PAGEPAGEPAGE25第十二章無窮級數無窮級數是數與函數的一種重要表達形式，也是微積分理論研究與實際應用中極其有力的工具.無窮級數在表達函數、研究函數的性質、計算函數值以及求解微分方程等方面都有著重要的應用.研究級數及其和，可以說是研究數列及其極限的另一種形式，但無論在研究極限的存在性還是在計算這種極限的時候，這種形式都顯示出很大的優越性.本章先討論數項級數，介紹無窮級數的一些基本內容，然后討論函數項級數，并著重討論如何將函數展開成冪級數與三角級數的問題.第一節常數項級數的概念和性質教學目的：1、理解無窮級數的概念；2、理解級數的收斂或發散的概念；3、掌握等比級數和級數等特殊級數的斂散性；4、了解無窮級數的基本性質。教學重點：級數收斂或發散的判定教學難點：級數收斂或發散的判定教學內容：常數項級數的概念定義1給定數列，則稱為常數項無窮級數，簡稱級數，記做，即式子中每一項都是常數，稱作常數項級數，第n項稱為級數的一般項（或通項）。級數的前n項和稱為級數的部分和，記做，即級數的所有前n項部分和構成一個數列，稱此數列為級數的部分和數列。定義2若級數的部分和數列收斂于，則稱級數收斂，或稱為收斂級數，稱為這個級數的和，記作而稱為級數的余項，顯然有若是發散數列，則稱級數發散，此時這個級數沒有和。例1試討論等比級數的收斂性.例2判定級數的收斂性.例3證明調和級數發散.二、常數項級數的性質性質1若級數收斂于和，又設為常數，則也收斂，且和為.性質2若級數，分別收斂于,，則級數也收斂，且其和為.性質2的結果表明：兩個收斂級數可以逐項相加或逐項相減.性質3在級數中去掉、增加或改變有限項，不會改變級數的斂散性.性質4收斂級數加括弧后所成的級數仍收斂，且其和不變.注意：若加括弧后所成的級數收斂，則不能斷定原來的級數也收斂.例如，收斂于零，但級數卻是發散的推論：若加括弧后所成的級數發散，則原來的級數也發散.性質5級數收斂的必要條件：若級數收斂，則.注意：級數的一般項趨于零，并不是級數收斂的充分條件.例題選講：例1寫出級數的一般項.例2已知級數的前項的部分和求這個級數.例3討論級數的收斂性.例4證明級數是發散的.例5討論等比級數(又稱為幾何級數)的收斂性.例6求級數的和.例7設級數收斂,發散,證明:級數發散.例8判別級數是否收斂.例9證明調和級數是發散的.小結：1、常數項級數的基本概念；2、基本審斂法（1）由定義，若，則級數收斂；（2）當，則級數發散；（3）按基本性質.作業：習題12-12（2）（3）、3(1)(3)

第二節正項級數斂散性判別法教學目的：1、掌握正項級數比較判別法及其應用；2、掌握正項級數比值判別法及其應用；3、掌握正項級數根值判別法及其應用教學重點：正項級數斂散性的各種判定方法教學難點：正項級數斂散性的各種判定方法教學內容：各項都是非負數的級數，稱為正項級數.設級數是一個正項級數，它的部分和為，顯然，數列滿足即是單調增加的數列.而單調增加的數列收斂的充要條件是該數列有上界，于是有下列定理.定理1正項級數收斂的充要條件是：它的部分和數列有界.定理2比較判別法設和都是正項級數，且存在自然數和正常數,當時，有，則（1）若級數收斂，則級數也收斂；（2）若級數發散，則級數也發散。推論設和都是正項級數，且則（1）若，則級數與同時收斂或同時發散；（2）若，則當收斂時，收斂；（3）若，則當發散時，發散.例1討論級數的斂散性，其中為常數.例2判別下列正項級數的斂散性：（1）；（2）.定理3比值判別法（達朗貝爾判別法）適合與有公因式且則（1）當時，級數收斂；（2）當或時，級數發散；（3）當時級數可能收斂，也可能發散.