2024屆河北省邯鄲市大名縣一中數學高二上期末考試模擬試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.某種產品的廣告費支出》與銷售額V（單位：萬元）之間的關系如下表：

X24568

y3040605070

若已知V與x的線性回歸方程為$=6.5尤+17.5,那么當廣告費支出為5萬元時，隨機誤差的效應（殘差）為萬元（殘

差=真實值-預測值）

A.40B.30

C.20D.10

2.經過點44,2〃?+1）,5（2,-3）的直線的傾斜角為“，則相=

4

A.-1B.-3

C.OD.2

3.已知命題p：3x（）e（l,+oo）,%+—=2；命題5x2-6x+2>0>那么下列命題為假命粵的是。

A.（「0）vqB.pv（r）

4.已知點P在拋物線C：/=2mx（me7?,m^O）±,點/為拋物線C的焦點，|尸耳=12,點尸到y軸的距離為4,

則拋物線C的方程為（）

A.y2=64xB.y2=±64x

C.y2=32%D.y~=±32x

5.過兩點A（機2+2,機2—3）、5（3—機―機2,？"）的直線/的傾斜角為45,則加的值為（）

A.—2或一1B.-1

5D.-2

6.設變量x,，滿足約束條件：｛x+2y<2,則z=x—3y的最小值。

x>-2

A.-2BT

C.—6D.—8

7.設命題p:Vxe[e,??),e*=7x—2021,則一^為()

A.玉0e[e,+ao),e~=7Xo-2021B.3x0e[e,+oo),7x0-2021

C.V%e[-?,e),ex^7x-2021D.V%e[^o,e),e，=7x-2021

uuir

8.在棱長均為1的平行六面體ABCD-ABGA中，NBAD=NB4A=ZDA^=60°,則AQ=()

A.逝B.3

C.y/6D.6

9.已知直線。，"c,若6異面，b//c,則a,c的位置關系是()

A屏面B.相交

C.平行或異面D.相交或異面

10.空間直角坐標系中，已知3),則點A關于］。平面的對稱點的坐標為()

A.(l,l,-3)B.(-1,-1,-3)

C.(-l,l,-3)D.(-1,-1,3)

22Q

11.雙曲線與-當=1(a>0,b>0)的一條漸近線的傾斜角為T，則離心率為()

/b23

A.72B.百

C.2D.4

12.甲烷是一種有機化合物，分子式為CH…其在自然界中分布很廣，是天然氣、沼氣的主要成分.如圖所示的為甲

烷的分子結構模型，已知任意兩個氫原子之間的距離程一H(H-H鍵長)相等，碳原子到四個氫原子的距離dc-H(C-H

鍵長)均相等，任意兩個H-C-H鍵之間的夾角為(鍵角)均相等，且它的余弦值為-g,即cosZHCH=-g,若=。，

則以這四個氫原子為頂點的四面體的體積為()

48扃38#/

279

c80a3D8缶3

,-27~9~

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.光線從橢圓的一個焦點發出，被橢圓反射后會經過橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點發出，被雙曲線

反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出.如圖，一個光學裝置由有公共焦點《，鳥的橢圓r與雙曲線「構成，現

一光線從左焦點耳發出，依次經「與「反射，又回到了點耳，歷時4秒；若將裝置中的「去掉，此光線從點耳發出，

經「兩次反射后又回到了點耳，歷時右秒；若才2=8。，則「與「的離心率之比為

15.已知定點A（4,2）,動點Af、N分別在直線y=x和y=o上運動，則.AAW的周長取最小值時點N的坐標為

16.若1,、反），則與向量。同方向的單位向量的坐標為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假：

（1）P：任意兩個等邊三角形都是相似的；

（2）Q：3x0GR,x；+2%o+2=O.

18.（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，24,底面ABC。，PA=AB,產是PC的中點，AC=2BC=2CD,

71

ZACB=ZACD=-

3

（1）證明：PB1.AF；

（2）求直線PB與平面AFD所成角的正弦值.

19.（12分）設函數［（r）=］+alnx

（1）若a＜。，求/（x）的單調區間和極值；

（2）在（1）的條件下，證明：若/'（x）存在零點，則Ax）在區間（0,五］上僅有一個零點；

（3）若存在力N1,使得/（乃一:/一工＜一」3，1）,求。的取值范圍

2a-1

22_

20.（12分）已知橢圓。：一+￡=1（。〉6〉0）的左焦點為尸（—2,0）,點尸到短袖的一個端點的距離為幾.

（1）求橢圓。的方程；

（2）過點歹作斜率為攵的直線/,與橢圓。交于A,B兩點,若2,求左的取值范圍.

