2023年普通高等學校招生全國統一考試模擬試題

數學

注意事項：

1.本場考試時間120分鐘，滿分150分.

2.作答前，在答題紙正面填寫姓名、準考證號，反面填寫姓名.將核對后的條形碼貼在答題

紙指定位置.

3.所有作答務必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號對應的區城，不得錯位.在試卷上作答一

律不得分.

4.用25鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1,已知集合”={l,2,3,4},N={0,l,2,3},則有()

A.MWNB.NJMC.MN={l,2,3}D.MjV={1,2,3}

2.復數Z=］鬲(其中i為虛數單位)，則復數Z的共物復數在復平面內對應的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.設等比數列{6,}的前6項和為6,且q=α,a2=la,則α=()

2145

A.—B.-C.—D.—

2172121

4.已知Ial=g|=l，向量α與6的夾角為60°,貝∣"34-4∕?I=()

A.5B.13C.3√2D.√B

5.設/(x)是定義在A上增函數，F(x)=∕(x)-∕(-x),那么尸(X)必為()

A.增函數且是奇函數B.增函數且是偶函數C,減函數且是奇函數D.減函數且是偶函數

6.已知焦點為尸的拋物線C:/=4)的準線是直線/,點尸為拋物線C上一點，且PQ?L∕垂足為。，點

G(2,0)則IPQl+1PGI的最小值為()

A.√5B.2C.√10D.2√2

7.函數/(x)=T■百(-%≤X≤%)的圖象大致是()

22

vr7

8.已知雙曲線C:與一二7=l(4>O/>0)的離心率為一，則雙曲線。的一條漸近線的斜率可能是

ab5

()

?IrZr2√65√6

75512

.2-+ax—,X≤1

9.已知函數/(x)=J2則”α≤O"是"/")在R上單調遞減”的()

IcuC+x,%>1

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

10.設集合A={(x,y)∣x-y20,0r+y≥2,x-做≤2},則()

A當α=l時，(1,1)任AB.對任意實數”,(1,1)∈A

C.當α<0時，(1,1)金AD.對任意實數a,(1,1)金A

第二部分(非選擇題共UO分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

52345

11(1-x)=α0+α∣x+a2x+a3x+aAx+a5x,則α∣+々+%+%+%=

12.下列命題中:

①偶函數的圖象一定與y軸相交；

②奇函數的圖象一定過原點；

2

③若奇函數/(x)=α-至］，則實數。=1；

④圖象過原點的奇函數必是單調函數；

⑤函數y=T-X2的零點個數為2；

⑥互為反函數的圖象關于直線y=χ對稱.

上述命題中所有正確的命題序號是.

13.若函數/(x)圖象關于點對稱，且關于直線X=I對稱，則/(X)=(寫出滿足條件

的一個函數即可).

14.三棱錐A—3CD中，ABC是邊長為2的正三角形，BD=4,CD=2區BD工AB,若該三棱錐

的每個頂點均在球O的表面上，則球。的體積是

(5TT5ττ?

15.已知［sinCOsRJ是角α的終邊上一點，則COSa=,角α的最小正值是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知函數/(x)=Sinl2x-小+2cos?X-1.

(1)求函數/(x)的單調增區間；

(2)在48C中，α,仇C分別是角A,B,C的對邊，且α=l,b+c=2,∕(A)=g,求一ABC的面積.

17.如圖，在四棱錐P—ABCD中，尸Oj_平面ABC￡>,底面ABCO為菱形，E,尸分別為AB,PD的中

點.

(1)求證：EFmPBC-,

(2)若AO=2√L二面角E-FC―。的大小為45。，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為

已知.求的長.

條件①：DEYPC-.條件②：PB=PC.

18.2023年9月23日至2023年10月8日，第19屆亞運會將在中國杭州舉行.杭州某中學高一年級舉辦了

“亞運在我心”的知識競賽，其中1班，2班，3班，4班報名人數如下：

班號1234

人數30402010

該年級在報名的同學中按分層抽樣的方式抽取10名同學參加競賽，每位參加競賽的同學從預設的10個題

目中隨機抽取4個作答，至少答對3道的同學獲得一份獎品.假設每位同學的作答情況相互獨立.

