數學九年級上知識點總結九年級數學（上）第一章證明（二）公理三邊對應相等的兩個三角形全等（SSS）。公理兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等（SAS）。公理兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（ASA）。公理全等三角形的對應邊相等、對應角相等。推論兩角及其中一角的對邊對影響等的兩個三角形全等。定理等腰三角形的兩個底角相等。(等邊對等角)推論等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、地邊上的高互相重合。定理有兩個角相等的三角形是等腰三角形。（等角對等邊）定理有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。10.定理在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。1定理直角三角形兩角直角邊的平方和等于斜邊的平方。1定理如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。1定理斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。1定理線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。1定理到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。1定理三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。1定理角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。1定理在一個角的內部，且到角的兩邊距離相等點，在這個角的平分線上。1定理三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等。20.反證法先假設命題的結論不成立，然后推導出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結果從而證明命題的結論一定成立，這種證明方法稱為反證法。2逆命題兩個命題中，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。2逆否命題一個命題是真命題，它的逆命題卻不一定是真命題，但是它的逆否命題一定是真命題。如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是定理，這兩個定理為互逆定理。其中一個定理稱為另一個定理的逆定理。2熟練運用公理、定理證明幾何問題。第二章一元二次方程只含有一個未知數x的整式方程并且都可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c為常數，a≠0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程。ax2，bx，c分別成為二次項、一次項和常數項，a、b分別成為二次項系數和一次項系數。配方法我們通過配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，這種解一元二次方程的方法稱為配方法。公式法用求根公式=±242解一元二次方程的方法稱為公式法。分解因式法當一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積的形式，從而得出方程的解，這種方法稱為分解因式法。第三章證明（三）定理平行四邊形的對邊相等。定理平行四邊形的對角相等。定理同一個底的兩個角相等的梯形是等腰梯形。定理兩組對邊分別想的的四邊形是平行四邊形。定理一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。定理三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。定理矩形的四個角都是直角。定理矩形的對角線相等。推論直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。10.定理菱形的四條邊都相等。1定理菱形的對角線互相垂直，并且每條對角線平分一組對角。1定理對角線互相垂直的平行四邊形是菱形第四章視圖與投影了解什么是主視圖、左視圖、俯視圖。并能依據對應的物體分別找出。平行投影平行光線所形成的投影稱為平行投影。，觀察的點叫做視點，由視點發出的線稱為視線，視點看不見的地方叫做盲區。第五章反比例函數一般地，如果兩個變量x，y之間的關系可以表示成y=x（k為常數，k≠0）的形式，那么稱y是x的反比例函數。反比例函數的自變量x不能為零。反比例函數圖像反比例函數y=x的圖像是由兩支曲線組成的，當k>0時兩支曲線分別位于第一、第三象限內，當k0時，在每一象限內，y的值隨x值的增大而減小;當k擴展閱讀人教版九年級數學上冊知識點總結人教版九年級數學上冊知識點總結第二十一章二次根式21二次根式知識點一二次根式的概念(1)一般地,我們把形如根。其中“a(a≥0)的式子叫做二次根式。二次根式a的實質是一個非負數a的算術平方”叫做二次根號。(2)正確理解二次根式的概念，要把握以下幾點①二次根式是在形式上定義的，必須含有二次根號“是二次根式。②被開方數a必須是非負數，即a≥0.如”的根指數為2，即“2”。如4是二次根式，雖然4=2，但2不3就不是二次根式，但式子(3)2是二次根式。”，注意，不可誤認為根指數是③“”，一般省略根指數2，寫作““1”或“0”。提示判斷是不是二次根式，一看形式，二看數值，即形式上要有二次根號，被開方數要是非負數。知識點二二次根式的性質（1）a（a≥0）既是二次根式，又是非負數的算術平方根，所以它一定是非負數，即a≥（a≥0），我們把這個性質叫做二次根式的非負性。（2）（a）2=a（a≥0），這個性質可以正用，也可以逆用，正用時常用于二次根式的化簡和計算，可以去掉根號；逆用時可以把一個非負數寫成完整平方數的形式，常用于多項式的因式分解。（3）a2=a(a≥0)，這個性質可以正用，也可以逆用，正用時用于二次根式的化簡，即當被開方數能化為完全平方數（式）時，就可以利用該性質去掉根號；逆用時可以把一個非負數化為一個二次根式。知識點三代數式定義用基本運算符號（基本運算包括加、減、乘、除、乘方和開方）把數和表示數的字母連接起來的式子，叫做代數式。22二次根式的乘除知識點一二次根式的乘法法則一般地，對二次根式的乘法規定根指數不變。知識點二積的算術平方根的性質ab=ab(a≥0,b≥0)，即二次根式相乘，把被開方數相乘，ab=ab（a≥0，b≥0），積的算術平方根等于積中各個因式的算術平方根的積。知識點三二次根式的除法法則一般地，對二次根式的除法規定根指數不變。知識點四商的算術平方根的性質ab=ab（a≥0，b＞0），即兩個二次根式相除，把被開方數相除，ab=ab（a≥0,b＞0），即商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根。知識點五最簡二次根式必須滿足以下兩個條件（1）（2）被開方數不含分母；被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。23二次根式的加減知識點一二次根式的加減二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式合并，二次根式加減法的實質是將被開方數相同的二次根式合并，合并時只把系數相加減，根指數和被開方數不變。知識點二二次根式的混合運算（1）二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序相同先乘方開方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的。（2）在二次根式的運算中乘法法則和乘法公式仍然適用。21一元二次方程知識點一一元二次方程的定義等號兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下幾點①只含有一個未知數；②未知數的最高次數是2；③是整式方程。知識點二一元二次方程的一般形式一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).其中，ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項。知識點三一元二次方程的根使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據。22降次解一元二次方程21配方法知識點一直接開平方法解一元二次方程（1）如果方程的一邊可以化成含未知數的代數式的平方，另一邊是非負數，可以直接開平方。一般地，對于形如x=a(a≥0)的方程，根據平方根的定義可解得x1=（2）2a,x2=a.直接開平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接開平方法。