21.（12分）求滿足下列條件的雙曲線的標準方程

（1）焦點在x軸上，實軸長為4,實半軸長是虛半軸長的2倍；

（2）焦點在y軸上，漸近線方程為y=3x,焦距長為2亞

22.（10分）如圖，在四棱錐P-A6CD中，底面ABC。，底面ABC。是邊長為2的正方形，PD=DC,F,

G分別是P3,AD的中點

F

C

（1）求證：GF，平面尸CB；

（2）求平面BIB與平面尸CB的夾角的大小

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解題分析】分析：把所給的廣告費支出5萬元時，代入線性回歸方程，做出相應的銷售額，這是一個預測值，再求

出與真實值之間有一個誤差即得.

詳解：y與％的線性回歸方程為夕=6.5x+17.5,

當x=5時，y=50,

當廣告費支出5萬元時，由表格得：y=6O,

故隨機誤差的效應（殘差）為60-50=10萬元.

故選D.

點睛：本題考查回歸分析的初步應用，考查求線性回歸方程，考查預測y的值，是一個綜合題

2、A

,"1-1+彳7

【解題分析】由題意，得-=tan—=］，解得;=-1故選A

4-24；

考點：直線的傾斜角與斜率

3、B

【解題分析】由題設命題的描述判斷。、q的真假，再判斷其復合命題的真假即可.

1c

【題目詳解】對于命題，，僅當天=1時/+—=2,故為假命題;

%

對于命題夕，由A=36—4x5x2=T<0且了=5/一6x+2開口向上，故為真命題;

所以為真命題，為假命題，

綜上，（[p）vq為真，pvjq）為假，（[p）v（-iq）為真，（「p）Aq為真.

故選：B

4、D

【解題分析】由拋物線定義可得，注意開口方向.

詳解】設尸（%,%）

???點P到y軸的距離是4

x0=±4

??,|PF|=12,.?.|PF|=|X0|+M=4+M=12.

得7〃=±16

C：/=±32x.

故選：D.

5、D

【解題分析】利用斜率公式可得出關于實數機的等式與不等式，由此可解得實數機的值.

k=m_2m-3=][m2+3m+2=0

2

詳解】由斜率公式可得鉆2m+m-l，即2，解得機=-2.

c21c2m+m—IwO

2m+m—lwO1

故選：D.

6、D

【解題分析】如圖作出可行域，知可行域的頂點是A（—2,2）、B（二,二）及C（-2,-2）,

aq

平移z=x—3y,當z=x-3y經過A時，

z=x—3y的最小值為-8,故選D.

7、B

【解題分析】全稱命題的否定時特稱命題，把任意改為存在，把結論否定.

【題目詳解】命題1=7%-2021,貝!!"為"玉(,?6”)，e'。w7%-2021”.

故選：B

8、C

【解題分析】設A3=a，AD=b，AA=c，利用|AG卜府五了結合數量積的運算即可得到答案?

【題目詳解】設AB=a，AD=b>A4]=c,由已知，得<a,b>=60,<a,c>=60,<c,b>=6Q，

I。bl61=1c|=1，所以。.。=。.C=。力=5，

luurii~r~r~~T—匹~n~nr~Tr-r

所以=J(a+b+c)2="a+b+c+2a-b+2a-c+2b-c=y16?

故選:C

9、D

【解題分析】以正方體為載體說明即可.

【題目詳解】如下圖所示的正方體：

A3和。2是異面直線，DDJ/BB,,AB?BB[B.

A3和。口是異面直線，DDJICC,,A5與CG是異面直線.

所以兩直線。與〃是異面直線，b//c,則a,c的位置關系是相交或異面.

10、D

【解題分析】根據空間直角坐標系的對稱性可得答案.

【題目詳解】根據空間直角坐標系的對稱性可得4(-1,1,3)關于平面的對稱點的坐標為(-1,-1,3),

故選：D.

11、C

【解題分析】根據雙曲線方程寫出漸近線方程，得出-X=tanl20。，進而可求出雙曲線的離心率.

a

22〃

【題目詳解】因為雙曲線==1（。>>0）的漸近線方程為y=土一X,

aba

又其中一條漸近線的傾斜角為120。，

所以-2=tanl2（F=-6,則2=

aa

所以該雙曲線離心率為e=—=.1^-==J1+與=+3=2.

a\a"\a"va

故選：C.

12、A

【解題分析】利用余弦定理求得程一「計算出正四面體的高，從而計算出正四面體的體積.

【題目詳解】設%不=%，則由余弦定理知：（，解得》=馬魯,

故該正四面體的棱長均為宜?

