6.1平面向量的概念考法一向量與數(shù)量的辨析【例1】（2023山西）下列物理量：①密度；②溫度；③速度；④質(zhì)量；⑤功；⑥位移.正確的是(

)A．①②③是數(shù)量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是數(shù)量，①③⑤是向量C．①④是數(shù)量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是數(shù)量，③⑥是向量【答案】D【解析】密度、溫度、質(zhì)量、功只有大小，沒(méi)有方向，是數(shù)量；速度、位移既有大小又有方向，是向量．故選：D．【一隅三反】1．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列物理量：（1）質(zhì)量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）電流強(qiáng)度；（9）體積.其中不是向量的有（

）A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)【答案】A【解析】看一個(gè)量是不是向量，就要看它是否具備向量的兩個(gè)要素：大小和方向.（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小沒(méi)有方向，不是向量.故選：A.2．（2023北京）給出下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時(shí)間．其中不是向量的有（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】C【解析】①質(zhì)量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨時(shí)間只有大小，沒(méi)有方向，故不是向量，其余均為向量，故共有5個(gè)不是向量.故選：C3．（2023·安徽）以下選項(xiàng)中，都是向量的是（）A．正弦線、海拔 B．質(zhì)量、摩擦力C．△ABC的三邊、體積 D．余弦線、速度【答案】D【解析】表示三角函數(shù)值的正切線、余弦線、正弦線既有大小，又有方向，都是向量．海拔、質(zhì)量、△ABC的三邊和體積均只有大小，沒(méi)有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量，故選：D．4．（2023下·新疆·高一?？计谀┫铝姓f(shuō)法正確的是（

）A．身高是一個(gè)向量B．溫度有零上溫度和零下溫度之分，故溫度是向量C．有向線段由方向和長(zhǎng)度兩個(gè)要素確定D．有向線段和有向線段的長(zhǎng)度相等【答案】D【解析】A：由向量即有大?。ｉL(zhǎng)）又有方向的量，顯然身高不是向量，故A錯(cuò)；B：溫度有零上溫度和零下溫度，顯然溫度可以比較大小，但無(wú)方向，故B錯(cuò)；C：有向線段有起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度三要素確定，故C錯(cuò)；D：有向線段和有向線段的長(zhǎng)度相等，故D對(duì).故選：D考法二零向量與單位向量【例21】（2023·廣東湛江）下列命題正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）向量就是有向線段；（2）零向量是沒(méi)有方向的向量；（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的長(zhǎng)度為0．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】（1）向量可以用有向線段表示，但不能把兩者等同，故錯(cuò)誤；（2）根據(jù)對(duì)零向量的規(guī)定零向量是有方向的，是任意的，故錯(cuò)誤；（3）根據(jù)對(duì)零向量的規(guī)定，零向量的方向是任意的，故正確；（4）根據(jù)對(duì)零向量的規(guī)定，零向量的大小為0，所以零向量的長(zhǎng)度為0，故正確．故選：B【例22】1（2023·新疆巴音郭楞）下列說(shuō)法正確的是（

）A．單位向量均相等 B．單位向量C．零向量與任意向量平行 D．若向量，滿足，則【答案】C【解析】對(duì)于A：?jiǎn)挝幌蛄康哪Ｏ嗟龋欠较虿灰欢ㄏ嗤?故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：?jiǎn)挝幌蛄?故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：零向量與任意向量平行.正確；對(duì)于D：若向量，滿足，但是，的方向可以是任意的.故選：C【一隅三反】1．（2023云南）下列說(shuō)法正確的是（

）A．零向量沒(méi)有大小，沒(méi)有方向B．零向量是唯一沒(méi)有方向的向量C．零向量的長(zhǎng)度為0D．任意兩個(gè)單位向量方向相同【答案】C【解析】零向量有大小，有方向，其長(zhǎng)度為0，方向不確定，任意兩個(gè)單位向量長(zhǎng)度相同，方向無(wú)法判斷.故選：C.2．（2023下·新疆·高一?？计谥校┫铝姓f(shuō)法正確的是（

）A．向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù) B．零向量沒(méi)有方向C．單位向量的模等于1個(gè)單位長(zhǎng)度 D．零向量就是實(shí)數(shù)0【答案】C【解析】對(duì)于A，零向量的模等于零，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)單位向量的定義可C知正確；對(duì)于D，零向量有大小還有方向，而實(shí)數(shù)只有大小沒(méi)有方向，故D錯(cuò)誤.故選：C.3（2023·廣東揭陽(yáng)）下列結(jié)論中正確的為（