(1)求各班參加競賽的人數；

(2)2班小張同學被抽中參加競賽，若該同學在預設的10個題目中恰有3個答不對，記他答對的題目

數為X，求X的分布列及數學期望；

(3)若1班每位參加競賽的同學答對每個題目的概率均為L,求1班參加競賽的同學中至少有1位同學

3

獲得獎品的概率.

19.已知函數/(x)=e*-X.

⑴求曲線y=/(尤)在點(1"⑴)處的切線方程；

(2)設函數g(x)=∕(x)-m,若對Vx∈[T,l],g(x)<0恒成立，求實數機的取值范圍.

22

20.已知橢圓U鼻+春■=1(。>人〉0)的長軸長是短軸長的2倍，A,B分別為橢圓的左頂點和下頂點，

且AQ43的面積為1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設點M為橢圓上位于第一象限內一動點，直線與X軸交于點C,直線AW與丫軸交于點。，求

證：四邊形ABCD的面積為定值.

21.已知數列{4}的前〃項和A“滿足條一B=g("∈N*),且q=l,數列也}滿足

bll+2-2bll+l+以=0(〃∈N*),&=2,其前9項和為36.

(1)當〃為奇數時，將勺放在包的前面一項的位置上；當〃為偶數時，將“放在％前面一項的位置

上，可以得到一個新的數列：%,4，b2,a2,a3,瓦,“，?4>生，4,…,求該數列的前〃項和

S”;

⑵設%=￡r，對于任意給定的正整數2)，是否存在正整數/、m(k<l<m),使得或、

cl,q,成等差數列？若存在，求出/、機(用上表示)，若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1已知集合”={1,2,3,4},N={0,1,2,3},則有()

A.M^NB.N三MC.MN={1,2,3}D.MN=[1,2,3}

【答案】C

【解析】

【分析】

根據集合的基本運算性質可得答案.

【詳解】集合M={1,2,3,4},N={0,1,2,3},則MN={l,2,3},

故選：C.

【點睛】本題考查了集合基本運算、集合間的基本關系，屬于基礎題.

2.復數Z=Ea(其中i為虛數單位)，則復數Z的共輾復數在復平面內對應的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】

利用復數的除法法則將復數Z化為一般形式，進而可求得復數Z的共挽復數，由此可得出復數Z的共軌復數

在復平面對應的點所在的象限.

-2-20-后)1一幣i1√3.-i?

【詳解】.Z=-廣=7~~Fw~~*=——^-=-τ+?-^則Z=—■!?一★],

l+√3z(l+^z)(l-√3z)22222

因此，復數Z的共物復數在復平面內對應的點位于第三象限.

故選：C.

【點睛】本題考查復數在復平面對應的點所在象限的判斷，考查了復數的除法法則和共加復數概念的應

用，考查計算能力，屬于基礎題.

3.設等比數列{4,,}的前6項和為6,且q=α,a2=2a,則α=()

2145

A.—B.-C.—D.—

2172121

【答案】A

【解析】

【分析】先求得等比數列{α,,}的公比，然后根據等比數列前"項和公式列方程，解方程求得。的值.

【詳解】由題意可得公比4=5=2,則SJ。—〉)=63α=6,即。=2.

a

?°i_2、21

故選：A

【點睛】本小題主要考查等比數列通項公式和前八項和公式的基本量計算，屬于基礎題.

4.已知Ial=IbI=1,向量α與人的夾角為60°,則|3d—4加=()

A.5B.13C.3&D.√B

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量的數量積去求134-4"I的值.

【詳解】∣3α-411=J(3α一叫=^9∣d∣2+16∣Λ∣2-24α??=^9×12+16×12-24×1×1×∣=√13

故選：D

5.設“X)是定義在R上的增函數,F(x)=f(x)-f(-x),那么F(X)必為()

A.增函數且是奇函數B.增函數且是偶函數C.減函數且是奇函數D.減函數且是偶函數

【答案】A

【解析】

【分析】可求得尸(T)=-∕7(x),根據奇偶性的定義可知尸(X)為奇函數；設馬>玉，則一/<一玉，根

據單調性可證得根據單調性定義可知為增函數，從而得到結果.