（3）用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運用平方根的性質，即正數的平方根有兩個，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。（4）直接開平方法解一元二次方程的步驟是①移項；②使二次項系數或含有未知數的式子的平方項的系數為1；③兩邊直接開平方，使原方程變為兩個一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。知識點二配方法解一元二次方程通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解。配方法的一般步驟可以總結為一移、二除、三配、四開。（1）（2）（3）（4）把常數項移到等號的右邊；方程兩邊都除以二次項系數；方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，把左邊配成完全平方式；若等號右邊為非負數，直接開平方求出方程的解。22公式法知識點一公式法解一元二次方程（1）一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的兩個根為bx=b2a24ac，這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的系數a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。（2）一元二次方程求根公式的推導過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的過程。（3）公式法解一元二次方程的具體步驟①方程化為一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化為正值②確定公式中a,b,c的值，注意符號；③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，則把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，則方程無實數根。知識點二一元二次方程根的判別式式子b-4ac叫做方程ax+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用希臘字母△表示它，即△=b-4ac.△＞0，方程ax+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數根一元二次方程△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實數根根的判別式△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實數根222222．3因式分解法知識點一因式分解法解一元二次方程（1）把一元二次方程的一邊化為0，而另一邊分解成兩個一次因式的積，進而轉化為求兩個求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。（2）因式分解法的詳細步驟①移項，將所有的項都移到左邊，右邊化為0；②把方程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；③令每一個因式分別為零，得到一元一次方程；④解一元一次方程即可得到原方程的解。知識點二用合適的方法解一元一次方程方法名稱理論依據適用范圍形如x2=p或（mx+n）2=p(p≥0)所有一元二次方程所有一元二次方程一邊為0，另一邊易于分解成兩個一次因式的積的一元二次方程。直接開平方法平方根的意義配方法公式法因式分解法完全平方公式配方法當ab=0，則a=0或b=024一元二次方程的根與系數的關系若一元二次方程x2+px+q=0的兩個根為x1,x2,則有x1+x2=-p,x1x2=q.若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有兩個實數根x1,x2,則有x1+x2=，ba,x1x2=ca23實際問題與一元二次方程知識點一列一元二次方程解應用題的一般步驟（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）審是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量以及它們之間的等量關系。設是指設元，也就是設出未知數。列就是列方程，這是關鍵步驟,一般先找出能夠表達應用題全部含義的一個相等含義，然后列代數式表示這個相等關系中的各個量，就得到含有未知數的等式，即方程。解就是解方程，求出未知數的值。驗是指檢驗方程的解是否保證實際問題有意義，符合題意。答寫出答案。數字問題知識點二列一元二次方程解應用題的幾種常見類型三個連續整數若設中間的一個數為x，則另兩個數分別為x-1，x+1。三個連續偶數（奇數）若中間的一個數為x，則另兩個數分別為x-2,x+2。三位數的表示方法設百位、十位、個位上的數字分別為a,b,c，則這個三位數是100a+10b+c.（2）增長率問題設初始量為a，終止量為b，平均增長率或平均降低率為x，則經過兩次的增長或降低后的等量關系為a（1x）2=b。（3）利潤問題利潤問題常用的相等關系式有①總利潤=總銷售價-總成本；②總利潤=單位利潤×總銷售量；③利潤=成本×利潤率（4）圖形的面積問題根據圖形的面積與圖形的邊、高等相關元素的關系，將圖形的面積用含有未知數的代數式表示出來，建立一元二次方程。第二十三章旋轉21圖形的旋轉知識點一旋轉的定義在平面內，把一個平面圖形繞著平面內某一點O轉動一個角度，就叫做圖形的旋轉，點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。我們把旋轉中心、旋轉角度、旋轉方向稱為旋轉的三要素。知識點二旋轉的性質旋轉的特征（1）對應點到旋轉中心的距離相等；（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；（3）旋轉前后的圖形全等。理解以下幾點（1）圖形中的每一個點都繞旋轉中心旋轉了同樣大小的角度。（2）對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等。（3）圖形的大小和形狀都沒有發生改變，只改變了圖形的位置。知識點三利用旋轉性質作圖旋轉有兩條重要性質（1）任意一對對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；（2）對應點到旋轉中心的距離相等，它是利用旋轉的性質作圖的關鍵。步驟可分為①連即連接圖形中每一個關鍵點與旋轉中心；②轉即把直線按要求繞旋轉中心轉過一定角度（作旋轉角）③截即在角的另一邊上截取關鍵點到旋轉中心的距離，得到各點的對應點；④接即連接到所連接的各點。22中心對稱知識點一中心對稱的定義中心對稱把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心。注意以下幾點中心對稱指的是兩個圖形的位置關系；只有一個對稱中心；繞對稱中心旋轉180°兩個圖形能夠完全重合。知識點二作一個圖形關于某點對稱的圖形要作出一個圖形關于某一點的成中心對稱的圖形，關鍵是作出該圖形上關鍵點關于對稱中心的對稱點。最后將對稱點按照原圖形的形狀連接起來，即可得出成中心對稱圖形。知識點三中心對稱的性質有以下幾點（1）（2）（3）關于中心對稱的兩個圖形上的對應點的連線都經過對稱中心，并且都被對稱中心平分；關于中心對稱的兩個圖形能夠互相重合，是全等形；關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或共線）且相等。知識點四中心對稱圖形的定義把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。知識點五關于原點對稱的點的坐標在平面直角坐標系中，如果兩個點關于原點對稱，它們的坐標符號相反，即點p（x,y）關于原點對稱點為（-x,-y）。第二十四章圓21圓21圓知識點一圓的定義圓的定義第一種在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫作圓。固定的端點O叫作圓心，線段OA叫作半徑。第二種圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合。比較圓的兩種定義可知第一種定義是圓的形成進行描述的，第二種是運用集合的觀點下的定義，但是都說明確定了定點與定長，也就確定了圓。知識點二圓的相關概念（1）（2）弦連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫作直徑。弧圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。（3）（4）等圓等夠重合的兩個圓叫做等圓。等弧在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。