2022-2023學年安徽省亳州市渦陽重點學校聯考高一（下）期末

數學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.某數學興趣小組有10名同學，在一次數學競賽中成績的名次由小到大排列分別是2,4,5,

X,11,14,15,39,41,50.若該小組成績名次的40%分位數是9.5,則x=（）

A.9B.8C.7D.6

2.已知，@）=償之；旨"<°，則/（一――“，。以3）=（）

A.1-4~3B.-1+J~3C.-1-V~3D.1+V~3

3.在△4BC中，“A=B”是“sin2A=sin2B”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.現有10名北京冬奧會志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，從中隨機地接連抽取3名

（每次取一個），派往參與花樣滑冰項目的志愿者服務.則“恰有一名女志愿者”的概率是（）

ALRIfcZ.D

A.4545C.]5D.15

5.已知正實數m,睚滿足m+n=l,則的最大值是（）

A.2B.y/~2C.—D.1

6.黃鶴樓，位于湖北省武漢市武昌區，地處蛇山之巔，瀕臨萬里長江，為武漢市地標建筑.某

同學為了估算黃鶴樓的高度，在大樓的一側找到一座高為30（，？-l）m的建筑物48,在它們

之間的地面上的點三點共線）處測得樓頂4、樓頂C的仰角分別是15。和60。，在樓頂4

處測得樓頂C的仰角為15。，則估算黃鶴樓的高度。。為（）

A.20CmB.20V_27nC.3073mD.30yT2m

7.一個圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則此圓錐內切球的體積是（）

AfB.叵C.3兀D.史亙

3327

8.在銳角△ABC中，三內角4B,C對應的邊分別為a,b,c,且$也唱=竺警則撤取值

5bb

范圍是()

A.(殍,1)B.(2,殍)C.g,?)D.(^.1)

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.對于函數/Q)=sinx+熹有如下四個判斷，其中判斷正確的是()

A./(%)的定義域是｛x|xHkn,keZ)B./(x)的最小值是2

C.TT是/(x)的最小正周期D./(x)的圖象關于直線％=表寸稱

10.設Zi，Z2是復數，N，石是其共軌復數，則下列命題中正確的是()

A.若zg+Z2=0,則Zi=Z2=0B.若Z]+Z2=Zi-Z2，則Z1?Z2=0

C.若憶1|=憶2卜則Z]=Z2D.若Z]—Z1為實數，則Z1為實數

11.在四棱錐S—4BCD中，SD1平面4BCD,底面4BCD是正方形，則下列結論中正確的是

()

A.BC〃平面54。B.4c與SB所成的角為60。

C.平面SDC_L平面4BCDD.BD與平面SC。所成角為45°

12.某校開展數理化競賽，甲組有10位選手，其中數學5人，物理2人，化學3人；乙組也有10

位選手，其中數學4人，物理3人，化學3人.先從甲組中隨機選出一人放到乙組，分別以公,4

和A表示由甲組選出的是數學、物理和化學的事件；再從乙組中隨機選出一人，以B表示由

乙組選出的人是數學選手的事件，則下列結論中正確的是()

A.%4)="

B.A2)43是兩兩互斥的事件

a

C.事件B與事件&相互獨立D.P(B)=-

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

l+sin萼ocs善

13.計算的值是______

2cos2等一1

O

14.已知正方體43。。一41816。1的棱長是4,P是棱BC的中點，過點4、P、Q的平面截該

正方體得到的多邊形為a,則a的面積是

15.定義在R上的函數f(x)滿足/(x+3)+/(x+l)=/(2),則“2024)的值是

16.己知向量心族的夾角為仇|五|=1,歷I=2,且對任意的4<0,I五一;1萬|的最小值是?，

則。的大小為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知函數a€R.

(1)若/Q)為偶函數，求a的值；

(2)令g(x)=/(x)-(a+1).若函數g(x)在［一1,1］上有兩個不同的零點，求a的取值范圍.

