.3.1離散型隨機變量的均值教學設計課時教學內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容是從平均值的角度引入離散型隨機變量均值的概念，再通過實際問題建立取有限值的離散型隨機變量均值的概念，然后推導出離散型隨機變量均值的線性性質(zhì).取有限值的離散型隨機變量的均值是在學生學習完離散型隨機變量及其分布列概念的基礎上，進一步研究離散型隨機變量取值特征的一個方面.本節(jié)內(nèi)容既是隨機變量分布列內(nèi)容的深化，又是后續(xù)內(nèi)容離散型隨機變量方差的基礎，所以本節(jié)內(nèi)容是進一步學習離散型隨機變量取值特征的其他方面的基礎.課時教學目標通過實例理解離散型隨機變量均值的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值.理解離散型隨機變量均值的性質(zhì).掌握兩點分布的均值.會利用離散型隨機變量的均值，解決一些相關的實際問題．教學重點、難點1．重點：離散型隨機變量均值的意義、性質(zhì)及應用．2．難點：對離散型隨機變量均值的意義的理解．教學過程設計環(huán)節(jié)一創(chuàng)設情境，引入課題對于離散型隨機變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機變量相關事件的概率.但在實際問題中，有時我們更感興趣的是隨機變量的某些數(shù)字特征.例如，要了解某班同學在一次數(shù)學測驗中的總體水平，很重要的是看平均分；要了解某班同學數(shù)學成績是否“兩極分化”則需要考察這個班數(shù)學成績的方差.本節(jié)課我們一起來認識離散型隨機變量的均值.離散型隨機變量的分布列全面地刻畫了這個隨機變量的取值規(guī)律，但在解決有些實際問題時，直接使用分布列并不方便．例如，要比較不同班級某次考試成績，通常會比較平均成績；要比較兩名射箭運動員的射箭水平，一般會比較他們射箭的成績（平均環(huán)數(shù)或總環(huán)數(shù)）以及穩(wěn)定性．因此，類似于研究一組數(shù)據(jù)的均值和方差，我們也可以研究離散型隨機變量的均值和方差，它們統(tǒng)稱為隨機變量的數(shù)字特征．【設計意圖】通過談話直接點明本節(jié)課題，讓學生感受數(shù)學源于生活，學習數(shù)學是有用的.問題1甲、乙兩名射箭運動員射中目標箭靶的環(huán)數(shù)的分布列如表7.3-1所示．表7.3-1環(huán)數(shù)X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2如何比較他們射箭水平的高低呢？【師生活動】：教師提出問題1,讓學生思考、討論、交流.在學生討論交流的同時，教師可以巡視指導，提示學生：由于射擊環(huán)數(shù)所占的權(quán)重不同，在用數(shù)學方法解決這一問題時要考慮權(quán)重問題.在學生充分交流討論后，師生共同得出：類似兩組數(shù)據(jù)的比較，首先比較擊中的平均環(huán)數(shù)，如果平均環(huán)數(shù)相等，再看穩(wěn)定性．假設甲射箭次，射中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)和10環(huán)的頻率分別為，，，．甲次射箭射中的平均環(huán)數(shù)為．當足夠大時，頻率穩(wěn)定于概率，所以穩(wěn)定于．即甲射中平均環(huán)數(shù)的穩(wěn)定值（理論平均值）為9，這個平均值的大小可以反映甲運動員的射箭水平．同理，乙射中環(huán)數(shù)的平均值為．從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高．求離散型隨機變量X的均值的步驟：(1)理解X的實際意義，寫出X全部可能取值；(2)求出X取每個值時的概率；(3)寫出X的分布列(有時也可省略)；(4)利用定義公式EX探究2.已知X是一個隨機變量，且分布列如下表所示.環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念一般地，若離散型隨機變量X的分布列如表7.3-2所示，表7.3-2……則稱為隨機變量X的均值（mean）或數(shù)學期望（mathematicalexpectation），數(shù)學期望簡稱期望．均值是隨機變量可能取值關于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機變量的取值和取值的概率，反映了隨機變量取值的平均水平．