/(x)F(Λ2)-F(X1)>O,F(x)

【詳解】F(-x)=/(-?)-/(?)=-F(x)

F(%)為定義在R上的奇函數

設%>%，則F(W)-尸(X)=/(%)-/(F)-/(%)+/(F)

?.?X2>xl/.-x2<-xi

為定義在的增函數

/(x)R.?./(x2)>/(x1),/(-Λ1)>/(-X2)

.?.F(Λ2)-F(X1)=[∕(X2)-∕(X1)]+[∕(-X,)-∕(-Λ2)]>0

，E(x)為定義在R上的增函數

綜上所述：F(X)必為增函數且為奇函數

本題正確選項：A

【點睛】本題考查利用定義判斷函數的奇偶性和單調性，考查學生對于函數性質定義的掌握，屬于基礎題.

6.已知焦點為F的拋物線C:/=4y的準線是直線/,點P為拋物線C上一點，且PQ?L∕垂足為0,點

G(2,0)則?PQl[+?PG?的最小值為()

A.√5B.2C.屈D.2垃

【答案】A

【解析】

【分析】連接P凡由拋物線的定義可知PF=P。，然后結合圖形可得答案

【詳解】連接尸尸，由拋物線的定義可知PF=P。,

所以∣PQ∣+∣PG∣=IFM+∣PG∣≥∣產Gl=6,

0.5-

B.-ππOππ

~2-0.52

【解析】

【分析】根據函數奇偶性排除A,。，由排除C,由此得到結果.

-xsin(-x)_XSinX

【詳解】/(一X)

(-%)2+l-V2+1=∕(x),

?/(χ)為偶函數，圖象關于y軸對稱，可排除A,。；

π.π

(?ys*ny2兀

-π=2?≠n0,可排除C.

(2Jπ~π^+4

—+1

4

故選：B.

【點睛】本題考查函數圖象的識別問題，解決此類問題通常采用排除法，排除依據為奇偶性、特殊位置符

號、單調性等，屬于常考題型.

2X27

8.已知雙曲線C:與v一%=13>0力>0）的離心率為§,則雙曲線C的一條漸近線的斜率可能是

（）

A2R-CD5思

75512

【答案】D

【解析】

【分析】由雙曲線的性質求解

22

【詳解】雙曲線C:與—==1（。>0/>0）的漸近線為曠=±且％,

ab-b

而雙曲線。的離心率為2,所以￡=2,即土注=”，得巴=典,

2

5a5a25b12

故選：D

9.已知函數/（x）=J2則”α≤0"是"/（X）在R上單調遞減”的（）

IcuC+x,%>1

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】求得/（X）在R上單調遞減時。的取值范圍，從而判斷出充分、必要條件.

C2Cx2+CLX3,X≤1

【詳解】若/（X）=J2在R上單調遞減，

2ax2+x,x>1

-->1

4

a<0

則,解得α≤4

一一-≤1

Aa

2+a--≥2a+1

[2

所以"α≤（F'是"/U）在R上單調遞減”的必要而不充分條件.

故選：B

10設集合A={(x,y)|x-y≥0,ɑx+y≥2,x—ɑy≤2},則()

A.當a=l時，(1,1)/4B.對任意實數α,(1,1)∈A

C.當“<0時，(1,1)?AD.對任意實數。，(1,1)?A

【答案】C

【解析】

【分析】依據選項將點(1,1)代入驗證即可.

【詳解】當α=l時，A={^x,y)y?x-y≥O,x+y≥2,x-y≤2},

,l-l≥0

將(1,1)代入A得：<1+1≥2成立，故(I,l)w4,即A錯誤；

1-1<2

若α=0時，此時將(1,1)代入以+y=l≥2不成立，即B錯誤；

當時，此時將(1,1)代入分+y=ɑ+l≥2不成立，即C正確；

l-l≥0

若α=2時，此時將(1,1)代入A得<2+122成立，即D錯誤；

l-2≤2

故選：C.