3

46a

320。

由正弦定理可知：該正四面體底面外接圓的半徑「

W-3

~2

8石/

7

故選：A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

3

13、-##0.75

4

【解題分析】根據橢圓和雙曲線定義用長半軸長和實半軸長表示出撤掉裝置「前后的路程，然后由已知可解.

【題目詳解】記橢圓的長半軸長為。，雙曲線的實半軸長為儲，

BF、+BF?=2a

由橢圓和雙曲線的定義有：<,BF{+BF2—AF2+AFi=2ci—2ci,即_86+AB+AFJ=2a—2優,

AF2-AFX=2a

又由橢圓定義知，CD+CK+O耳=4。，

，Q

因為=甑，所以4。=8（2。—2"）,即巴=—

a4

c

所以旦=4=1.

d

故答案為：4

4

14、—.3,,-1（答案不唯一）

10

【解題分析】由條件確定該等比數列的首項的可能值，由此確定該數列的通項公式.

【題目詳解】設數列洋"}的公比為4,則4=3,

由已知可得。3<1，，9%<1,

所以故為可取而，

故滿足條件的等比數列的通項公式可能為4=工?3"T,

10

故答案為：-4-3，，-1（答案不唯一）

【解題分析】作點A（4,2）分別關于直線y=x和y=。的對稱點，根據對稱性即可求出三角形周長的最小值，利用三

點共線求出N的坐標.

【題目詳解】如圖所示：

定點A（4,2）關于函數y=x對稱點3（2,4）,關于x軸的對稱點C（4,—2）,

當與直線y=x和y=0的交點分別為時，此時的周長取最小值，且最小值為

\BC\=J（2-4）2+（4+2）2=2M

此時點N（x,O）的坐標滿足三|=/二

解得x=T，

即點

故答案為：Iy,0

’11。

16、1222)

【解題分析】由空間向量的模的計算求得向量的模，再由單位向量的定義求得答案.

【題目詳解】解：因為。=（1，-1,0）,所以同=/+（一行+（行『=2,所以與向量。同方向的單位向量的坐標為

fl1?

1222）

fl1應］

故答案為:”22)

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）存在兩個等邊三角形不是相似的，假命題

（2）V%w凡%2+2%+2W0,真命題

【解題分析】根據全稱命題與存在性命題的關系，準確改寫，即可求解.

【小問1詳解】

解：命題p:“任意兩個等邊三角形都是相似的”是一個全稱命題

根據全稱命題與存在性命題的關系，可得其否定"：''存在兩個等邊三角形不是相似的”，

命題T)為假命題.

【小問2詳解】

解：根據全稱命題與存在性命題關系，可得：

命題4：3x0eR,Xg+2x0+2=0的否定為F：Vxe+2x+2w0.

因為X2+2X+2=(X+1)2+1W0,所以命題F為真命題.

18、(1)證明見解析

⑵迪

8

【解題分析】(1)建立空間直角坐標系，分別求出向量總和AF，證明即可；

\PB-A

(2)先求出總和平面皿＞的法向量九，然后利用公式cos(P3,力=??求出cos(PB,n),則直線網與平面

'/\PB\-\n\'/

9D所成角的正弦值即為kos(P5〃).

【小問1詳解】

兀

證明：?:BC=CD,ZACB=ZACD=-,：./\ACB^^ACD,：.AB=AD,

3

設AC=23C=2CD=4a,

在△AC。中，由余弦定理得AD?=4。2+16片—8/=124，即AD=2ga，

則AD2+C02=AC2,即ADLDC,

連接交AC于點。，分別以。4,08為左軸、y軸，過。作二軸〃尸A,建立如圖空間直角坐標系，則。(0,0,0),

A(3a,0,0),5(0,&,0),C(-fl,0,0),D(0,-5i,0),P(3a,0,26a),PC的中點F(a,0,&),

貝!IPB=(-3a,-2屈)，AF=(-2a,0,W),

'-"PBAF=6a2+0-6a2=0>'-PB±AF.

【小問2詳解】

由(1)可知，AD=(~3a,—J^a,0),AF=(—2<7,0,>/3t7),PB—(—3<v,—2^3o)>

設平面AFD的法向量為n=(x,y,z),

nLAD-3ax-y/3ay=0

則，即，

n\AF-lax+6az=0

令x=6，則y=-3,z=2,即〃=(6,-3,2),

|PB'n||—3^/3a—3y/3a—4^/3a|5y/2

貝！Icos(PB,n

|PB|-|H|2aax48

記直線P3與平面AFD所成角為8,sin6=cos(尸5,n572

~8~

19、(1)遞減區間是(0,"),單調遞增區間是(Q,+oo),極小值-a+丁-°)

(2)證明見解析(3)(-V2-1,V2-1)^(l,+oo)

【解題分析】(1)對函數進行求導通分化簡，求出f(x)=0解得x=J二，在列出力力與廣(X)在區間(0,+8)上的

表格，即可得到答案.

