6.1平面向量的概念考法一向量與數量的辨析【例1】（2023山西）下列物理量：①密度；②溫度；③速度；④質量；⑤功；⑥位移.正確的是(

)A．①②③是數量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是數量，①③⑤是向量C．①④是數量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是數量，③⑥是向量【答案】D【解析】密度、溫度、質量、功只有大小，沒有方向，是數量；速度、位移既有大小又有方向，是向量．故選：D．【一隅三反】1．（2023下·高一課時練習）給出下列物理量：（1）質量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）電流強度；（9）體積.其中不是向量的有（

）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【答案】A【解析】看一個量是不是向量，就要看它是否具備向量的兩個要素：大小和方向.（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小沒有方向，不是向量.故選：A.2．（2023北京）給出下列物理量：①質量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時間．其中不是向量的有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】C【解析】①質量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨時間只有大小，沒有方向，故不是向量，其余均為向量，故共有5個不是向量.故選：C3．（2023·安徽）以下選項中，都是向量的是（）A．正弦線、海拔 B．質量、摩擦力C．△ABC的三邊、體積 D．余弦線、速度【答案】D【解析】表示三角函數值的正切線、余弦線、正弦線既有大小，又有方向，都是向量．海拔、質量、△ABC的三邊和體積均只有大小，沒有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量，故選：D．4．（2023下·新疆·高一?？计谀┫铝姓f法正確的是（

）A．身高是一個向量B．溫度有零上溫度和零下溫度之分，故溫度是向量C．有向線段由方向和長度兩個要素確定D．有向線段和有向線段的長度相等【答案】D【解析】A：由向量即有大小（模長）又有方向的量，顯然身高不是向量，故A錯；B：溫度有零上溫度和零下溫度，顯然溫度可以比較大小，但無方向，故B錯；C：有向線段有起點、方向、長度三要素確定，故C錯；D：有向線段和有向線段的長度相等，故D對.故選：D考法二零向量與單位向量【例21】（2023·廣東湛江）下列命題正確的個數是（

）（1）向量就是有向線段；（2）零向量是沒有方向的向量；（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的長度為0．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】（1）向量可以用有向線段表示，但不能把兩者等同，故錯誤；（2）根據對零向量的規定零向量是有方向的，是任意的，故錯誤；（3）根據對零向量的規定，零向量的方向是任意的，故正確；（4）根據對零向量的規定，零向量的大小為0，所以零向量的長度為0，故正確．故選：B【例22】1（2023·新疆巴音郭楞）下列說法正確的是（

）A．單位向量均相等 B．單位向量C．零向量與任意向量平行 D．若向量，滿足，則【答案】C【解析】對于A：單位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A錯誤；對于B：單位向量.故B錯誤；對于C：零向量與任意向量平行.正確；對于D：若向量，滿足，但是，的方向可以是任意的.故選：C【一隅三反】1．（2023云南）下列說法正確的是（

）A．零向量沒有大小，沒有方向B．零向量是唯一沒有方向的向量C．零向量的長度為0D．任意兩個單位向量方向相同【答案】C【解析】零向量有大小，有方向，其長度為0，方向不確定，任意兩個單位向量長度相同，方向無法判斷.故選：C.2．（2023下·新疆·高一?？计谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．向量的模是一個正實數 B．零向量沒有方向C．單位向量的模等于1個單位長度 D．零向量就是實數0【答案】C【解析】對于A，零向量的模等于零，故A錯誤；對于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B錯誤；對于C，根據單位向量的定義可C知正確；對于D，零向量有大小還有方向，而實數只有大小沒有方向，故D錯誤.故選：C.3（2023·廣東揭陽）下列結論中正確的為（

）A．兩個有共同起點的單位向量，其終點必相同B．向量與向量的長度相等C．對任意向量，是一個單位向量D．零向量沒有方向【答案】B【解析】對于A選項，兩個單位向量的模相等，但這兩個單位向量的方向不確定，故A錯；對于B選項，向量與向量的模相等，B對；對于C選項，若，則無意義，C錯；對于D選項，零向量的方向任意，D錯.故選：B.考法三向量的幾何表示【例31】（2023·安徽淮北）在如圖的方格紙中，畫出下列向量．(1)，點在點的正西方向；(2)，點在點的北偏西方向；(3)求出的值．【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3)3【解析】（1）因為，點在點的正西方向，故向量的圖示如下：（2）因為，點在點的北偏西方向，故向量的圖示如下：（3）

