第2課時函數奇偶性的應用水平1·題組一利用函數的奇偶性求參數的值或范圍1．已知一個奇函數的定義域為{－1，2，a，b}，則a＋b等于()A．－1 B．1C.0 D．2【解析】選A.因為一個奇函數的定義域為{－1，2，a，b}，根據奇函數的定義域關于原點對稱，所以a與b有一個等于1，一個等于－2，所以a＋b＝1＋(－2)＝－1.2．函數f(x)在x∈(－∞，＋∞)上單調遞減，且為奇函數．若f(1)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是()A.[－2，2] B．[－1，1]C.[0，4] D．[1，3]【解析】選D.因為f(x)為奇函數，f(1)＝－1，所以f(－1)＝1.因為－1≤f(x－2)≤1，所以f(1)≤f(x－2)≤f(－1).又因為f(x)在x∈(－∞，＋∞)上單調遞減，所以－1≤x－2≤1，所以1≤x≤3.3．設定義在(－1，1)上的奇函數f(x)在x∈[0，1)上單調遞增，且有f(1－m)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－2m))<0，則實數m的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))【解析】選A.由于函數f(x)的定義域為(－1，1)，則有，解得0<m<eq\f(3,4).又f(1－m)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－2m))<0，函數f(x)為奇函數，所以f(1－m)<－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－2m))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋2m)).因為函數f(x)是奇函數，且在x∈[0，1)上單調遞增，所以函數f(x)在定義域(－1，1)上單調遞增，則有1－m<－eq\f(1,2)＋2m，解得m>eq\f(1,2)，所以實數m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4))).·題組二函數的奇偶性和單調性的綜合應用1．若偶函數f(x)在區間[3，6]上單調遞增且f(6)＝9，則它在區間[－6，－3]上()A.最小值是9 B．最小值是－9C.最大值是－9 D．最大值是9【解析】選D.因為f(x)是偶函數且在區間[3，6]上單調遞增，所以f(x)在區間[－6，－3]上單調遞減．因此，f(x)在區間[－6，－3]上最大值為f(－6)＝f(6)＝9.2．f(x)是定義在R上的增函數，則下列結論一定正確的是()A.f(x)＋f(－x)是偶函數且是增函數B.f(x)＋f(－x)是偶函數且是減函數C.f(x)－f(－x)是奇函數且是增函數D.f(x)－f(－x)是奇函數且是減函數【解析】選C.A錯誤，設f(x)＝x，是增函數，但f(x)＋f(－x)＝x－x＝0是常數函數；同理B錯誤；C正確，設g(x)＝f(x)－f(－x)，則g(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－g(x)，函數g(x)是奇函數．任取x1，x2∈R，且x1<x2，則－x1>－x2，g(x1)＝f(x1)－f(－x1)，g(x2)＝f(x2)－f(－x2)，因為f(x)是定義在R上的增函數，所以f(x1)<f(x2)，f(－x1)>f(－x2)，即－f(－x1)<－f(－x2).所以f(x1)－f(－x1)<f(x2)－f(－x2)，即g(x1)<g(x2).所以函數g(x)＝f(x)－f(－x)是增函數，D錯誤．3．已知偶函數f(x)和奇函數g(x)的定義域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的圖象如圖所示，則關于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是________．【解析】設h(x)＝f(x)g(x)，補全f(x)，g(x)的圖象(圖略)，由圖象可知：當－4<x<－2時，f(x)>0，g(x)<0，此時h(x)<0；當0<x<2時，f(x)<0，g(x)>0，此時h(x)<0，所以h(x)<0的解集為(－4，－2)∪(0，2).答案：(－4，－2)∪(0，2)·題組三函數的基本性質的綜合應用1．設f(x)是R上的偶函數，且在(0，＋∞)上單調遞減，若x1<0且x1＋x2>0，則()A.f(－x1)>f(－x2)B.f(－x1)＝f(－x2)C.f(－x1)<f(－x2)D.f(－x1)與f(－x2)的大小不確定【解析】選A.因為x1<0，x1＋x2>0，所以x2>－x1>0，又f(x)在x∈(0，＋∞)上單調遞減，所以f(x2)<f(－x1)，因為f(x)是偶函數，所以f(－x2)＝f(x2)<f(－x1).2．