北京尚麗外國語學校2022-2023學年高二數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.棱長為a的正方體外接球的表面積為(

)．

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C略2.若a>0,b>0,且函數在x=1處有極值，則ab的最大值（

）A.2

B.3

C.6

D.9參考答案：D3.已知向量與向量平行,則x,y的值分別是

（

）

A.6和-10

B.–6和10

C.–6和-10

D.6和10參考答案：A略4.設函數f′（x）是函數f（x）（x∈R）的導函數，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，則4f（x）＞f′（x）（）A．（，+∞） B．（，+∞） C．（，+∞） D．（，+∞）參考答案：B【考點】6B：利用導數研究函數的單調性；63：導數的運算．【分析】容易求出f′（0）=6，結合條件便可得出函數f（x）的解析式，進而求出導函數，代入4f（x）＞f′（x），根據對數函數的單調性及對數的運算便可解出原方程．【解答】解：根據條件，3f（0）=3=f′（0）﹣3；∴f′（0）=6；∴f（x）=2e3x﹣1，f′（x）=6e3x；∴由4f（x）＞f′（x）得：4（2e3x﹣1）＞6e3x；整理得，e3x＞2；∴3x＞ln2；∴x＞；∴原不等式的解集為（，+∞）故選：B．【點評】本題考查導函數的概念，基本初等函數和復合函數的求導，對數的運算及對數函數的單調性，屬于中檔題5.設，則的大小關系是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B6.點分別是曲線和上的動點，則的最小值是(

)A．1

B.

2

C.

3

D.

4參考答案：A略7.在高20m的樓頂測得對面一塔頂的仰角為60°，塔基的俯角為45°，則這座塔的高度為()．a．m

b．mc．m

d．m參考答案：B如圖所示，則AE＝DE＝AB＝20m，∴CE＝AEtan60°＝m，∴CD＝CE+ED＝m.8.在橢圓中，短軸的兩個端點與一個焦點恰好構成正三角形，若短軸長為2，則兩準線間的距離為（）

參考答案：解析：由題設得a＝2b又b＝1，∴a＝2，∴兩準線間的距離∴應選A.9.若，則的單調遞增區間為（

）A． B． C．

D．參考答案：C10.設點在直線上，若，且恒成立，則的值A．2

B．4

C．6

D．8參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在三角形ABC中,有命題:①-=;②++=.③若(+

).(-

)=0,則三角形ABC為等腰三角形;④若.>0則三角形ABC為銳角三角形,上述命題正確的是

參考答案：23略12.函數在上的最小值為則的取值范圍為_____參考答案：略13.設，當時，恒成立，則實數的取值范圍為

。參考答案：(7,+∞)略14.甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件．則下列結論中正確的是（寫出所有正確結論的編號）．①P（B）=；②P（B|A1）=；③事件B與事件A1相互獨立；④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件；⑤P（B）的值不能確定，因為它與A1，A2，A3中究竟哪一個發生有關．參考答案：②④【考點】互斥事件的概率加法公式．【分析】由題意A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，由條件概率公式求出P（B|A1），P（B）=P（A1B）+P（A2B）+P（A3B），對照五個命題進行判斷找出正確命題，選出正確選項．【解答】解：由題意A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，P（A1）==，P（A2）==，P（A3）=；P（B|A1）===，由此知，②正確；P（B|A2）=，P（B|A3）=；而P（B）=P（A1B）+P（A2B）+P（A3B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）=×+×+×=．由此知①③⑤不正確；A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，由此知④正確；對照四個命題知②④正確；故正確的結論為：②④故答案為：②④15.已知三棱錐中，底面為邊長等于2的等邊三角形，垂直于底面，，D為的中點，那么直線BD與直線SC所成角的大小為_____________．參考答案：450略16.已知點，是坐標原點，點的坐標滿足，則的取值范圍是________.參考答案：略17.若體積為8的正方體的各個頂點均在一球面上，則該球的體積為．（結果保留π）參考答案：【考點】球內接多面體；球的體積和表面積．【分析】先求正方體的棱長，再求正方體的對角線，然后求出球的半徑，然后求出體積．【解答】解：球的內接正方體的對角線就是球的直徑，求出半徑可得體積．正方體的體積為8，則棱長為2，正方體的對角線為2，球的半徑為：球的體積：故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在如圖的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中點．(1)求證：BD⊥EG；(2)求二面角C－DF－E的余弦值．參考答案：.(1)證明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE.又AE⊥EB，∴EB，EF，EA兩兩垂直．