弦是線段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才是等弧，而不是長度相等的弧。22垂直于弦的直徑知識點一圓的對稱性圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。知識點二垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。如圖所示，直徑為CD，AB是弦，且CD⊥AB，CMABAM=BMD垂足為MAC=BAD=BD垂徑定理的推論平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧如上圖所示，直徑CD與非直徑弦AB相交于點M，CD⊥ABAM=BMAC=BCAD=BD注意因為圓的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不是直徑，否則結論不成立。23弧、弦、圓心角知識點弦、弧、圓心角的關系（1）弦、弧、圓心角之間的關系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。（2）在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余的各組量也相等。（3）注意不能忽略同圓或等圓這個前提條件，如果丟掉這個條件，即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等，比如兩個同心圓中，兩個圓心角相同，但此時弧、弦不一定相等。24圓周角知識點一圓周角定理（1）圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。（2）（3）圓周角定理的推論半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對弦是直徑。圓周角定理揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關系。“同弧或等弧”是不能改為“同弦或等弦”的，否則就不成立了，因為一條弦所對的圓周角有兩類。知識點二圓內接四邊形及其性質圓內接多邊形如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。圓內接四邊形的性質圓內接四邊形的對角互補。22點、直線、圓和圓的位置關系21點和圓的位置關系知識點一點與圓的位置關系（1）（2）點與圓的位置關系有點在圓外，點在圓上，點在圓內三種。用數量關系表示若設⊙O的半徑是r，點P到圓的距離OP=d，則有點P在圓外d＞r；點p在圓上d=r；點p在圓內d＜r。知識點二過已知點作圓（1）O1AO2O3（2）經過兩點的圓（如點A、B）經過一個點的圓（如點A）以點A外的任意一點（如點O）為圓心，以OA為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數個。以線段AB的垂直平分線上的任意一點（如點O）為圓心，以OA（或OB）為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數個。AB（3）經過三點的圓①經過在同一條直線上的三個點不能作圓②不在同一條直線上的三個點確定一個圓，即經過不在同一條直線上的三個點可以作圓，且只能作一個圓。如經過不在同一條直線上的三個點A、B、C作圓，作法連接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點O，以點O為圓心，以OA（或OB、OC）的長為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓只能作一個。知識點三三角形的外接圓與外心（1）（2）經過三角形三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。AOBC知識點四反證法（1）（2）反證法假設命題的結論不成立，經過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設不正確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。反證法的一般步驟①假設命題的結論不成立；②從假設出發，經過邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等相矛盾的結論；③由矛盾判定假設不正確，從而得出原命題正確。22直線和圓的位置關系知識點一直線與圓的位置關系（1）（2）直線與圓的位置關系有相交、相切、相離三種。直線與圓的位置關系可以用數量關系表示若設⊙O的半徑是r，直線l與圓心0的距離為d，則有直線l和⊙O相交d＜r；直線l和⊙O相切d=r；直線l和⊙O相離d＞r。知識點二切線的判定和性質（1）（2）（3）切線的判定定理經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線的性質定理圓的切線垂直于過切點的半徑。切線的其他性質切線與圓只有一個公共點；切線到圓心的距離等于半徑；經過圓心且垂直于切線的直線必過切點；必過切點且垂直于切線的直線必經過圓心。知識點三切線長定理（1）（2）切線長的定義經過園外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。切線長定理從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。（3）注意切線和切線長是兩個完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能度量的；切線長是一條線段的長，這條線段的兩個端點一個是在圓外一點，另一個是切點。知識點四三角形的內切圓和內心(1)三角形的內切圓定義與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。這個三角形叫做圓的外切三角形。(2)三角形的內心三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心。(3)注意三角形的內心是三角形三條角平分線的交點，所以當三角形的內心已知時，過三角形的頂點和內心的射線，必平分三角形的內角。23圓和圓的位置關系知識點一圓與圓的位置關系（1）圓與圓的位置關系有五種①如果兩個圓沒有公共點，就說這兩個圓相離，包括外離和內含兩種；②如果兩個圓只有一個公共點，就說這兩個圓相切，包括內切和外切兩種；③如果兩個圓有兩個公共點，就說這兩個圓相交。（2）圓與圓的位置關系可以用數量關系來表示若設兩圓圓心之間的距離為d，兩圓的半徑分別是r1r2,且r1＜r2，則有①兩圓外離d＞r1+r2②兩圓外切d=r1+r2③兩圓相交r2-r1＜d＜r1+r2④兩圓內切d=r2-r1⑤兩圓內含d＜r2-r123正多邊形和圓知識點一正多邊形的外接圓和圓的內接正多邊形正多邊形與圓的關系非常密切，把圓分成n（n是大于2的自然數）等份，順次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。正多邊形的中心一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。正多邊形的半徑外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識點二正多邊形的性質（1）（2）正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成2n個全等的直角三角形。所有的正多邊形都是軸對稱圖形，每個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都經過正n邊形的中心；當正n邊形的邊數為偶數時，這個正n邊形也是中心對稱圖形，正n邊形的中心就是對稱中心。（3）正n邊形的每一個內角等于(n2)180n，中心角和外角相等，等于360n。24弧長和扇形面積知識點一弧長公式l=nR180在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的弧長就是圓的周長C=2πR，所以n°的圓心角所對的弧長的計算公式l=n360×2πR=nR180。知識點二扇形面積公式在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的扇形面積就是圓的面積S=πR2，所以圓心角為n°的扇形的面積為S扇形=nR3602。比較扇形的弧長公式和面積公式發現S扇形=nR3602nR18012R12lR,所以s扇形12lR知識點三圓錐的側面積和全面積圓錐的側面積是曲面，沿著圓錐的一條母線將圓錐的側面展開，容易得到圓錐的側面展開圖是一個扇形。設圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，因此圓錐的側面積s圓錐側122rlrl。圓錐的全面積為s圓錐全s圓錐側s底2rlr。