蘇教版(2019)必修一第五章指數概念與性質單元測試卷

學校：姓名：班級：考號：

一、選擇題

1、已知函數"X)=白?,則/(In(Ig2))+/(In(Iog210))=()

A.lB.lC.2D.4

2

2、已知函數/(x)=x(X-α)+h,若函數y=∕(x+l)為偶函數，且/⑴=0,則〃的值

為()

A.-2B.-lC.lD.2

3、已知函數/(x)與g(x)是定義在｛xeR∣x≠0｝上的奇函數，且

xf(X)+g(x)=l-x2+bsin2x,若/(g)+g(：)=∣?,則力=()

A.lB.2C.3D.4

4、已知函數/(X)=1-。0-1)2-(2。+1口在(1,2)上單調，則實數α的取值范圍為()

,zc—1c^—1.C-Iε^-1、

A.(-∞,一一—)1z(-―,+∞)B.(-∞,--—1r——>+∞)

2424

e—1ɑ?—1e—1—1

C.(-∞,^~?)1(--->+∞)D,(-∞,-^―![---,+∞)

5、定義在(0,+∞)的函數y=∕(χ)滿足：對％,Λ2∈(O,+∞),且

X,≠?,>°成立,且/(3)=9,則不等式/(x)>3x的解集為()

A.(9,+∞)B.(0,9)C.(0,3)D.(3,+∞)

6、若函數y=5∕-40r+9在[-3,+∞)上是增函數，則實數α的取值范圍是()

A.a≥—B.iz≤——C.a≤---D.cι≤一3

1522

7、函數/(X)=j3+2x—*的單調遞增區間是()

A.(-∞,l]B.[l,+∞)C.[l,3]D.[-l,l]

8、函數y=∕(x)對任意XeR都有"x+2)=∕(T)成立，且函數y=∕(xT)的圖象

關于點(1,0)對稱，/⑴=4,則/(2020)+/(2021)+/(2022)=()

A.lB.2C.3D.4

9、下列函數既是奇函數又在定義域上為增函數的是（）

A.y=y[xB.y=——C.?=tanxD.y=x3

x

10、設/(x)為定義R上奇函數，當x≥0時，/(x)=2A+2X+∕7S為常數)，則

/(-1)=()

A.3B.-?C.-lD.-3

2

二、填空題

11、寫出一個定義域不是R,但值域是R的奇函數/(X)=.

12、已知定義在R上的奇函數/(x)滿足/(x+l)=∕(l-x),且當T≤x<0時，

f(x)=log2(-3x+l),貝I/(2019)=.

13、已知/(x)是定義域為R的奇函數，且對任意的X滿足/(x+2)=∕(x),若

0<x<l時，有/(χ)=4'+3,則/(3.5)=.

14、若函數/(x)=Iog4(4'+l)-丘為偶函數，則Z=.

15、已知/(x)是奇函數，且當無<0時，/。)=一6'".若/(1112)=8,則α=.

16、若定義在R上的偶函數/(x)在區間[O,-)上單調遞增，且/(3)=0,則滿足

J√,(X-2)≤0的X的取值范圍為.

三、解答題

17、已知函數/(x)=f,a,匕均為正數.

2x

(1)若a+b=2,求證：f(d)+f(b)≥3;

(2)若/(-“)=/(〃)，求α+6的最小值.

18、已知函數/(x)=Or-XInX,aeK.

(1)討論/(x)的單調性：

(2)當4=1時，證明：f(x)<x2+~.

4

19、已知函數/(χ)=(4-1)2*+2t(?∈R).

⑴若函數f(x)是定義在R上的奇函數，求k的值；

⑵當一l≤x≤l時，"x)≥4,求實數k的取值范圍.

20、已知函數AX)=土士■是定義域上的奇函數，且/(T)=-2?

ax+b

⑴求函數/(x)的解析式，判斷函數/(x)在(0,1)上的單調性并證明;

(2)令〃(X)=X2+4■-2"(x)Q<0),若對任意XPΛ,∈[1,2]都有|/?(與)-/Z(X7)∣≤",求實數Z的取值

XT24

范圍.

參考答案

1、答案：C

解析：對任意的

2222?2*22?2jc

XKLv)2x+l2^x+l2t+l2'(2^Λ'+1)2r+l2Λ+1

1(1A

log210=豆，貝Uln(log?10)=In=-ln(lg2),

因此/(In(Ig2))+/(In(Iog/0))=/(In(Ig2))+∕(-ln(lg2))=2?

故選:C.