第二部分(非選擇題共UO分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

52i45

11.?(1-x)=a0+aγx+a2x+a3x+α4x+a5x,則α∣+々+%+%+%=.

【答案】-1

【解析】

【分析】X=O,求得即，令X=1,求得％+/+。2+。3+&+%，即可得解.

【詳解】解：令X=0,則4=1,

令X=1,則g+4+/+“3+/+%=0，

所以α∣+%+%+4+%=-1

故答案為：-1.

12.下列命題中:

①偶函數的圖象一定與y軸相交；

②奇函數的圖象一定過原點；

2

③若奇函數/(x)=α-k=，則實數。=1；

2+1

④圖象過原點的奇函數必是單調函數;

⑤函數y=2v-x2的零點個數為2；

⑥互為反函數的圖象關于直線＞=X對稱.

上述命題中所有正確的命題序號是.

【答案】③⑥

【解析】

【詳解】試題分析：?可舉反例y=Y+1來說明其錯誤；，當奇函數在X=O處無定義的時候，圖象就不通

12

過原點，比如y=一；奇函數/(x)=α——--在X=O處有意義，所以/(O)=a—l=O,.?.α=l;若圖

X2+1

象過原點的奇函數在(0,+?)單調時，其在定義域內必是單調函數，而當過原點的奇函數在((),+8)不單調

時，它在定義域內就不是單調函數，比如/(x)=χ3-χ;函數y=2、-f的零點即函數y=2'與y=f

的交點，作出圖象可以發現它們在)'軸左側有一個交點，右側有(2,4),(4/6)兩個交點，所以函數

y=2、-f的零點個數為3；結合反函數的定義可知原函數的反函數互為逆運算，所以原函數圖象若過

點(而，%)，則點(%,??)必定在反函數的圖象上，即它們的圖象關于直線N=X對稱?

考點：函數奇偶性的圖象與性質，函數與方程及互為反函數的函數圖象之間的關系.

【方法點晴】多選題往往在一套試卷中對要考查的知識點起著補充作用，內容比較零碎，需要對每個命題

都要做出準確的判斷方能得分，正是這一要求導致其得分率比較低.在判斷的過程中思維一定要考慮全面，

從正、反兩個方面進行考慮，特別是從正面不好直接判斷時，可以從命題的反面看能否找出反例進行排

除，比如在本題中?，，,是用反例來進行否定，/…中則是從正面直接判斷.

13.若函數/(x)的圖象關于點＞寸稱，且關于直線X=I對稱，則/(X)=(寫出滿足條件

的一個函數即可).

【答案】/(x)=sinfγx+?l

【解析】

【分析】由于三角函數既有中心時稱又有軸對稱，故選三角函數即可得解.

【詳解】易知三角函數的圖像既有中心對稱點，又有對稱軸，

/TTJT?

由/(刈=$鼻§》+^^滿足此條件，

故答案為:/(x)=sinfyx+^j.

14.三棱錐A—38中，.ABC是邊長為2的正三角形，BD=4,CD=2小,BD工AB,若該三棱錐

的每個頂點均在球。的表面上，則球。的體積是

【答案］史5叵萬

27

【解析】

【分析】根據球的截面圓外心與球心連線垂直于截面所在的平面，分別尋找,ABC、ABZ）的外接圓圓

心，進一步找到分別垂直于這兩個截面的垂線，其交點即為外接球球心.

【詳解】如圖所示,

在二BCD中，BD=4,CD=2√5,BC=2,所以+BC?=,所以BDLBC,又BD工BA，得

BZ）S平面ABC,

設AB,AQ的中點分別為區尸，連接CE,EF?因為FE〃BD，所以砂工平面ABC，

由601平面ABC,得BDLCE,由ABC是邊長為2的正三角形，所以CElA3,所以CE_1平

面A80，過/作OE_L平面ABD,則OP∕zCE,

設.ABC的中心為G,過G作G0〃2戶，交OF于O點、,則OG，平面ABC,

所以。點即為三棱錐A-BCD外接球的球心，

在RtAB。中，BD=4,AB=2,所以AD=JAB?十比）。=2小，

在RjOD尸中，

J（今AB）2+0AD）2=「哈

R=4OF2+DF2=y∣GE2+DF2=

所以三棱錐A-BCD的體積為V=g乃N=g萬（否）3=卷f%.

