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文檔簡介
6.1平面向量的概念考法一向量與數量的辨析【例1】(2023山西)下列物理量:①密度;②溫度;③速度;④質量;⑤功;⑥位移.正確的是(
)A.①②③是數量,④⑤⑥是向量 B.②④⑥是數量,①③⑤是向量C.①④是數量,②③⑤⑥是向量 D.①②④⑤是數量,③⑥是向量【答案】D【解析】密度、溫度、質量、功只有大小,沒有方向,是數量;速度、位移既有大小又有方向,是向量.故選:D.【一隅三反】1.(2023下·高一課時練習)給出下列物理量:(1)質量;(2)速度;(3)力;(4)加速度;(5)路程;(6)密度;(7)功;(8)電流強度;(9)體積.其中不是向量的有(
)A.6個 B.5個 C.4個 D.3個【答案】A【解析】看一個量是不是向量,就要看它是否具備向量的兩個要素:大小和方向.(2)(3)(4)既有大小也有方向,是向量,(1)(5)(6)(7)(8)(9)只有大小沒有方向,不是向量.故選:A.2.(2023北京)給出下列物理量:①質量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功;⑨時間.其中不是向量的有(
)A.3個 B.4個 C.5個 D.6個【答案】C【解析】①質量,⑥路程,⑦密度,⑧功,⑨時間只有大小,沒有方向,故不是向量,其余均為向量,故共有5個不是向量.故選:C3.(2023·安徽)以下選項中,都是向量的是()A.正弦線、海拔 B.質量、摩擦力C.△ABC的三邊、體積 D.余弦線、速度【答案】D【解析】表示三角函數值的正切線、余弦線、正弦線既有大小,又有方向,都是向量.海拔、質量、△ABC的三邊和體積均只有大小,沒有方向,不是向量.速度既有大小又有方向,是向量,故選:D.4.(2023下·新疆·高一??计谀┫铝姓f法正確的是(
)A.身高是一個向量B.溫度有零上溫度和零下溫度之分,故溫度是向量C.有向線段由方向和長度兩個要素確定D.有向線段和有向線段的長度相等【答案】D【解析】A:由向量即有大小(模長)又有方向的量,顯然身高不是向量,故A錯;B:溫度有零上溫度和零下溫度,顯然溫度可以比較大小,但無方向,故B錯;C:有向線段有起點、方向、長度三要素確定,故C錯;D:有向線段和有向線段的長度相等,故D對.故選:D考法二零向量與單位向量【例21】(2023·廣東湛江)下列命題正確的個數是(
)(1)向量就是有向線段;(2)零向量是沒有方向的向量;(3)零向量的方向是任意的;(4)零向量的長度為0.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】(1)向量可以用有向線段表示,但不能把兩者等同,故錯誤;(2)根據對零向量的規定零向量是有方向的,是任意的,故錯誤;(3)根據對零向量的規定,零向量的方向是任意的,故正確;(4)根據對零向量的規定,零向量的大小為0,所以零向量的長度為0,故正確.故選:B【例22】1(2023·新疆巴音郭楞)下列說法正確的是(
)A.單位向量均相等 B.單位向量C.零向量與任意向量平行 D.若向量,滿足,則【答案】C【解析】對于A:單位向量的模相等,但是方向不一定相同.故A錯誤;對于B:單位向量.故B錯誤;對于C:零向量與任意向量平行.正確;對于D:若向量,滿足,但是,的方向可以是任意的.故選:C【一隅三反】1.(2023云南)下列說法正確的是(
)A.零向量沒有大小,沒有方向B.零向量是唯一沒有方向的向量C.零向量的長度為0D.任意兩個單位向量方向相同【答案】C【解析】零向量有大小,有方向,其長度為0,方向不確定,任意兩個單位向量長度相同,方向無法判斷.故選:C.2.(2023下·新疆·高一??计谥校┫铝姓f法正確的是(
)A.向量的模是一個正實數 B.零向量沒有方向C.單位向量的模等于1個單位長度 D.零向量就是實數0【答案】C【解析】對于A,零向量的模等于零,故A錯誤;對于B,零向量有方向,其方向是任意的,故B錯誤;對于C,根據單位向量的定義可C知正確;對于D,零向量有大小還有方向,而實數只有大小沒有方向,故D錯誤.故選:C.3(2023·廣東揭陽)下列結論中正確的為(