2、答案：C

解析：由/(x+l)=(x+l)(x+l—a)+/?=/+(2—Q)X+1—。+〃為偶函數，得〃=2.又

/(l)=-l÷?=0,所以匕=1.故選C.

3、答案：A

解析：因為/(x)與g(x)都是定義在｛x∈R∣x≠0｝上的奇函數，且

xf(x)+g(x)=l-x2+Ain2x，所以-jζf(-x)+g(r)=xf(x)-g(x)=l-x2-Z?sin2x，得

IIJr1TT5

/(X)=——x(x≠0),g(x)=8sin2x(xHθ),由∕(-)+g(-)=(2——)+bsin-=—，解得

X24222

Z?=l.

4、答案：D

解析:依題意,∕,(x)=ex-2a(x-1)-(2a+1).?∕,(x)≥O?(1,2),則

H≥2α.令g(x)=",故g<χ)"xe'U'+l=(九-I)：'+1〉。,故函數g(χ)在(1,2)

XXXX

P—1AΛ—1e?—1

上單調遞增，故JNα;若r(x)≤O在(1,2)上恒成立，則~≤2α,則一

2X4

A—1A^—1

故實數a的取值范圍為(fo,故選D.

24

5、答案：D

解析:由WG)TJ(X2)>0J[?χ1,χ2∈(0,+∞),

王一w

/(XJ/⑸

則兩邊同時除以X/2可得%Z〉0，

X1-X2

令g(χ)=迫,則g(χ)=迫在(0,+∞)單調遞增,

XX

由"x)>3x得>3且g(3)=孚=3,

X?

即g(x)>g(3)解得x>3,

故選:D.

6、答案：C

解析：因為函數y=5χ2-40r+9在［-3,+∞)上是增函數，所以∣α≤-3,解得

a<,故選：C.

2

7、答案：D

解析：函數/(χ)=j3+2x->2的定義域需要滿足3+2x-χ2zθ,解得/(χ)定義域為

［T3］，

因為y=3+2x-f在［-1,1］上單調遞增，所以/(x)=J3+2x—/在［—1,1］上單調遞增,

故選：D.

8,答案：D

解析：因為函數y=∕(x-l)y=f(x-l)的圖象關于點(1,0)對稱，

所以函數y=/(x)的圖象關于原點對稱，即函數/(x)是R上的奇函數，

因為/(%+2)=-/(力嶇+2)=-嶇),所以“x+4)=-∕(x+2)=∕(x),故/(x)的周

期為4.所以,f(2()21)=〃5()5x4+l)=/(l)=4f(2021)=f(505×4+1)=f(l)=4,

所以f(2020)+f(2022)=f(2020)+f(2020)+f(2022)=f(2020)+f(2020+2)

=/(2020)+/(-2020)=/(2020)-∕(2020)=0

所以“2020)+/(2021)+/(2022)=4f(2020)+f(2021)+f(2022)=4.故選D.

9、答案：D

解析：

10、答案：D

解析：由于/(x)為定義域R上奇函數，所以/(O)=Onl+人=Onb=-1,

所以當x≥0時，/(x)=2*+2x-l,

因此/(_1)=_/(1)=_(2+2_1)=_3,

故選：D

11、答案：tanx

解析:略

12、答案：2

解析：/(x)是R上的奇函數，.?./(-x)=-∕(x),

又；f(x+1)=/(l-x),：.f(2+x)=f(-x)=-/(x),

.?.∕(x+4)=-∕(χ+2)=∕(x),所以/(x)是周期函數，且周期為4,

.?.∕(2O19)=/(3)=/(-1)=log2[-3×(-l)+l]=Iog24=2.

故答案為：2.

13、答案：-5

解析：因為/(x+2)=√(x),/(x)是定義域為R的奇函數，

所以"3?5)=∕(√)?5)=-”0.5)

因為當0<x<l時，有/(χ)=4,+3,所以〃0.5)=4°$+3=5

所以/(3.5)=—5

故答案為：-5

14、答案：k=—

2

解析：因為/(X)=IogJd'+1)-依，定義域XeR,

又f(,-x)-Iog4(4T+1)+AX=Iog4(4*+1)-x+Ax,

由/(x)=∕(-x),貝IJ-AX=-x+Ax對任意x∈R都成立，

故一上=—1+左，解得&=’■,

2

故答案為：?.

15、答案：-3

解析：設x>(),則一x<0,所以/(-x)=-e”.因為函數/(X)為奇函數，所以當x>0

時，/(x)=-/(-X)=e-%所以/(ln2)=e-"m2=PL[=8,所以。=一3.