21隨機事件與概率21隨機事件知識點一必然事件、不可能事件、隨機事件在一定條件下，有些事件必然會發生，這樣的事件稱為必然事件；相反地，有些事件必然不會發生，這樣的事件稱為不可能事件；在一定條件下，可能發生也可能不會發生的事件稱為隨機事件。必然事件和不可能事件是否會發生，是可以事先確定的，所以它們統稱為確定性事件。知識點二事件發生的可能性的大小必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，隨機事件發生的可能性有大有小。不同的隨機事件發生的可能性的大小有可能不同。22概率知識點概率一般地，對于一個隨機事件A，我們把刻畫其發生可能性大小的數值，稱為隨機事件A發生的概率，記作P（A）。一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發生的概率P（A）=0≤P（A）≤當A為必然事件時，P（A）=1；當A為不可能事件時，P（A）=0.mn。由m和n的含義可知0≤m≤n，因此0≤mn≤1，因此22用列舉法求概率知識點一用列舉法求概率一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發生的概率P（A）=知識點二用列表發求概率當一次試驗要涉及兩個因素并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常用列表法。列表法是用表格的形式反映事件發生的各種情況出現的次數和方式，以及某一事件發生的可能的次數和方式，并求出概率的方法。mn。知識點三用樹形圖求概率當一次試驗要涉及3個或更多的因素時，列方形表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖。樹形圖是反映事件發生的各種情況出現的次數和方式，并求出概率的方法。（1）（2）樹形圖法同樣適用于各種情況出現的總次數不是很大時求概率的方法。在用列表法和樹形圖法求隨機事件的概率時，應注意各種情況出現的可能性務必相同。23用頻率估計概率知識點在隨機事件中，一個隨機事件發生與否事先無法預測，表面上看似無規律可循，但當我們做大量重復試驗時，這個事件發生的頻率呈現出穩定性，因此做了大量試驗后，可以用一個事件發生的頻率作為這個事件的概率的估計值。一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發生的頻率mn穩定于某一個常數P，那么事件A發生的頻率P（A）=p。友情提示本文中關于《數學九年級上知識點總結》給出的范例僅供您參考拓展思維使用，數學九年級上知識點總結該篇文章建議您自主創作。數學九年級上期知識點總結(全)第二十一章二次根式一、二次根式1、二次根式形如aa0的式子；2、aa0是一個非負數；3、必須記牢a2aa0；a2aa0.4、代數式我們學過的式子，都是用基本運算符號（加減乘除、乘方和開方）把數和表示數的字母連接起來的式子。二、二次根式的乘除1、二次根式的乘法規定ababa0，b0.2、二次根式的除法規定aaa0，b＞0.bb3、最簡二次根式的特點1)被開方數不含分母；2)被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.三、二次根式的加減1、二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并。2、閱讀與思考的重點第二十二章一元二次方程一、一元二次方程1、定義等號兩邊都是等式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高指數是2（二次）的方程。2、根一元二次方程的解就是一元二次方程的根。3、一般形式axbxc0a02二、解一元二次方程及其方法1、配方法1)如果方程可化為x2p或mxnpp0的形式，那么可得xp或2（注目的在于“降次”解方程容易）mxnp。2)步驟移項→左右兩邊加上需要項→組成平方→降次→解得根→再解一元一次方程→得到最后的結果（一般是兩個根）3)方程的額二次項系數不是1時，為便于配方，可以讓方程的各項除以二次項系數。2、公式法1)一般形式axbxc0a021/42)根的判別式b4ac；用“”表示，即b4ac。22bb24ac3)求根公式x；2a4)公式法運用求根公式，把各系數直接帶入，可以避免繁雜的配方，直接得出根。3、因式分解法不用開方降次，而是先因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現降次。4、解一元二次的基本思路將二次方程化為一次方程，即降次。三、一元二次方程的根與系數的關系1、由因式分解法可知方程xx1xx20，展開后x2x1x2xx1x20；一次項系數px1x2，常數項qx1x2兩根的和、積與系數的關系可以為x1x2p，x1x2q。bb24ac2、一般形式axbxc0a0，它的根是x；2a2方程的兩個根x1、x2和系數a，b，c的關系為x1x2四、實際問題與一元二次方程bc，x1x2。aa第二十三章旋轉一、圖形的旋轉旋轉、旋轉中心、旋轉角二、中心對稱關于這個點對稱（中心對稱）、對稱中心、對稱點、中心對稱圖形、關于原點對稱的點坐標第二十四章圓一、圓1、圓一條線段繞著它的一個固定端點旋轉一周，另一個端點移動的軌跡所形成的圖形；2、圓心固定的端點；3、半徑這條線段；4、弦連接圓上任意兩點的線段；5、直徑經過圓心的弦（最長的弦）；6、圓弧圓上任意兩點間的部分，簡稱“弧”；7、半圓圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都是半圓；8、等圓能夠重合的兩個圓；9、等弧能夠互相重合的弧；二、垂直于弦的直徑1、圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。2/42、垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。3、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。三、弧、弦、圓心角、圓周角1、圓心角頂點在圓心的角；2、定理在同圓與等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；3、推理在同圓與等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等；在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧相等。4、圓周角頂點在圓上，且兩邊與圓相交的角；5、定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；6、推論半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑；7、圓內接多邊形、多邊形的外接圓圓的內接四邊形的對角互補8、如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一般，那么這個三角形是直角三角形四、點、直線、圓與圓的位置關系1、點和圓的位置關系點P在圓外dr；點P在圓上dr；點P在圓內dr.2、不在同一直線上的三個點確定一個圓3、外接圓經過三角形的三個頂點可以作一個圓；圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心。4、反證法的介紹5、直線和圓的位置關系直線l和⊙O相交dr；直線l和⊙O相切dr；直線l和⊙O相離dr.6、切線的判定定理經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；7、切線的性質定理圓的切線垂直于過切點的半徑；8、切線長定理從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。9、內切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓；圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心。10、相離、外離、內含、相切、外切、內切、相交、圓心距五、正多邊形和圓1、一個正多邊形外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心；2、外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑；3、正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角；4、中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。六、弧長和扇形面積3/41、弧長lnR.1802、扇形由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形；S扇形nRS扇形lR.36023、母線圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段；第二十五章概率初步一、隨機事件與概率1、隨機事件在一定的條件下，可能發生也可能不發生的事件。