.【一隅三反】1．（2023·全國·高一隨堂練習）選擇適當的比例尺，用有向線段表示下列向量．(1)終點A在起點O正東方向3m處；(2)終點B在起點O正西方向3m處；(3)終點C在起點O東北方向4m處；(4)終點D在起點O西南方向2m處．【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3)答案見解析；(4)答案見解析．【解析】（1）從向東作長度為3m的有向線段：（2）從向西作長度為3m的有向線段：（3）從點起向北偏東方向作長度為4m的有向線段：（4）從點起向南偏西方向作長度為2m的有向線段：2．（2023·高一課時練習）如圖，某人從點A出發，向西走了200m后到達B點，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達C點，最后又改變方向，向東走了200m到達D點，發現D點在B點的正北方．(1)作出、、（圖中1個單位長度表示100m）；(2)求的模．【答案】(1)作圖見解析(2)【解析】（1）根據題意可知，B點在坐標系中的坐標為，又因為D點在B點的正北方，所以，又，所以，即D、C兩點在坐標系中的坐標為，；即可作出、、如下圖所示.（2）如圖，作出向量，由題意可知，且，所以四邊形是平行四邊形，則，所以的模為3．（2023北京）在如圖所示的坐標紙中(每個小正方形的邊長均為1)，用直尺和圓規畫出下列向量．(1)，點A在點O北偏西45°方向；(2)，點B在點O正南方向．【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.【解析】(1)∵，點A在點O北偏西45°方向，∴以O為圓心，3為半徑作圓與圖中正方形對角線OP的交點即為A點：(2)∵，點B在點O正南方向，∴以O為圓心，圖中OQ為半徑化圓，圓弧與OR的交點即為B點：考法四平行向量與共線向量【例41】（2022下·高一?？颊n時練習）如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心.(1)圖中所示的向量中與的模相等的向量有幾個?(2)圖中所示的向量中與共線的向量有幾個?【答案】(1)11(2)4【解析】（1）因為ABCDEF為正六邊形，所以中心O到各頂點的距離相等，且均等于正六邊形的邊長.因此題圖中所示的向量中與的模相等的向量有，，，，，，，，，，，共11個.（2）由題知，圖中所示的向量中與共線的向量有，、、，共4個.【例42】（2023·貴州遵義）（多選）下列說法錯誤的是（

）A．有向線段與表示同一向量B．兩個有公共終點的向量是平行向量C．零向量與單位向量是平行向量D．單位向量都相等【答案】ABD【解析】對A,有向線段與表示相反向量，不是同一向量，A錯誤；對B，兩個有公共終點的向量不一定是平行向量，B錯誤；對C，我們規定：零向量與任意向量是平行向量，C正確；對D，單位向量僅是模長相等，方向不確定，D錯誤；故選:ABD.【一隅三反】1．（2023·陜西榆林）（多選）如圖，在正六邊形中，點為其中心，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】由正六邊形的結構特征可知，與方向相同，長度相等，，故選項A正確，與方向相反，，故選項B正確，由正六邊形的性質可知，，故選項C正確，與不共線，所以不會相等，故選項D錯誤，故選：ABC．2．（2023下·江蘇鎮江）（多選）下列命題中，正確的是（

）A．若則 B．若則C．若則 D．若則【答案】BD【解析】．若，則方向不一定相同，即兩向量不一定相等，故不正確；．，則，正確；C.，則與不能比較大??；．，則，因此正確．故選：．3．（2023·高一課時練習）如圖所示，四邊形為正方形，為平行四邊形，(1)與模長相等的向量有多少個？(2)寫出與相等的向量有哪些？(3)與共線的向量有哪些？(4)請列出與相等的向量．【答案】(1)有9個(2)，(3)，，，，，，(4)【解析】（1）因為四邊形為正方形，為平行四邊形，所以，所以與模長相等的向量有、、、、、、、、共個.（2）與相等的向量有、.（3）與共線的向量有，，，，，，.（4）因為為平行四邊形，所以且，所以與相等的向量為.單選題1．（2023·黑龍江）下列量中是向量的為（