18.(本小題12.0分)

設a是實數，復數(a-i)(2i+1)。是虛數單位)在復平面內對應的點在第四象限.

(1)求a的取值范圍；

(2)若a取負整數，復數z滿足2z-|z|=a-3父,求z.

19.(本小題12.0分)

如圖，在A4BC中，三內角A,B,C對應的邊分別為a,b,c,點E是邊48的中點，點。是邊

4C上一點，BD,CE相交于點P,且荏=3荏+；前.

(1)若前=4而，求實數;I的值；

(2)若麗?元=0，證明：a2+3b2=3c2.

20.(本小題12.0分)

如圖，在三棱柱ABC-A】BiG中，側棱441J■平面ABC,^BAC=90°,AB=AC,E是棱B位

上的動點，。是棱BC的中點.

(1)證明：AD1CrE；

(2)若四棱錐D-441&B的體積是C，且44］=2,求AZBC的面積.

21.(本小題12.0分)

在AABC中，三內角4B,C對應的邊分別為a,b,c,sinB+cosBtanC=

(1)求角C的大小;

(2)若E是邊4B上的點，且BE=CE=3E4求tcmB的值.

22.(本小題12.0分)

“以任意三角形的三條邊為邊，向外作三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓的圓

心組成一個等邊三角形”，這就是著名的拿破侖定理，在A/BC中，44=120。，以AB,BC,

AC為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次是。1，。2,。3.已知△。1。2。3的面積是門，

建立如圖所示的直角坐標系，請利用拿破侖定理、坐標法和解三角形等相關知識解決以下兩

個問題:

(1)求4B+4C的值;

(2)求4ABC周長的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：40%x10=4,

故40%分位數是第4、第5個名次數的平均值，即9.5,

因此竽=9.5,解得x=8.

故選：B.

根據百分位數的定義，計算即可.

本題考查百分位數的應用，屬于基礎題.

2.【答案】C

【解析】解：因為/(%)=X<°.

所以/(一曲一f(log43)=lg^-2sg，3=-1-7-3.

故選：C.

由已知函數解析式代入即可直接求解.

本題主要考查了函數值的求解，屬于基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：4=B時，sin2A=sin2B,充分性滿足，

當4+8=1時，sin2A=sin2(^-B)=sin(7r-2B)=sin2B,必要性不滿足，

所以aA=Bn是"sin2A=sin2Bn的充分不必要條件.

故選:B.

根據充分必要條件的定義判斷.

本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎題.

4.【答案】C

【解析】解：設G，c2,C3分別為僅第一次、僅第二次、僅第三次取到女志愿者的事件,

且事件G，c2,C3互斥，

nuin/廠、2877“廠、8277、8727

AJP(Ci)=j^x-x-=—；P(C2)=-x-x-=—；P(c3)=-x-x-=—；

則“恰有一名女志愿者”的概率為P(G+C2+C3)=^+^+^=V

故選：C.

隨機地接連抽取3名志愿者(每次取一個)，恰有一名女志愿者”可分3類：僅第一次、僅第二次、

僅第三次取到女志愿者，由此計算即可.

本題考查互斥時間的概率公式，屬于基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：由基本不等式可知，(廳尸產w竽,

即，一泊+，吊式，區，當且僅當巾=n=g時等號成立.

故選：B.

由已知結合基本不等式即可直接求解.

本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于基礎題.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了三角形的正弦定理和解三角形的應用問題，也考查了方程思想和運算求解能力，是中

檔題.

在中求得AM,在△ACM中運用正弦定理求得CM,解Rt△COM求得的值.

【解答】

解：在RM4BM中，=

sinl5

在△ACM中，Z-CAM=15°+15°=30°,Z.AMC=180°-15°-60°=105°,

所以乙4cM=180°-30°-105°=45°,

CM

由正弦定理,AM_

sinZ-ACMsinz.CAM"

30(\/-3—l)x^x^=

_L/廠A/AM-sinz.CAM

故rCM=~~=60,

sin/LACM^/-6-V-2

4

在Rt△COM中，CD=CMsin60°=60x3=30con).