）A．兩個(gè)有共同起點(diǎn)的單位向量，其終點(diǎn)必相同B．向量與向量的長(zhǎng)度相等C．對(duì)任意向量，是一個(gè)單位向量D．零向量沒(méi)有方向【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，兩個(gè)單位向量的模相等，但這兩個(gè)單位向量的方向不確定，故A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，向量與向量的模相等，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則無(wú)意義，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，零向量的方向任意，D錯(cuò).故選：B.考法三向量的幾何表示【例31】（2023·安徽淮北）在如圖的方格紙中，畫(huà)出下列向量．(1)，點(diǎn)在點(diǎn)的正西方向；(2)，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西方向；(3)求出的值．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析；(3)3【解析】（1）因?yàn)?，點(diǎn)在點(diǎn)的正西方向，故向量的圖示如下：（2）因?yàn)?，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西方向，故向量的圖示如下：（3）

.【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）選擇適當(dāng)?shù)谋壤?，用有向線段表示下列向量．(1)終點(diǎn)A在起點(diǎn)O正東方向3m處；(2)終點(diǎn)B在起點(diǎn)O正西方向3m處；(3)終點(diǎn)C在起點(diǎn)O東北方向4m處；(4)終點(diǎn)D在起點(diǎn)O西南方向2m處．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析；(3)答案見(jiàn)解析；(4)答案見(jiàn)解析．【解析】（1）從向東作長(zhǎng)度為3m的有向線段：（2）從向西作長(zhǎng)度為3m的有向線段：（3）從點(diǎn)起向北偏東方向作長(zhǎng)度為4m的有向線段：（4）從點(diǎn)起向南偏西方向作長(zhǎng)度為2m的有向線段：2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，某人從點(diǎn)A出發(fā)，向西走了200m后到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東走了200m到達(dá)D點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)D點(diǎn)在B點(diǎn)的正北方．(1)作出、、（圖中1個(gè)單位長(zhǎng)度表示100m）；(2)求的模．【答案】(1)作圖見(jiàn)解析(2)【解析】（1）根據(jù)題意可知，B點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，又因?yàn)镈點(diǎn)在B點(diǎn)的正北方，所以，又，所以，即D、C兩點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，；即可作出、、如下圖所示.（2）如圖，作出向量，由題意可知，且，所以四邊形是平行四邊形，則，所以的模為3．（2023北京）在如圖所示的坐標(biāo)紙中(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1)，用直尺和圓規(guī)畫(huà)出下列向量．(1)，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏西45°方向；(2)，點(diǎn)B在點(diǎn)O正南方向．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析.【解析】(1)∵，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏西45°方向，∴以O(shè)為圓心，3為半徑作圓與圖中正方形對(duì)角線OP的交點(diǎn)即為A點(diǎn)：(2)∵，點(diǎn)B在點(diǎn)O正南方向，∴以O(shè)為圓心，圖中OQ為半徑化圓，圓弧與OR的交點(diǎn)即為B點(diǎn)：考法四平行向量與共線向量【例41】（2022下·高一校考課時(shí)練習(xí)）如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心.(1)圖中所示的向量中與的模相等的向量有幾個(gè)?(2)圖中所示的向量中與共線的向量有幾個(gè)?【答案】(1)11(2)4【解析】（1）因?yàn)锳BCDEF為正六邊形，所以中心O到各頂點(diǎn)的距離相等，且均等于正六邊形的邊長(zhǎng).因此題圖中所示的向量中與的模相等的向量有，，，，，，，，，，，共11個(gè).（2）由題知，圖中所示的向量中與共線的向量有，、、，共4個(gè).【例42】（2023·貴州遵義）（多選）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．有向線段與表示同一向量B．兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量是平行向量C．零向量與單位向量是平行向量D．單位向量都相等【答案】ABD【解析】對(duì)A,有向線段與表示相反向量，不是同一向量，A錯(cuò)誤；對(duì)B，兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量不一定是平行向量，B錯(cuò)誤；對(duì)C，我們規(guī)定：零向量與任意向量是平行向量，C正確；對(duì)D，單位向量?jī)H是模長(zhǎng)相等，方向不確定，D錯(cuò)誤；故選:ABD.【一隅三反】1．（2023·陜西榆林）（多選）如圖，在正六邊形中，點(diǎn)為其中心，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】由正六邊形的結(jié)構(gòu)特征可知，與方向相同，長(zhǎng)度相等，，故選項(xiàng)A正確，與方向相反，，故選項(xiàng)B正確，由正六邊形的性質(zhì)可知，，故選項(xiàng)C正確，與不共線，所以不會(huì)相等，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：ABC．2．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江）（多選）下列命題中，正確的是（