已知定義在R上的奇函數f(x)，當x>0時，f(x)＝－x2＋2x，在區間[－1，a－2]上單調遞增，則實數a的取值范圍為__________．【解析】由已知可得函數f(x)的圖象，如圖，要使f(x)在x∈[－1，a－2]上單調遞增，必須所以1<a≤3，所以實數a的取值范圍是(1，3].答案：(1，3]3．已知f(x)是定義在[－1，1]上的奇函數，且f(1)＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0時，有eq\f(f（a）＋f（b）,a＋b)>0成立．若f(x)≤m2－2am＋1對所有的a∈[－1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．【解析】任取x1，x2∈[－1，1]，且x1<x2，則－x2∈[－1，1].因為f(x)為奇函數，所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)，由已知得eq\f(f（x1）＋f（－x2）,x1－x2)>0，又x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在x∈[－1，1]上單調遞增．因為f(1)＝1，且f(x)在x∈[－1，1]上單調遞增，所以在x∈[－1，1]上，f(x)≤1.f(x)≤m2－2am＋1等價于m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，對a∈[－1，1]成立．設g(a)＝－2m·a＋m2，①若m＝0，則g(a)＝0≥0，對a∈[－1，1]恒成立．②若m≠0，則g(a)為關于a的一次函數，若g(a)≥0對a∈[－1，1]恒成立，則必有g(－1)≥0，且g(1)≥0，即解得m≤－2或m≥2.綜上所述，實數m的取值范圍是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞).易錯點一沒有搞清分段函數及奇偶性的概念致錯1．關于函數f(x)＝的性質描述正確的是()A.f(x)是奇函數B.f(x)是偶函數C.f(x)是奇函數，也是偶函數D.f(x)不是奇函數，也不是偶函數【解析】選D.當x<0時，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－f(x)，當x>0時，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3＝－f(x)，但是f(0)＝3，所以f(x)不是奇函數，也不是偶函數．2．已知函數f(x)＝，則不等式f(|2x－1|)≤4的解是__________；不等式2f(x)≥f(4－x2)的解是________．【解析】容易作出函數f(x)＝的圖象如下，顯然函數f(x)在x∈R上單調遞增，又4＝22＝f(2)，所以f(|2x－1|)≤4?f(|2x－1|)≤f(2)，所以|2x－1|≤2，－2≤2x－1≤2，所以－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(3,2).x≥0，2f(x)＝2x2＝(eq\r(2)x)2＝f(eq\r(2)x)；x<0，2f(x)＝－2x2＝－(eq\r(2)x)2＝f(eq\r(2)x).所以x∈R時，2f(x)＝f(eq\r(2)x)，2f(x)≥f(4－x2)?f(eq\r(2)x)≥f(4－x2)，所以eq\r(2)x≥4－x2，x2＋eq\r(2)x－4≥0，(x＋2eq\r(2))(x－eq\r(2))≥0，所以x≥eq\r(2)或x≤－2eq\r(2).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤\f(3,2)))))eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\r(2)或x≤－2\r(2)))))【易錯誤區】分段函數的奇偶性要分段討論，不能只驗證一部分．易錯點二判斷含參函數的奇偶性時忽略對參數的討論致錯(多選)已知函數f(x)＝x2＋|x－a|＋1，x∈R，a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，則函數f(x)的性質為()A.a＝0時，是偶函數B.a≠0時，既不是奇函數也不是偶函數C.f(x)的最小值為a2＋1D.f(x)的最小值為1【解析】選ABC.因為a＝0時，f(x)＝x2＋|x|＋1是偶函數，所以A正確；因為a≠0時，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，所以f(a)－f(－a)＝－2|a|≠0，所以f(x)不是偶函數，f(a)＋f(－a)＝2a2＋2|a|＋2≠0，所以f(x)不是奇函數，所以B正確；因為f(x)＝a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，所以f(x)在x≥a時單調遞增，在x<a時單調遞減，所以f(x)的最小值為f(a)＝a2＋1.