）A．頻率 B．拉力 C．體積 D．距離【答案】B【解析】顯然頻率、體積、距離，它們只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.故選：B2．（2023·全國·高一專題練習）下列說法正確的個數是（

）（1）溫度、速度、位移、功這些物理量是向量；（2）零向量沒有方向；（3）向量的模一定是正數；（4）非零向量的單位向量是唯一的．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】對于（1），溫度與功沒有方向，不是向量，故（1）錯誤，對于（2），零向量的方向是任意的，故（2）錯誤，對于（3），零向量的?？赡転?，不一點是正數，故（3）錯誤，對于（4），非零向量的單位向量的方向有兩個，故（4）錯誤，故選：A．3．（203·湖北鄂州）下列關于零向量的說法正確的是（

）A．零向量沒有大小 B．零向量沒有方向C．兩個反方向向量之和為零向量 D．零向量與任何向量都共線【答案】D【解析】根據零向量的概念可得零向量的長度為零，方向任意，故A、B錯誤；兩個反方向向量之和不一定為零向量，只有相反向量之和才是零向量，C錯誤；零向量與任意向量共線，D正確．故選：D.4．（2023下·河北石家莊·高一校聯考階段練習）下列說法錯誤的是（

）．A．向量與向量長度相等 B．起點相同的單位向量，終點必相同C．向量的?？梢员容^大小 D．任一非零向量都可以平行移動【答案】B【解析】和長度相等，方向相反，故A正確；單位向量的方向不確定，故起點相同時，終點不一定相同，故B錯誤；向量的長度可以比較大小，即模長可以比較大小，故C正確；向量只與長度和方向有關，與位置無關，故任一非零向量都可以平行移動，故D正確．故選：B5．（2023·陜西）如圖，在正六邊形中，點為其中點，則下列判斷錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A，由正六邊形的性質可得四邊形為平行四邊形，故，故A正確.對于B，因為，故，故B正確.對于C，由正六邊形的性質可得，故，故C正確.對于D，因為交于，故不成立，故D錯誤，故選：D.6．（2023·新疆塔城）如圖所示，在平行四邊形中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在平行四邊形中且，且，所以，.故選：D7．（2023·廣東湛江）下列命題正確的是（

）A．零向量沒有方向 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【解析】對于A項：零向量的方向是任意的并不是沒有方向，故A項錯誤；對于B項：因為向量的模相等，但向量不一定相等，故B項錯誤；對于C項：因為，，所以可得：，故C項正確；對于D項：若，則不共線的，也有，，故D項錯誤.故選：C.8.（2023黑龍江）給出如下命題：①向量的長度與向量的長度相等；②向量與平行，則與的方向相同或相反；③兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；④兩個公共終點的向量，一定是共線向量；⑤向量與向量是共線向量，則點，，，必在同一條直線上．其中正確的命題個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對于①，向量與向量，長度相等，方向相反，故①正確；對于②，向量與平行時，或為零向量時，不滿足條件，故②錯誤；對于③，兩個有共同起點且相等的向量，其終點也相同，故③正確；對于④，兩個有公共終點的向量，不一定是共線向量，故④錯誤；對于⑤，向量與是共線向量，點，，，不一定在同一條直線上，故⑤錯誤．綜上，正確的命題是①③．故選：B．多選題9．（2023·遼寧沈陽）下列命題中正確的是（

）A．單位向量的模都相等B．長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量C．方向相同的兩個向量，向量的模越大，則向量越大D．兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同【答案】AD【解析】根據單位向量的概念可知，單位向量的模都相等且為1，故A正確；根據共線向量的概念可知，長度不等且方向相反的兩個向量是共線向量，故B錯誤；向量不能夠比較大小，故C錯誤；根據相等的向量的概念可知，兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同，故D正確.故選：AD.10．（2023·四川自貢）如圖所示，點是正六邊形的中心，則以圖中點、中的任意一點為始點，與始點不同的另一點為終點的所有向量中，除向量外，與向量共線的向量有（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】對于A，因為在正六邊形中，∥，所以與共線，所以A正確，對于B，因為在正六邊形中，與不平行，所以與不共線，所以B錯誤，對于C，因為在正六邊形中，∥，所以與共線，所以C正確，對于D，因為在正六邊形中，與不平行，所以與不共線，所以D錯誤，故選：AC11．（2022·全國·高一課時練習）下面的命題正確的有（