【設計意圖】通過具體的問題情境，引發(fā)學生思考，積極參與互動，說出自己的見解，從而引出離散型隨機變量均值的概念，發(fā)展學生的數(shù)學運算和數(shù)學抽象核心素養(yǎng).例1在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分．如果某運動員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球1次的得分X的均值是多少？【師生活動】教師先讓學生思考，然后引導學生分析：分析：罰球有命中和不中兩種可能結(jié)果，命中時，不中時，因此隨機變量服從兩點分布．的均值反映了該運動員罰球1次的平均得分水平．解：因為，．所以．即該運動員罰球1次得分X的均值是0.8．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念一般地，如果隨機變量服從兩點分布，那么【設計意圖】通過例1,鞏固離散型隨機變量均值的概念，同時引出兩點分布均值的公式，培養(yǎng)學生的數(shù)學運算和數(shù)學抽象核心素養(yǎng).例2拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設出現(xiàn)的點數(shù)為X，求X的均值．分析：先求出X的分布列，再根據(jù)定義計算X的均值．解：X的分布列為，．因此．觀察：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點數(shù)的均值為3.5．隨機模擬這個試驗，重復60次和重復300次各做6次，觀測出現(xiàn)的點數(shù)并計算平均數(shù)．根據(jù)觀測值的平均數(shù)（樣本均值）繪制統(tǒng)計圖，分別如圖7.3-1（1）和（2）所示．觀察圖形，在兩組試驗中，隨機變量的均值與樣本均值有何聯(lián)系與區(qū)別？觀察圖7.3-1可以發(fā)現(xiàn)：在這12組擲骰子試驗中，樣本均值各不相同，但它們都在擲出點數(shù)X的均值3.5附近波動，且重復擲300次的樣本均值波動幅度明顯小于重復60次的．事實上，隨機變量的均值是一個確定的數(shù)，而樣本均值具有隨機性，它圍繞隨機變量的均值波動．隨著重復試驗次數(shù)的增加，樣本均值的波動幅度一般會越來越小．因此，我們常用隨機變量的觀測值的均值去估計隨機變量的均值．【設計意圖】通過例2,歸納出求離散型隨機變量均值的步驟，規(guī)范學生求均值的思維過程.思考：隨機變量的均值與樣本均值有何聯(lián)系與區(qū)別？探究：如果是一個離散型隨機變量，將進行平移或伸縮后，其均值會怎樣變化?即和(其中為常數(shù))分別與有怎樣的關系?【設計意圖】通過觀察、思考、類比，從特殊例子歸納猜想，得出離散型隨機變量均值的線性性質(zhì)的一般規(guī)律.意在使學生的思維遵循認識問題的一般規(guī)律，也為培養(yǎng)學生善于觀察思考，發(fā)現(xiàn)新問題、新知識，勇于探索，追求真理的思維習慣和科學精神.設的分布列為．根據(jù)隨機變量均值的定義類似地，可以證明．你能給出證明嗎？．一般地，下面的結(jié)論成立：．【設計意圖】離散型隨機變量的均值的性質(zhì)若X,Y是兩個隨機變量,且Y=aX+b,則有E(Y)=aE(X)+b,即隨機變量X的線性函數(shù)的均值等于這個隨機變量的均值E(X)的同一線性函數(shù).特別地:(1)當a=0時,E(b)=b,即常數(shù)的均值就是這個常數(shù)本身.(2)當a=1時,E(X+b)=E(X)+b,即隨機變量X與常數(shù)之和的均值等于X的均值與這個常數(shù)的和.(3)當b=0時,E(aX)=aE(X),即常數(shù)與隨機變量乘積的均值等于這個常數(shù)與隨機變量的均值的乘積.環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念例3猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名．某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜對時獲得相應的公益基金如表7.3-3所示．表7.3-3歌曲ABC猜對的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000規(guī)則如下：按照A，B，C的順序猜，只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值．【師生活動】教師指出：這是一個概率決策問題，也稱為風險決策，并提出思考問題:我們?nèi)绾卫脭?shù)學方法進行決策？