）A．若則 B．若則C．若則 D．若則【答案】BD【解析】．若，則方向不一定相同，即兩向量不一定相等，故不正確；．，則，正確；C.，則與不能比較大??；．，則，因此正確．故選：．3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，四邊形為正方形，為平行四邊形，(1)與模長(zhǎng)相等的向量有多少個(gè)？(2)寫(xiě)出與相等的向量有哪些？(3)與共線的向量有哪些？(4)請(qǐng)列出與相等的向量．【答案】(1)有9個(gè)(2)，(3)，，，，，，(4)【解析】（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，為平行四邊形，所以，所以與模長(zhǎng)相等的向量有、、、、、、、、共個(gè).（2）與相等的向量有、.（3）與共線的向量有，，，，，，.（4）因?yàn)闉槠叫兴倪呅危郧遥耘c相等的向量為.單選題1．（2023·黑龍江）下列量中是向量的為（

）A．頻率 B．拉力 C．體積 D．距離【答案】B【解析】顯然頻率、體積、距離，它們只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.故選：B2．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）溫度、速度、位移、功這些物理量是向量；（2）零向量沒(méi)有方向；（3）向量的模一定是正數(shù)；（4）非零向量的單位向量是唯一的．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】對(duì)于（1），溫度與功沒(méi)有方向，不是向量，故（1）錯(cuò)誤，對(duì)于（2），零向量的方向是任意的，故（2）錯(cuò)誤，對(duì)于（3），零向量的?？赡転?，不一點(diǎn)是正數(shù)，故（3）錯(cuò)誤，對(duì)于（4），非零向量的單位向量的方向有兩個(gè)，故（4）錯(cuò)誤，故選：A．3．（203·湖北鄂州）下列關(guān)于零向量的說(shuō)法正確的是（

）A．零向量沒(méi)有大小 B．零向量沒(méi)有方向C．兩個(gè)反方向向量之和為零向量 D．零向量與任何向量都共線【答案】D【解析】根據(jù)零向量的概念可得零向量的長(zhǎng)度為零，方向任意，故A、B錯(cuò)誤；兩個(gè)反方向向量之和不一定為零向量，只有相反向量之和才是零向量，C錯(cuò)誤；零向量與任意向量共線，D正確．故選：D.4．（2023下·河北石家莊·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）．A．向量與向量長(zhǎng)度相等 B．起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)必相同C．向量的模可以比較大小 D．任一非零向量都可以平行移動(dòng)【答案】B【解析】和長(zhǎng)度相等，方向相反，故A正確；單位向量的方向不確定，故起點(diǎn)相同時(shí)，終點(diǎn)不一定相同，故B錯(cuò)誤；向量的長(zhǎng)度可以比較大小，即模長(zhǎng)可以比較大小，故C正確；向量只與長(zhǎng)度和方向有關(guān)，與位置無(wú)關(guān)，故任一非零向量都可以平行移動(dòng)，故D正確．故選：B5．（2023·陜西）如圖，在正六邊形中，點(diǎn)為其中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，由正六邊形的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，故，故A正確.對(duì)于B，因?yàn)椋剩蔅正確.對(duì)于C，由正六邊形的性質(zhì)可得，故，故C正確.對(duì)于D，因?yàn)榻挥?，故不成立，故D錯(cuò)誤，故選：D.6．（2023·新疆塔城）如圖所示，在平行四邊形中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在平行四邊形中且，且，所以，.故選：D7．（2023·廣東湛江）下列命題正確的是（

）A．零向量沒(méi)有方向 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【解析】對(duì)于A項(xiàng)：零向量的方向是任意的并不是沒(méi)有方向，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)：因?yàn)橄蛄康哪Ｏ嗟?，但向量不一定相等，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)：因?yàn)椋?，所以可得：，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)：若，則不共線的，也有，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.8.（2023黑龍江）給出如下命題：①向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等；②向量與平行，則與的方向相同或相反；③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；④兩個(gè)公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；⑤向量與向量是共線向量，則點(diǎn)，，，必在同一條直線上．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對(duì)于①，向量與向量，長(zhǎng)度相等，方向相反，故①正確；對(duì)于②，向量與平行時(shí)，或?yàn)榱阆蛄繒r(shí)，不滿足條件，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)也相同，故③正確；對(duì)于④，兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，不一定是共線向量，故④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，向量與是共線向量，點(diǎn)，，，不一定在同一條直線上，故⑤錯(cuò)誤．綜上，正確的命題是①③．故選：B．多選題9．（2023·遼寧沈陽(yáng)）下列命題中正確的是（

