期末考試相交線與平行線壓軸題考點訓練(一)1．(2021春·重慶巫溪·七年級統考期末)已知：，點E在CD上，點F，G在AB上，點H在AB，CD之間，連接EF，EH，CH，，．(1)如圖1，求∠H的度數．(2)如圖2，CM平分，EM平分，CM與EM相交于M，求證：；(3)如圖3，在(2)的條件下，FN平分交CD于N，若，求：的度數．2．(2022春·河南新鄉·七年級校考期末)如圖，已知，E、F分別在上，點G在、CD之間，連接．(1)當時，平分平分；①如圖1，當時，則______°；②如圖2，在的下方有一點Q，若恰好平分恰好平分，求的度數；(2)在的上方有一點O，若平分．線段的延長線平分，則當時，直接寫出與的關系．3．(2022春·遼寧大連·七年級統考期末)如圖1，點E、F分別在直線AB、CD上，點P為AB、CD之間的一點，且．(1)求證：；(2)如圖2，點G在射線FC上，PG平分，，探究與之間的數量關系．并說明理由；(3)如圖3，，．直線HQ分別交FN，EM于H、Q兩點，若，求的度數．4．(2022春·四川廣元·七年級統考期末)已知直線，直線和，分別交于，兩點，點，分別在直線，上，且位于直線的右側，動點在直線上，且不和點，重合．(1)如圖1，當動點在線段上運動時，求證：．(2)如圖2，當動點在點上方運動時(，，不在同一直線上)，請寫出，，之間的數量關系，并說明理由．(3)如圖3，當動點在點下方運動時(，，不在同一直線上)，直接寫出，，之間的數量關系．5．(2022春·山東德州·七年級統考期末)如圖1，，的平分線交于點G，．(1)試說明：；(2)如圖2，點F在的反向延長線上，連接交于點E，若，求證：平分；(3)如圖3，線段上有點P，滿足，過點C作.若在直線上取一點M，使，求的值．6．(2022秋·海南海口·七年級校考期末)點E在射線DA上，點F、G為射線BC上兩個動點，滿足，，DG平分．(1)如圖1，當點G在點F右側時，①試說明：；②試說明；(2)如圖2，當點G在點F左側時，(1)中的結論②是否成立，若不成立，請寫出正確結論；(不用說理)(3)如圖3，在(2)的條件下，P為BD延長線上一點，DM平分，交BC于點M，DN平分，交EF于點N，連接NG，若，，求的度數．7．(2023秋·湖北荊門·七年級統考期末)如圖1，已知，，點在上，點，在上，點在，之間，連接，，，．(1)求證：；(2)如圖2，平分交于，，平分，，①若，時，求的度數；②如圖3，平分，，交于點，若，求的值．8．(2022秋·黑龍江哈爾濱·七年級統考期末)已知，平分交射線于點，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點是射線上一點，過點作交射線于點，點是上一點，連接，求證：；(3)如圖3，在(2)的條件下，連接，點為延長線上一點，平分交于點，若平分，，，求的度數．9．(2021春·湖北宜昌·七年級統考期末)已知：直線l分別交AB、CD與E、F兩點，且AB∥CD．(1)說明：∠1=∠2；(2)如圖2，點M、N在AB、CD之間，且在直線l左側，若∠EMN+∠FNM=260°，①求：∠AEM+∠CFN的度數；②如圖3，若EP平分∠AEM，FP平分∠CFN，求∠P的度數；(3)如圖4，∠2=80°，點G在射線EB上，點H在AB上方的直線l上，點Q是平面內一點，連接QG、QH，若∠AGQ=18°，∠FHQ=24°，直接寫出∠GQH的度數．

10．(2021春·重慶江北·七年級統考期末)如圖1，//，點、分別在、上，點在直線、之間，且．(1)求的值；(2)如圖2，直線分別交、的角平分線于點、，直接寫出的值；(3)如圖3，在內，；在內，，直線分別交、分別于點、，且，直接寫出的值．11．(2021春·湖北武漢·七年級統考期末)如圖1，點在直線、之間，且．(1)求證：；(2)若點是直線上的一點，且，平分交直線于點，若，求的度數；(3)如圖3，點是直線、外一點，且滿足，，與交于點．已知，且，則的度數為______(請直接寫出答案，用含的式子表示)．12．(2021春·江蘇·七年級統考期末)如圖，直線，一副直角三角板中，．(1)若如圖1擺放，當平分時，證明：平分．