第1第1頁共90頁 技巧7“奇函數+常函數”的f(a)+f(-a)解題技巧 24 26 28 35 37 41 45 48 55 59 63 65 67 69 80 86 87~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第2頁共90頁函數f(x)=h(g(x((，設u=g(x(，叫做內函數，則f(x)=h(u(叫做外函數，〈 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~【典例1】(2020·全國·統考高考真題)設函數f(x)=x3-,則f(x)() x3 x3所以f(x)=x3-在(0，+∞(單調遞增。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A.f(x(是偶函數且是增函數B.f(x(是偶函數且是減函數C.f(x(是奇函數且是增函數D.f(x(是奇函數且是減函數函數f(x(=1-=的定義域為R，f(-x(===-f(x)，即函數f(x)是奇函確.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第3頁共90頁∈-2,3所以函數fx=log1-x2+x+6的定義域為-2,333由復合函數的單調性可得函數fx=-x2+x+6的單調遞減區間為（-2,.①具有奇偶性的函數定義域關于原點對稱(大前提)奇函數：f-x=-f(x)，圖象關于原點對稱，偶函數：f-x=fx，圖象關于y軸對稱~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~由題知fx=x-12+ax+sin（x+=x-12+ax+cosx=x2+a-2x+1+cosx為偶函數，定義域為R，fx=x2+a-2x+1+cosx所以f2-a+cos-=-12--1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第4頁共90頁因為f(x)為偶函數，則f(1)=f(-1)，∴(1+a)ln=(-1+a)ln3，解得a=0，當a=0時，f(x(=xln，(2x-1((2x+1(>0，解得x>或x<-，f(-x(=(-x(ln--=(-x(ln-+=(-x(ln-1=xln=f(x(，故此時f(x(為偶函數.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~因為f(x(=eex1為偶函數，則f(x(-f(-x(=eex1-(e-(ex=x[ee(1(x[=0，x-e(a-1(x=0，即ex=e(a-1(x，因為定義在R上的奇函數f(x)在(-∞,0)上單調遞減，且f(2)=0，所以f(x)在(0,+∞)上也是單調遞減，且f(-2)=0，f(0)=0，所以由xf(x-1)≥0可得：〈xx-1≤0或〈-1≤2或x=0解得-1≤x≤0或1≤x≤3，~~~~~~~第5~~~~~~~第5頁共90頁∴1+=-1，解得a=-，f(x)=lna++b=ln+b=lnax1--ax-1+bf(-x)=ln+b∵函數f(x)為奇函數∴f(x)+f(-x)=ln∴ln+lnax-a-+ln1-x1+x-2b==-2ln2?b=ln2∴a=-,b=ln2 1-x因為函數fx 1-x由a+≠0可得，1-xa+1-ax≠0，-∞,-1∪-1,1∪1,+∞,即fx=ln-++ln2=ln，在定義域內滿足f-x=-fx，符合題意.①若fx+a=fx，則fx的周期為：T=a②若fx+a=fx+b，則fx的周期為：T=a-b③若fx+a=-fx，則fx的周期為：T=2a(周期擴倍問題) fx④若fx+a=±1，則fx的周期為：T=2a fx【典(+·f0義域為(-∞,+∞)的奇函數,滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第6頁共90頁因為f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數，所以f1-x=-fx-1，即fx+1=-fx-1，所~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A.-3·(統考考真2題)已知函數f(x)義域為RA.-3因為fx+y+fx-y=fxfy，令x=1,y=0可得，2f1=f1f0，所以f0=2，令x=0可得，fy+f-y=2fy，即fy=f-y，所以函數fx為偶函數，令y=1得，fx+1+fx-1=fxf1=fx，即有fx+2+fx=fx+1，從而可知fx+2=-fx-1，fx-1=-fx-4，故fx+2=fx-4，即fx=fx+6，所以函數fx的一個周期為6.