例3判斷下列正項級數的斂散性.（1）；（2）；（3）定理4根值判別法（柯西判別法）適合中含有表達式的次冪，且則（1）當時，級數收斂；（2）當或時，級數發散；（3）當時級數可能收斂，也可能發散.例4判斷下列正項級數的斂散性.（1）；（2）；（3）定理5積分判別法對于正項級數，如果可看作由一個在上單調減少函數所產生,即有則可用積分判別法來判定正項級數的斂散性.例題選講：例1討論—級數的收斂性.例2證明級數是發散的.例3判別級數的收斂性.例4設，證明級數收斂.例5判別級數的斂散性.例6判別級數的斂散性.例7判別級數的斂散性.例8判別下列級數的收斂性：(1)；(2).(3)例9判別級數的散斂性.例10判別級數的收斂性.例11判別級數的散斂性.例12判別級數的收斂性：例13判別級數的收斂性.例14試確定級數的斂散性.小結：1、正項級數收斂的充要條件收斂有界；2、比較判別法：和3、比值審斂法：4、根值審斂法：作業：習題12-21（1）（2）（3）、2(1)(3)、3（1）（3）

第三節任意項級數斂散性判別法教學目的：1、掌握交錯級數收斂性判別法及其應用；2、掌握絕對級數與條件收斂的判定教學重點：交錯級數收斂性、絕對級數與條件收斂教學難點：交錯級數收斂性、絕對級數與條件收斂教學內容：一、交錯級數收斂性的判別法定義1如果一級數各項的符號是正、負交錯的，即或其中，則稱此級數為交錯級數.定理1（萊布尼茨（Leibniz）判別法）如果交錯級數滿足條件：（1）（2）則級數收斂，且其和，其余項的絕對值例1判別下列交錯級數的收斂性.；（2）二、絕對收斂與條件級數如果收斂，則稱為絕對收斂；根據這個結果，我們可以將許多一般常數項級數的收斂性判別問題轉化為正項級數的收斂性判別問題；條件收斂：如果發散，但收斂，則稱條件收斂.例題選講：例1判斷級數的收斂性.例2判斷的收斂性.例3判別級數的收斂性.例4判別級數的收斂性.例5判定級數的收斂性.例6判別級數的收斂性.例7判別級數的收斂性.小結：1、萊布尼茨（Leibniz）判別法；2、絕對收斂和條件收斂作業：習題12-31（1）（3）（5）

第四節冪級數教學目的：1、理解函數項級數的概念；2、掌握冪級數收斂的判定；3、了解冪級數的和函數的性質；4、掌握冪級數的運算教學重點：冪級數收斂的判定、冪級數的運算教學難點：冪級數收斂的判定、冪級數的運算教學內容：一、函數項級數的基本概念定義設為定義在數集上的一個函數序列，則由此函數列構成的表達式稱為定義在數集上的（函數項）無窮級數，簡稱（函數項）級數.函數項級數在某區域的收斂性問題，是指函數項級數在該區域內任意一點的收斂性問題，而函數項級數在某點的收斂問題，實質上是常數項級數的收斂問題.這樣，我們仍可利用常數項級數的收斂性判別法來判斷函數項級數的收斂性.二、冪級數及其收斂性形如的級數，稱為冪級數.定理1阿貝爾定理若冪級數在處收斂，則對滿足的一切，該級數絕對收斂；反之，若冪級數在處發散，則對滿足的一切，該級數也發散.根據冪級數的系數的形式，當冪級數的各項是依冪次連續的時候，可用對其系數應用比值判別法或根值判別法直接求出收斂半徑，即有或；如果冪級數有缺項，如缺少奇數次冪的項等，則應將冪級數視為函數項級數并利用比值判別法或根值判別法其收斂域；求冪級數收斂域的基本步驟：（1）求出收斂半徑R.；（2）判別常數項級數的收斂性；（3）寫出冪級數的收斂域.三、冪級數的和函數的性質定理3設冪級數的收斂域為，則其和函數在區間上連續.