(2)若如圖2擺放時，則(3)若圖2中固定，將沿著方向平移，邊與直線相交于點，作和的角平分線相交于點(如圖3)，求的度數．(4)若圖2中的周長，現將固定，將沿著方向平移至點與重合，平移后的得到，點的對應點分別是，請直接寫出四邊形的周長．(5)若圖2中固定，(如圖4)將繞點順時針旋轉，分鐘轉半圈，旋轉至與直線首次重合的過程中，當線段與的一條邊平行時，請直接寫出旋轉的時間．13．(2022春·江蘇揚州·七年級統考期末)汛期即將來臨，防汛指揮部在某水域一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看河水及兩岸河堤的情況．如圖1，燈射出的光束自順時針旋轉至便立即回轉，燈射出的光束自順時針旋轉至便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視．若燈射出的光束轉動的速度是/秒，燈射出的光束轉動的速度是/秒，且、滿足．假定這一帶水域兩岸河堤是平行的，即，且．(1)求、的值；(2)如圖2，兩燈同時轉動，在燈射出的光束到達之前，若兩燈射出的光束交于點，過作交于點，若，求的度數；(3)若燈射線先轉動30秒，燈射出的光束才開始轉動，在燈射出的光束到達之前，燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行?14．(2021春·黑龍江哈爾濱·七年級統考期末)已知AB//CD．(1)如圖1，E為AB，CD之間一點，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D；(2)如圖，連接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直線交于點F．①如圖2，當點B在點A的左側時，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度數．②如圖3，當點B在點A的右側時，設∠ABC＝α，∠ADC＝β，請你求出∠BFD的度數．(用含有α，β的式子表示)15．(2022春·安徽滁州·七年級校考期末)如圖1，直線與直線、分別交于點E、F，與互補．(1)試判斷直線與直線的位置關系，并說明理由；(2)如圖2，與的角平分線交于點P，與交于點G，點H是上一點，且，求證：；(3)如圖3，在(2)的條件下，連接，K是上一點使，作平分，問的大小是否發生變化？若不變，請直接寫出其值．期末考試相交線與平行線壓軸題考點訓練(一)1．(2021春·重慶巫溪·七年級統考期末)已知：，點E在CD上，點F，G在AB上，點H在AB，CD之間，連接EF，EH，CH，，．(1)如圖1，求∠H的度數．(2)如圖2，CM平分，EM平分，CM與EM相交于M，求證：；(3)如圖3，在(2)的條件下，FN平分交CD于N，若，求：的度數．【答案】(1)90°；(2)證明見詳解；(3)60°【分析】(1)根據平行線的性質和判定解答即可；(2)過點H作HP∥AB，過點M作MQ∥AB，根據平行線的性質解答即可；(3)結合(2)中結論，根據平行線的性質解答即可．【解析】(1)證明：(1)∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠FED，∵∠AGH＝∠FED，∴∠AFE＝∠AGH，∴EF∥GH，∴∠HEF+∠H＝180°，∵∠HEF＝90°，∴∠H＝180°﹣∠HEF＝90°；(2)證明：如圖：過點M作MQ∥AB，∵AB∥CD，∴MQ∥CD，過點H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴HP∥CD，∵GM平分∠AGH，∴∠AGM＝∠HGM＝∠AGH，∵EM平分∠CEH，∴∠HEM＝∠CEM＝∠CEH，∵MQ∥AB，∴∠AGM＝∠GMQ，∵MQ∥CD，∴∠QME＝∠MED，∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠AGM+∠MEC，∵HP∥AB，∴∠AGH＝∠GHP＝2∠AGM，∵HP∥CD，∴∠PHE＝∠HEC＝2∠MEC，∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠AGM+2∠MEC＝2(∠AGM+∠MEC)，∴∠GHE＝∠2GME；(3)解：過點M作MQ∥AB，過點H作HP∥AB，由∠NFE：∠MGH＝5：1，設∠NFE＝5x，∠MGH＝x，由(2)可知：∠AGH＝∠AFE=2∠MGH＝2x，∵FN平分∠BFE，∴∠BFE＝2∠NFE，∴∠BFE=10x，∵∠BFE+∠AEF＝180°，∴10x+2x=180°，解得x=15°∴∠AGH=30°∵∠AGH+∠CEH=90°∴∠CEH=90°-30°=60°∴∠HEC的度數為60°．