2、概率一般地，對于一個隨機事件A，我們把刻畫其發生可能性大小的數值，成為隨機事件A發生的概率。記作P（A）。3、如果一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包括其中的m種結果，那么事件A發生的概率為PA4、特別當A為必然事件時，P（A）=1；當A為不可能事件時，P（A）=0.二、用列舉法求概率列表法、樹形圖、m，其中0PA1。n4/4擴展閱讀人教版九年級數學上冊知識點總結人教版九年級數學上冊知識點總結第二十一章二次根式21二次根式知識點一二次根式的概念(1)一般地,我們把形如根。其中“a(a≥0)的式子叫做二次根式。二次根式a的實質是一個非負數a的算術平方”叫做二次根號。(2)正確理解二次根式的概念，要把握以下幾點①二次根式是在形式上定義的，必須含有二次根號“是二次根式。②被開方數a必須是非負數，即a≥0.如”的根指數為2，即“2”。如4是二次根式，雖然4=2，但2不3就不是二次根式，但式子(3)2是二次根式。”，注意，不可誤認為根指數是③“”，一般省略根指數2，寫作““1”或“0”。提示判斷是不是二次根式，一看形式，二看數值，即形式上要有二次根號，被開方數要是非負數。知識點二二次根式的性質（1）a（a≥0）既是二次根式，又是非負數的算術平方根，所以它一定是非負數，即a≥（a≥0），我們把這個性質叫做二次根式的非負性。（2）（a）2=a（a≥0），這個性質可以正用，也可以逆用，正用時常用于二次根式的化簡和計算，可以去掉根號；逆用時可以把一個非負數寫成完整平方數的形式，常用于多項式的因式分解。（3）a2=a(a≥0)，這個性質可以正用，也可以逆用，正用時用于二次根式的化簡，即當被開方數能化為完全平方數（式）時，就可以利用該性質去掉根號；逆用時可以把一個非負數化為一個二次根式。知識點三代數式定義用基本運算符號（基本運算包括加、減、乘、除、乘方和開方）把數和表示數的字母連接起來的式子，叫做代數式。22二次根式的乘除知識點一二次根式的乘法法則一般地，對二次根式的乘法規定根指數不變。知識點二積的算術平方根的性質ab=ab(a≥0,b≥0)，即二次根式相乘，把被開方數相乘，ab=ab（a≥0，b≥0），積的算術平方根等于積中各個因式的算術平方根的積。知識點三二次根式的除法法則一般地，對二次根式的除法規定根指數不變。知識點四商的算術平方根的性質ab=ab（a≥0，b＞0），即兩個二次根式相除，把被開方數相除，ab=ab（a≥0,b＞0），即商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根。知識點五最簡二次根式必須滿足以下兩個條件（1）（2）被開方數不含分母；被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。23二次根式的加減知識點一二次根式的加減二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式合并，二次根式加減法的實質是將被開方數相同的二次根式合并，合并時只把系數相加減，根指數和被開方數不變。知識點二二次根式的混合運算（1）二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序相同先乘方開方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的。（2）在二次根式的運算中乘法法則和乘法公式仍然適用。21一元二次方程知識點一一元二次方程的定義等號兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下幾點①只含有一個未知數；②未知數的最高次數是2；③是整式方程。知識點二一元二次方程的一般形式一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).其中，ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項。知識點三一元二次方程的根使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據。22降次解一元二次方程21配方法知識點一直接開平方法解一元二次方程（1）如果方程的一邊可以化成含未知數的代數式的平方，另一邊是非負數，可以直接開平方。一般地，對于形如x=a(a≥0)的方程，根據平方根的定義可解得x1=（2）2a,x2=a.直接開平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接開平方法。（3）用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運用平方根的性質，即正數的平方根有兩個，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。（4）直接開平方法解一元二次方程的步驟是①移項；②使二次項系數或含有未知數的式子的平方項的系數為1；③兩邊直接開平方，使原方程變為兩個一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。知識點二配方法解一元二次方程通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解。配方法的一般步驟可以總結為一移、二除、三配、四開。（1）（2）（3）（4）把常數項移到等號的右邊；方程兩邊都除以二次項系數；方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，把左邊配成完全平方式；若等號右邊為非負數，直接開平方求出方程的解。22公式法知識點一公式法解一元二次方程（1）一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的兩個根為bx=b2a24ac，這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的系數a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。（2）一元二次方程求根公式的推導過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的過程。（3）公式法解一元二次方程的具體步驟①方程化為一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化為正值②確定公式中a,b,c的值，注意符號；③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，則把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，則方程無實數根。知識點二一元二次方程根的判別式式子b-4ac叫做方程ax+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用希臘字母△表示它，即△=b-4ac.△＞0，方程ax+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數根一元二次方程△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實數根根的判別式△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實數根222222．3因式分解法知識點一因式分解法解一元二次方程（1）把一元二次方程的一邊化為0，而另一邊分解成兩個一次因式的積，進而轉化為求兩個求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。（2）因式分解法的詳細步驟①移項，將所有的項都移到左邊，右邊化為0；②把方程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；③令每一個因式分別為零，得到一元一次方程；④解一元一次方程即可得到原方程的解。知識點二用合適的方法解一元一次方程方法名稱理論依據適用范圍形如x2=p或（mx+n）2=p(p≥0)所有一元二次方程所有一元二次方程一邊為0，另一邊易于分解成兩個一次因式的積的一元二次方程。直接開平方法平方根的意義配方法公式法因式分解法完全平方公式配方法當ab=0，則a=0或b=024一元二次方程的根與系數的關系若一元二次方程x2+px+q=0的兩個根為x1,x2,則有x1+x2=-p,x1x2=q.若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有兩個實數根x1,x2,則有x1+x2=，ba,x1x2=ca23實際問題與一元二次方程知識點一列一元二次方程解應用題的一般步驟（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）審是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量以及它們之間的等量關系。