因為f2=f1-f0=1-2=-1，f3=f2-f1=-1-1=-2，f4=f-2=f2=-1，f5=f-1=f1=1，f6=f0=2，所以一個周期內的f1+f2+?+f6=0．由于22除以6余4，所以fk=f1+f2+f3+f4=1-1-2-1=-3．故選：A.由fx+y+fx-y=fxfycosx+y+cosx-y=2cosxcosy，可設fx=acosωx，所以fx=2cosx，則fx+y+fx-y=2cosx+y（+2cosx-y（=4cosxcosy=fxfy，所以fx=2cos==6，f0=2,f1=1，3且f2=-1,f3=-2,f4=-1,f5=1,f6=2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，所以fk=f1+f2+f3+f4=1-1-2-1=-3．故選：A.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~fx的定義域為R，且fx+y+fx-y=fxfy，f1=因為fx+y+fx-y=fxfy，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第7頁共90頁令x=y=0，有2f0=f20，則f0=0或f0=4.有2f1=f1f0，得f1=0，與已知f1=23矛盾，所以f0=4.令x=y=1，有f2+f0=f21，則f2+4=×232=6，得f2=2.令x=2，y=1，有f3+f1=f2f1，得f3=0.令x=3，y=2，有f5+f1=f3f2，得f5=-23.令x=5，y=2，有f7+f3=f5f2，得f7=-23.令x=7，y=2，有f9+f5=f7f2，得f9=0.令x=9，y=2，有f11+f7=f9f2，得f11=23.令x=0，有fy+f-y=f0fy，得f-y=fy，令x=3，有f3+y+f3-y=f3fy=0，即f3+y=-f3-y，所以f6+y=-f-y=-fy，故f12+y=-f6+y=fy，所以fx的周期為12.又因為f1+f3+f5+f7+f9+f11=0，所以f2k-1=f1+f3+?+f4045=f1+337×0=23.①若fx+a=f-x，則fx的對稱軸為x=②若fx+a=f-x+b，則fx的對稱軸為x=①若fx+a=-f-x，則fx的對稱中心為 ②若fx+a+f-x+b=c，則fx的對稱中心為,(選項B正確法二：關于x=1對稱即f1-x=f1+x，即fx=f2-x~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=y與~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~【典例2】(2016·全國·高考真題)已知函數f(x)(x∈R)滿足f(-x)=2-f(x)，若函數y=f(x)圖像的交點為(x1,y1),(x2,y2),???,(xm,ym),則(xi+yi)=由f(-x(=2-f(x(得f(x(關于(0，oo1(對稱，∴對于每一組對稱點xi+xi'=0yi+yi'=2，∴(xi+yi(=xi+yi=0+2?=m，故選B.由f(-x(=2-f(x(得f(-x(+f(x(=2設s(x(=f(x(-1，則s(-x(=f(-x(-1=1-f(x(=-s(x(，故s(x(為奇函數.設t(x(=y-1=，則t(-x(=-t(x(，故t(x(為奇函數.∴對于每一組對稱點xi+xi'=0si+ti'=0.將si=yi-1，ti'=yi'-1代入，即得xi+xi'=0yi+yi'=2∴(xi+yi(=xi+yi=0+2?=m，故選B.由題意得,函數f(x)(x∈R)和f(-x)=2-f(x)的圖象都關于(0,1)對稱,從而(xi+yi)=?2=m.故選B.~g因為g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+2)-f(x-2)=7，即g(x+2)=7+f(x-2)，因為f(x)+g(2-x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，代入得f(x)+[7+f(x-2)[=5，即f(x)+f(x-2)=-2，所以f(3(+f(5(+?+f(21(=(-2(×5=-10，f(4(+f(6(+?+f(22(=(-2(×5=-10.因為f(x)+g(2-x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f(0(=1，所以f(2)=-2-f(0(=-3.