【點睛】本題考查了平行線的性質和角平分線的定義．解題的關鍵是掌握平行線的性質并作出輔助線．2．(2022春·河南新鄉·七年級校考期末)如圖，已知，E、F分別在上，點G在、CD之間，連接．(1)當時，平分平分；①如圖1，當時，則______°；②如圖2，在的下方有一點Q，若恰好平分恰好平分，求的度數；(2)在的上方有一點O，若平分．線段的延長線平分，則當時，直接寫出與的關系．【答案】(1)①45；②；(2)【分析】(1)根據平行線的性質，以及角平分線的定義即可求解；(2)過點作，則設，，，根據平行線的性質求得，進而根據即可求解．【詳解】(1)①如圖，分別過點作，，，，，同理可得，，，平分平分；，，故答案為：，②如圖，過點作，，恰好平分恰好平分，，，設，，，，，，，，，由(1)可知，；(2)如圖，在的上方有一點O，若平分，線段的延長線平分，設為線段的延長線上一點，則，設，如圖，過點作，則，，由(1)可知即【點睛】本題考查了平行線的性質，以及角平分線的定義，掌握平行線的性質是解題的關鍵．3．(2022春·遼寧大連·七年級統考期末)如圖1，點E、F分別在直線AB、CD上，點P為AB、CD之間的一點，且．(1)求證：；(2)如圖2，點G在射線FC上，PG平分，，探究與之間的數量關系．并說明理由；(3)如圖3，，．直線HQ分別交FN，EM于H、Q兩點，若，求的度數．【答案】(1)見解析；(2)，理由見解析；(3)20°【分析】(1)過P作，根據角的和差得到，得到，再根據平行的傳遞性可得．(2)過P作，平行線的傳遞性得出；根據平行線的性質和角平分線的性質得到；，等式變換得，以及角的替換可得；(3)過P作，過H作，過Q作,根據平行線的性質及角的和差求解即可．【詳解】(1)證明：如圖1，過P作．∵，∴．∵，∴．∴，∵，∴．(2)．證明：如圖2，過P作．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵PG平分，∴，∴．

∵，，∴．∴．∵．∴，∴．(3)解：如圖3，過P作，過H作，過Q作．∵，∴．∵，，∴設，則，，．∵，∴，．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．又∵，∴．∴．∴．∴．【點睛】此題考查了平行線的性質的判定與性質，解題的關鍵熟練掌握平行線的判定定理與性質定理及如何作輔助線．4．(2022春·四川廣元·七年級統考期末)已知直線，直線和，分別交于，兩點，點，分別在直線，上，且位于直線的右側，動點在直線上，且不和點，重合．(1)如圖1，當動點在線段上運動時，求證：．(2)如圖2，當動點在點上方運動時(，，不在同一直線上)，請寫出，，之間的數量關系，并說明理由．(3)如圖3，當動點在點下方運動時(，，不在同一直線上)，直接寫出，，之間的數量關系．【答案】(1)見解析；(2)，理由見解析；(3)【分析】(1)過點作，即可得，即有，，結合，即可證明；(2)過點作，即可得，即有，，結合，即可證明；(3)過點作，即可得，即有，，結合，即可證明.【解析】(1)證明：過點作，如圖1，∵，，∴，∴，，又∵，∴；(2)，理由如下：過點作，如圖2，∵，，∴，∴，．∵，∴；(3)，理由如下：過點作，如圖3，∵，，∴，∴，．∵，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，添加合理的輔助線并掌握兩直線平行內錯角相等是解答本題的關鍵．5．(2022春·山東德州·七年級統考期末)如圖1，，的平分線交于點G，．