定理4設冪級數在收斂區間上的和函數為，若為內任意一點，則（1）在可導，且；（2）在0與構成的區間上可積，且四、冪級數的運算加、減、乘、除；和函數的連續性；逐項求導公式；逐項積分公式；例題選講：例1求級數的收斂域.例2確定級數的收斂域.例3求級數的收斂域.例4求下列冪級數的收斂域例5求冪級數的收斂域.例6求函數項級數的收斂域.例7求冪級數的收斂域.例8求冪級數的和函數.例9求冪級數的和函數.例10求級數的和.例11求冪級數的和.小結：求冪級數收斂域的方法；（1）對標準型冪級數，先求收斂半徑,再討論端點的收斂性.（2）對非標準型冪級數(缺項或通項為復合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,也可通過換元化為標準型再求.2、冪級數的性質；3、冪級數的運算作業：習題12-41（1）、2（1）（3）第五節函數展開成冪級數前面幾節我們討論了冪級數的收斂域以及冪級數在收斂域上的和函數.現在我們要考慮相反的問題，即對給定的函數，要確定它能否在某一區間上“表示成冪級數”，或者說，能否找到這樣冪級數，它在某一區間內收斂，且其和恰好等于給定的函數.如果能找到這樣的冪級數，我們就稱函數在該區間內能展開成冪級數,而這個冪級數在該區間內就表達了函數內容分布圖示★引言 ★泰勒級數的概念★麥克勞林級數★麥克勞林展開式★函數展開成冪級數—直接法★例1 ★例2 ★例3★例4 ★例5★常用麥克勞林展開式★函數展開成冪級數—間接法★例6 ★例7 ★例8★例9 ★例10 ★例11★例12 ★例13★內容小結 ★課堂練習★習題11—5 ★返回內容要點：一、泰勒級數的概念：函數的泰勒展開式；函數的麥克勞林展開式；如果函數能在某個區間內展開成冪級數，則它必定在這個區間內的每一點處具有任意階的導數.即，沒有任意階導數的函數是不可能展開成冪級數的.可證明，如果能展開成的冪級數，則這種展開式是唯一的，它一定等于的麥克勞林級數.二、函數展開成冪級數的方法：直接法：直接將函數展成泰勒級數；間接法：利用已知的函數展開式（七個基本函數的麥克勞林展開式），通過線性運算法則、變量代換、恒等變形、逐項求導或逐項積分等方法間接地求得冪級數的展開式.這種方法我們稱為函數展開成冪級數的間接法.例題選講：利用直接法將函數展開成冪級數：例1（講義例1）將函數展開成冪級數.例2（講義例2）將函數展成x的冪級數.例3（講義例3）將函數展成x的冪級數.例4（講義例4）將函數展成x的冪級數.例5（講義例5）將函數展開成x的冪級數.例6將函數展開成的冪級數.利用間接法將函數展開成冪級數：例7（講義例6）將函數展開成x的冪級數.例8（講義例7）將函數展開成x的冪級數.例9（講義例8）將函數展開成x的冪級數.例10將函數展開成的冪級數.例11將函數展開成的冪級數.例12（講義例9）將函數展開成的冪級數.例13（講義例10）將展開成的冪級數,并求課堂練習1.將函數展開成x的冪級數.2.將函數展開成x的冪級數.3.設函數,求.第六節冪級數的應用內容分布圖示★函數值的近似計算 ★例1 ★例2★計算定積分 ★例3 ★例4★求常數項級數的和★例5 ★例6★歐拉公式★內容小結 ★課堂練習★習題11-6★返回內容要點：一、函數值的近似計算：級數的主要應用之一是利用它來進行數值計算.在函數的冪級數展開式中，取前面有限項，就可得到函數的近似公式，這對于計算復雜函數的函數值是非常方便的，可以把函數近似表為的多項式，而多項式的計算只需用到四則運算，非常簡便.