)A.兩個有共同起點的單位向量,其終點必相同B.向量與向量的長度相等C.對任意向量,是一個單位向量D.零向量沒有方向【答案】B【解析】對于A選項,兩個單位向量的模相等,但這兩個單位向量的方向不確定,故A錯;對于B選項,向量與向量的模相等,B對;對于C選項,若,則無意義,C錯;對于D選項,零向量的方向任意,D錯.故選:B.考法三向量的幾何表示【例31】(2023·安徽淮北)在如圖的方格紙中,畫出下列向量.(1),點在點的正西方向;(2),點在點的北偏西方向;(3)求出的值.【答案】(1)答案見解析;(2)答案見解析;(3)3【解析】(1)因為,點在點的正西方向,故向量的圖示如下:(2)因為,點在點的北偏西方向,故向量的圖示如下:(3)
.【一隅三反】1.(2023·全國·高一隨堂練習)選擇適當的比例尺,用有向線段表示下列向量.(1)終點A在起點O正東方向3m處;(2)終點B在起點O正西方向3m處;(3)終點C在起點O東北方向4m處;(4)終點D在起點O西南方向2m處.【答案】(1)答案見解析;(2)答案見解析;(3)答案見解析;(4)答案見解析.【解析】(1)從向東作長度為3m的有向線段:(2)從向西作長度為3m的有向線段:(3)從點起向北偏東方向作長度為4m的有向線段:(4)從點起向南偏西方向作長度為2m的有向線段:2.(2023·高一課時練習)如圖,某人從點A出發,向西走了200m后到達B點,然后改變方向,沿北偏西一定角度的某方向行走了到達C點,最后又改變方向,向東走了200m到達D點,發現D點在B點的正北方.(1)作出、、(圖中1個單位長度表示100m);(2)求的模.【答案】(1)作圖見解析(2)【解析】(1)根據題意可知,B點在坐標系中的坐標為,又因為D點在B點的正北方,所以,又,所以,即D、C兩點在坐標系中的坐標為,;即可作出、、如下圖所示.(2)如圖,作出向量,由題意可知,且,所以四邊形是平行四邊形,則,所以的模為3.(2023北京)在如圖所示的坐標紙中(每個小正方形的邊長均為1),用直尺和圓規畫出下列向量.(1),點A在點O北偏西45°方向;(2),點B在點O正南方向.【答案】(1)答案見解析;(2)答案見解析.【解析】(1)∵,點A在點O北偏西45°方向,∴以O為圓心,3為半徑作圓與圖中正方形對角線OP的交點即為A點:(2)∵,點B在點O正南方向,∴以O為圓心,圖中OQ為半徑化圓,圓弧與OR的交點即為B點:考法四平行向量與共線向量【例41】(2022下·高一??颊n時練習)如圖,O是正六邊形ABCDEF的中心.(1)圖中所示的向量中與的模相等的向量有幾個?(2)圖中所示的向量中與共線的向量有幾個?【答案】(1)11(2)4【解析】(1)因為ABCDEF為正六邊形,所以中心O到各頂點的距離相等,且均等于正六邊形的邊長.因此題圖中所示的向量中與的模相等的向量有,,,,,,,,,,,共11個.(2)由題知,圖中所示的向量中與共線的向量有,、、,共4個.【例42】(2023·貴州遵義)(多選)下列說法錯誤的是(
)A.有向線段與表示同一向量B.兩個有公共終點的向量是平行向量C.零向量與單位向量是平行向量D.單位向量都相等【答案】ABD【解析】對A,有向線段與表示相反向量,不是同一向量,A錯誤;對B,兩個有公共終點的向量不一定是平行向量,B錯誤;對C,我們規定:零向量與任意向量是平行向量,C正確;對D,單位向量僅是模長相等,方向不確定,D錯誤;故選:ABD.【一隅三反】1.(2023·陜西榆林)(多選)如圖,在正六邊形中,點為其中心,則下列判斷正確的是(
)A. B.C. D.【答案】ABC【解析】由正六邊形的結構特征可知,與方向相同,長度相等,,故選項A正確,與方向相反,,故選項B正確,由正六邊形的性質可知,,故選項C正確,與不共線,所以不會相等,故選項D錯誤,故選:ABC.2.(2023下·江蘇鎮江)(多選)下列命題中,正確的是(
)A.若則 B.若則C.若則 D.若則【答案】BD【解析】.若,則方向不一定相同,即兩向量不一定相等,故不正確;.,則,正確;C.,則與不能比較大??;.,則,因此正確.故選:.3.(2023·高一課時練習)如圖所示,四邊形為正方形,為平行四邊形,(1)與模長相等的向量有多少個?(2)寫出與相等的向量有哪些?(3)與共線的向量有哪些?(4)請列出與相等的向量.【答案】(1)有9個(2),(3),,,,,,(4)【解析】(1)因為四邊形為正方形,為平行四邊形,所以,所以與模長相等的向量有、、、、、、、、共個.(2)與相等的向量有、.(3)與共線的向量有,,,,,,.(4)因為為平行四邊形,所以且,所以與相等的向量為.單選題1.(2023·黑龍江)下列量中是向量的為(