……（2分）以點E為坐標原點，EB，EF，EA分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．

…………（4分）由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)．∴＝(2,2,0)，＝(－2,2,2)．∴·＝－2×2＋2×2＝0.∴⊥.

…………（7分）(2)由已知得＝(2,0,0)是平面EFDA的一個法向量．設平面DCF的法向量為n＝(x，y，z)，∵＝(0，－1,2)，＝(2,1,0)，∴即令z＝1，得n＝(－1,2,1)．

………………（10分）設二面角C－DF－E的大小為θ，則cosθ＝cos〈n，〉＝－＝－.∴二面角C－DF－E的余弦值為－.

………………ks5u……（14分）略19.已知點C在圓上，A，B的坐標分別為(－1,0)，(1,0)，線段BC的垂直平分線交線段AC于點M.（1）求點M的軌跡E的方程；（2）設圓與點M的軌跡E交于不同的四個點D，E，F，G，求四邊形DEFG的面積的最大值及相應的四個點的坐標.

參考答案：解：（1）由已知得：，而，所以點的軌跡是以，為焦點，長軸長的橢圓，設，所以點的軌跡的方程：．………4分（2）由對稱性可知，四邊形為矩形，不妨設為橢圓上第一象限的點，則，而，，且，所以，當且僅當，即，時，取“”，所以矩形的面積的最大值為，此時，四個點的坐標為：，，，．………12分

20.(本小題滿分16分)在平面直角坐標系中，點與點關于原點對稱，是動點，且直線與的斜率之積等于．(Ⅰ)求動點的軌跡方程；(Ⅱ)設直線和分別與直線交與點，問：是否存在點使得與的面積相等？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．參考答案：（I）解：因為點B與A關于原點對稱，所以點得坐標為.

設點的坐標為，由題意得

化簡得

。故動點的軌跡方程為（II）解法一：設點的坐標為，點，得坐標分別為,.

則直線的方程為，直線的方程為令得，.于是得面積又直線的方程為，，點到直線的距離.于是的面積當時，得又，所以=，解得。因為，所以故存在點使得與的面積相等，此時點的坐標為.解法二：若存在點使得與的面積相等，設點的坐標為則.因為,所以所以即，解得，因為，所以故存在點S使得與的面積相等，此時點的坐標為.21.（12分）某地有兩所中學，為了檢驗兩校初中畢業生的語文水平，從甲、乙兩校九年級學生中各隨機抽取20%的學生（即占各自九年級學生總數的20%）進行語文測驗．甲校32人，有21人及格；乙校24人，有15人及格．（1）試根據以上數據完成下列2×2列聯表；

及格不及格合計甲

乙

合計

（2）判斷兩所中學初中畢業生的語文水平有無顯著差別？附：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.05k00.4550.7081.3232.0722.7063.841．參考答案：考點：獨立性檢驗．專題：應用題．分析：（1）由題意知按學生考試成績及格與不及格進行統計，甲班及格人數為21人，乙班及格人數為15，從而做出甲班不及格的人數和乙班不及格的人數，列出表格，填入數據．（2）根據所給的數據，代入求觀測值的公式，做出觀測值，把所得的數值同觀測值表中的數據進行比較，得到兩所中學初中畢業生的語文水平無顯著差別．解答：解：（1）

及格不及格合計甲211132乙15