故答案為：竺B兀.

27

（5%5萬、

15.已知PISinN-,cosN-J是角α的終邊上一點，則CoSa=,角a的最小正值是.

【答案】?.7②??E

23

【解析】

【分析】

根據三角函數的定義，求得COSa的值，進而確定角ɑ的最小正值.

.5π

z__Xsin--

【詳解】由于PSin手,cosJ是角α的終邊上一點，所以COSa=76——=Sin」=—.由

I66；JSin2型+cc√262

V66

于sin2='>0,cos2=一走<o,所以「在第四象限，也即a是第四象限角，所以a=2E—：,當

62623

5Ti

Z=I時，α取得最小正值為一.

3

故答案為：(I)~；(2)—

23

【點睛】本小題主要考查三角函數的定義，考查特殊角的三角函數值，考查終邊相同的角，屬于基礎題.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知函數/(x)=Sinl2X-Ν?)+2COS2X-1.

(1)求函數/(x)的單調增區間；

(2)在一A5C中，。力,c分別是角A,B,C的對邊，且α=l,8+c=2,∕(A)=;,求一ABC的面積.

【答案】(1)kπ--,kπ+—(AeZ)

_3OJ

(2)也

4

【解析】

【分析】(1)利用倍角公式及兩角和與差正弦化簡/(x)化為y=Asin(5+e)+B,利用整體法可求函

數的單調增區間.

(2)先根據/(A)=g,求出角A,再根據一角三邊關系，利用余弦定理求AC=1,最后代入面積公式計算

即可.

【小問1詳解】

/兀、?

f(x)=sin2x——+2COS2元一I=——sin2x——cos2x+cos2x

6)22

√3.??l?/J、

=——sin2%+—cos2x-sin2x+-，

22I6)

TTTTJiTTTT,

令2kι—≤2xH—≤2,kτιH—,其中后∈Z,解得kτι—≤x≤kitH—,左∈Z.

26236

函數/(X)的單調遞增區間是Λπ-∣Λπ+∣,其中keZ.

【小問2詳解】

/(A)=PΛSirI(2A+￡)=；.

Tfr?A兀C4兀13兀

又0<AVTi,-V2√4H—<-----.

666

CATr5π.π

.?.2A+-=—，故z4A=一.

663

71

在^ABC中，a=l,b+c=2,A=-

39

222

.?.1=∣y+c-2bccosA=(∕>+c)-3bc,即1=4—3歷，'.bc=?,

=

?*?S^ABC-besinA=?--

17.如圖，在四棱錐P—ABC。中，POJ_平面ABCZZ底面4BC。為菱形，E,F分別為AB,P￡)的中

點.

（1）求證：EF〃平面PBC；

（2）若4）=26,二面角E-EC-。的大小為45°,再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為

已知.求PO的長.

條件①：DElPCi條件②：PB=PC.

【答案】（1）證明見解析

（2）12.

【解析】

【分析】（1）通過證明四邊形防是平行四邊形，進而由線線平行得出線面平行;

(2)分別選擇條件，設PO邊長，建系應用二面角余弦值求參數即得.

【小問1詳解】

取PC的中點連接MEMB,

`：M,F分別為PC,PD的中點，

.?.M尸是PCD的中位線，

.?.MF//CO且MF^-CD,

2

又E為AB的中點，

??.BEUCD&BE=LCD，

2

MF//BERMF=BE,

：.四邊形MBE尸是平行四邊形，

.?.EF∕∕MB,E/(Z平面PBC,MBU平面PBC,

：.EF//平面PBC.