所以估算黃鶴樓的高度CD為30Cm.

故選：C.

7.【答案】D

【解析】解：設圓錐的底面半徑是r,母線為1,圓錐的側面展開

圖是半徑為2的半圓，

則2=2,2nr~2TC,r=1.圓錐的高九=74-1=如圖:

SO=h,。'為內切球的球心，

設圓錐內切球的半徑是R,則5=早,即亨=受,解得R=

因此圓錐內切球的體積是=穿.

故選：D.

求解圓錐的底面半徑與高，然后求解內切球的半徑，即可求解球的體積

本題考查幾何體內切球的體積的求法，考查空間想象能力，轉化思想以及計算能力，是中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：因為急二忌,可得加4_asinB

b

-V-1.B+C_asinB

又

b

所以利用正弦定理可得sin半=sinA,

因為0<C<*0<B<p

所以0＜半＜?

而0<4

所以喈=4

即B+C=54,

因此64=兀，可得4屋,

由0＜B和0＜年一B得到，

，6乙3乙

因此sing<sinB<sin],三<sinB<1.

于是2=也=，€d—Y

故選：c.

由題意利用正弦定理可得sin?=sim4,進而可求4的值，可求得<B<會利用正弦定理以及正

弦函數的性質即可求解號的取值范圍.

本題考查了正弦定理以及正弦函數的性質的綜合應用，考查了轉化思想和函數思想的應用，屬于

中檔題.

9.【答案】AD

【解析】解：函數/(x)=sbix+—匚，

對于4：定義域是{x|xWkmk€Z},故A正確，

對于8：當sMx=-l時，函數的值為一2,故3錯誤；

對于C：函數滿足/。+2兀)=/(%),故函數的最小正周期為2兀，故C錯誤.

對于0：函數f(%)滿足f(〃-％)=/(%),故函數的圖象關于直線x=與對稱，故。正確.

故選：AD.

直接利用函數的性質及函數的性質的應用判斷4、B、C、。的結論.

本題考查的知識要點：三角函數的性質，函數的對稱性和定義域及值域的應用，主要考查學生的

運算能力和數學思維能力，屬于基礎題.

10.【答案】BD

【解析】解：對4,取Zi=1,z2=iy則+z：=0,但ZiH0,z20,故A錯誤；

對8,zr+z2=zr-z2f解得Zz=0,

則z「Z2=0,故B正確;

對C，|Zj|=|z2h則憶1|=|z2|,

顯然=但iW-i,故C錯誤；

對。，設Zi=a+bif

則Zi=a-bi,因此z-z=2bi,b=0f則z]為實數，故。正確.

故選：BD.

對于4C,結合特例，即可判斷；

對于8,結合復數的四則運算，即可求解；

對于D,結合復數的四則運算，以及共物復數的定義，即可求解.

本題主要考查復數的四則運算，考查轉化能力，屬于基礎題.

11.【答案】ACD

【解析】解：對于選項A,因為底面4BCD是正方形，所以BC〃AD,

又BCC平面S4D,AOu平面S4D,所以BC〃平面SAD,即選項A正確；

對于選項8,因為SDJ■平面/BCD,4Cu平面ZBCD,所以4cd.SD,

又底面48CD是正方形，所以4CJLBD,

因為SOCI=SD、BDu平面SBD,所以AC_L平面SBD,

因為SBu平面S80,所以4C1SB,即AC與SB所成的角為90。，故選項8錯誤；

對于選項C,因為SDJ■平面ABC。，SDu平面SDC,所以平面SDC_L平面力BCD,即選項C正確;

對于選項。，因為SD1平面4BCD,BCu平面力BCD,所以SDJ.BC,

又CDLBC,且SDnCD=D,SD、CDu平面5CD,所以BC_L平面SC。，

所以4B0C為直線BD與平面SCO所成角，而NBCC=45。，故選項。正確.