?2√

16、答案：(-∞,T]UO⑸

解析:2)≤0等價于x=0或X.>0_*0或X/<0.2)≥(√

因為/(x)為偶函數，且/⑶=0,故-2)≤0即為"x-2)≤∕(3),

即為川x-2∣)≤?*3),

而/(x)在區間[0,+∞)上單調遞增，故∣x-2∣≤3即T≤x≤5,

同理/(x-2)≥0的解為XK-I或xN5,

故…八的解為0<x≤5,

[/(x-2)≤0

f%<0Lt

而c?C的解為x≤-L

[f(x-2)≥0

故0?(x-2)≤O的解為(-8,-l]"0,5]?

故答案為：(→o,-l]∪[0,5]

17、答案：(1)見解析

(2)√3

解析：(1)證明：a+b=2,且α,匕均為正數，.?.H≤(號)=1,當且僅當α=6=I時，取

等號，

M=ab,則0<∕41,.'./(?)+f(h)=a2+b2+-+-=4-2ab+-=4-2t+~,令

2a2baht

h(t)=4-2t+-,易知〃⑴在(0,IJ上為減函數，

t

.?.∕z(r)≥Λ(l)=4-2+l=3,即/(tz)÷/(/?)≥3.

22

(2)-f(-d)=f(b),.?.α-J-=?+±,

2a2b

2a+b

：.a-b,2=---,

2ah

a，均為正數，.?a+b≠G,

1

ci-b=----->O,2cιb=-------

2aba-b

2

.,.(α+b)2=(a-b)2+4ab=(a-b)2H-------

a-b

令x=a-b,則x>0,

、2

可設g(x)=jr+-,x>0,

X

任取芭，x2∈11,+00),且%>9之1，

?

貝IJg(XJ-g(χ2)=52+一―《

x?

2

易知芯―x7>0,X1+X9>2,-----<2,g(%)—g(馬)>。，

XZ

???g(χ)>g(w),

同理，任取芭,x2∈(0,l],且石>%2,則g(w)vg(w),

.?.g(x)=犬+2在(0,1]上單調遞減，在[1,+O0)上單調遞增，

X

???g(x)min=g(D=3,即(〃+力?n=3，

.?.(α+6)πAl=X/5,.?.α+〃的最小值為6.

18、答案：(1)在(θ,e"T)上單調遞增，在(e"T,?κχ>)上單調遞減.

(2)證明過程見解析.

解析：(1)Qr(X)=Q-(InX+1)=Q-I-InX,x>0,

.?.當x∈(θ,e"-)時，∕,(x)>0;

當X∈(e"T,+∞)時，f,(x)<O,

Λ∕(X)在(0,尸)上單調遞增，在(4,E)上單調遞減.

(2)證明：當a=l時，設g(x)=/(JV)-+：[=X_XInX-[X*+1],x>0,

只需證當X>O時，g(x)<O.

Qg'(x)=-InX-2x,

丁?顯然函數g'(x)在(0,+oo)上單調遞減.

,

Qg(B=l_2>o,4g^=ln2-l<O,

???存在唯一/W使得g'(??)=-InXO-2%=0.

當XW(O,M)時，g'(x)>0；

當XE(Λ?0,+∞)時，g'(x)V0,

.?.g(x)在(0,玉))上單調遞增，在(Ao,+00)上單調遞減,

.?.當%>O時，

g(x)≤g(/)=X0-X0Inx0-fx^+∣J

=Ao-?(-2?)-f??+1

//、23

「?/(x)VX÷~?

4

19、答案：(I)ife=O.

(2)取值范圍是K,M).

解析：⑴因為函數/(x)是定義在R上的奇函數，所以〃-X)=-〃x)對任意XeR恒成立，即

(?-1)2^JC+2X=-(?-I)2X-2-'對任意XeR恒成立，

整理得&Q2,+1)=0對任意XWR恒成立，所以％=0?

⑵根據題意，不等式住-1).2"+2-*≥4對于任意的X∈［-1,1］恒成立，

即不等式％-l≥;(3對于任意的xe［-l,l］恒成立.

令JL=f,則re1,2,

2*L2.

令g(f)=-/+*,所以Z-l≥g(r)nm.

而g(f)=τ2+4f=-(f-2f+4在；,2上單調遞增,

所以g(')∏≡=g(2)=4,所以A-124，解得A≥5?

故k的取值范圍是［5,+∞).

3

1—≤rVO

20、答案：⑴/(x)=x+：,具體見解析⑵2

-^—=-2

~a+b，解得a=1

解析：⑴/(-1)=-2,又"x)是奇函數，'F⑴=2,j

b=0

^=2

a+b

,?,/(x)=x+^?;

函數f(