江蘇省南通市如皋市2023-2024學年高一上學期12月

月考數學試題

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分，在每小題給出的四個選項中,

只有一個是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上.）

1.已知集合人={—2,e』3},fi={x||x-l|<2},則AB=（）

A-{-2,3}B.C.D.{3}

【答案】C

［解析］由題意A={—2,eTn3}=1_2,；1,

B={x（x—<2j={x|-2<x-l<2}={x|-l<x<3）,所以AcB=.

故選：c.

2.若角e終點上一點P（—3,a）,且sina=g，則a=（）

A.-4B.-3C.4D.±4

【答案】C

【解析】由題意得：點P（—3,a）在角a的終邊上，且sina=g,

,a4

所以：sina=.=—,解得：〃=4,〃=T（舍），故C項正確.

V9+a25

故選：c.

3.已知a=log20.3,b=*3,c=sin2,則Q,b,c的大小關系為（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】D

【解析】因為。=log20.3vlog21=。，b=20,3>2°=B

兀

而一<2<兀,所以0vsin2vl,所以avcvb.

2

故選：D.

"2

4.已知函數/(%)=sin%尤e［0,兀］,則的最大值為（

l2

1

A.2B.一C.OD.顯

44

【答案】B

【解析】/(x)=sinx1+cosx+—=sinx(l-sinx)=sinx-sin2x,

_I2人

令方=sinx,由x￡[0,兀],故即"了)=~5

當"工時，/（%）=-,故其最大值為L

244

故選：B.

5.將〉=5由［2彳-］］圖象上每一個點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到

y=g（x）的圖象，則g（x）的一個對稱中心為（）

【答案】A

【解析】＞=sin圖象上每一個點的橫坐標變為原來的2倍得至小

g（x）=sin［x-；J,令=（左eZ）,解得x=?+bi,

所以g（x）的對稱中心為g+械0）（左eZ）,

對于A：令:+也=苧，解得左=1,所以11，°］是8⑴的一個對稱中心，A正確;

對于B：令：7+rEl=ig,解得左1,B錯誤；

488

對于C：令;+E=—解得上=—，，C錯誤；

442

TYTT5

對于D：令—Ffar=---,解得左=----,D錯誤.

41616

故選：A.

6.已知函數〃力=為2-以+4在(1,2)上有且只有一個零點，則實數。的取值范圍是(

A.[8,10)B.(8,10)C.[4,5)D,(4,5)

【答案】D

【解析】①當/⑴〃2)<0時在(1,2)上有且只有一個零點，

此時(5-4)(8-2")<0,解得4<a<5；

②當/(1)=0時解得a=5,此時函數兩個零點為1和4均不在區間(1,2)內，矛盾；

③當/(2)=0時解得a=4,此時函數只有一個零點為2不在區間(L2)內，矛盾，

綜上可知4<a<5.

故選：D.

7.己知/(x)=2sin[0x+5](0〉O)在上單調遞增，則0的取值范圍是()

A.(0,4]BJ。，；CI。'1D.(0,1]

【答案】B

(2兀、71(7127171)

【解析】因為無￡[0,力->69>0,所以④X++§J,

要使得了(X)在[o,g]上單調遞增，則+解得

又由題意可知。>0,所以

4

故選：B.

8.己知定義在(0,+")上的函數/(%),滿足/'(盯)+l=/(x)+/(y)，且/'bo,則

A.1B.10C.11D.1024

【答案】C

【解析】根據題中的條件，令x=y=l,

則/(1)+1=/(1)+/(1),所以=

令則dJ+i=/（x）+/1

又=所以/（x）=/["|]+l'

則/（2'=〃29）+1="28）+2--=/（2）+9=Al）+10=ll.

故選：C.

二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分，在每小題給出的四個選項中,

至少有兩個是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上.）

9.下列代數式的值為1的是（）

A"X9-2B.log62+log369

.25兀（4兀、J1+2sin20。sin70。

C.sin---+cos----D.---------,=

6V3Jsin20o+Vl-sin2160o

【答案】BD

/3111Q

【解析】對于選項A：V43xr2=42x—=23x—=8x—=—,故不選A；

81818181

,2

對于選項B：Iog62+log369=log62+log623=log62+-log63,

=log62+log63=log6（2x3）=log66=1,故B正確；

,3..25K/4兀、.（.兀）（,2兀）

對于選項C：sin———FcosI——I—sinI471+—I+cosI—2兀H——I,

.兀2兀1兀11c與丁3一

=sin—+cos——=——cos—=----=0,故不選C；

632322—

工…HJ1+2sin20°sin70°Vsin220°+cos220°+2sin20°cos20°

對于選項D：-------/=----------------,-------,---------,

sin20°+Vl-sin2160°sin20°+|cosl60°|

=J(sin200+cos200『sin20°+cos20°…故口正確.

sin20°+cos20°sin20°+cos20°

故選：BD.