因為g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+4)-f(x)=7，又因為f(x)+g(2-x)=5，第8頁共90頁~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第9頁共90頁聯立得，g(2-x(+g(x+4(=12，所以g(3(=6，因為f(x)+g(x+2)=5，所以f(1(=5-g(3(=-1.所以1f(k)=f(1(+f(2(+[f(3(+f(5(+?+f(21([+[f(4(+f(6(+?+f(22([.=-1-3-10-10=-24~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A.f(x(的圖象關于直線x=π軸對稱B.f(x(C.f(x(的所有零點為(2k+1(π,k∈ZD.f(x(是以π為周期的函數對于A：因為f(2π-x(=cos(2π-x(+=cosx+=f(x(，所以f(x(的圖象關于直線x=π軸對稱，故A正確；cosx-2+>0，①若f(a+x(=f(a-x(，f(b+x(=f(b-x(，其中a≠b，則f(x(的周期為：T=2|a-b|②若f(a+x(=-f(a-x(，f(b+x(=-f(b-x(，其中a≠b，則f(x(的周期為：T=2|a-b|③若f(a+x(=f(a-x(，f(b+x(=-f(b-x(，其中a≠b，則f(x(的周期為：T=4|a-b|①已知f(x(為偶函數，f(x+a(為奇函數，則f(x(的周期為：T=4|a| x+(為D奇數，f(x+2(為偶函數，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第10頁共~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第10頁共90頁因為fx+1是奇函數，所以f-x+1=-fx+1①;因為fx+2是偶函數，所以fx+2=f-x+2②.令x=1，由①得：f0=-f2=-4a+b，由②得：f3=f1=a+b，因為f0+f3=6，所以-4a+b+a+b=6?a=-2，令x=0，由①得：f1=-f1?f1=0?b=2，所以fx=-2x2+2.f-=f（-+1（=-f+1（=-f-f=-f+2（=-f（-+2（=-f所以f=-f=.因為fx+1是奇函數，所以f-x+1=-fx+1①;因為fx+2是偶函數，所以fx+2=f-x+2②.令x=1，由①得：f0=-f2=-4a+b，由②得：f3=f1=a+b，因為f0+f3=6，所以-4a+b+a+b=6?a=-2，令x=0，由①得：f1=-f1?f1=0?b=2，所以fx=-2x2+2.由兩個對稱性可知，函數fx的周期T=4.所以f=f=-f=.因為函數y=fx的定義域為R，且fx+1為偶函數，fx-1為奇函數，則f1-x=f1+x，f-x-1=-fx-1，所以，函數fx的圖象關于直線x=1對稱，也關于點-1,0對稱，所以，f-x=fx+2，f-x=-fx-2，所以，fx+2=-fx-2，則fx+8=-fx+4=fx，所以，函數fx是周期為8的周期函數，-1,1[時，fx=1-x2，則f1=0，f7=f-1=0，f8=f0=1，f2=f0=1，f3=f-1=0，f4=-f-6=-f2=-1，f5=f-3=-f1=0，f6=-f-8=-f0=-1，所以，fk=0+1+0-1+0-1+0+1=0，又因為2023=8×253-1，所以，fk=253fk-f8=0-1=-1.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第11頁共90頁①若函數fx②若函數fx③若函數fx的圖象關于直線x=a和x=b對稱，則函數fx的周期為T=2a-b；的圖象關于點a,0和點b,0對稱，則函數fx的周期為T=2a-b；的圖象關于直線x=a和點b,0對稱，則函數fx的周期為T=4a-b.數的奇偶性，則最大值+最小值可秒解。比如在定義域內，若Fx=fx+A，其中fx為奇函數，A為常數，則最大值M，最小值m有M+m=2A，即M+m=f(x)=ax-a-x，(a>0，且a≠1)為奇函數f(x)=ax為偶函數 [-2023,2023[的最大值為M，最小值為m，則M+m=.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~【典例2】(2023·山東統考期中)設函數fx=-3≤x≤3的最大值為M，最小值為m，則M+m=.由g-x=-x225--x=-x20246x=-gx，知函數gx為奇函數，所以M+m=4046+gxmax+gxmin=4046.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+3+3，當x∈[-2023,2023[時fx的最大值為M，最小值【典例3】(2023·重慶校考)函數fx=為N，則M+N=.