(1)試說明：；(2)如圖2，點F在的反向延長線上，連接交于點E，若，求證：平分；(3)如圖3，線段上有點P，滿足，過點C作.若在直線上取一點M，使，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)5或【分析】(1)先根據平行線的性質可得，再根據角平分線的定義可得，然后根據等量代換即可得證；(2)過點作于，先根據平行線的性質可得，從而可得，則，再根據角平分線的定義即可得證；(3)設，則，，先根據平行線的性質可得，從而可得，再根據平行線的性質可得，從而可得，然后分①點在的下方和②點在的上方兩種情況，根據角的和差可得和的值，由此即可得．【詳解】(1)證明：∵，∴，∵平分，∴，∴．(2)證明：如圖，過點作于，，由(1)已證：，，即，又，，，又∵，∴平分．(3)解：設，∵，∴，，，，由(1)已得：，∵，∴，∵，∴，由題意，分以下兩種情況：①如圖，當點在的下方時，∴，，∴；②如圖，當點在的上方時，∴，，∴；綜上，的值是5或．【點睛】本題考查了平行線的性質、角平分線的定義等知識點，較難的是題(3)，正確分兩種情況討論是解題關鍵．6．(2022秋·海南海口·七年級校考期末)點E在射線DA上，點F、G為射線BC上兩個動點，滿足，，DG平分．(1)如圖1，當點G在點F右側時，①試說明：；②試說明；(2)如圖2，當點G在點F左側時，(1)中的結論②是否成立，若不成立，請寫出正確結論；(不用說理)(3)如圖3，在(2)的條件下，P為BD延長線上一點，DM平分，交BC于點M，DN平分，交EF于點N，連接NG，若，，求的度數．【答案】(1)①見解析；②見解析；(2)∠DGE＝∠BDG＋∠FEG，理由見解析；(3)【分析】(1)①根據角平分線的定義即可得到∠BDG＝∠ADG，從而可得∠ADG＝∠DGB，則，可得∠DEF＝∠EFG，即可得到∠DBF＝∠EFG，從而證明；②過點G作GHDB交DA于點H，根據平行線的性質求解即可；(2)過點G作交AD于K，則，可得∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，即可得到∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；(3)設，則，，由角平分線的定義可得，然后分別求出，，進行求解即可．【解析】(1)證明：①∵DG平分∠BDE，∴∠BDG＝∠ADG，又∵∠BDG＝∠BGD，∴∠ADG＝∠DGB，∴，∴∠DEF＝∠EFG，∵∠DBF＝∠DEF，∴∠DBF＝∠EFG，∴；②過點G作GHDB交DA于點H，由①得，∴GHDBEF，∴∠BDG＝∠DGH，∠FEG＝∠EGH，∴∠DGE＝∠DGH-∠EGH，∴∠DGE=∠BDG-∠FEG；(2)解：過點G作交AD于K，同理可證，∴，∴∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，∴∠DGE＝∠DGK＋∠KGE，∴∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；(3)解：設，則，，，∵DN平分∠PDM，∴，∴，，∵DG⊥NG，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質與判定，角平分線的定義，垂直的定義，余角的計算，解題的關鍵是能夠熟知平行線的性質與判定條件．7．(2023秋·湖北荊門·七年級統考期末)如圖1，已知，，點在上，點，在上，點在，之間，連接，，，．(1)求證：；(2)如圖2，平分交于，，平分，，①若，時，求的度數；②如圖3，平分，，交于點，若，求的值．【答案】(1)見解析；(2)①；②．【分析】(1)根據平行線的性質得出，結合題意即可得出，從而證明；(2)①如圖，過點H作，即得出．由，可設，則．再根據平行線的性質和角平分線的定義即可得出方程，解出x，從而可求出答案；②如圖，過點M作．由題意可設，則．再根據平行線的性質和角平分線的定義即可得出方程組，解出，最后作比求值即可．【詳解】(1)證明：∵，∴．∵，∴，∴；(2)①解：如圖，過點H作．∴．由題意可知：，故可設，則．∵，∴，，．∵平分，平分，∴，，∴，．