)A.頻率 B.拉力 C.體積 D.距離【答案】B【解析】顯然頻率、體積、距離,它們只有大小,不是向量,而拉力既有大小,又有方向,所以拉力是向量.故選:B2.(2023·全國·高一專題練習)下列說法正確的個數是(
)(1)溫度、速度、位移、功這些物理量是向量;(2)零向量沒有方向;(3)向量的模一定是正數;(4)非零向量的單位向量是唯一的.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】對于(1),溫度與功沒有方向,不是向量,故(1)錯誤,對于(2),零向量的方向是任意的,故(2)錯誤,對于(3),零向量的??赡転?,不一點是正數,故(3)錯誤,對于(4),非零向量的單位向量的方向有兩個,故(4)錯誤,故選:A.3.(203·湖北鄂州)下列關于零向量的說法正確的是(
)A.零向量沒有大小 B.零向量沒有方向C.兩個反方向向量之和為零向量 D.零向量與任何向量都共線【答案】D【解析】根據零向量的概念可得零向量的長度為零,方向任意,故A、B錯誤;兩個反方向向量之和不一定為零向量,只有相反向量之和才是零向量,C錯誤;零向量與任意向量共線,D正確.故選:D.4.(2023下·河北石家莊·高一校聯考階段練習)下列說法錯誤的是(
).A.向量與向量長度相等 B.起點相同的單位向量,終點必相同C.向量的??梢员容^大小 D.任一非零向量都可以平行移動【答案】B【解析】和長度相等,方向相反,故A正確;單位向量的方向不確定,故起點相同時,終點不一定相同,故B錯誤;向量的長度可以比較大小,即模長可以比較大小,故C正確;向量只與長度和方向有關,與位置無關,故任一非零向量都可以平行移動,故D正確.故選:B5.(2023·陜西)如圖,在正六邊形中,點為其中點,則下列判斷錯誤的是(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A,由正六邊形的性質可得四邊形為平行四邊形,故,故A正確.對于B,因為,故,故B正確.對于C,由正六邊形的性質可得,故,故C正確.對于D,因為交于,故不成立,故D錯誤,故選:D.6.(2023·新疆塔城)如圖所示,在平行四邊形中成立的是(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】在平行四邊形中且,且,所以,.故選:D7.(2023·廣東湛江)下列命題正確的是(
)A.零向量沒有方向 B.若,則C.若,,則 D.若,,則【答案】C【解析】對于A項:零向量的方向是任意的并不是沒有方向,故A項錯誤;對于B項:因為向量的模相等,但向量不一定相等,故B項錯誤;對于C項:因為,,所以可得:,故C項正確;對于D項:若,則不共線的,也有,,故D項錯誤.故選:C.8.(2023黑龍江)給出如下命題:①向量的長度與向量的長度相等;②向量與平行,則與的方向相同或相反;③兩個有共同起點而且相等的向量,其終點必相同;④兩個公共終點的向量,一定是共線向量;⑤向量與向量是共線向量,則點,,,必在同一條直線上.其中正確的命題個數是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】對于①,向量與向量,長度相等,方向相反,故①正確;對于②,向量與平行時,或為零向量時,不滿足條件,故②錯誤;對于③,兩個有共同起點且相等的向量,其終點也相同,故③正確;對于④,兩個有公共終點的向量,不一定是共線向量,故④錯誤;對于⑤,向量與是共線向量,點,,,不一定在同一條直線上,故⑤錯誤.綜上,正確的命題是①③.故選:B.多選題9.(2023·遼寧沈陽)下列命題中正確的是(
)A.單位向量的模都相等B.長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量C.方向相同的兩個向量,向量的模越大,則向量越大D.兩個有共同起點而且相等的向量,其終點必相同【答案】AD【解析】根據單位向量的概念可知,單位向量的模都相等且為1,故A正確;根據共線向量的概念可知,長度不等且方向相反的兩個向量是共線向量,故B錯誤;向量不能夠比較大小,故C錯誤;根據相等的向量的概念可知,兩個有共同起點而且相等的向量,其終點必相同,故D正確.故選:AD.10.(2023·四川自貢)如圖所示,點是正六邊形的中心,則以圖中點、中的任意一點為始點,與始點不同的另一點為終點的所有向量中,除向量外,與向量共線的向量有(