10.下列命題正確的有()

A.存在正實數使得log2(M+N)=log2M+log2N

B.對任意的角a,都有cos(兀+c)=cosa

C.tan。=tan乃是a與尸終邊在同一條直線上的充要條件

D.函數”X)為奇函數是函數/(2x)為奇函數的充要條件

【答案】AD

【解析】對于A：因為log2“+log2N=log2〃N,

所以要使得log?(M+N)=log2M+log2N,則log?(M+N)=log2MN,

'M+N=MN

所以《般〉0,當M=2,N=2時滿足，

N〉0

所以存在正實數M,N使得log2(Af+N)=log2M+log2N,A正確；

對于B：由誘導公式可知cos(7i+a)=—cosa,而-cose=cosa不恒成立，B錯誤;

對于C：當tantz=tan，時，=tz+E,此時a與力終邊在同一條直線上，

所以是充分條件，當&與萬終邊在同一條直線上時，

7?TT

若a=—,0=—,此時tan1與tan力不存在，

22

所以tana=tan,不成立，所以不是必要條件，所以c錯誤；

對于D：若了(尤)是奇函數，設了(X)定義域為區間

則/(-x)=-/(%)且M關于原點對稱，

以2x替代x可得〃-2x)=_〃2x),此時定義域為{x|2xeM},關于原點對稱，

所以/(2x)是奇函數，所以是充分條件，

當〃2力是奇函數時，設y(2x)定義域為N,則〃-2x)=-/(2x)且N關于原點對稱,

以x替代2x可得/(f)=-/(x),此時定義域為｛2尤,6陰，關于原點對稱，

所以/(X)是奇函數，所以是必要條件，D正確.

故選：AD.

11.已知實數a,b滿足a>尸+1，則下列不等關系一定正確的是()

A.a>2bB.a>2Z?+1

C.a>b-lD.2a>b2-Z?+l

【答案】ACD

【解析】對于A：因Z72+1-2ZJ=(Z?-1)2>0,所以Z?2+G2"

又a>/+i，所以a>2Z?,A正確；

對于B：因為廿+1一國+1)=后一2>，當Z?e(O,2)時/一26<0，

此時〃+I<26+1，所以不能得到a>2Z?+l,

例如當。=31=1時滿足口>尸+1，此時不滿足a>2Z?+l,B錯誤；

對于C：b2+\-(b-\)=b1-b+2=[b-^+:

所以匕2+1>匕一1，

又a>/+l，所以—C正確;

力271

對于D：2a>b2+a>---------------b—,

222

b2

而*1(b1]6一2bli+|>。，所以/

而6+1-----------+—=—+-I

2222-2222

A2h1

又a>/+i，^a>---+-,即2a>~+l，D正確.

故選：ACD.

■\/l—X+'y/l+x,-1<X<1,

12.己知/(x)=則下列結論正確的是(

/(x-2),x>l,

A./(12)=2B./(x)的最大值為2

C.的增區間為［2左一1,2對(左eN)D.7?(/?(2I))=2/eN)

【答案】ABC

【解析】A選項，當了>1時，/(x)=/(x-2),即周期為2,

故/(12)=/(0)=#^+7175=2,A正確；

B選項，當-LWxWl時，

/2(%)=1-x+l+x+2。1-尤,J1+*W2+(l-X+1+*)=4,

當且僅當l+x=l—x,即x=0時，等號成立，故/(x)W2,

結合函數的周期為2,故/(X)W2在R上恒成立，故B正確;

C選項，當—1＜%＜1時，/(%)=J1-尤+Jl+x，

又/(-%)=J1+X+\jl-x=/(%),

故/(司=+Mi在-L1］上為偶函數，

當-LWxWO時，任取石,當G［T。］且王＜工2，

故/(%)一/(工2)=也-X[+J1+%-yjl-x2-sjl+x2

-工2)+(1+%)-(1+%)_尤2U|%2-%

Jl-%+J1-々Jl+%+Jl+%2J】-％+J-X2J1+9+Jl+%2

因為藥＜%2，所以/(%)—/(々)=(々一再)<0,

故/(X)在［—1,0］單調遞增,

結合函數的周期可知，/(%)的增區間為12左一1,2對(左eN),C正確;