二、計算定積分：許多函數,如等，其原函數不能用初等函數表示，但若被積函數在積分區間上能展開成冪級數，則可通過冪級數展開式的逐項積分，用積分后的級數近似計算所給定積分.三、求常數項級數的和：在本章的前三節中，我們已經熟悉了常數項級數的求和的幾種常用方法，包括利用定義和已知公式直接求和、對所給數拆項重新組合后再求和、利用推導得到的遞推公式求和等方法.這里，我們再介紹一種借助冪級數的和函數來求常數項級數的和的方法，即所謂的阿貝爾方法，其基本步驟如下：（1）對所給數項級數構造冪級數；（2）利用冪級數的運算性質，求出的和函數；（3）所求數項級數三、歐拉公式例題選講：函數值的近似計算例1（講義例1）利用求的近似值，并估計誤差.例2（講義例2）計算的近似值,要求誤差不超過0.0001.例3計算的近似值，精確到10.例4（講義例4）計算定積分的近似值，要求誤差不超過0.0001（取）.求常數項級數的和例5（講義例5）求級數的和.例6（講義例6）求級數的和.計算定積分例3（講義例3）求不定積分.課堂練習1.計算e的近似值,使其誤差不超過2.利用冪級數展開式,求極限3.求常數項級數的和.歐拉(Euler，1707~1783)歐拉，瑞士數學家及自然科學家。在1707年4月15日出生於瑞士的巴塞爾，1783年9月18日於俄國的彼得堡去逝。歐拉出生於牧師家庭，自幼已受到父親的教育。13歲時入讀巴塞爾大學，15歲大學畢業，16歲獲得碩士學位。歐拉的父親希望他學習神學，但他最感興趣是是數學。在上大學時，他已受到約翰第一。伯努利的特別指導，專心研究數學，直到18歲，他徹底的放棄當牧師的想法而專攻數學，於19歲時(1726年)開始創作文章,并獲得巴黎科學院獎金.1727年,在丹尼爾.伯努利的推薦下,到俄國的彼得堡科學院從事研究工作.并在1731年接替丹尼爾第一.伯努利,成為物理學教授.在俄國的14年中,他努力不懈地投入研究,在分析學、數論及力學方面均有出色的表現。此外，歐拉還應俄國政府的要求，解決了不少如地圖學、造船業等的實際問題。1735年，他因工作過度以致右眼失明。在1741年，他受到普獸士腓特烈大帝的邀請到德國科學院擔任物理數學所所長一職。他在柏林斯間，大大的擴展了研究的內容，如行星運動、剛體運動、熱力學、彈道學、人口學等，這些工作與他的數學研究互相推動著。與此同時，他在微分方程、曲面微分幾何及其他數學領域均有開創性的發現。1766年，他應俄國沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡。在1771年，一場重病使他的左眼亦完全失明。但以其驚人的記憶力和心算技巧繼續從事科學創作。他通過與助手們的討論以及直接口授等方式完成了大量的科學著作，直至生命的最后一刻。歐拉是18世記數學界最杰出的人物之一，他不但為數學界作出貢獻，更把數學推至幾乎整個物理的領域。此外，他是數學史上最多產的數學家，寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法的課本，《無窮小分析引論》（1748），《微分學原理》（1755），以及《積分學原理》（1768-1770）都成為數學中的經典著作。歐拉最大的功績是擴展了微積分的領域，為微分幾何及分析學的一些重要分支（如無窮級數、微分方程等）的產生與發展奠定了基礎。歐拉把無窮級數由一般的運算工具轉變為一個重要的研究科目。他計算出函數在偶數點的值：他證明了a2k是有理數，而且可以伯努利數來表示。此外，他對調和級數亦有所研究，并相當精確的計算出歐拉常數的值，其值近似為0。