）A．方向相反的兩個非零向量一定共線B．單位向量都相等C．若，滿足且與同向，則D．“若A、B、C、D是不共線的四點，且”“四邊形ABCD是平行四邊形”【答案】AD【解析】對于A，由相反向量的概念可知A正確；對于B，任意兩個單位向量的模相等，其方向未必相同，故B錯誤；對于C，向量之間不能比較大小，只能比較向量的模，故C錯誤；對于D，若A、B、C、D是不共線的四點，且，可得，且，故四邊形ABCD是平行四邊形；若四邊形ABCD是平行四邊形，可知，且，此時A、B、C、D是不共線的四點，且，故D正確.故選：AD.12．（2023江蘇）下列關于向量的描述不正確的是A．若向量，都是單位向量，則B．若向量，都是單位向量，則C．任何非零向量都有唯一的與之共線的單位向量D．平面內起點相同的所有單位向量的終點共圓【答案】ABC【解析】對于選項A：向量包括長度和方向，單位向量的長度相同均為，方向不定，故向量和不一定相同，故選項A錯誤；對于選項B：因為，由知，不一定成立，故選項B錯誤；對于選項C：任意一個非零向量有兩個與之共線的單位向量，故選項C錯誤；對于選項D：因為所有單位向量的模為，且共起點，所以所有單位向量的終點在半徑為的圓周上，故選項D正確；故選：ABC.填空題13（2023·高一課時練習）下列各量中，向量有：．（填寫序號）①濃度；②年齡；③風力；④面積；⑤位移；⑥人造衛星的速度；⑦電量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．【答案】③⑤⑥⑧⑩【解析】向量是有大小有方向的量，故符合的有：風力，位移，人造衛星的速度，向心力，加速度.故答案為：③⑤⑥⑧⑩.14（2023安徽）如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，在分別以正六邊形的頂點和中心為始點和終點的向量中，與向量相等的向量有個.【答案】3【解析】根據正六邊形的性質和相等向量的定義知，與向量相等的向量有，，，共3個.故答案為：315．（2023下·高一課時練習）如圖所示，在等腰梯形ABCD中，，對角線AC，BD交于點O，過點O作，交AD于點M，交BC于點N，則在以A，B，C，D，M，O，N為起點或終點的所有有向線段表示的向量中，相等向量有對.【答案】2【解析】由題意∥AB可知，，所以，所以.因為，所以，，所以，，所以.又M，O，N三點共線，所以，，故相等向量有2對.故答案為：2.16．（2023天津）如圖，在長方體中，，，，以長方體的八個頂點中兩點為起點和終點的向量中．（1）單位向量共有______個；（2）模為的向量有______；（3）與相等的向量有______；（4）的相反向量有______．【答案】8、、、、、、、、、、、、【解析】（1）由圖可知，，所以單位向量有個；（2）由圖可知，，所以模為的向量有：、、、、、、、；（3）由圖可知，，所以與相等的向量有：、、；（4）由圖可知，，所以的相反向量有：、、、；故答案為：；、、、、、、、；、、；、、、.解答題17．（2023·全國·高一課堂例題）已知O為正六邊形的中心，在圖所標出的向量中：(1)試找出與共線的向量；(2)確定與相等的向量；(3)與相等嗎？【答案】(1)和；(2)；(3)不相等.【解析】（1）由O為正六邊形的中心，得與共線的向量有和.（2）由于與長度相等且方向相同，所以.（3）顯然，且，但與的方向相反，所以這兩個向量不相等.18．（2023·高一?？颊n時練習）如圖，EF，CH將正方形ABCD分成四個單位正方形(邊長為1個單位長度).在以圖中各點為端點的所有向量中，除向量外，與平行的向量有哪些?與平行且是單位向量的有哪些?【答案】答案見解析【解析】根據平行向量的定義，由圖可知，與平行的向量有：，，，，，，，，，，，，，，，，，其中的單位向量有：，，，，，，，，，，.19．（2023·高一課時練習）在如圖的方格紙上，已知向量，每個小正方形的邊長為1．(1)試以為終點畫一個有向線