【小問2詳解】

選擇條件①：DElPC,

尸。_L平面ABCZ),DE上PD,PCU平面PCD,PZ)U平面PCDJDE1平面PCD

.?.。石_1_。。,.?.￡)￡：_]_45,底面438為菱形，E為AB的中點..?.D4=Z)3,Z?A3f)是等邊三角形,

以DPZ軸，JDC為y軸,DE為X軸，建立空間直角坐標系，

設PO=2f,則。(0,0,0),。(0,2也,0),尸(0,0,。，七(3,0,0),

設平面ECZ)法向量7=(1,0,0),

設平面FEC法向量為〃Z=(X,y,z),

EF=(-3,0"),EC=(-3,2√3,0),

-3x+Zz=0

-3x+2Cy-0

令y=J§\則m=f2,,7),

二面角￡—R?—O的大小為45。

???e°"?=-J-∣?,*+7=8,.?.r=6,2f=12,

1×√4+3+Z/

.-.PD=12

選擇條件②：PB=PC.

PO_L平面ABCf>,BC_LPZ),P6=PC,取BC的中點0,..POLBC,

QDu平面PDO,PoU平面POO,BCl平面POO,??.Bd>O,?.AD//BC,..DALDO,

底面ABC。為菱形，。為8C的中點..?.0。=。3,4。?。是等邊三角形,

r

(τl∏T1、

設P0=2乙則。(0,0,0),。(—6,3,0),尸(0,0,。,石?,-,θ

I22J

設平面尸CD法向量為勺=(XI,χ,z∣),

DF=(O,O√),DC=(-√3,3,O),

tzl=O

_g%]+3y=O

令y=1,玉=有，4=0,則勺=(6,1,0),

設平面fEC的法向量為肛=(j?,γ2,z2),

3幣3?“

EF--,--,t,EC=

22￥1°；

/

3石3C

%2-清+也2=0

2

563,、

^Ξ^々+萬%=0

令%=5?∣3,x2=3,z2=.I?C,則，〃

二面角E—PC—O的大小為45°

√2

432

2+84=96,.?.f=62=12,

.-.PD=12

18.2023年9月23日至2023年10月8日，第19屆亞運會將在中國杭州舉行.杭州某中學高一年級舉辦了

“亞運在我心”的知識競賽，其中1班，2班，3班，4班報名人數如下：

班號1234

人數30402010

該年級在報名的同學中按分層抽樣的方式抽取10名同學參加競賽，每位參加競賽的同學從預設的10個題

目中隨機抽取4個作答，至少答對3道的同學獲得一份獎品.假設每位同學的作答情況相互獨立.

(1)求各班參加競賽的人數；

(2)2班的小張同學被抽中參加競賽，若該同學在預設的10個題目中恰有3個答不對，記他答對的題目

數為X，求X的分布列及數學期望；

(3)若1班每位參加競賽的同學答對每個題目的概率均為;，求1班參加競賽的同學中至少有1位同學

獲得獎品的概率.

【答案】(1)3,4,2/

(2)分布列見解析，2.8

217

729

【解析】

【分析】(1)根據分層抽樣計算可得;

（2）根據超幾何分布求出概率，列出分布列求期望即可得解；

（3）計算1班每位同學獲獎的概率，然后根據二項分布求解即可.

【小問1詳解】

各班報名人數總共IOO人，抽取10人，抽樣比為《，

故1—4班分別抽取30χ-5-=3（人），40×?=4（人），20×?=2（人），10×?=l（人）.

10101010

【小問2詳解】

由題意，X的可能取值為123,4,

“、e'e?71

PX=I)=^?=

T^210~30,

…c、e,e?_21x33

PfY—??—73.-C，

jo-21010

、_1

γP(λY-IAc_e?7e'3_35x3

?--Z4-

JCO2102

351

PX=4)=κ?;

C：o-210^6

所以X的分布列為:

X1234

13

P

301026

E（X）=IX—+2χ=+3χ—+4χ-=-=2.8

3010265

【小問3詳解】

由題意，1班每位同學獲獎的概率為P=C：K

設1班獲獎人數為y,則丫B（3,g,

所以至少1人獲獎的概率為i—p（y=o）=i—c；（2>0Φ3=≡?

19.已知函數∕3=eJχ.

⑴求曲線y=/（尤）在點（L/（D）處的切線方程;

（2）設函數g（x）=∕（X）-∕n,若對Vx∈[-l,l],g（x）40恒成立，求實數〃?的取值范圍.

【答案】(I)(e-I)X—y=0;(2)[e-l,4<o).