D選項,當一1〈無＜1時，/(九)=J1-尤+J1+%,

當1<XV3時，—l<x—2<1,

故/（x）二/（x-2）=J1-x+2+J1+%-2=，3-x+y/x—1,

其中后，f（l）=母,而/"）=’3-&+，/屋1W2,

故/'（小。左—1））=2（左eN）錯誤，D錯誤.

故選：ABC.

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.）

13.已知扇形的面積為4,半徑為2,則扇形的圓心角為弧度.

【答案】2

1,

【解析】設扇形的圓心角為a,由題意得，一ax2-=4,解得a=2,

2

所以扇形的圓心角為2弧度.

故答案為：2.

14.己知幕函數〃尤）=--2，”-3（其中，加仁％）為偶函數，且“X）在（0,+功上單調遞

減，則，〃的值為.

【答案】1

【解析】因為函數募函數/（X）在（0,+。）上單調遞減，

所以加2—2m—3<0，解得一1〈根<3,

又meZ,所以加=0或1或2,

當機=0或2時，/（%）=婷=±定義域為國尤#0},

且〃-x)==—7=—/（x）,此時函數/（X）為奇函數，不符合題意;

Ji

當機=1時，/(%)=—=1定義域為{x\xwO},

且=—I=i=/（%），此時函數為偶函數,

符合題意;

綜上所述，m-\.

故答案為：1.

15.希羅平均數（Heroniammean）是兩個非負實數的一種平均，若a,b是兩個非負實數,

則它們的希羅平均數8="巫記人=*，G=J法，則A,G,H從小到大的

32

關系為.（用連接）

【答案】G<H<A

【解析】由。之0,b>0,

HA="M+ba+b：（G間則我少,

326

*仃=。+瓢+憶癡咽2則〃之G,

33

故GWHWA.

故答案為：G<H<A.

16.已知sina+cosa=避°，貝Usin,a+cos,a=

,若。6（一兀,0）,貝ijtantz=

5

41

【答案】

503

【解析】由題意:sina+costz=-得：sin2tz+cos2?+2sin?cos?=-

55

.3

所以:sinacosa=-----,

10

29241

所以:si.n44a+cos4a=/{sm?2a+cos2aI-2sinacosa=l-2x

50

因為:ae(-71,0),所以：sincr<0,

J］。

又因為：sina+cosa=-----，得：cosa>0

5

所以：(sina-cosa『二sin2tz+cos2tz-2sin6zcosa=§,得：sina-cosa=

v755

3710

又因為：sina+cosa=，所以：sina=-----cosa=------

51010

TIP

~,sinain1

所以：tanct=-------=—T=-

COS6Z3A/103

10

故答案為：—

四、解答題（本大題共6小題，共計70分.請在答題卡指定區域內作答.解答時應寫出文字說

明、證明過程或演算步驟.）

17.某同學在研究函數〃x）=sin（（yx+。）。＞0,0＜。＜_|的圖象與性質時，采用“五點

法”畫簡圖列表如下:

71兀

X

~~6I%%3

兀3兀

a)x+(p0兀2兀

2T

/(x)010-i0

（1）根據上表中數據，求出。，。及石,馬,%的值;

（2）求函數/（%）的單調遞減區間.

71

解：（1）由表格數據知：“X）的最小正周期T=2x=兀，.?.啰=a=2,

6T

sinl-1+^ko,J~^+(p=kn[kGZ),解得：(p=kn+^^keZ),

DC兀兀

又0＜夕＜5，(p=—

令2嗚.，解得:*靖

人/＞兀3兀,.77r

令2%—=—，斛倚：%=—

3212

7T5兀

令—=2兀,解得：X-J——

36

(2)由(1)知：/(x)=sin2x+1

冗

人兀?兀，3兀JT7

令一+2kn<2x+—<----F2E(左eZ),解得:\-hi<x<----\-hi(kGZ),

23212------------12-------v7

JT7九

\/(X)的單調遞減區間為—+far,—+fat(keZ).

18.已知函數/(x)為定義在R上的偶函數，當時，/(x)=4t-3x2x+1.