—a+aln(—a)—a+aln(—a)

(2)由(1)知，f(x)在區間(0,+8)上的最小值為,因為/(元)存在零點，所以—V,

22

從而aV-e.在對。進行分類討論，再利用函數的單調性得出結論.

(3)構造函數g(x)=/(x)—x=alnx+號在對g(x)進行求導，在對。進行分情況討論，即可得

的得到答案.

【小問1詳解】

2

函數/(X)的定義域為(0,+8),/'(x)=x+-=^￡,?<0

XX

由f(x)=0解得x=J二

/(x)與/'(X)在區間(0,+oo)上的情況如下:

X(0,J-Q)yj—d(U^,+oo)

/(x)-0+

—Q+aln(—Q)

/(無)/

2

所以，f(x)的單調遞減區間是(0,，工)，單調遞增區間是(C,+00);

Ax)在x=J二處取得極小值，無極大值

【小問2詳解】

由(1)知，f(x)在區間(0,+8)上的最小值為一“*"MJ。)

2

因為/'(X)存在零點，所以—"+Mn(—a)〉。,從而e

2

當。=—e時，/(x)在區間(0,右)上單調遞減，且/(五)=0,

所以x=右是/(尤)在區間(0,V7)上的唯一零點

當a<—e時，/(x)在區間(0,五)上單調遞減，且/(l)=g>0,/(G)=￡|?<0,

所以/(%)在區間(0,八］上僅有一個零點

綜上可知，若f(x)存在零點，則f(x)在區間(0,遂］上僅有一個零點

【小問3詳解】

、n_/、「/、a211—ci2、/、a/、、、1—aa、/

設=——x-x-a\nx-\------x-x,g(x)--+(\-a)x-\=----(x------)(x-l)

22xxl-a

①若〃>1,則g(i)=—1=一^〈二，符合題意

22a-1

②若。三L，則故當xe(L+8)時，g'(x)〉O,g(x)在(1,y)上單調遞增

21-a

所以，存在/21,使得了(乃一:/-x<—」的充要條件為

2a-1

...1—-1—cia..I—/—

^(1)=--—1=—-;，解得_0_l<o<Ql

22a-1

③若《<。<1,則二>1,故當XW(1,#-)時，g'(x)<0；

21-a1-a

當工?(7^-,+00)時，g'(x)>0

1-a

g(X)在(1,二)上單調遞減，在(二,+8)上單調遞增

1—a1—a

所以，存在力21,使得/(乃-三/-％<二的充要條件為g

2a—11-aa—1

一/4、I/"、a?aa人皿夫

而g(:;——)=^ln(-——)+———-+——->——-,所以不合題思

I—al—a2(1-a)a-1a—1

綜上，。的取值范圍是(―0―1,、后—D,_,(l,+oo)

【題目點撥】本題考查求函數的單調區間和極值、證明給定區間只有一個零點問題，以及含參存在問題，屬于難題.

22

20、(1)—+^=1

62

(2)Z〉一或％〈——

22

【解題分析】(1)根據焦點坐標可得。=2,根據點E到短袖一個端點的距離為"，然后根據片=6+o2即可；

(2)先設聯立直線/與橢圓的方程，然后根據韋達定理得到A,3兩點的坐標關系，然后根據。4.08>-2建立關于

直線/的斜率攵的不等式，解出不等式即可.

【小問1詳解】

根據題意，已知橢圓C的左焦點為尸(-2,0),則有：c=2

點尸到短袖一個端點的距離為血，則有：a=46

則有：b=A/2

22

故橢圓c的方程為：土+上=1

62

【小問2詳解】

設過點P作斜率為左的直線/的方程為：y=Z(x+2)

聯立直線/與橢圓C的方程可得:

y=攵(x+2)

---1---—1

162

貝！|有：(3左2+1)/+12左2%+12左2—6=0,

直線/過點所以△>()恒成立，

不妨設A,3兩點的坐標分別為：A(4%),6(%,%)，則有:

12k2

Xj+X=

23k2+1

12k2-6

X.X,=——5-----

1-3k2+1

又Q4-OB=/w+X%

且3%=左2(內+2)伍+2)

則有:

OAOB=%尤2+=石七+左2(石+2)(/+2)=(%?+1)玉龍2+4左2+2K(石+

12k21242一6

代入后可得:

將X]+X,=—3k2+1'~0-3-2+1

10左2一6

OAOB=

3