所以C正確，D錯誤．【易錯誤區】對分段函數的奇偶性和單調性都要分類討論，因為參數會影響函數的性質．所以不要忽略對參數的分類討論．水平1、2限時30分鐘分值60分戰報得分______一、選擇題(每小題5分，共30分)1．若函數f(x)(f(x)≠0)為奇函數，則必有()A．f(x)·f(－x)>0 B．f(x)·f(－x)<0C.f(x)<f(－x) D．f(x)>f(－x)【解析】選B.因為函數f(x)(f(x)≠0)為奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2<0.2．若φ(x)，g(x)都是奇函數，f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋3在x∈(0，＋∞)上有最大值10，則f(x)在x∈(－∞，0)上有()A.最小值－4B．最大值－4C.最小值－1D．最大值－3【解析】選A.由已知對任意x∈(0，＋∞)，f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋3≤10.對任意x∈(－∞，0)，則－x∈(0，＋∞).又因為φ(x)，g(x)都是奇函數，所以f(－x)＝aφ(－x)＋bg(－x)＋3≤10，即－aφ(x)－bg(x)＋3≤10，所以aφ(x)＋bg(x)≥－7，所以f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋3≥－7＋3＝－4.3．設函數f(x)＝eq\f(（1＋x）2,x2＋1)的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝()A.0B．1C．2D．3【解析】選C.因為f(x)＝eq\f(（1＋x）2,x2＋1)＝1＋eq\f(2x,x2＋1)，函數eq\f(2x,x2＋1)是奇函數，圖象關于坐標原點對稱，所以f(x)的圖象關于(0，1)對稱，所以最大值與最小值的和為2.4．設f(x)是R上的奇函數，f(x＋2)＝－f(x)，且當x∈[－1，0]時，f(x)＝2－x，則f(2022.5)等于()A.0.5B．2.5C．－0.5D．－2.5【解析】選B.因為f(x)是R上的奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，因為f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(2022.5)＝f(4×505＋2.5)＝f(2.5)＝－f(0.5)＝f(－0.5)＝2＋0.5＝2.5.5.(多選)已知定義在區間[－7，7]上的一個偶函數，它在[0，7]上的圖象如圖，則下列說法正確的是()A.這個函數有兩個單調增區間B.這個函數有三個單調減區間C.這個函數在其定義域內有最大值7D.這個函數在其定義域內有最小值－7【解析】選BC.根據偶函數在[0，7]上的圖象及其對稱性，作出其在[－7，7]上的圖象，如圖所示，由圖象可知這個函數有三個單調增區間，有三個單調減區間，在其定義域內有最大值7，最小值不是－7.6．(多選)若函數f(x)對任意x∈R都有f(x)＋f(－x)＝0成立，m∈R，則下列的點一定在函數y＝f(x)圖象上的是()A.(0，0) B．(－m，－f(m))C.(m，－f(－m)) D．(m，f(－m))【解析】選ABC.因為任意x∈R滿足f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)是奇函數，又x∈R，所以令x＝0，則f(－0)＝－f(0)，得f(0)＝0，所以點(0，0)，點(－m，－f(m))與(m，－f(－m))也一定在y＝f(x)的圖象上．二、填空題(每小題5分，共20分)7．已知函數f(x)＝ax3＋bx＋4(a，b均不為零)，且f(5)＝10，則f(－5)＝________．【解析】令g(x)＝ax3＋bx(a，b均不為零)，易知g(x)為奇函數，從而g(5)＝－g(－5).因為f(x)＝g(x)＋4，所以g(5)＝f(5)－4＝6，所以f(－5)＝g(－5)＋4＝－g(5)＋4＝－2.答案：－28．下列函數中是奇函數的為________．(填序號)①f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；②f(x)＝；③f(x)＝eq\f(\r(4－x2),x2)；④f(x)＝|x－1|－|x＋1|.【解析】①因為f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))要有意義，則eq\f(1－x,1＋x)≥0且1＋x≠0，解得－1<x≤1，所以，函數y＝f(x)的定義域為(－1，1]，不關于原點對稱，因此，函數y＝f(x)是非奇非偶函數．