2.4.2平面向量及運算的坐標表示新授課1.理解平面向量坐標的概念，會求平面向量的坐標.2.掌握平面向量運算的坐標表示.3.掌握向量平行的坐標表示，能解決點共線問題.問題1：如圖，已知i，j分別是x，y軸上的單位向量，|a|＝r，∠AOx＝θ.（1）點A在坐標系中的坐標是什么？（2）試用i，j表示a.知識點1：平面向量的坐標表示解：（1）A(rcosθ，rsinθ)；（2）a＝rcosθ·i＋rsinθ·j.a＝(rcosθ，rsinθ)問題2：在平面直角坐標系內，起點不在坐標原點O的向量如何用坐標來表示OxyyxA(x，y)ija通過向量的平移，將向量的起點移到坐標的原點O處，我們把(x，y)稱為向量a在標準正交基{i，j}下的坐標，向量a可以表示為a＝(x，y).由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x，y，使a＝xi＋yj，

a思考1：以原點O為起點，作向量

，點P的位置由誰確定？由

所唯一確定.思考2：若i，j分別是與x，y軸同方向的單位向量，則i，j的坐標分別是什么？i＝(1，0)，j＝(0，1).思考3：相等向量的坐標相同嗎？相等向量經過平移可以具有共同的始點O(O為坐標原點)，這時其終點相同，而終點的坐標即是這些向量的坐標，所以相同.例1

在平面內，以點O的正東方向為x軸的正向，正北方向為y軸的正向建立平面直角坐標系.質點在平面內做直線運動，先畫出下列位移向量在基{i，j}下的正交分解，再求出下列位移向量的坐標：（1）向量a表示沿東北方向移動了2個單位長度；（2）向量b表示沿北偏西30°方向移動了3個單位長度；（3）向量c表示沿南偏東60°方向移動了4個單位長度.解：設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)，則向量a，b，c在基{i，j}下的正交分解如圖所示，（1）向量a表示沿東北方向移動了2個單位長度；（2）向量b表示沿北偏西30°方向移動了3個單位長度；（3）向量c表示沿南偏東60°方向移動了4個單位長度.因此思考交流1：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b，λa的坐標嗎？

知識點2：平面向量運算的坐標表示解：∵a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，∴a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，同理a－b＝(x1－x2，y1－y2)，設λ∈R，則λa＝λ(x1i＋y1j)＝λx1i＋λy1j，即λa＝(λx1，λy1).思考交流2：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求出的坐標嗎？A(x1，y1)B(x2，y2)Oyx解：在直角坐標系中作向量

若M是線段AB的中點，求點M的坐標.

線段AB的中點坐標1.兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差；2.實數與向量數乘的坐標等于這個實數與向量的相應坐標的乘積；3.一個向量的坐標等于其終點的坐標減去起點的坐標.

歸納總結例2

已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求a＋b，a－b，3a＋4b的坐標.解：a＋b＝(2，1)＋(－3，4)＝(－1，5)；a－b＝(2，1)－(－3，4)＝(5，－3)；3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19).例3

已知A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，且，求點M的坐標.∴∴點M的坐標為(－11，－15).解：依題意得設點M的坐標為(x，y)，則解得1.已知點A(1，0)，B(0，2)，C(－1，－2)，用向量的方法求得□ABCD的頂點D的坐標為

.

練一練(0，－4)問題：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，那么a∥b時，它們的坐標應滿足什么條件？

知識點3：平面向量平行的坐標表示解：由共線(平行)向量基本定理可知：x1i＋y1j＝λ(x2i＋y2j)＝λx2i＋λy2j，可得x1y2－x2y1＝0.向量a，b(b≠0)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0.例4

已知O是坐標原點，，當k為何值時，A，B，C三點共線？解得k＝－2或k＝11，解：依題意得要使A，B，C三點共線，只需