贛縣三中20202021學年高二上學期12月考數學（理科）試題一、單選題(共60分)1．2020年2月11日，世界衛生組織將新型冠狀病毒感染的肺炎命名為COVID19(新冠肺炎)新冠肺炎患者癥狀是發熱?干咳?渾身乏力等外部表征.“某人表現為發熱?干咳?渾身乏力”是“新冠肺炎患者”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．用系統抽樣方法從編號為1，2，3，…，700的學生中抽樣50人，若第2段中編號為20的學生被抽中，按照等間隔抽取的方法，則第5段中被抽中的學生編號為（）A．48 B．62 C．76 D．903．已知是三個不重合的平面，是直線，給出下列命題：①若，則；②若上兩點到的距離相等，則；③若，則；④若，且，則.其中正確的命題是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④4．設平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，若，則()A．2 B．4 C．2 D．45．已知命題p：若且，則，則命題p的逆否命題及其真假分別為（）A．若，則且，真B．若，則或，真C．若，則且，假D．若，則或，假6．執行如圖的程序框圖，如果輸入的分別為，輸出的，那么判斷框中應填入的條件為（）A． B． C． D．7．已知命題：對任意，總有；：“”是“，”的充分不必要條件，則下列命題為真命題的是A．B．C．D．8．多面體是由底面為的長方體被截面所截得到的，建立下圖的空間直角坐標系，已知、、、、、.若為平行四邊形，則點到平面的距離為（）A． B．C．D．9．齊王有上等、中等、下等馬各一匹，田忌也有上等、中等、下等馬各一匹．田忌的上等馬優于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．現在從雙方的馬匹中隨機各選一匹進行一場比賽，若有優勢的馬一定獲勝，則齊王的馬獲勝得概率為（）A． B． C． D．10.將半徑為，圓心角為的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的內切球的體積為（）A．B．C．D．11．如圖，在正四棱柱中，是側面內的動點，且記與平面所成的角為，則的最大值為（）A． B． C． D．12．設、、…、為平面內的個點，在平面內的所有點中，若點到、、…、點的距離之和最小，則稱點為、、…、點的一個“中位點”，有下列命題：①、、三個點共線，在線段上，則是、、的中位點；②直角三角形斜邊的中點是該直線三角形三個頂點的中位點；③若四個點、、、共線，則它們的中位點存在且唯一；④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點；其中的真命題是（）A．②④ B．①② C．①④ D．①③④二、填空題(共20分)13．在空間直角坐標系中，點關系平面對稱的坐標為，關于軸對稱的點坐標為，則_____.14．若在區間上隨機取一個數，則事件“”發生的概率是______．15．有以下命題：①存在實數，，使得；②“，”的否定是“存在，”；③擲一枚質地均勻的正方體骰子，向上的點數不小于3的概率為；④在閉區間上取一個隨機數，則的概率為．其中所有的真命題為________．（填寫所有正確的結論序號）16．已知三棱錐的各頂點都在球面上，,平面,，,若該球的體積為，則三棱錐的表面積為__________．三、解答題(共70分)17．(本題10分)已知向量，.（1）若，求實數；（2）若向量與所成角為銳角，求實數的范圍.18．(本題12分)設命題：實數滿足，其中；命題：實數滿足.(1)若，且為真，求實數的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.19．每年8月8日是我國全民健身日，其主題是：新時代全民健身動起來．某市為了解全民健身情況，隨機從某小區居民中抽取了40人，將他們的年齡分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）試求這40人年齡的平均數、中位數的估計值；（2）（i）若從樣本中年齡在[50，70）的居民中任取2人贈送健身卡，求這2人中至少有1人年齡不低于60歲的概率；（ⅱ）已知該小區年齡在[10，80]內的總人數為2000，若18歲以上（含18歲）為成年人，試估計該小區年齡不超過80歲的成年人人數．20．如圖，在梯形中，，，，現將沿翻折成直二面角.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若異面直線與所成角的余弦值為，求二面角余弦值的大小.21．已知，命題對任意，不等式恒成立；命題存在，使得成立.(1)若為真命題，求的取值范圍；(2)若為假，為真，求的取值范圍.22．在四棱錐中，平面，，，，，，是的中點，在線段上，且滿足.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）在線段上是否存在點，使得與平面所成角的余弦值是，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.高二上學期12月考數學（理科）參考答案A2．B3．D4．D5．D6．C7．D8．C9．D10．A11．B12．C①若三個點共線,在線段上,根據兩點之間線段最短,則是的中位點,正確；

②舉一個反例,如邊長為的直角三角形,此直角三角形的斜邊的中點到三個頂點的距離之和為,而直角頂點到三個頂點的距離之和為7,

∴直角三角形斜邊的中點不是該直角三角形三個頂點的中位點；故錯誤；

③若四個點共線,則它們的中位點是中間兩點連線段上的任意一個點,故它們的中位點存在但不唯一；故錯誤；

④如圖,在梯形中,對角線的交點是任意一點,則根據三角形兩邊之和大于第三邊得,

∴梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點．正確．

故①④正確.故選：C13．14．15．①②④16．27如圖所示，因為平面，所以，，，因為，，所以平面，所以，設的中點為，則，所以為三棱錐外接球的球心，由題知，解得，所以，在中，,，所以，在中，，在中，，所以三棱錐的表面積為.故答案為27.17．（1）；（2）且.（1）由已知可得，，，因為，所以，可得.（2）由（1）知，，，因為向量與所成角為銳角，所以，解得，又當時，，可得實數的范圍為且.18．（1）；（2）.(Ⅰ)對于命題：由得，又，∴，當時，，即為真時實數x的取值范圍是.由已知為真時實數的取值范圍是.若為真，則真且真，∴實數的取值范圍是.(Ⅱ)是的充分不必要條件，即，且，設，，則，又，，則且，∴實數的取值范圍是.19．(1)平均數37，中位數為35;(2)（ⅰ）;（ⅱ）該小區年齡不超過80歲的成年人人數約為2000×0.88＝1760．（1）平均數．前三組的頻率之和為0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位數落在第3組，設中位數為x，則（x－30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x＝35，即中位數為35．（2）（ⅰ）樣本中，年齡在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年齡在[50，60）的有4人，設為a，b，c，d，年齡在[60，70）的有2人，設為x，y．則從中任選2人共有如下15個基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．至少有1人年齡不低于60歲的共有如下9個基本事件：（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．記“這2人中至少有1人年齡不低于60歲”為事件A，故所求概率．（ⅱ）樣本中年齡在18歲以上的居民所占頻率為1－（18－10）×0.015＝0.88，故可以估計，該小區年齡不超過80歲的成年人人數約為2000×0.88＝1760．20.（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）（Ⅰ）取的中點，連結.∵，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，即.又平面平面，且兩平面的交線為，∴平面，又平面，∴.（Ⅱ）取的中點，連結，則.∴，且，∴，，兩兩互相垂直.以為原點，，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標系.設，則，，，，∴，.由異面直線與所成角的余弦值為，得，解得.易得平面的一個法向量為，∴設平面的一個法向量為，又，，由，得，取，得，，故，，∴二面角的余弦值.21．(1)；(2)(1)對任意，不等式恒成立，當，由對數函數的性質可知當時，的最小值為，，解得.因此，若為真命題時，的取值范圍是.(2)存在，使得成立，.命題為真時，，且為假，或為真，，中一個是真命題，一個是假命題.當真假時，則解得；當假真時，，即.綜上所述，的取值范圍為.22．（1