設是指設元，也就是設出未知數。列就是列方程，這是關鍵步驟,一般先找出能夠表達應用題全部含義的一個相等含義，然后列代數式表示這個相等關系中的各個量，就得到含有未知數的等式，即方程。解就是解方程，求出未知數的值。驗是指檢驗方程的解是否保證實際問題有意義，符合題意。答寫出答案。數字問題知識點二列一元二次方程解應用題的幾種常見類型三個連續整數若設中間的一個數為x，則另兩個數分別為x-1，x+1。三個連續偶數（奇數）若中間的一個數為x，則另兩個數分別為x-2,x+2。三位數的表示方法設百位、十位、個位上的數字分別為a,b,c，則這個三位數是100a+10b+c.（2）增長率問題設初始量為a，終止量為b，平均增長率或平均降低率為x，則經過兩次的增長或降低后的等量關系為a（1x）2=b。（3）利潤問題利潤問題常用的相等關系式有①總利潤=總銷售價-總成本；②總利潤=單位利潤×總銷售量；③利潤=成本×利潤率（4）圖形的面積問題根據圖形的面積與圖形的邊、高等相關元素的關系，將圖形的面積用含有未知數的代數式表示出來，建立一元二次方程。第二十三章旋轉21圖形的旋轉知識點一旋轉的定義在平面內，把一個平面圖形繞著平面內某一點O轉動一個角度，就叫做圖形的旋轉，點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。我們把旋轉中心、旋轉角度、旋轉方向稱為旋轉的三要素。知識點二旋轉的性質旋轉的特征（1）對應點到旋轉中心的距離相等；（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；（3）旋轉前后的圖形全等。理解以下幾點（1）圖形中的每一個點都繞旋轉中心旋轉了同樣大小的角度。（2）對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等。（3）圖形的大小和形狀都沒有發生改變，只改變了圖形的位置。知識點三利用旋轉性質作圖旋轉有兩條重要性質（1）任意一對對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；（2）對應點到旋轉中心的距離相等，它是利用旋轉的性質作圖的關鍵。步驟可分為①連即連接圖形中每一個關鍵點與旋轉中心；②轉即把直線按要求繞旋轉中心轉過一定角度（作旋轉角）③截即在角的另一邊上截取關鍵點到旋轉中心的距離，得到各點的對應點；④接即連接到所連接的各點。22中心對稱知識點一中心對稱的定義中心對稱把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心。注意以下幾點中心對稱指的是兩個圖形的位置關系；只有一個對稱中心；繞對稱中心旋轉180°兩個圖形能夠完全重合。知識點二作一個圖形關于某點對稱的圖形要作出一個圖形關于某一點的成中心對稱的圖形，關鍵是作出該圖形上關鍵點關于對稱中心的對稱點。最后將對稱點按照原圖形的形狀連接起來，即可得出成中心對稱圖形。知識點三中心對稱的性質有以下幾點（1）（2）（3）關于中心對稱的兩個圖形上的對應點的連線都經過對稱中心，并且都被對稱中心平分；關于中心對稱的兩個圖形能夠互相重合，是全等形；關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或共線）且相等。知識點四中心對稱圖形的定義把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。知識點五關于原點對稱的點的坐標在平面直角坐標系中，如果兩個點關于原點對稱，它們的坐標符號相反，即點p（x,y）關于原點對稱點為（-x,-y）。第二十四章圓21圓21圓知識點一圓的定義圓的定義第一種在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫作圓。固定的端點O叫作圓心，線段OA叫作半徑。第二種圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合。比較圓的兩種定義可知第一種定義是圓的形成進行描述的，第二種是運用集合的觀點下的定義，但是都說明確定了定點與定長，也就確定了圓。知識點二圓的相關概念（1）（2）弦連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫作直徑。弧圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。（3）（4）等圓等夠重合的兩個圓叫做等圓。等弧在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。弦是線段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才是等弧，而不是長度相等的弧。22垂直于弦的直徑知識點一圓的對稱性圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。知識點二垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。如圖所示，直徑為CD，AB是弦，且CD⊥AB，CMABAM=BMD垂足為MAC=BAD=BD垂徑定理的推論平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧如上圖所示，直徑CD與非直徑弦AB相交于點M，CD⊥ABAM=BMAC=BCAD=BD注意因為圓的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不是直徑，否則結論不成立。23弧、弦、圓心角知識點弦、弧、圓心角的關系（1）弦、弧、圓心角之間的關系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。（2）在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余的各組量也相等。（3）注意不能忽略同圓或等圓這個前提條件，如果丟掉這個條件，即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等，比如兩個同心圓中，兩個圓心角相同，但此時弧、弦不一定相等。24圓周角知識點一圓周角定理（1）圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。（2）（3）圓周角定理的推論半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對弦是直徑。圓周角定理揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關系。“同弧或等弧”是不能改為“同弦或等弦”的，否則就不成立了，因為一條弦所對的圓周角有兩類。知識點二圓內接四邊形及其性質圓內接多邊形如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。圓內接四邊形的性質圓內接四邊形的對角互補。22點、直線、圓和圓的位置關系21點和圓的位置關系知識點一點與圓的位置關系（1）（2）點與圓的位置關系有點在圓外，點在圓上，點在圓內三種。用數量關系表示若設⊙O的半徑是r，點P到圓的距離OP=d，則有點P在圓外d＞r；點p在圓上d=r；點p在圓內d＜r。知識點二過已知點作圓（1）O1AO2O3（2）經過兩點的圓（如點A、B）經過一個點的圓（如點A）以點A外的任意一點（如點O）為圓心，以OA為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數個。以線段AB的垂直平分線上的任意一點（如點O）為圓心，以OA（或OB）為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數個。AB（3）經過三點的圓①經過在同一條直線上的三個點不能作圓②不在同一條直線上的三個點確定一個圓，即經過不在同一條直線上的三個點可以作圓，且只能作一個圓。如經過不在同一條直線上的三個點A、B、C作圓，作法連接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點O，以點O為圓心，以OA（或OB、OC）的長為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓只能作一個。知識點三三角形的外接圓與外心（1）（2）經過三角形三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。AOBC知識點四反證法（1）（2）反證法假設命題的結論不成立，經過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設不正確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。反證法的一般步驟①假設命題的結論不成立；②從假設出發，經過邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等相矛盾的結論；③由矛盾判定假設不正確，從而得出原命題正確。