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(x(=中，g(-x(==-=-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~函數是奇函數，g(x(min+g(x(max=0,g(-2023(+g(2023(=0，在f(x(=+3中，當x∈[-2023,2023[時f(x(的最大值為M，最小值為N，f(x(=(x2-6x)sin(x-3)+x+a=[(x-3)2-9]sin(x-3)+(x-3)+a+3，設x-3=t∈[-3,3]，則y=(t2-9)sint+t+a+3，記g(t)=y-(a+3)=(t2-9)sint+t，因為g(-t)=-(t2-9)sint-t=-g(t)，所以g(t)是在[-3,3]上的奇函數，最大值為M-(a+3)，最小值為m-(a+3)，所以M-(3+a)+m-(3+a)=0，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~在區間[-2,2[上的最大值為M，最小【典例5】(2023·黑龍江·高三在區間[-2,2[上的最大值為M，最小值為N，則M+N的值為.則g(-x(==-=-g(x(，所以函數g(x(在[-2,2[上為奇函數，所以g(x(max+g(x(min=0，所以M+N=g(x(max+g(x(min+8=8.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~由題意可知f(-x(=log2[1+4(-x(2+2(-x([+第12頁1+4x2-2x(+，共90頁~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第13頁共90頁所以fx+f-x=log21+4x2+2x++log21+4x2-2x+=2.故函數fx在定義域內為非奇非偶函數，令hx=fx-1，則hx+h-x=fx-1+f-x-1=0，所以hx在定義域內為奇函數.設hx在[-t,t[上的最大值為k，則最小值為-k，所以fx在[-t,t[上的最大值為M=k+1，最小值為N=-k+1，所以M+N=k+1+-k+1=2.gx=M+Nx+[M+Nx-1[-3=2x+x≠.因為gx+g1-x=2x++2×1-x+=2+~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~【典例7】(2023·莆田·高三聯考)函數fx=x2-6xsinx-3+x+ax∈[0,6[的最大值為M，最小因為fx=x2-6xsinx-3+x+a=[(x-3)2-9]sin(x-3)+x-3+a+3，設x-3=t∈[-3,3]，則f(x)=g(t)=(t2-9)sint+t+a+3，設h(t)=(t2-9)sint+t,t∈[-3,3]，則h(-t)=-(t2-9)sint-t=-h(t)，所以h(t)是[-3,3]上的奇函數，最大值為M-(a+3)，最小值為m-(a+3)，所以M-(a+3)+m-(a+3)=0，由M+技巧7“奇函數+常函數”的f(a)+f(-a)解題技巧數的奇偶性，則f(a)+f(-a)可秒解.在定義域內，若Fx=fx+A，其中fx為奇函數，A為常數，有fa+f-a=2A，即fa+f-a=2倍常數~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~【典例1】(全國·高考真題)已知函數fx=ln1+x2-x+1，fa=4，則f-a=.ln1+x2-x在定義域內為奇函數，所以fa+f-a=2倍常數=2，解得f-a=-2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~【典例2】(2023·四川模擬)已知fx=x3+sinx+5，若fsinx=9，則f[sinπ+x[.令gx=x3+sinxx∈R，因為g-x=-x3+sin-x=-x3-sinx=-gx，所以函數gx=x3+sinxx∈R為奇函數，因為fsinx=9，即fsinx=gsinx所以f[sinπ+x[=f-sinx=g-sinx+5=-gsinx+5=-4+5=1.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~令gx=fx-3=ln+mtanx，定義域為{x|x<-2或x>2且x≠kπ+,k∈Z}，關于原點對稱，則g-x=ln+mtan-x=ln-mtanx=-ln-mtanx=-gx，故gx為奇函數，又gt=ft-3=6-3=3，故g-t=f-t-3=-3，解得f-t=0.