）A．單位向量的模都相等B．長(zhǎng)度不等且方向相反的兩個(gè)向量不一定是共線向量C．方向相同的兩個(gè)向量，向量的模越大，則向量越大D．兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同【答案】AD【解析】根據(jù)單位向量的概念可知，單位向量的模都相等且為1，故A正確；根據(jù)共線向量的概念可知，長(zhǎng)度不等且方向相反的兩個(gè)向量是共線向量，故B錯(cuò)誤；向量不能夠比較大小，故C錯(cuò)誤；根據(jù)相等的向量的概念可知，兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同，故D正確.故選：AD.10．（2023·四川自貢）如圖所示，點(diǎn)是正六邊形的中心，則以圖中點(diǎn)、中的任意一點(diǎn)為始點(diǎn)，與始點(diǎn)不同的另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中，除向量外，與向量共線的向量有（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】對(duì)于A，因?yàn)樵谡呅沃校?，所以與共線，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)樵谡呅沃?，與不平行，所以與不共線，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)樵谡呅沃校?，所以與共線，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)樵谡呅沃?，與不平行，所以與不共線，所以D錯(cuò)誤，故選：AC11．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下面的命題正確的有（

）A．方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線B．單位向量都相等C．若，滿足且與同向，則D．“若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，且”“四邊形ABCD是平行四邊形”【答案】AD【解析】對(duì)于A，由相反向量的概念可知A正確；對(duì)于B，任意兩個(gè)單位向量的模相等，其方向未必相同，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，向量之間不能比較大小，只能比較向量的模，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，且，可得，且，故四邊形ABCD是平行四邊形；若四邊形ABCD是平行四邊形，可知，且，此時(shí)A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，且，故D正確.故選：AD.12．（2023江蘇）下列關(guān)于向量的描述不正確的是A．若向量，都是單位向量，則B．若向量，都是單位向量，則C．任何非零向量都有唯一的與之共線的單位向量D．平面內(nèi)起點(diǎn)相同的所有單位向量的終點(diǎn)共圓【答案】ABC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：向量包括長(zhǎng)度和方向，單位向量的長(zhǎng)度相同均為，方向不定，故向量和不一定相同，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋芍?，不一定成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：任意一個(gè)非零向量有兩個(gè)與之共線的單位向量，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)樗袉挝幌蛄康哪?，且共起點(diǎn)，所以所有單位向量的終點(diǎn)在半徑為的圓周上，故選項(xiàng)D正確；故選：ABC.填空題13（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列各量中，向量有：．（填寫(xiě)序號(hào)）①濃度；②年齡；③風(fēng)力；④面積；⑤位移；⑥人造衛(wèi)星的速度；⑦電量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．【答案】③⑤⑥⑧⑩【解析】向量是有大小有方向的量，故符合的有：風(fēng)力，位移，人造衛(wèi)星的速度，向心力，加速度.故答案為：③⑤⑥⑧⑩.14（2023安徽）如圖，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，在分別以正六邊形的頂點(diǎn)和中心為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與向量相等的向量有個(gè).【答案】3【解析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和相等向量的定義知，與向量相等的向量有，，，共3個(gè).故答案為：315．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在等腰梯形ABCD中，，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則在以A，B，C，D，M，O，N為起點(diǎn)或終點(diǎn)的所有有向線段表示的向量中，相等向量有對(duì).【答案】2【解析】由題意∥AB可知，，所以，所以.因?yàn)?，所以，，所以，，所?又M，O，N三點(diǎn)共線，所以，，故相等向量有2對(duì).故答案為：2.16．（2023天津）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，以長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)中兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中．（1）單位向量共有______個(gè)；（2）模為的向量有______；（3）與相等的向量有______；（4）的相反向量有______．【答案】8、、、、、、、、、、、、【解析】（1）由圖可知，，所以單位向量有個(gè)；（2）由圖可知，，所以模為的向量有：、、、、、、、；（3）由圖可知，，所以與相等的向量有：、、；（4）由圖可知，，所以的相反向量有：、、、；故答案為：；、、、、、、、；、、；、、、.解答題17．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）已知O為正六邊形的中心，在圖所標(biāo)出的向量中：(1)試找出與共線的向量；(2)確定與相等的向量；(3)與相等嗎？【答案】(1)和；(2)；(3)不相等.【解析】（1）由O為正六邊形的中心，得與共線的向量有和.（2）由于與長(zhǎng)度相等且方向相同，所以.（3）顯然，且，但與的方向相反，所以這兩個(gè)向量不相等.18．（2023·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）如圖，EF，CH將正方形ABCD分成四個(gè)單位正方形(邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度).在以圖中各點(diǎn)為端點(diǎn)的所有向量中，除向量外，與平行的向量有哪些?與平行且是單位向量的有哪些?【答案】答案見(jiàn)解析【解析】根據(jù)平行向量的定義，由圖可知，與平行的向量有：，，，，，，，，，，，，，，，，，其中的單位向量有：，，，，，，，，，，.19．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在如圖的方格紙上，已知向量，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．(1)試以為終點(diǎn)畫(huà)一個(gè)有向線