由(1)可知，∴，∴，解得：．∴，．∵，∴，∴；②解：如圖，過點M作．由題意可設，則．∵，平分∴，．∵，∴．∵平分，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴，，∴．∵，∴．∴，即．由(1)可知，∴，∴．即，解得：，∴．【點睛】本題主要考查平行線的判定和性質，角平分線的定義等知識．正確的作出輔助線并利用數形結合的思想是解題的關鍵．8．(2022秋·黑龍江哈爾濱·七年級統考期末)已知，平分交射線于點，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點是射線上一點，過點作交射線于點，點是上一點，連接，求證：；(3)如圖3，在(2)的條件下，連接，點為延長線上一點，平分交于點，若平分，，，求的度數．【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3)【分析】(1)根據平行線的定義得出，等量代換得出，根據平行線的判定定理即可得證；(2)過點E作交DA于點H，則，，根據平行線的性質得出，根據，，等量代換即可求解；(3)由平分，得出，設，則，則，根據平行線的性質得出，根據垂直的定義得出，則，根據平分，得出，最后根據建立方程，解方程得出，進而即可求解．【詳解】(1)∵DE是的平分線，∴∵，∴∴(2)過點E作交DA于點H，∴∵，∴∴，∵，∴，∵，∴(3)解：∵平分，∴，設，則，∴，，，∵，∴∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了平行線性質與判定，角平分線的定義，垂直的定義，一元一次方程的應用，掌握以上知識是解題的關鍵．9．(2021春·湖北宜昌·七年級統考期末)已知：直線l分別交AB、CD與E、F兩點，且AB∥CD．(1)說明：∠1=∠2；(2)如圖2，點M、N在AB、CD之間，且在直線l左側，若∠EMN+∠FNM=260°，①求：∠AEM+∠CFN的度數；②如圖3，若EP平分∠AEM，FP平分∠CFN，求∠P的度數；(3)如圖4，∠2=80°，點G在射線EB上，點H在AB上方的直線l上，點Q是平面內一點，連接QG、QH，若∠AGQ=18°，∠FHQ=24°，直接寫出∠GQH的度數．

【答案】(1)理由見解析；(2)①80°，②40°；(3)38°、74°、86°、122°．【分析】(1)根據平行線的性質及對頂角的性質即可得證；(2)①過拐點作AB的平行線，根據平行線的性質推理即可得到答案；②過點P作AB的平行線，根據平行線的性質及角平分線的定義求得角的度數；(3)分情況討論，畫出圖形，根據三角形的內角和與外角的性質分別求出答案即可．【詳解】(1)，；(2)①分別過點M，N作直線GH，IJ與AB平行，則，如圖：，，，；②過點P作AB的平行線，根據平行線的性質可得：，，∵EP平分∠AEM，FP平分∠CFN，∴，即；(3)分四種情況進行討論：由已知條件可得，①如圖：，②如圖：，；③如圖：，；④如圖：，；綜上所述，∠GQH的度數為38°、74°、86°、122°．【點睛】本題考查平行線的性質，三角形外角的性質等內容，解題的關鍵是掌握輔助線的作法以及分類討論的思想．10．(2021春·重慶江北·七年級統考期末)如圖1，//，點、分別在、上，點在直線、之間，且．(1)求的值；(2)如圖2，直線分別交、的角平分線于點、，直接寫出的值；(3)如圖3，在內，；在內，，直線分別交、分別于點、，且，直接寫出的值．【答案】(1)；(2)的值為40°；(3)．【分析】(1)過點O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行線的性質可求解；(2)過點M作MK∥AB，過點N作NH∥CD，由角平分線的定義可設∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°，進而求解；(3)設直線FK與EG交于點H，FK與AB交于點K，根據平行線的性質即三角形外角的性質及，可得，結合，可得即可得關于n的方程，計算可求解n值．