①具有奇偶性的函數定義域關于原點對稱(大前提)奇函數：f-x=-f(x)，圖象關于原點對稱，偶函數：f-x=fx，圖象關于y軸對稱 1③ln1=0,ln2=0.69,ln3=1.1,lne=1,lne= 2④sin1=0.84,cos1=0.54,sin2=0.91,cos2=-0.42 cos0.1=0.995≈1,cos(-0.2)=0.980≈1【典例1】(2022·全國·統考高考真題)函數y=3x-3-xcosx在區間-,的圖象大致為()第14頁共90頁~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第15~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第15頁共90頁A.B.C.D.令f(x(=(3x-3-x(cosx,x∈-,，由奇偶性定義知f(x(為奇函數，排除BD；x+-x→1-x-3-x>0,cosx>0，所以f(x(>0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~AC函數f(x(=的定義域為{x|x≠0{，且f(-x(==-=-f(x(，函數f(x(為奇函數，A選項錯誤；~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x2-1xx2-1xx2-1xx2-1x==x-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=fx，=fx，所以fx為偶函數，故圖象關于y軸對稱，且f2=>0，故此時可排除AD,當x=e-10時，fe-10=~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~由函數fx=，都可其定義域為-∞,0∪0,+∞關于原點對稱，又由f-x==-=-fx，所以函數fx為奇函數，所以函數fx的圖象關于原點對稱，可排除A、B選項；第16頁共90頁~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~函數f(x(=sin+x(?ln的定義域為R，因為f(-x(=sin+(-x(?ln=-sin+x(?ln=-f(x(，當0<x<1時，0<+x<<，故sin+x（>0,而ln=ln1+>0，故此時f(x(>0，故排除B.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~而f第17頁共90頁~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第18頁共90頁~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第18頁共90頁+1(-x<x，令h(x(=，所以x>1時，f(x(<h(x(，而hI(x(==<0，即x>1時，h(x(=單調遞減，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=(2+2=ln|x|-x2+2-x=-f(x(，當x>0時，f(x(==-x++，則fI(x(=-1+-=-. x設g(x(=x2+lnx+1，則gI(x(=2 x所以，g(x(在(0,+∞(上單調遞增.>0在(0,+∞(上恒成立，又g=e-4-2+1<0，g=e-2-1+1>0，=0，且當0<x<x0時，有g(x(<0，顯然fI(x(=->0，所以f(x(在(0,x0(上單調遞增；當x>x0時，有g(x(>0，顯然fI(x(=-<0，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第19頁共90頁所以fx在0,x0上單調遞減.令y=fx=sinx+sin2x+sin3x，求導得fx=cosx+cos2x+cos3=cosx1-2sin2x+cos2x1+cosx=1+2cosxcos2x，,π[時，由fx=0解得x=,,，fx>0，fx單調遞增；fx<0，fx單調遞減，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第20頁共90頁~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第20頁共90頁由于f0=0,f=+,f=,f=->0,fπ=0，可得f>f，當x∈0,π時fx>0，對于A，f2=-，對于B，f2=，排除BD結合函數零點位置可選A由圖知f1≈1 