22直線和圓的位置關系知識點一直線與圓的位置關系（1）（2）直線與圓的位置關系有相交、相切、相離三種。直線與圓的位置關系可以用數量關系表示若設⊙O的半徑是r，直線l與圓心0的距離為d，則有直線l和⊙O相交d＜r；直線l和⊙O相切d=r；直線l和⊙O相離d＞r。知識點二切線的判定和性質（1）（2）（3）切線的判定定理經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線的性質定理圓的切線垂直于過切點的半徑。切線的其他性質切線與圓只有一個公共點；切線到圓心的距離等于半徑；經過圓心且垂直于切線的直線必過切點；必過切點且垂直于切線的直線必經過圓心。知識點三切線長定理（1）（2）切線長的定義經過園外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。切線長定理從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。（3）注意切線和切線長是兩個完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能度量的；切線長是一條線段的長，這條線段的兩個端點一個是在圓外一點，另一個是切點。知識點四三角形的內切圓和內心(1)三角形的內切圓定義與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。這個三角形叫做圓的外切三角形。(2)三角形的內心三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心。(3)注意三角形的內心是三角形三條角平分線的交點，所以當三角形的內心已知時，過三角形的頂點和內心的射線，必平分三角形的內角。23圓和圓的位置關系知識點一圓與圓的位置關系（1）圓與圓的位置關系有五種①如果兩個圓沒有公共點，就說這兩個圓相離，包括外離和內含兩種；②如果兩個圓只有一個公共點，就說這兩個圓相切，包括內切和外切兩種；③如果兩個圓有兩個公共點，就說這兩個圓相交。（2）圓與圓的位置關系可以用數量關系來表示若設兩圓圓心之間的距離為d，兩圓的半徑分別是r1r2,且r1＜r2，則有①兩圓外離d＞r1+r2②兩圓外切d=r1+r2③兩圓相交r2-r1＜d＜r1+r2④兩圓內切d=r2-r1⑤兩圓內含d＜r2-r123正多邊形和圓知識點一正多邊形的外接圓和圓的內接正多邊形正多邊形與圓的關系非常密切，把圓分成n（n是大于2的自然數）等份，順次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。正多邊形的中心一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。正多邊形的半徑外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識點二正多邊形的性質（1）（2）正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成2n個全等的直角三角形。所有的正多邊形都是軸對稱圖形，每個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都經過正n邊形的中心；當正n邊形的邊數為偶數時，這個正n邊形也是中心對稱圖形，正n邊形的中心就是對稱中心。（3）正n邊形的每一個內角等于(n2)180n，中心角和外角相等，等于360n。24弧長和扇形面積知識點一弧長公式l=nR180在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的弧長就是圓的周長C=2πR，所以n°的圓心角所對的弧長的計算公式l=n360×2πR=nR180。知識點二扇形面積公式在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的扇形面積就是圓的面積S=πR2，所以圓心角為n°的扇形的面積為S扇形=nR3602。比較扇形的弧長公式和面積公式發現S扇形=nR3602nR18012R12lR,所以s扇形12lR知識點三圓錐的側面積和全面積圓錐的側面積是曲面，沿著圓錐的一條母線將圓錐的側面展開，容易得到圓錐的側面展開圖是一個扇形。設圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，因此圓錐的側面積s圓錐側122rlrl。圓錐的全面積為s圓錐全s圓錐側s底2rlr。21隨機事件與概率21隨機事件知識點一必然事件、不可能事件、隨機事件在一定條件下，有些事件必然會發生，這樣的事件稱為必然事件；相反地，有些事件必然不會發生，這樣的事件稱為不可能事件；在一定條件下，可能發生也可能不會發生的事件稱為隨機事件。必然事件和不可能事件是否會發生，是可以事先確定的，所以它們統稱為確定性事件。知識點二事件發生的可能性的大小必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，隨機事件發生的可能性有大有小。不同的隨機事件發生的可能性的大小有可能不同。22概率知識點概率一般地，對于一個隨機事件A，我們把刻畫其發生可能性大小的數值，稱為隨機事件A發生的概率，記作P（A）。一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發生的概率P（A）=0≤P（A）≤當A為必然事件時，P（A）=1；當A為不可能事件時，P（A）=0.mn。由m和n的含義可知0≤m≤n，因此0≤mn≤1，因此22用列舉法求概率知識點一用列舉法求概率一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發生的概率P（A）=知識點二用列表發求概率當一次試驗要涉及兩個因素并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常用列表法。列表法是用表格的形式反映事件發生的各種情況出現的次數和方式，以及某一事件發生的可能的次數和方式，并求出概率的方法。mn。知識點三用樹形圖求概率當一次試驗要涉及3個或更多的因素時，列方形表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖。樹形圖是反映事件發生的各種情況出現的次數和方式，并求出概率的方法。（1）（2）樹形圖法同樣適用于各種情況出現的總次數不是很大時求概率的方法。在用列表法和樹形圖法求隨機事件的概率時，應注意各種情況出現的可能性務必相同。23用頻率估計概率知識點在隨機事件中，一個隨機事件發生與否事先無法預測，表面上看似無規律可循，但當我們做大量重復試驗時，這個事件發生的頻率呈現出穩定性，因此做了大量試驗后，可以用一個事件發生的頻率作為這個事件的概率的估計值。一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發生的頻率mn穩定于某一個常數P，那么事件A發生的頻率P（A）=p。友情提示本文中關于《數學九年級上期知識點總結(全)》給出的范例僅供您參考拓展思維使用，數學九年級上期知識點總結(全)該篇文章建議您自主創作。蘇教版九年級下數學知識點總結蘇教版九年級數學下冊基本知識點第六章二次函數一般地，形如y，ax2bxc(a、b、c是常數，且a0)的函數成為二次函數（quadraticfunction）其中x是自變量，y是x的函數。拋物線是軸對稱圖形，每條拋物線都有一條對稱軸，對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點。二次函數yax2(a0)的圖象是頂點在原點、對稱軸是y軸所在直線的拋物線當a0時，拋物線的開口向上，頂點是拋物線的最低點當a0時，拋物線的開口向下，頂點是拋物線的最高點b4acb2二次函數yaxbxc的圖象是拋物線，它的頂點坐標是2a,4a2對稱軸是過頂點且與y軸平行的直線（當b=0時，對稱軸是y軸所在直線）4acb2b2若a>0,則當x時，函數yaxbxc有最小值，y最小值2a4a4acb2b2若a蘇教版九年級數學下冊基本知識點函數關系）。第八章統計的簡單應用一般地，從個體總數為N的總體中抽取容量為n的樣本（n擴展閱讀人教版九年級數學上冊知識點總結人教版九年級數學上冊知識點總結第二十一章二次根式21二次根式知識點一二次根式的概念(1)一般地,我們把形如根。其中“a(a≥0)的式子叫做二次根式。二次根式a的實質是一個非負數a的算術平方”叫做二次根號。(2)正確理解二次根式的概念，要把握以下幾點①二次根式是在形式上定義的，必須含有二次根號“是二次根式。②被開方數a必須是非負數，即a≥0.如”的根指數為2，即“2”。如4是二次根式，雖然4=2，但2不3就不是二次根式，但式子(3)2是二次根式。”，注意，不可誤認為根指數是③“”，一般省略根指數2，寫作““1”或“0”。提示判斷是不是二次根式，一看形式，二看數值，即形式上要有二次根號，被開方數要是非負數。知識點二二次根式的性質（1）a（a≥0）既是二次根式，又是非負數的算術平方根，所以它一定是非負數，即a≥（a≥0），我們把這個性質叫做二次根式的非負性。