②當x>0時，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；當x<0時，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2×(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x).所以函數y＝f(x)為奇函數．③由題意可得，所以－2≤x≤2且x≠0，所以，函數y＝f(x)的定義域為[－2，0)∪(0，2]，關于原點對稱，又f(－x)＝eq\f(\r(4－（－x）2),（－x）2)＝eq\f(\r(4－x2),x2)＝f(x)，所以函數y＝f(x)為偶函數．④對于任意實數x，都有f(－x)＝|－x－1|－|－x＋1|＝|x＋1|－|x－1|＝－f(x)，所以f(x)是奇函數．答案：②④9．已知函數f(x)＝是奇函數，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，m＋\f(1,2)))上單調遞減，則實數a＝________；實數m的取值范圍用區間表示為________．【解析】因為函數f(x)＝是奇函數，所以f(1)＋f(－1)＝0，即1－a＋(－1)＋1＝0，解得a＝1；因此f(x)＝，根據二次函數的性質，可得，當x>0時，函數f(x)＝x2－x在區間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上單調遞減，在區間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調遞增；又因為f(0)＝0，所以由奇函數的性質可得：函數f(x)在區間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上單調遞減；因為函數f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，m＋\f(1,2)))上單調遞減，所以只需：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，m＋\f(1,2)))?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，即，解得－eq\f(1,2)≤m≤0.答案：1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))10．已知函數f(x)是定義在[a－1，2a]上的偶函數，且當x>0時，f(x)單調遞增，則關于x的不等式f(x－1)>f(a)的解集為________．【解析】由題意可得a－1＋2a＝0，所以a＝eq\f(1,3)，所以f(x－1)>f(a)等價于|x－1|>eq\f(1,3)，所以x<eq\f(2,3)或x>eq\f(4,3).所以所求的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))三、解答題11．(10分)設定義域為R的函數f(x)＝(1)在平面直角坐標系內作出函數f(x)的圖象，并指出f(x)的單調區間(不需證明)；(2)若方程f(x)＋2a＝0有兩個解，求出a的取值范圍；(3)設定義域為R的函數g(x)為奇函數，且當x>0時，g(x)＝f(x)，求g(x)的解析式．【解析】(1)如圖．單調增區間：[－1，0]，[1，＋∞)，單調減區間(－∞，－1]，[0，1].(2)在同一坐標系中同時作出y＝f(x)，y＝－2a的圖象，由圖可知f(x)＋2a＝0有兩個解，須－2a＝0或－2a>1，即a＝0或a<－eq\f(1,2).(3)當x<0時，－x>0，所以g(－x)＝(－x)2－(－2x)＋1＝x2＋2x＋1，因為g(x)為奇函數，所以g(x)＝－g(－x)＝－x2－2x－1，且g(0)＝0，所以g(x)＝設f(x)是定義在[－1，1]上的奇函數，且對任意a，b∈[－1，1]，當a＋b≠0時，都有eq\f(f（a）＋f（b）,a＋b)>0.(1)若a>b，試比較f(a)與f(b)的大小；(2)解不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))；(3)如果g(x)＝f(x－c)和h(x)＝f(x－c2)這兩個函數的定義域的交集是空集，求c的取值范圍．【解析】(1)任?。?≤x1<x2≤1，則eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)＝eq\f(f（x2）＋f（－x1）,x2＋（－x1）)>0，所以f(x2)>f(x1)，所以f(x)在x∈[－1，1]上單調遞增．因為a，b∈[－1，1]，且a>b，所以f(a)>f(b).(2)因為f(x)是x∈[－1，1]上單調遞增，所以由不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<fe