【典例2】(2023·天津·統考高考真題)函數fx的圖象如下圖所示，則fx的解析式可能為()~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第21頁共90頁故選D~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A.y=x21B.y=C.y=D.y=-nx4個選項函數定義域均為R，對于A,fx=,f-x=,fx=-f-x，故y=為奇函數，且f4>0對于B,fx=,f-x=x=-fx,故fx為奇函數，f4=24<0，對于C,fx=,f-x=,fx=f-x,故fx為偶函數，f4=<0對于D，fx=,f-x==-fx，故fx為奇函數，f4=<-1，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A.f(x(= xln|x+2|B.f(x(= x+1ex+1-1C.f(x(=D.f(x(= x(x+1(2所以x<-3或-3<x<-2或-2<x<-1或x>-1，所以函數f(x(的定義域為(-∞,-3(∪(-3,-2(∪(-2,-1(∪(-1,+∞(，A不正確； 對于 則函數f(x(在(0,+∞(上單調遞增，不符合題f,(x(=，當x<-1時，f,(x(<0，當-1<x<1時，f,(x(>0，當x>1時，f,(x(<0，所以函數f(x(=在(-∞,-1(上單調遞減，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b0.1<?0.9e0.1<1?ln0.9+0.1<00.1<-ln0.9?0.1e0.1+ln0.9<0第22頁共90頁~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第23頁共90頁設f(x)=ln(1+x)-x(x>-1)，因為f,(x)=-1=-，,(x)<0，所以函數f(x)=ln(1+x)-x在(0,+∞)單調遞減，在(-1,0)上單調遞增，所以f<f(0)=0，所以ln-<0，故>ln=-ln0.9，即b>c，所以f設g(x)=xex+ln(1-x)(0<x<1)，則g,(x)=x+1ex+=,令h(x)=ex(x2-1)+1，h,(x)=ex(x2+2x-1)，當0<x<2-1時，h,(x)<0又h(0)=0，所以當0<x<2-1時，h(x)<0，所以當0<x<2-1時，g,(x)>0，函數g(x)=xex+ln(1-x)單調遞增，0.1>-ln0.9，所以a>c~~~~~~~~~~~~~~~令fx=tanx-ln1+x，x∈0,1，所以mx在0,1上單調遞增，mx>m0=0，所以f,x>0，所以fx在0,1上單調遞增，所以fx>f0=0，令hx=-lnx-1+x，x∈0,1，則h,x=-+1=<0，所以hx在0,1上單調遞減，則hx>h1=0，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~令fx=lnx+1-，x∈-1,+∞,則fx=-=，所以當x>0時fx>0，即fx在0,+∞上單調遞增，所以f0.1>f0=0，即ln0.1+1->0，即ln1.1>，即b>a，令hx=lnx+1-x，則hx=-1=，∴hx<h0=0，即lnx+1<x；令mx=x-tanx，x∈（0,，則mx=1->0，∴mx<m0=0，即x<tanx；∴lnx+1<x<tanx,x∈（0,,令x=0.1，則ln0.1+1<0.1<tan0.1，即b<0.1<c，∴b<c，所以a<b<c.說明：常用的不等式：sinx<x<tanx（0<x<，lnx+1<xx>0，lnx≤x-1≤x2-xx>0，ex≥x+1，ex≥ex>xx>0，ex>x2x>0.~~b-a=e-1-2e-1=e-2?e=e-12>0,∴b>a，又a-c=2e-1-sin-tan，所以令f(x)=2ex-1-sinx-tanx，x∈（0,,則f(x)=2?ex-cosx-，x-cosx-，x+sinx-，x>2,sinx>0,sinx<sin,cos3x>cos3，所以2sinx<2=8<2，故f>f(0)=0,即a>c，故b>a>c.第24頁共90頁~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第25頁共90頁-sin-tan，將視為變量可以構造函數f(x)=2ex-1-sinx-tanx. x≥ex，1-≤lnx≤x-1，lnx≤令f(x)=ln(1+x)-x,x>0，則f(x)=-1=<0，所以函數f(x)在0,+∞單調遞減，且f(0)=0，所以f(x)<0，即ln(1+x)<x，又因為c2-b2=-e=e-1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~設fx=ex-x-10<x<1，所以fx=ex-1>0，所以fx在0,1上單調遞增，所以fx>f0=0，即ex-1>x0<x<1.設gx=ln1+x-x0<x<1，則gx=-1=<0，所以gx在0,1上單調遞減，所以gx