學生思考后，教師引導學生分析本例題：思考：如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？如果不同，你認為哪個順序獲得的公益基金均值最大？【師生活動】教師指出：選擇不同的猜歌順序，X的分布列是不同的，不能直接進行比較，所以決策的原則是選擇期望值E(X)大的猜歌順序，這稱為期望值原則.猜對的概率大表示比較容易猜，猜對的概率小表示比較難猜.教師要求學生列出所有不同的猜歌順序，分別求出X的分布列和均值，通過比較進行驗證.分析：根據(jù)規(guī)則，公益基金總額X的可能取值有四種情況：猜錯A，獲得0元基金；猜對A而猜錯B，獲得1000元基金；猜對A和B而猜錯C，獲得3000元基金；A，B，C全部猜對，獲得6000元基金．因此X是一個離散型隨機變量．利用獨立條件下的乘法公式可求分布列．解：分別用A，B，C表示猜對歌曲A，B，C歌名的事件，則A，B，C相互獨立．，，，．的分布列如表7.3-4所示．表7.3-4X0100030006000P0.20.320.2880.192的均值為如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？如果不同，你認為哪個順序獲得的公益基金均值最大？【設計意圖】通過解決實際問題，了解風險決策的原則及一般方法.對于例3，選擇不同的猜歌順序，X的分布列是不同的，不能直接進行比較，所以決策的原則是選擇期望值E(X)大的猜歌順序，這稱為期望值原則．猜對的概率大表示比較容易猜，猜對的概率小表示比較難猜．對于教科書邊空中的問題，可以讓學生列出所有不同的猜歌順序，分別求出X的分布列和均值，通過比較進行驗證．實際上，猜3首歌有6種不同的順序，不同順序及其E(X)如表所示．環(huán)節(jié)五概念應用，鞏固內(nèi)化例4根據(jù)天氣預報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01．該地區(qū)某工地上有一臺大型設備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元．為保護設備，有以下3種方案：方案1 運走設備，搬運費為3800元；方案2 建保護圍墻，建設費為2000元，但圍墻只能防小洪水；方案3 不采取措施．工地的領導該如何決策呢？分析：決策目標為總損失（投入費用與設備損失之和）越小越好．根據(jù)題意，各種方案在不同狀態(tài)下的總損失如表7.3-5所示．表7.3-5天氣狀況大洪水小洪水沒有洪水概率0.010.250.74總損失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000方案2和方案3的總損失都是隨機變量，可以采用期望總損失最小的方案．解：設方案1、方案2、方案3的總損失分別為，，．采用方案1，無論有無洪水，都損失3800元．因此，．采用方案2，遇到大洪水，總損失為元；沒有大洪水時，總損失為2000元．因此，，采用方案3，，，，于是，，，．因此，從期望損失最小的角度，應采取方案2．教師最后指出：值得注意的是，上述結(jié)論是通過比較“期望總損失”而得出的.一般地，我們可以這樣來理解“期望總損失”：如果問題中的天氣狀況多次發(fā)生，那么采用方案2將會使總損失減到最小.不過，因為洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機的，所以對于個別的一次決策，采用方案2也不一定是最好的.【設計意圖】例4也是利用期望值決策的問題．在教學中，重點是使學生領悟利用期望值決策的思想方法，同時也要了解期望值決策的局限性．隨機變量的期望是一個理論上的均值，如果是大量重復地就同樣的問題進行決策，期望值原則是一個合理的決策原則．例如，保險公司面對眾多的客戶，每份保單需要理賠金額的期望值對制定合理的保險費率具有重要的參考意義．如果是一次性決策的話，可以采用期望值原則決策，也可以采用其他的決策原則．環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升1.本節(jié)課學習的概念有哪些？(1)離散型隨機變量的均值：期望的概念：E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn(2)離散型隨機變量的均值的性質(zhì)：期望的計算公式：E(aX+b)=aE(X)+b(3)兩點分布的均值：特殊隨機變量的均值(兩點分布的期望)：E(X)=p.2.求離散型隨機變量ξ的期望的基本步驟：(1)確定取值：理解X的實際意義，寫出X全部可能取值；(2)求概率：求出X取每個值時的概率；(3)寫分布列：寫出X的分布列(有時也可省略)；(