57721566490153286060651209…在18世紀中葉，歐拉和其他數學家在解決物理方面的問題過程中，創立了微分方程學。當中，在常微分方程方面，他完整地解決了n階常系數為線性齊次方程的問題，對於非齊次方程，他提出了一種降低方程階的解法；而在偏微分方程方面，歐拉將二維物體振動的問題，歸結出一、二、三維波動方程的解法。歐拉所寫的《方程的積分法研究》更是偏微分方程在純數學研究中的第一篇論文。在微分幾何方面（微分幾何是研究曲線、曲面逐點變化性質的數學分支），歐拉引入了空間曲線的參數方程，給出了空間曲線曲率半徑的解析表達方式。在1766年，他出版了《關于曲面上曲線的研究》，這是歐拉對微分幾何最重要的貢獻，更是微分幾何發展史上一個里程碑。他將曲面表為并引入一系列標準符號以表示z對x,y和偏導數，這些符號至今仍通用。此外，在該著作中，他亦得到了曲面在任意截面上截線的曲率公式。歐拉在分析學上的貢獻不勝牧舉，如他引入了G函數和B函數，這證明了橢圓積分的加法定理，以及最早引入二重積分等等。在代數學方面，他發現了每個實系數多項式必分解為一次或二次因子之積，即a+bi的形式。歐拉還給出了費馬小定理的三個證明，并引入了數論中重要的歐拉函數，他研究數論的一系列成果奠定了數論成為數學中的一個獨立分支。歐拉又用解析方法討論數論問題，發現了函數所滿足的函數方程，并引入歐拉乘積。而且還解決了著名的柯尼斯堡七橋問題。歐拉對數學的研究如此廣泛，因此在許多數學的分支中也可經常見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理。第七節函數項級數的一致收斂性內容分布圖示★引例(講義例1)★一致收斂的概念 ★例2 ★例3一致收斂級數的基本性質★定理1 ★定理2 ★定理3冪級數的一致收斂性★定理5 ★定理6★內容小結 ★課堂練習★習題11—7 ★返回講解注意：一、一致收斂的概念：函數項級數在收斂域上收斂于和，指的是它在上的每一點都收斂，即對任意給定的及收斂域上的每一點，總相應地存在自然數，使得當時，恒有.一般來說，這里的不僅與有關，而且與也有關.如果對某個函數項級數能夠找到這樣的一個只與有關而不依賴于的自然數，則當時，不等式對于區間上每一點都成立，這類函數項級數就是所謂的一致收斂的級數.定義1設函數項級數在區間上收斂于和函數,如果對任意給定的，都存在著一個與無關的自然數N,使得當時,對區間I上的一切x恒有，則稱該函數項級數在區間I上一致收斂于和，此時也稱函數序列在區間I上一致收斂于.二、定理1（魏爾斯特拉斯判別法）如果函數項級數在區間I上滿足條件：（1）（2）正項級數收斂.則該函數項級數在區間I上一致收斂.三、一致收斂級數的基本性質定理2如果級數的各項在區間上都連續，且級數在區間上一致收斂于則在上也連續.定理3設在上連續，且級數在區間上一致收斂于，則存在，且級數在上可以逐項積分，即(7.2)其中且上式右端的級數在上也一致收斂.定理4如果級數在區間上收斂于和,它的各項都有連續導數，并且級數在上一致收斂，則級數在上也一致收斂，且可逐項求導，即有(7.3)四、冪級數的一致收斂性定理5如果冪級數的收斂半徑為則此級數在內的任一閉區間上一致收斂.定理6如果冪級數的收斂半徑為則其和函數在內可導，且有逐項求導公式逐項求導后所得到的冪級數與原級數有相同的收斂半徑.例題選講：一致收斂的概念例1（講義例1）考察函數項級數的和函數的連續性.本例表明，即使函數項級數的每一項都在[a,b]上連續，并且級數在[a,b]上收斂，但其和函數卻不一定在[a,b]上連續；同樣也可舉例說明，函數項級數的每一項的導數及積分所成的級數的和也不一定等于它們的和函數的導數及積分.