【解析】

【分析】(1)求出函數的導函數∕gχ),再分別求出/a),/’。)，根據倒數的幾何意義，(⑴即為曲線

y=/(?)在點(1,/(1))處的切線的斜率，從而可得答案；

(2)由對VX∈[-l,l],g(x)≤0恒成立，即m≥∕(x)max,xw[T,l]恒成立，求出函數y=∕(x)的單調

區間，從而求得函數y=∕(x)在χw[-l,l]上的最大值，即可得出答案.

【詳解】解：⑴因為/(X)="-》，所以/'(x)=ev-L

所以∕?'(l)=e-L又/(l)=e-l,

所以曲線y=/(x)在點(IJ(I))處的切線方程為y-(e-1)=(e-l)(x—1),

即(e-I)X-y=0.

(2)由題意知：/n≥∕(x)nw.,x∈[-l,l]

/(x)=e*-x,.?../''(》)=6*—1.由/,(x)=et-l=0,解得X=0,

故當一l<x<0時，∕<x)<0,/*)在[-1,0)上單調遞減；

當0<x≤l時，∕<x)>0,/V)在(0,1]上單調遞增.

所以/(x)min=∕(0)=L又/(_l)=J+l，/(l)=e_l,/(l)_/(_l)=e_1_2>0

???/(?max=e-?,.?.m≥e-?

所以實數m的取值范圍為,一1,+8).

X2V2

20.已知橢圓C:j+與=Ka>b>0)的長軸長是短軸長的2倍，A,8分別為橢圓的左頂點和下頂點，

a'b'

且AGHB的面積為1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設點M為橢圓上位于第一象限內一動點，直線與X軸交于點C,直線AM與V軸交于點。，求

證：四邊形ABCD的面積為定值.

2

【答案】(1)—+/=1.(2)見解析

4

【解析】

【分析】(1)由長軸長是短軸長的2倍，△。鉆的面積，構建方程組，求得外，代入桶圓方程得答案；

(2)設M(加，〃)(m>0,〃>0)有加2+4〃2=4，分別表示直線8例和AM的方程，從而表示x,與

y。，可得IACl與I8。I長度關系式，進而可以表示SABCT),化簡即證..

22

【詳解】(1)?.?橢圓C:=+與=l(α>O>O)的長軸長是短軸長的2倍，.?.4=2Λ.

礦Ir

,.β?OAB的面積為1,.?—ah=1ab=2,

2f

解得a=2fb=1.

2

???橢圓C的方程為r二+J=1.

4

(2)由(1)可知A(—2,0),B(0?—1),

設A/O，ri)｛m>0,〃>0),則一+〃？=1,即1+而？=不

4

n+1

則直線BM的方程為y=——x-?.

m

令y=0,得XC=-^―,BpIACI=-?-+2.

n+1n+?

Yl

同理，直線AV的方程為y=-------（X+2）,

m+2

/?/?

令x=0,得y=_gp∣βr>b^-+ι

m+2m+2

m」I2n?〃2+2〃+2m+2〃+2

???Sg=NACIXl町=；X——+2×-------+

n+lIμn+2272÷1m+2

_1(∕n+2π+2)__1m?+4〃2+4+4機〃+4/%+8〃

2∣mπ+m÷2π+2∣2?mn+m+2π+2∣

因為m2+4/=4且機>0,力>0,

□HE#14根幾+4根+8〃+814(m∕ι+m+2π+2)

則原式二-------------------------------------------=2.

2mn+m÷2H÷22mn+m÷2n÷2

???四邊形ABCD的面積為定值2.

【點睛】本題考查橢圓問題的綜合問題，涉及求由。兒表示橢圓的標準方程已經平面圖形的面積為定值問

題，屬于難題.

21.已知數列｛0,,｝的前〃項和A,,滿足幺—&=1(〃∈N*),且4=1,數列也｝滿足

n+in2'7

2+2-2。“+]+包=o(〃eN1),4=2,其前9項和為36.

（1）當,為奇數時，將。“放在打的前面一項的位置上；當〃為偶數時，將4放在。“前面一項的位置

上，可以得到一個新的數列：4,瓦,b2,a2