【詳解】證明：過點O作OG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OG∥CD，∴∴即∵∠EOF=100°，∴∠；(2)解：過點M作MK∥AB，過點N作NH∥CD，∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，設∵∴∴x-y=40°，∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，∴AB∥MK∥NH∥CD，∴∴=x-y=40°，故的值為40°；(3)如圖，設直線FK與EG交于點H，FK與AB交于點K，∵AB∥CD，∴∵∴∵∴即∵FK在∠DFO內，∴，∵∴∴即∴解得．經檢驗，符合題意，故答案為：．【點睛】本題主要考查平行線的性質，角平分線的定義，靈活運用平行線的性質是解題的關鍵．11．(2021春·湖北武漢·七年級統考期末)如圖1，點在直線、之間，且．(1)求證：；(2)若點是直線上的一點，且，平分交直線于點，若，求的度數；(3)如圖3，點是直線、外一點，且滿足，，與交于點．已知，且，則的度數為______(請直接寫出答案，用含的式子表示)．【答案】(1)見解析；(2)10°；(3)【分析】(1)過點E作EF∥CD，根據平行線的性質，兩直線平行，內錯角相等，得出結合已知條件，得出即可證明；(2)過點E作HE∥CD，設由(1)得AB∥CD，則AB∥CD∥HE，由平行線的性質，得出再由平分，得出則，則可列出關于x和y的方程，即可求得x，即的度數；(3)過點N作NP∥CD，過點M作QM∥CD，由(1)得AB∥CD，則NP∥CD∥AB∥QM，根據和，得出根據CD∥PN∥QM,DE∥NB,得出即根據NP∥AB，得出再由，得出由AB∥QM,得出因為，代入的式子即可求出．【詳解】(1)過點E作EF∥CD，如圖，∵EF∥CD,∴∴∵,∴∴EF∥AB，∴CD∥AB；(2)過點E作HE∥CD，如圖，設由(1)得AB∥CD，則AB∥CD∥HE，∴∴又∵平分，∴∴即解得：即；(3)過點N作NP∥CD，過點M作QM∥CD，如圖，由(1)得AB∥CD，則NP∥CD∥AB∥QM，∵NP∥CD，CD∥QM，∴,又∵，∴∵,∴∴又∵PN∥AB，∴∵,∴又∵AB∥QM，∴∴∴．【點睛】本題考查平行線的性質，角平分線的定義，解決問題的關鍵是作平行線構造相等的角，利用兩直線平行，內錯角相等，同位角相等來計算和推導角之間的關系．12．(2021春·江蘇·七年級統考期末)如圖，直線，一副直角三角板中，．(1)若如圖1擺放，當平分時，證明：平分．(2)若如圖2擺放時，則(3)若圖2中固定，將沿著方向平移，邊與直線相交于點，作和的角平分線相交于點(如圖3)，求的度數．(4)若圖2中的周長，現將固定，將沿著方向平移至點與重合，平移后的得到，點的對應點分別是，請直接寫出四邊形的周長．(5)若圖2中固定，(如圖4)將繞點順時針旋轉，分鐘轉半圈，旋轉至與直線首次重合的過程中，當線段與的一條邊平行時，請直接寫出旋轉的時間．【答案】(1)見詳解；(2)15°；(3)67.5°；(4)45cm；(5)10s或30s或40s【分析】(1)運用角平分線定義及平行線性質即可證得結論；(2)如圖2，過點E作EK∥MN，利用平行線性質即可求得答案；(3)如圖3，分別過點F、H作FL∥MN，HR∥PQ，運用平行線性質和角平分線定義即可得出答案；(4)根據平移性質可得D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，再結合DE＋EF＋DF＝35cm，可得出答案；(5)設旋轉時間為t秒，由題意旋轉速度為1分鐘轉半圈，即每秒轉3°，分三種情況：①當BC∥DE時，②當BC∥EF時，③當BC∥DF時，分別求出旋轉角度后，列方程求解即可．【詳解】(1)如圖1，在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，∵ED平分∠PEF，∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°，∵PQ∥MN，∴∠MFE＝180°?∠PEF＝180°?120°＝60°，∴∠MFD＝∠MFE?