為.

【答案】L4y=0或x+y—5=0

【解析】設(shè)直線/在X軸、y軸上的截距均為α,若α=0,即/過(guò)點(diǎn)(0,0)和(4,1),

所以/的方程為夕=IX,即χ-4y=0.若αW0,設(shè)/的方程為工+2=1,因?yàn)?過(guò)點(diǎn)(4,1),

4aa

41

所以一~F1=I,所以α=5,所以/的方程為x+y—5=0.

aa

綜上可知，所求直線的方程為x—4y=0或x+y—5=0.

27.線2x+2y+l=0,x+y+2=0之間的距離是.

【答案】也

4

I2—?I∣-

【解析】先將2x+2y+l=0化為x+v+L=O,則兩平行線間的距離d=-=弛.

28.過(guò)點(diǎn)P(Tl)作圓/+/一"-2產(chǎn)/_2=0的切線有兩條，則。的取值范圍是

【答案】(1,2)

【解析】X2+y2-ax-2y+a2-2=0表示一個(gè)圓，.,.(-α)2+(-2)2-4(α2-2)>0,.?.-2<α<2,

又由過(guò)點(diǎn)尸(-1,1)作圓/+/一辦-2卜+/-2=0的切線有兩條，得：P在圓外，所以

(-I)2+!2-<7×(-l)-2×l+<72-2>O,解得：α<-2或α>l.綜上所述：l<α<2.所以。的取值范圍

是(1,2).

29.在AABC中，A(3,3),B(2,-2),C(一7,1),求ZA的平分線AD所在直線的方

程.

【答案】N=X

∣x-5j^+12I|5x_j_