（2）（a）2=a（a≥0），這個性質可以正用，也可以逆用，正用時常用于二次根式的化簡和計算，可以去掉根號；逆用時可以把一個非負數寫成完整平方數的形式，常用于多項式的因式分解。（3）a2=a(a≥0)，這個性質可以正用，也可以逆用，正用時用于二次根式的化簡，即當被開方數能化為完全平方數（式）時，就可以利用該性質去掉根號；逆用時可以把一個非負數化為一個二次根式。知識點三代數式定義用基本運算符號（基本運算包括加、減、乘、除、乘方和開方）把數和表示數的字母連接起來的式子，叫做代數式。22二次根式的乘除知識點一二次根式的乘法法則一般地，對二次根式的乘法規定根指數不變。知識點二積的算術平方根的性質ab=ab(a≥0,b≥0)，即二次根式相乘，把被開方數相乘，ab=ab（a≥0，b≥0），積的算術平方根等于積中各個因式的算術平方根的積。知識點三二次根式的除法法則一般地，對二次根式的除法規定根指數不變。知識點四商的算術平方根的性質ab=ab（a≥0，b＞0），即兩個二次根式相除，把被開方數相除，ab=ab（a≥0,b＞0），即商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根。知識點五最簡二次根式必須滿足以下兩個條件（1）（2）被開方數不含分母；被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。23二次根式的加減知識點一二次根式的加減二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式合并，二次根式加減法的實質是將被開方數相同的二次根式合并，合并時只把系數相加減，根指數和被開方數不變。知識點二二次根式的混合運算（1）二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序相同先乘方開方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的。（2）在二次根式的運算中乘法法則和乘法公式仍然適用。21一元二次方程知識點一一元二次方程的定義等號兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下幾點①只含有一個未知數；②未知數的最高次數是2；③是整式方程。知識點二一元二次方程的一般形式一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).其中，ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項。知識點三一元二次方程的根使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據。22降次解一元二次方程21配方法知識點一直接開平方法解一元二次方程（1）如果方程的一邊可以化成含未知數的代數式的平方，另一邊是非負數，可以直接開平方。一般地，對于形如x=a(a≥0)的方程，根據平方根的定義可解得x1=（2）2a,x2=a.直接開平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接開平方法。（3）用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運用平方根的性質，即正數的平方根有兩個，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。（4）直接開平方法解一元二次方程的步驟是①移項；②使二次項系數或含有未知數的式子的平方項的系數為1；③兩邊直接開平方，使原方程變為兩個一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。知識點二配方法解一元二次方程通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解。配方法的一般步驟可以總結為一移、二除、三配、四開。（1）（2）（3）（4）把常數項移到等號的右邊；方程兩邊都除以二次項系數；方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，把左邊配成完全平方式；若等號右邊為非負數，直接開平方求出方程的解。22公式法知識點一公式法解一元二次方程（1）一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的兩個根為bx=b2a24ac，這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的系數a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。（2）一元二次方程求根公式的推導過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的過程。（3）公式法解一元二次方程的具體步驟①方程化為一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化為正值②確定公式中a,b,c的值，注意符號；③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，則把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，則方程無實數根。知識點二一元二次方程根的判別式式子b-4ac叫做方程ax+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用希臘字母△表示它，即△=b-4ac.△＞0，方程ax+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數根一元二次方程△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實數根根的判別式△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實數根222222．3因式分解法知識點一因式分解法解一元二次方程（1）把一元二次方程的一邊化為0，而另一邊分解成兩個一次因式的積，進而轉化為求兩個求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。（2）因式分解法的詳細步驟①移項，將所有的項都移到左邊，右邊化為0；②把方程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；③令每一個因式分別為零，得到一元一次方程；④解一元一次方程即可得到原方程的解。知識點二用合適的方法解一元一次方程方法名稱理論依據適用范圍形如x2=p或（mx+n）2=p(p≥0)所有一元二次方程所有一元二次方程一邊為0，另一邊易于分解成兩個一次因式的積的一元二次方程。直接開平方法平方根的意義配方法公式法因式分解法完全平方公式配方法當ab=0，則a=0或b=024一元二次方程的根與系數的關系若一元二次方程x2+px+q=0的兩個根為x1,x2,則有x1+x2=-p,x1x2=q.若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有兩個實數根x1,x2,則有x1+x2=，ba,x1x2=ca23實際問題與一元二次方程知識點一列一元二次方程解應用題的一般步驟（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）審是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量以及它們之間的等量關系。設是指設元，也就是設出未知數。列就是列方程，這是關鍵步驟,一般先找出能夠表達應用題全部含義的一個相等含義，然后列代數式表示這個相等關系中的各個量，就得到含有未知數的等式，即方程。解就是解方程，求出未知數的值。驗是指檢驗方程的解是否保證實際問題有意義，符合題意。答寫出答案。數字問題知識點二列一元二次方程解應用題的幾種常見類型三個連續整數若設中間的一個數為x，則另兩個數分別為x-1，x+1。三個連續偶數（奇數）若中間的一個數為x，則另兩個數分別為x-2,x+2。三位數的表示方法設百位、十位、個位上的數字分別為a,b,c，則這個三位數是100a+10b+c.（2）增長率問題設初始量為a，終止量為b，平均增長率或平均降低率為x，則經過兩次的增長或降低后的等量關系為a（1x）2=b。（3）利潤問題利潤問題常用的相等關系式有①總利潤=總銷售價-總成本；②總利潤=單位利潤×總銷售量；③利潤=成本×利潤率（4）圖形的面積問題根據圖形的面積與圖形的邊、高等相關元素的關系，將圖形的面積用含有未知數的代數式表示出來，建立一元二次方程。第二十三章旋轉21圖形的旋轉知識點一旋轉的定義在平面內，把一個平面圖形繞著平面內某一點O轉動一個角度，就叫做圖形的旋轉，點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。我們把旋轉中心、旋轉角度、