故選；ACD.

選項A,由線面平行的判定定理，可判斷；

選項B,由ZCJ.SD,AC1BD,可證AC_L平面SBD,知ZCJ.SB；

選項C,由面面垂直的判定定理，可判斷；

選項。，由SD1BC,CD1BC,知BC1平面SCO,從而有N8DC即為所求，得解.

本題考查空間角的求法，空間中線與面的位置關系，熟練掌握線面平行的判定定理，線面、面面

垂直的判定定理以及線面角的定義是解題的關鍵，考查空間立體感、推理論證能力和運算能力，

屬于中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：根據題意，依次分析選項：

對于4甲組有10位選手，其中數學5人，貝印⑶)=卷4正確；

對于B,甲組選出的可以是數學、物理和化學，分成三類，且互斥，8正確；

對于C,顯然事件必是否發生影響到事件B,事件B與事件必不獨立，C錯誤；

對于由全概率公式,P(B)=磊,54WW3。正確.

JLUXXAV/JLJLJLUJLJL4乙

故選：ABD.

根據題意，由古典概型公式可得A正確，由互斥事件的定義可得B正確，由相互獨立事件定義可

得C錯誤，由全概率公式可得。正確，綜合可得答案.

本題考查全概率公式，涉及古典概型和互斥事件的定義，屬于基礎題.

13.2—

l+sin等cos券l+:sin竽l+|x^

【解析】解:加混患-1=^^=千

故答案為：-?，2―

由二倍角公式化簡即得.

本題考查二倍角公式的應用，屬于基礎題.

14.【答案】8<6

【解析】解：根據題意，如圖：取4D1的中點Q,連接4Q、AP.PC1、

GQ，

易得AP“QC「PCi〃AQ,則4、P、的、Q四點共面，故平行四邊形4PGQ

就是截面多邊形為a,

又由4P=PC】=AQ=QC],則截面a是菱形，

其兩條對角線長分別是4c和4/2

故截面a的面積是:x4V-3x4A/-2=8V-6.

故答案為：8A/-6.

根據題意，取&Di的中點Q,連接4Q、AP.PG、CiQ,分析可得四邊形APCiQ就是截面多邊形

為a,進而可得截面a是菱形，求出其對角線的長，計算可得答案.

本題考查棱柱的結構特征，涉及平面截棱柱所得截面的問題，屬于基礎題.

15.【答案】0

【解析】解：根據題意，由于/(%+3)+/(x+1)=f(2)①，變形可得/'(x+1)+/(x-1)=

/⑵②，

①—②可得：/(x+3)=/(x-l),即)(x+4)=/(x),則f(%)是周期為4的周期函數；

在/。+3)+/。+1)=/(2)中，令x=—1,則f(2)+/(0)=f(2),所以f(0)=0,

則/(2024)=f(0+506x4)=/(0)=0,即/(2024)=0.

故答案為：0.

根據題意，先分析函數的周期，利用特殊值求出/(0)的值，進而分析可得答案.

本題考查抽象函數的求值，涉及函數的周期性，屬于基礎題.

16.【答案】120°

【解析】解：已知向量出3的夾角為。，|砧=1,歷|=2，

所以|五一；!司2=群一24蒼.b+A2b2=1-4Acosd+4A2=4("-Acosd++1=

2

4(2—￡^)2+1-COs0=4(4-co；"1+siM。，

又|五一4b\min=

所以|有一;=|s譏回,即|sin0|=?.因為。e[0,捫，所以sin。=？，。=60。或120。.驗證

知，。=120°,

故答案為:120°.

先對向量的模長平方得到12-Ab\2=a2-2Aa-b+A2f=4(4一等尸+siM。，再根據|a-

Ab\min=?運算即可得到|sin0|=?，進一步計算即可?