)A. B. C. D.【答案】AC【解析】對于A,因為在正六邊形中,∥,所以與共線,所以A正確,對于B,因為在正六邊形中,與不平行,所以與不共線,所以B錯誤,對于C,因為在正六邊形中,∥,所以與共線,所以C正確,對于D,因為在正六邊形中,與不平行,所以與不共線,所以D錯誤,故選:AC11.(2022·全國·高一課時練習)下面的命題正確的有(
)A.方向相反的兩個非零向量一定共線B.單位向量都相等C.若,滿足且與同向,則D.“若A、B、C、D是不共線的四點,且”“四邊形ABCD是平行四邊形”【答案】AD【解析】對于A,由相反向量的概念可知A正確;對于B,任意兩個單位向量的模相等,其方向未必相同,故B錯誤;對于C,向量之間不能比較大小,只能比較向量的模,故C錯誤;對于D,若A、B、C、D是不共線的四點,且,可得,且,故四邊形ABCD是平行四邊形;若四邊形ABCD是平行四邊形,可知,且,此時A、B、C、D是不共線的四點,且,故D正確.故選:AD.12.(2023江蘇)下列關于向量的描述不正確的是A.若向量,都是單位向量,則B.若向量,都是單位向量,則C.任何非零向量都有唯一的與之共線的單位向量D.平面內起點相同的所有單位向量的終點共圓【答案】ABC【解析】對于選項A:向量包括長度和方向,單位向量的長度相同均為,方向不定,故向量和不一定相同,故選項A錯誤;對于選項B:因為,由知,不一定成立,故選項B錯誤;對于選項C:任意一個非零向量有兩個與之共線的單位向量,故選項C錯誤;對于選項D:因為所有單位向量的模為,且共起點,所以所有單位向量的終點在半徑為的圓周上,故選項D正確;故選:ABC.填空題13(2023·高一課時練習)下列各量中,向量有:.(填寫序號)①濃度;②年齡;③風力;④面積;⑤位移;⑥人造衛星的速度;⑦電量;⑧向心力;⑨盈利;⑩加速度.【答案】③⑤⑥⑧⑩【解析】向量是有大小有方向的量,故符合的有:風力,位移,人造衛星的速度,向心力,加速度.故答案為:③⑤⑥⑧⑩.14(2023安徽)如圖,點O是正六邊形ABCDEF的中心,在分別以正六邊形的頂點和中心為始點和終點的向量中,與向量相等的向量有個.【答案】3【解析】根據正六邊形的性質和相等向量的定義知,與向量相等的向量有,,,共3個.故答案為:315.(2023下·高一課時練習)如圖所示,在等腰梯形ABCD中,,對角線AC,BD交于點O,過點O作,交AD于點M,交BC于點N,則在以A,B,C,D,M,O,N為起點或終點的所有有向線段表示的向量中,相等向量有對.【答案】2【解析】由題意∥AB可知,,所以,所以.因為,所以,,所以,,所以.又M,O,N三點共線,所以,,故相等向量有2對.故答案為:2.16.(2023天津)如圖,在長方體中,,,,以長方體的八個頂點中兩點為起點和終點的向量中.(1)單位向量共有______個;(2)模為的向量有______;(3)與相等的向量有______;(4)的相反向量有______.【答案】8、、、、、、、、、、、、【解析】(1)由圖可知,,所以單位向量有個;(2)由圖可知,,所以模為的向量有:、、、、、、、;(3)由圖可知,,所以與相等的向量有:、、;(4)由圖可知,,所以的相反向量有:、、、;故答案為:;、、、、、、、;、、;、、、.解答題17.(2023·全國·高一課堂例題)已知O為正六邊形的中心,在圖所標出的向量中:(1)試找出與共線的向量;(2)確定與相等的向量;(3)與相等嗎?【答案】(1)和;(2);(3)不相等.【解析】(1)由O為正六邊形的中心,得與共線的向量有和.(2)由于與長度相等且方向相同,所以.(3)顯然,且,但與的方向相反,所以這兩個向量不相等.18.(2023·高一??颊n時練習)如圖,EF,CH將正方形ABCD分成四個單位正方形(邊長為1個單位長度).在以圖中各點為端點的所有向量中,除向量外,與平行的向量有哪些?與平行且是單位向量的有哪些?【答案】答案見解析【解析】根據平行向量的定義,由圖可知,與平行的向量有:,,,,,,,,,,,,,,,,,其中的單位向量有:,,,,,,,,,,.19.(2023·高一課時練習)在如圖的方格紙上,已知向量,每個小正方形的邊長為1.(1)試以為終點畫一個有向線
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