(1)求/(力的解析式；

(2)求方程〃x)=-8的解集.

解：⑴因為函數/(x)為定義在R上的偶函數，則〃力寸廿x),

當x?0時，f(x)=4x-3x2x+1,

則當x<0時，—x>0,f(-x)=4-x-3x2-x+1=f(x),

SPf(x)=4-x-3x2-x+1,

4T-3x2e\x<0

所以/(%)=<

4A-3x2x+1,%>0

(2)當x<0時，/(x)=4^-3x2-x+1=-8,

令2一工=加(加＞1),則4r=m2,

即m2—6m=—8，解得機=2或m=4,

則2r=2或2r=4，即m一1或x=—2,

當xNO時，/(x)=4r-3x2x+'=-8,

令則4工=〃2,

即-6〃=一8，解得“=2或〃=4,

則2*=2或2、=4，即x=l或x=2,

綜上所述，方程〃x)=-8的解集為{—2,-1,1,2}.

19.已知函數/（%）二由一2（其中meR）,且"3）=0.

（1）判斷函數/（X）在（0,+e）上的單調性，并用函數單調性的定義證明；

⑵解不等式：/（a2+l）+/（-|a|-l）＜0.

解：⑴結合題意：因為函數〃x）=x'"—2（其中加eR）,且"3）=0,

oo

所以〃3)=3"'__=0,解得：m=l,故〃x)=x—‘，

3x

“X）在（0,+8）上單調遞增，證明如下:

任取七,占e（0,+co）,且石＜X2,

99

/(玉)一/(%)=再X2=(再

石IX2J

因為石,％24°，+8），且玉＜X2，所以占一％2＜0，易得：指丁+1＞0,

（9、

所以/（%）—1（%）=（%一％2）---+1＜。，即/（%）＜/（當）,

XX

\127

所以“X）在（0，+"）上單調遞增.

（2）因為/（x）=x—2的定義域為{%K00},定義域關于原點對稱，

9/9、Q

所以=r+—=TX；=-/（x）,所以為奇函數，

%I犬/X

因為+1）+/（一同—1）＜0,所以+1）＜_/（-問-1）=/（問+1）,

因為〃2+1＞0,同+1＞0,

結合（1）知，函數/（x）=x—2在（0,+“）上單調遞增，

X-

-2

所以片+1＜向+1,整理可得：a2（a2-l）＜0,即，

11v7p-l＜0

解得：ae（-l,0）o（0,1）.

20.已知函數/(6)=(1311夕+1)852夕

1

(1)證明:cos290------------

1+tan20

⑵當0,外時，求函數/⑻的最大值.

解：(1)證明：因為tanen，1一,

cos3

1_1]

=cos20

所以1+tai?。—sir?。cos26^+sin26^

1+—丁

cos20cos20

]

故cos20-

1+tan20

(2)由/(。)=(tan8+l)cos2。=+1|cos20=sin^cos^+cos20

cos。)

=-sin26)+-cos26)+-=—sin|26)+-|+-,

2222I2

因為。€，鼻，得2。+臺二爺，

jrjrTT

所以，當。=—時，即2。+—=—,

842

/⑻有最大值，部圣心＞』.怨,

故當時，函數/(e)的最大值為叵已.

21.如圖，點A,B,C在函數/(X)=Asin(o>x+0),(A>0,&>>0<。<0兀)圖象

(1)若?，,一2),,0j,求函數/(%)的解析式；

⑵若兀,—2),C(O,1),且其中求/的值.

解：(1)由已知函數過點A1|&—2),A>0,可知A=2,

又函數過點⑶[—1,。],則~一[―1)=3兀，即7=4兀，

2兀_2兀_1

又0>0,所以外二

T-47i-2

所以/(x)=2sin[gx+°],代入點A(|&-2

口C.68兀JT

即2sml—?—+=-2,解得"=—+2kn,keZ,

6

TT

又0<。<兀，所以。=:,

6

所以/(x)=2sin[gx+《

(2、23

(2)由函數過點AI—71,—2I,A＞0,則A=2,且-^-G+0=工~+2左]兀，k、eZ,

又函數過點C(o,l),則/(o)=2sin(?-o+^)=2sin^=l,

,71

結合圖形可得°=—+2而，keZ,

6

71

又。＜夕＜兀，所以左=0,(p=—,

6

2兀TT3兀

所以一?＞+—=一+2k]兀,k[￡Z,即0=2+3%,占eZ,

36