那么在什么條件下，我們才能夠從級數每一項的連續性得出它的和函數的連續性，從級數的每一項的導數及積分所成的級數之和得出原級數的和函數的導數及積分呢?要回答這個問題，就需要引入函數項級數的一致收斂性概念.例2（講義例2）研究級數在區間上的一致收斂性.例3（講義例3）研究級數在區間[0,1]上的一致收斂性.例4（講義例4）證明級數在上一致收斂.例5（講義例5）判別級數在上一致收斂.課堂練習1.研究級數在區間上的一致收斂性.魏爾斯特拉斯（Weierstrass,KarlWilhelm，1815~1897)魏爾斯特拉斯德國數學家，1815年10月31日生于德國威斯特伐利亞地區的奧斯登費爾特；1897年2月19日卒于柏林。魏爾斯特拉斯的父親威廉是一名政府官員，受過高等教育，頗具才智，但對子女相當專橫。魏爾斯特拉斯11歲時喪母，翌年其父再婚。他有一弟二妹；兩位妹妹終身未身未嫁，后來一直在生活上照料終身未娶的魏爾斯特拉斯。威廉要孩子長大后進入普魯士高等文官階層，因而于1834年8月把魏爾斯特拉斯送往波恩大學攻讀財務與管理，使其學到充分的法律、經濟和管理知識，為謀得政府高級職位創造條件。魏爾斯特拉斯不喜歡父親所選專業，立志終身研究數學，并令人驚訝地放棄成為法學博士候選人，因此在離開波恩大學時，他沒有取得學位。在父親的一位朋友的建議下，他被送到一所神學哲學院，然后參加中學教師資格國家考試，考試通過后在中學任教，此期間，他寫了4篇直到他的全集刊印時才問世的論文，這些論文已顯示了他建立函數論的基本思想和結構。1853年夏他在父親家中度假，研究阿貝爾和雅可比留下的難題，精心寫作關于阿貝爾函數的論文。這就是1854年發表于《克雷爾雜志》上的“阿貝爾函數論”。這篇出自一個名不見經傳的中學教師的杰作，引起數學界矚目。1855年秋，魏爾期特拉斯被提升為高級教師并享受一年研究假期。1856年6月14日，柏林皇家綜合科學校任命他為數學教授；在E.E.庫默爾的推薦下，柏林大學聘任他為副教授，他接受了聘書。11月19日，他當選為柏林科學院院士。1864年成為柏林大學教授。在柏林大學就任后，魏爾斯特拉斯即著手系統建立數學分析基礎，并進一步研究橢圓函數論與阿貝爾函數論。這些工作主要是通過他在該校講授的大量課程完成的。幾年后他就名聞名遐邇，成為德國以至全歐洲知名度最高的數學教授。1873年他出任柏林大學校長，從此成為大忙人。除教學外，公務幾乎占去了他全部時間，使他疲乏不堪。緊張的工作影響了他的健康，但其智力未見衰退。他的70年誕慶典規模頗大，遍布全歐各地的學生趕來向他致敬。10年后80大壽慶典更加降重，在某種程度上他簡直被看作德意志的民族英雄。1897年初，他染上流行性感冒，后轉為肺炎，終至不治，于2月19日溘然上逝，享年82歲。除柏林科學院外，魏爾斯特拉斯還是格丁根皇家科學學會會員（1856）、巴黎科學院院士（1868）、英國皇家學會會員（1881）。魏爾斯特拉斯是數學分析算術化的完成者、解析函數論的奠基人，無與倫比的大學數學教師。第八節傅里葉級數內容分布圖示★引言 ★引例★三角函數系的正交性★傅里葉級數的概念 ★狄利克雷收斂定理★例1 ★例2 ★例3★非周期函數的周期延拓 ★例4★利用傅氏展開式求數項級數的和★正弦級數與余弦級數★例5 ★例6★函數的奇延拓與偶延拓★例7 ★例8★內容小結 ★課堂練習★習題11-8 ★返回講解注意：一、三角級數三角函數系的正交性早在18世紀中葉，丹尼爾.