本題主要考查向量的模長公式以及數量積運算，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)根據題意，函數/0)=等為偶函數，

則有/(—x)=〃x)，即甘=爭，

變形可得：(Q-1)(9"-1)=0,故Q=1,

(2)根據題意，若g(%)=/(%)-(a+1)=0,則有g￡一Q+1)=o，

變形可得尹一(a+1)?3%+Q=0,則有(3%-Q)?(3%-1)=0,

解可得：%i=log3a?x2=

若函數g。)在上有兩個不同的零點，

而。E[—1,1],

必有一1<log3a<lfilog3a00,解得"<Iga<3,且a01；

故a的取值范圍是點1)u(1,3].

【解析】(1)根據題意，由偶函數的定義可得/(-x)=f(x),即寧=爭，變形分析可得答案;

(2)根據題意,令g(x)=0分析可得%=log3tz,x2=0,分析可得一1Slog3aW1且log3a。0,

解可得答案.

本題考查函數零點與方程根的關系，涉及對數的運算，屬于基礎題.

18.【答案】解:(1)(G—i)(2i+1)=a+2+(2a—l)i,

則a+2>0,且2a-l<0,解得一2<a<

故a的取值范圍是(一2§)；

(2)因為—2<a<g,且a取負整數，

所以Q=-1,

設z=b+ci,b,ceR.則2z-\z\=a-2i3,即2(b+ci)-V62+c2=-14-23

所以1；=展江77r解得b=o,c=l，

故z=i.

【解析】(1)根據已知條件，結合復數的四則運算，以及復數的幾何意義，即可求解；

(2)根據已知條件，結合復數模公式，以及復數相等的條件，即可求解.

本題主要考查復數的四則運算，屬于基礎題.

19.【答案】解：(1)因為B,P,。三點共線，

所以存在實數m，使9=?n而+(l-m)同=2m荏+子前，

A.

與條件而=^AE+比較，

得到27n=；且二"=

ZAZ

故4=|；

證明：(2)?BC=AC—/B，AP=；AE+:AC=gAC,

???AP-BC=^AB+^ACy(AC-AB)=^AC-^AC-AB-^AB

1>71j1?1j?1fb，。2—Q21?

=—二be-￡-o—;be----------c￡=0n，

24COSZLBAC--4C=242bc4

即打一頭衛_#=0，

化簡整理得：a2+3b2=3c2.

【解析】(1)由平面向量的線性運算和平面向量基本定理即可求得；

(2)由平面向量垂直的性質和余弦定理化簡即可.

本題考查平面向量的線性運算，夾角與數量積，余弦定理的綜合，屬于中檔題.

20.【答案】(1)證明：因為441J?平面ABC,44J/CC1，所以CQJL平

面4BC,

又CQu平面BCGBi，所以平面4BC1平面BCG/,

因為棱BC的中點為D,且AABC是等腰三角形，所以401BC,

又4。u平面4BC,平面4BCD平面CBBiG=BC,

所以力D平面CBBiG，

又因為GE<=面CBBiG，所以ADJLCiE.

(2)解：過點。作DFJ.4B于F,則DF平面441當8,

所以四棱錐。-44遇道的體積為“棱錐44HB=lAAi-AB-DF'

即Wx2xABxDF=sTL解得40xDF=學，

JN

所以△ABC的面積為TAB-2DF=AB-DF=平.

【解析】(1)根據44i1平面ABC,得出CCiJ■平面ABC,平面力BC1平面BCqBi，再證明4。1BC,

得出力DJ?平面CBBiG，即可證明2D_LG￡

(2)根據四棱錐。一44避避的體積為求出的值，從而求出△ABC的面積.

本題考查了空間幾何體的體積計算問題，也考查了空間中的垂直關系應用問題，是中檔題.

21.【答案】解：(1)由正弦定理及sin