核心素養測評五函數的單調性與最值(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.函數y=2x24ax+3在區間[4,2]上是單調函數,則a的取值范圍是()A.(∞,1]B.[4,+∞)C.(∞,2]∪[4,+∞)D.(∞,1]∪[2,+∞)【解析】選C.函數y=2x24ax+3的圖像的對稱軸為x=a,由題意可得a≤4或a≥2,解得a≤2或a≥4.2.(2020·武漢模擬)函數f(x)=|x2|x的單調遞減區間是 ()A.[1,2] B.[1,0]C.[0,2] D.[2,+∞)【解析】選A.f(x)=|x2|x=QUOTE其圖像如圖,由圖像可知函數的單調遞減區間是[1,2].3.(2019·長春模擬)已知函數f(x)=|x+a|在(∞,1)上是單調函數,則a的取值范圍是 ()A.(∞,1] B.(∞,1]C.[1,+∞) D.[1,+∞)【解析】選A.因為函數f(x)在(∞,a)上是單調函數,所以a≥1,解得a≤1.4.(2020·西安模擬)函數f(x)=|x23x+2|的單調遞增區間是 ()A.QUOTEB.QUOTE和[2,+∞)C.(∞,1]和QUOTED.QUOTE和[2,+∞)【解析】選B.y=|x23x+2|=QUOTE如圖所示,函數的單調遞增區間是QUOTE和[2,+∞).【變式備選】(2020·濟寧模擬)函數f(x)=lg(x24)的單調遞增區間為 ()A.(0,+∞) B.(∞,0)C.(2,+∞) D.(∞,2)【解析】選C.由復合函數的單調性知,要使f(x)單調遞增,需QUOTE解得x>2.5.(2020·銅陵模擬)若函數f(x)=x22x+m在[3,+∞)上的最小值為1,則實數m的值為 ()A.3 B.2 C.1 D.1【解析】選B.因為f(x)=(x1)2+m1在[3,+∞)上是增加的,且f(x)在[3,+∞)上的最小值為1,所以f(3)=1,即22+m1=1,m=2.6.(2019·濰坊模擬)對于每一個實數x,f(x)是y=2x2和y=x這兩個函數中的較小者,則f(x)的最大值是 ()A.2 B.1 C.0 D.2【解析】選B.畫出函數f(x)的圖像,如圖所示:其中A(1,1),B(2,2),故當x=1時,函數f(x)的最大值為1.【一題多解】選B.f(x)=QUOTE當x<2時,函數f(x)的值域為(∞,2);當2≤x≤1時,函數f(x)的值域為[2,1];當x>1時,函數f(x)的值域為(∞,1).故函數f(x)的值域為(∞,1],所以f(x)max=1.【變式備選】已知函數f(x)=2x1,g(x)=1x2,構造函數F(x),定義如下:當|f(x)|≥g(x)時,F(x)=|f(x)|,當|f(x)|<g(x)時,F(x)=g(x),那么F(x) ()A.有最小值0,無最大值B.有最小值1,無最大值C.有最大值1,無最小值D.無最小值,也無最大值【解析】選B.畫出函數F(x)的圖像,如圖所示,由圖像可知,當x=0時,F(x)取得最小值,此時F(x)=x21,故最小值為1;當x>0時,函數的圖像向右上方無限延展,所以F(x)無最大值.7.已知函數f(x)=QUOTE在R上是增函數,則實數a的取值范圍是 導學號()A.(1,+∞) B.[4,8)C.(4,8) D.(1,8)【解析】選B.由f(x)在R上是增函數,則有QUOTE解得4≤a<8.【變式備選】已知f(x)=QUOTE在(∞,+∞)上是減函數,那么a的取值范圍是 ()A.(0,1) B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因為f(x)在R上是減函數,所以QUOTE解得QUOTE≤a<QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2020·北京模擬)函數y=QUOTE的最大值是____________.

【解析】函數y=QUOTE>0,函數值取得最大值時,即當分母最小即可取得最大值,分母最小時x=0,|x|+2=2,此時函數最大值為:QUOTE.答案:QUOTE9.函數f(x)=QUOTE+b(a>0)在QUOTE上的值域為QUOTE,則a=________________,b=________________.

【解析】因為f(x)=QUOTE+b(a>0)在QUOTE上是增加的,所以fQUOTE=QUOTE,f(2)=2.即QUOTE解得a=1,b=QUOTE.答案:1QUOTE10.若函數f(x)=x2+a|x1|在[0,+∞)上是增加的,則實數a的取值范圍是________________. 導學號

【解析】f(x)=x2+a|x1|=QUOTE要使f(x)在[0,+∞)上是增加的,則QUOTE得2≤a≤0,所以實數a的取值范圍是[2,0].答案:[2,0](15分鐘35分)1.(5分)(2020·黃岡模擬)設函數f(x)=QUOTE則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是 ()A.[1,2] B.[0,2]C.[1,+∞) D.[0,+∞)【解析】選D.當x≤1時,21x≤2可變形為1x≤1,x≥0,所以0≤x≤1.當x>1時,1log2x≤2可變形為x≥QUOTE,所以x>1,故x的取值范圍為[0,+∞).2.(5分)(2019·蚌埠模擬)已知單調函數f(x),對任意的x∈R都有f[f(x)2x]=6,則f(2)= ()A.2B.4C.6D.8【解析】選C.設t=f(x)2x,則f(t)=6,且f(x)=2x+t,令x=t,則f(t)=2t+t=6,因為f(x)是單調函數,f(2)=22+2=6,所以t=2,即f(x)=2x+2,則f(2)=4+2=6.3.(5分)(2020·連云港模擬)函數y=3x+QUOTE的值域是________________.

【解析】函數y=3x+QUOTE,設QUOTE=t,則t≥0,那么x=t2+1.可得函數y=3(t2+1)+t=3t2+t+3,t≥0.其對稱軸t=QUOTE,開口向上,所以函數y在[0,+∞)上單調遞增,所以當t=0時,y取得最小值為3.所以函數y=3x+QUOTE的值域是[3,+∞).答案:[3,+∞)4.(10分)已知函數f(x)=ax+QUOTE(1x)(a>0),且f(x)在[0,1]上的最小值為g(a),求g(a)的最大值.【解析】f(x)=QUOTEx+QUOTE,當a>1時,aQUOTE>0,此時f(x)在[0,1]上是增加的,所以g(a)=f(0)=QUOTE;當0<a<1時,aQUOTE<0,此時f(x)在[0,1]上是減少的,所以g(a)=f(1)=a;當a=1時,f(x)=1,此時g(a)=1.所以g(a)=QUOTE所以g(a)在(0,1)上是增加的,在[1,+∞)上是減少的,所以當a=1時,g(a)取最大值1.5.(10分)函數f(x)對任意的m,n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)1,并且x>0時,恒有f(x)>1. 導學號(1)求證:f(x)在R上是增函數;(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a5)<2.【解析】(1)設x1<x2,則x2x1>0.因為當x>0時,f(x)>1,所以f(x2x1)>1,f(x2)=f[(x2x1)+x1]=f(x2x1)+f(x1)1,所以f(x2)f(x1)=f(x2x1)1>0?f(x1)<f(x2),所以f(x)在R