伯努利在解決弦振動問題時就提出了這樣的見解：任何復雜的振動都可以分解成一系列諧振動之和.這一事實用數學語言來描述即為：在一定的條件下，任何周期為的函數，都可用一系列以為周期的正弦函數所組成的級數來表示，即(8.1)其中都是常數.十九世紀初，法國數學家傅里葉曾大膽地斷言：“任意”函數都可以展成三角級數.雖然他沒有給出明確的條件和嚴格的證明，但是畢竟由此開創了“傅里葉分析”這一重要的數學分支，拓廣了傳統的函數概念.傅里葉的工作被認為是十九世紀科學邁出的極為重要的第一個大步，它對數學的發展產生的影響是他本人及同時代的其他人都難以預料的.而且，這種影響至今還在發展之中.這里所介紹的知識主要是由傅里葉以及與他同時代的德國數學家狄利克雷等人的研究結果.二、函數展開成傅里葉級數傅里葉系數(8.5)將這些系數代入(8.4)式的右端，所得的三角級數(8.6)稱為函數的傅里葉級數.定理1（收斂定理，狄利克雷充分條件）設是周期為的周期函數.如果滿足在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點，并且至多只有有限個極值點.則的傅里葉級數收斂，并且(1)當x是的連續點時,級數收斂于；(2)當x是的間斷點時,收斂于.狄利克雷收斂定理告訴我們：只要函數在區間上至多只有有限個的第一類間斷點，并且不作無限次振動，則函數的傅里葉級數在函數的連續點處收斂于到該點的函數值，在函數的間斷點處收斂于該點處的函數的左極限與右極限的算術平均值.由此可見，函數展開成傅里葉級數的條件要比函數展開成冪級數的條件低得多.三、周期延拓：在區間或外補充的定義，使它拓廣成一個周期為的周期函數，這種拓廣函數定義域的方法稱為周期延拓.四、正弦級數與余弦級數：一般地,一個函數的傅里葉級數既含有正弦項,又含有余弦項（例2），但是,也有一些函數的傅里葉級數只含有正弦項（例1）或者只含有常數項和余弦項（例4），導致這種現象的原因與所給函數的奇偶性有關。即：奇函數的傅里葉級數是只含有正弦項的正弦級數.偶函數的傅里葉級數是只含有余弦項的余弦級數.五、奇延拓與偶延拓奇延拓令則是定義在上的奇函數，將在上展開成傅里葉級數，所得級數必是正弦級數.再限制在上，就得到的正弦級數展開式.偶延拓令則是定義在上的偶函數，將在上展開成傅里葉級數，所得級數必是余弦級數.再限制在上，就得到的余弦級數展開式.例題選講：函數展開成傅里葉級數例1（講義例1）將以為周期的函數展開成傅里葉級數.注：如果將本例中的函數理解為矩形波的波形函數，則的展開式表明：矩形波是由一系列不同頻率的正弦波的疊加而成的.例2（講義例2）設是周期為的周期函數，它在上的表達式為試將函數展開成傅立葉級數.例3（講義例3）設是周期為為周期函數，它在的表達式為試寫出的傅立葉級數展開式在區間上的和函數的表達式.周期延拓例4（講義例4）將函數展開成傅里葉級數.正弦級數與余弦級數例5（講義例5）試將函數展開成傅里葉級數.例6（講義例6）將函數展開成傅里葉級數.奇延拓與偶延拓例7（講義例7）將函數分別展開成正弦級數和余弦級數.例8（講義例8）應當如何把給定在區間內滿足狄利克雷收斂定理且連續的函數延拓到區間內,而使它的傅里葉級數展開式為，課堂練習1.若函數問:與的傅里葉系數、與之間有何關系？2.設函數而傅里葉級數為其中為此傅里葉級數的和，求狄利克雷（Dirichlet,PeterGustavLejeune，1805~1859）狄利克雷(德國數學家，1805年2月13日生于德國迪倫；1859年5月5日卒于格丁根。