∠DFE＝60°?30°＝30°，∴∠MFD＝∠DFE，∴FD平分∠EFM；(2)如圖2，過點E作EK∥MN，∵∠BAC＝45°，∴∠KEA＝∠BAC＝45°，∵PQ∥MN，EK∥MN，∴PQ∥EK，∴∠PDE＝∠DEK＝∠DEF?∠KEA，又∵∠DEF＝60°．∴∠PDE＝60°?45°＝15°，故答案為：15°；(3)如圖3，分別過點F、H作FL∥MN，HR∥PQ，∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH，∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN，∴FL∥PQ∥HR，∴∠QGF＋∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA?∠LFA，∵∠FGQ和∠GFA的角平分線GH、FH相交于點H，∴∠QGH＝∠FGQ，∠HFA＝∠GFA，∵∠DFE＝30°，∴∠GFA＝180°?∠DFE＝150°，∴∠HFA＝∠GFA＝75°，∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA?∠LFA＝75°?45°＝30°，∴∠GFL＝∠GFA?∠LFA＝150°?45°＝105°，∴∠RHG＝∠QGH＝∠FGQ＝(180°?105°)＝37.5°，∴∠GHF＝∠RHG＋∠RHF＝37.5°＋30°＝67.5°；(4)如圖4，∵將△DEF沿著CA方向平移至點F與A重合，平移后的得到△D′E′A，∴D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，∵DE＋EF＋DF＝35cm，∴DE＋EF＋D′A＋AF＋DD′＝35＋10＝45(cm)，即四邊形DEAD′的周長為45cm；(5)設旋轉時間為t秒，由題意旋轉速度為1分鐘轉半圈，即每秒轉3°，分三種情況：BC∥DE時，如圖5，此時AC∥DF，∴∠CAE＝∠DFE＝30°，∴3t＝30，解得：t＝10；BC∥EF時，如圖6，∵BC∥EF，∴∠BAE＝∠B＝45°，∴∠BAM＝∠BAE＋∠EAM＝45°＋45°＝90°，∴3t＝90，解得：t＝30；BC∥DF時，如圖7，延長BC交MN于K，延長DF交MN于R，∵∠DRM＝∠EAM＋∠DFE＝45°＋30°＝75°，∴∠BKA＝∠DRM＝75°，∵∠ACK＝180°?∠ACB＝90°，∴∠CAK＝90°?∠BKA＝15°，∴∠CAE＝180°?∠EAM?∠CAK＝180°?45°?15°＝120°，∴3t＝120，解得：t＝40，綜上所述，△ABC繞點A順時針旋轉的時間為10s或30s或40s時，線段BC與△DEF的一條邊平行．【點睛】本題主要考查了平行線性質及判定，角平分線定義，平移的性質等，添加輔助線，利用平行線性質是解題關鍵．13．(2022春·江蘇揚州·七年級統考期末)汛期即將來臨，防汛指揮部在某水域一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看河水及兩岸河堤的情況．如圖1，燈射出的光束自順時針旋轉至便立即回轉，燈射出的光束自順時針旋轉至便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視．若燈射出的光束轉動的速度是/秒，燈射出的光束轉動的速度是/秒，且、滿足．假定這一帶水域兩岸河堤是平行的，即，且．(1)求、的值；(2)如圖2，兩燈同時轉動，在燈射出的光束到達之前，若兩燈射出的光束交于點，過作交于點，若，求的度數；(3)若燈射線先轉動30秒，燈射出的光束才開始轉動，在燈射出的光束到達之前，燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行?【答案】(1)，；(2)30°；(3)15秒或82.5秒【分析】(1)解出式子即可；(2)根據，用含t的式子表示出，根據(2)中給出的條件得出方程式，求出t的值，進而求出的度數；(3)根據燈B的要求，t<150，在這個時間段內A可以轉3次，分情況討論．【詳解】解：(1)．又，．，；(2)設