狄利克雷生活的時代，德國的數學正經歷著以C.F.高斯（Gauss）為前導的、由落后逐漸轉為興旺發達的時期。狄利克雷以其出色的數學教學才能，以及在數論、分析和數學物理等領域的杰出成果，成為高斯之后與C.G.J.雅強比(Jacobi)齊名的德國數學界的一位核心人物。狄利克雷出身于行政官員家庭，他父親是一名郵政局長。狄利克雷少年時即表現出對數學的濃厚興趣，據說他在12歲前就自攢零錢購買數學圖書。1817年入波恩的一所中學，除數學外，他對近代史有特殊愛好；人們稱道他是個能專心致志又品行優良的學生。兩年后，他遵照父母的意愿轉學到科隆的一所教會學校，在那里曾從師物理學家G.歐姆(Ohm)，學到了必要的物理學基礎知識。16歲通過中學畢業考試后，父母希望他攻讀法律，但狄利克雷已選定數學為其終身職業。當時的德國數學界，除高斯一人名噪歐洲外，普遍水平較低；又因高斯不喜好教學，于是狄利克雷決定到數學中心巴黎上大學，那里有一批燦如時星的數學家，諸如P.S.拉普拉斯、A.勒讓德等。1822年5月，狄利克雷到達巴黎，選定在法蘭西學院和巴黎理學院攻讀。1825年，狄利克雷向法國科學院提交他的第一篇數學論文，題為“某些五次不定方程的不可解”。他利用代數數論方法討論形如的方程。幾周后，勒讓德利用該文中的方法證明了當時無整數解；狄利克雷本人不久也獨立證明了同一結論。1825年11月，法伊將軍去。1826年，狄利克雷在為振興德國自然科學研究而奔走的A.洪堡的影響下，返回德國，在布雷斯勞大學獲講師資格，后升任編外教授（介于正式教授和講師之間的職稱）。1828年，狄利克雷又經洪堡的幫助來到學術空氣較濃厚的柏林，任教于柏林軍事學院。同年，他又被聘為柏林大學編外教授（后升為正式教授），開始了他在柏林長達27年的教學與研究生涯。由于他講課清晰，思想深邃，為人謙遜，諄諄善誘，培養了一批優秀數學家，對德國在19世紀后期成為國際上又一個數學中心產生了巨大影響。1831年，狄利克雷成為柏林科學院院士。1855年高斯去世，狄利克雷被選定作為高斯的繼續任到格丁根大學任教。與在柏林繁重的教學任務相比，他很欣賞在格丁根有更多自由支配的時間從事研究。可惜美景不長，1858年夏他去世瑞士蒙特勒開會，作紀念高斯的演講，在那里突發心臟病。狄利克雷雖平安返回了格丁根，但在病中遭夫人中風身亡的打擊，病情加重，于1859年春與世長辭。傅里葉（Fourier,JeanBaptisteJoseph，1768~1830）傅里葉，法國數學家，1768的3月21日生于法國奧塞爾；1830年5月16日卒于巴黎。傅里葉出身平民，父親是位裁縫。9歲時雙親亡故，以后由教會送入鎮上的軍校就讀，表現出對數學的特殊愛好。他還有志于參加炮兵或工程兵，但因家庭地位低貧而遭拒絕。后來希望到巴黎在更優越的環境下追求他有興趣的研究。可是法國大革命中斷了他的計劃，于1789年回到家鄉奧塞爾的母校執教。在大革命時期，傅里葉以熱心地方事務而知名，并因替當時恐怖行為的受害者申辯而被捕入獄。出獄后，他曾就讀于巴黎師范學校，雖為期甚短，其數學才華卻給人以深刻印象。1795年，當巴黎綜合工科學校成立時，即被任命為助教。這一年他還諷刺地被當作羅伯斯庇爾的支持者而被捕，經同事營救獲釋。1989年，蒙日選派他跟隨破侖遠征埃及。在開羅，他擔任埃及研究院的秘書，并從事許多外交活動。但同時他仍不斷地進行個人的業余研究，即數學物理方面的研究。1801年回到法國后，傅里葉希望繼續執教于巴黎綜合工科學術，但因拿侖常識他的行政才能，任命他為伊澤爾地區首府格勒諾布爾的高級官員。由于正聲卓著，1808年